1、2012年全國碩士研究生入學統一考試數學二試題解析一、選擇題：18小題,每小題4分，共32分，下列每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求的，請將所選項前的字母填在答題紙.指定位置上X2X(1) 曲線y彳一漸近線的條數為()x1(A) 0(B) 1(C) 2(D) 3【答案】：CX2X【解析】：lim2，所以x1為垂直的x1x12xxlim飛1,所以y1為水平的，沒有斜漸近線故兩條選Cxx1(2) 設函數f(x)(ex1)(e2x2)(enxn)，其中n為正整數，則f'(0)(A) (1)nTn1)!(B) (1)n(n1)!(C) (1)n1n!(D) (1)nn!【答案】：C【

2、解析】：f'(x)ex(e2x2)(enxn)(ex1)(2e2x2)(enxn)(ex1)(e2x2)-(nenxn)所以f'(0)(1)n1n!(3) 設an>0(n=1,2,),Sn二a1+a2+an,則數列(sn)有界是數列(an)收斂的(A)充分必要條件.(B)充分非必要條件.(C)必要非充分條件.(D)即非充分地非必要條件【答案】：(B)k2(4) 設|kexsinxdx(k=1,2,3),則有De(A)|1<I2<I3.(B)I2<I2<I3.(C)Il<I3<Il,(D)Il<I2<I3.【答案】：(D)k2

3、【解析】：Ikexsinxdx看為以k為自變量的函數，則可知e.2kx2Ik'eksink0,k0,，即可知Ikesinxdx關于k在0,上為單調增e函數又由于1,2,30,，則I1I2l3,故選D設函數f(x,y)可微,且對任意x,y都有f(x,y)>0,f(x,y)<0,f(x1,y1)vfxy(X2,y2)成立的一個充分條件是(A)劉>X2,y1<y2.(C)xi<x2,yi<y2.【答案】：(D)(B)xi>x2,yi>yi.(D)xi<X2,yi>y2.【解析】：丄s0,丄©必0表示函數f（x,y）關于變量

4、x是單調遞增的，關于變量xyy是單調遞減的。因此，當為x2,y1y是單調遞減的。因此，當為x2,y1y2必有fX,%)fXy),故選D(6)設區域D由曲線ysinx,x,y1,圍成，則x5y1dxdy()2(A)(B)2(C)2(D)是（【答案】：（D）【解析】:由二重積分的區域對稱性，5xy-151dxdy2dxxy1dysinx20011(7)設10,21,31,41其中G,C2,C3,C4為任意常數，則下列向量組線性相關的C1C2C3C4)1（8）設A為3階矩陣,P為3階可逆矩陣，且P1AP1,P21,2,3,Q12則Q1AQ（)11(A)2(B)11222(C)1(D)221【答案】：

5、(B)1001010【解析】：QP110則Q1110P1,1001001110010010011001故Q1AQ110P1AP1101101110100100100120012故選（B）。、填空題：914小題,每小題4分，共24分,請將答案寫在答題紙指定位置上(A)1,2,3(B)(C)1,3,4(D)【答案】：（C）011【解析】：由于1,3,4011C11,2>1C1C32,43，41,3,4線性相關。故選（C）(9)設yy（x）是由方程Xy1ey所確定的隱函數【答案】：1方程丘_葉1=爭兩疑i壯求辱，有2'*護跛，戈=山代入可袴所址rfrdx:或1再次求導亠窖"喲

6、再次求導亠窖"喲+屮?，再將*=0、-0越de=0代入可得I-.（10）計算limx12【答案】：-4【解析】：原式limndx1x2arctanx(11)設zflnx1y，其中函數f（u）可微則xzxzyy【答案】：0.zr1zr1zz【解析】：因為-f,f2,所以xyxxyyxy（12）微分方程ydx(x23y)dy0滿足初始條件y|x=1的解為【答案】：x2y亠2dxc1dx1【解析】：ydx(x3y)dy03y-xdyydyyn0.所以x3y為一階線性微分方程又因為y-dyey1dy3yeydy1,解得C0,故x3y2dyC(y3C)丄y2(13)曲線yx【答案】：1,0X(

7、X0)上曲率為2的點的坐標是【解析】：將y'2x1,y”2代入曲率計算公式，有|yI|yI2、3/2(1y)2321(2x1)2422整理有(2x1)21,解得x0或1,又x0,所以x1,這時y0,故該點坐標為1,0(14)設A為3階矩陣,A(14)設A為3階矩陣,A3,A*為A的伴隨矩陣，若交換A的第一行與第二行得到矩陣B,則*BA。【答案】：-27【解析】：由于B巳2A,故BA*E12AA*|A|E23E12,所以,|BA*|3E12|33|E12127*(1)27.三、解答題：1523小題，共94分.請將解答寫在答題紙指定位置上解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟(15)(本題

8、滿分10分)已知函數f(x)J丄，記asinxx,lim0f(x)(1)求a的值(2)若當x0時,f(x)xk的同階無窮小，求k【解析】：(1)lim0f(x)x0xim0(總；1)xm0xsinx(2)，當x0時，由2x11f(x)af(x)1-sinxx11，即a1xsinxxsinx又因為,當x10時,Xsinx與x3等價,故f(x)(16)(本題滿分10分)求fx,yxe22x一的極值。【解析】：1Fx,yxexy222先求函數的駐點.fxx,yex0,fyx,yy0，解得函數為駐點為e,0.又Afxxe,01,Bxye,00,Cyye,01所以B2AC0,A0,故fx,y在點e,0處

9、取得極大值fe,0e2.2（17）（本題滿分10分）過點（0,1）點作曲線L:yInx的切線，切點為A,又L與x軸交于B點，區域D由L與直線AB及x軸圍成,求區域D的面積及D繞x軸旋轉一周所得旋轉體的體積。【解析】：一1設切點坐標為Ax0,lnx0，斜率為，所以設切線方程為X。InX。1xx0，又因為該切線過B（0,1）,X。所以x0e2,故切線方程為:y(2)13838383e2e2e2ln2xdxe2xln4e2e22xlne22lnixdxe2x12e2dx(18)(本題滿分10分)計算二重積分xydD計算二重積分xydD，其中區域D為曲線r1cos0與極軸圍成。【解析】：xydD160

10、sincos(2cos22221)cos82d21cosdrcosrsinrdr001440sincos(1cos)d119322sintcostdt162sintcostdt0088351615(19)(本題滿分11分)已知函數f(x)滿足方程f''(x)(19)(本題滿分11分)已知函數f(x)滿足方程f''(x)f'(x)2f(x)0及f'(x)f(x)2ex求表達式f(x)1) 求曲線的拐點yf(x2)0f(t2)dt【解析】：1) 特征方程為r2r20,特征根為A1,D2,齊次微分方程f(x)f(x)2f(x)0的通解為f(x)C1ex

11、C2e2x.再由f'(x)f(x)2ex得2C1exC2e2x2ex,可知C11,C20。故f(x)exx2xt2x2xt22x2xt22) 曲線方程為ye0edt,則y'12xe0edt,y''2x212xe0edt令y''0得x0。為了說明x0是y0唯一的解，我們來討論y''在x0和x0時的符號。2X22X2當x0時,2x0,212x2eoetdt0，可知y”0;當x0時,2x0,212x2eoetdt0,可知y”0。可知x0是y0唯一的解。同時，由上述討論可知曲線yf(x2)：f(t2)dt在x0左右兩邊的凹凸性相反，可知0

12、,0點是曲線2x2yf(x)0f(t)dt唯一的拐點。(20)(本題滿分10分)證明：21XXxlncosx1,1x11x2【解析】：令fXxlncosx1X2乞，可得2所以xlnln1x1x2x2sinx1x1x1X2x1X12X1X12X1X12XInsinxxInsinxx1x1時，有ln1X10,T0,而1可知，xln-1cosx10,有In-0,即得xln11cosx（21）（本題滿分11分)（1）證明方程xnxn1（2）記（1）中的實根為【解析】：(1)f(2)嚇121,所以112xyxsinx0,x0,即得xln110,1cosx1，所以cosxx2xn1X2尹xsin1x2x0

13、,證明(J1(n啲整數）,在區間limXn存在,并求此極限。n意得：令f（x）1丄,1內有且僅有一個實根;2xn1x1,貝Uf(1)0,再由0,由零點定理得在（2,1）肯定有解x0，假設在此區間還有另外一根X1,nn1nn1所以XoXoXo1XXnxn1,由歸納法得到Nx0,即唯一性得證(2)假設根為xn,即f(xjXXnn1xn10,所以f(x,)Xn(1Xn")1011Xn,(2Xn1),nXnXnn1Xn10,可知Xn1Xn1。又由于一2Xn1也即Xn是單調的。則由單調有界收斂定理可知X收斂假設nimXna，可知ax2x11。當n時,limf(Xp)lim人（1Xn)1a10,

14、得limXn1nn1Xn1ann2由于&1召人110可知nn1Xn1Xn1Xn110（22）（本題滿分11分）1a010a0011設A,b001a0a0010(I)求A(n)（n）已知線性方程組Axb有無窮多解，求a，并求Axb的通解。1a001a0a00【解析】：（01a0AdI)001a101aa(1)1a01a400101aa0011a0011a0011a00101a0101a0101a01001a0001a0001a0a001002a01a003a12aa1a00101a01001a00001a4aa2可知當要使得原線性方程組有無窮多解，則有1a40及aa20,可知a1。1100110010此時，原線性方程組增廣矩陣為01101，進一步化為行最簡形得01011001100011000000000001011可知導出組的基礎解系為，非齊次方程的特解為11，故其通解為01k1101線性方程組Axb存在2個不同的解，有|A|0.010011即：A010(21)(1)0,得1或-111111X1X當1時，000X20,顯然不符，故1.111X31(23)(本題滿分11分)三階矩陣_,A為矩陣A的轉置,已知r(ATA)2,且二次型fxTAtAx。1) 求a求二次型對應的二次型矩陣，并將二次型化為標準型，寫出正交變換過程。【解析】：1)由