1、數學專題二規律探索型問題規律探索型問題也是歸納猜想型問題，其特點是：給出一組具有某種特定關系的數、式、圖形，或是給出與圖形有關的操作變化過程，或某一具體的問題情境，要求通過觀察分析推理，探究其中蘊含的規律，進而歸納或猜想出一般性的結論類型有“數字規律”“數式規律”“圖形規律”等題型1數字猜想型：數字規律問題主要是在分析比較的基礎上發現題目中所蘊涵的數量關系，先猜想，然后通過適當的計算回答問題2數式規律型：數式規律問題主要是通過觀察、分析、歸納、驗證，然后得出一般性的結論，以列代數式即函數關系式為主要內容3圖形規律型：圖形規律問題主要是觀察圖形的組成、分拆等過程中的特點，分析其聯系和區別，用相應

2、的算式描述其中的規律，要注意對應思想和數形結合4數形結合猜想型：數形結合猜想型問題首先要觀察圖形，從中發現圖形的變化方式，再將圖形的變化以數或式的形式反映出來，從而得出圖形與數或式的對應關系，數形結合總結出圖形的變化規律，進而解決相關問題1解數字或數式規律探索題的方法：第一步：標序號；第二步：找規律，分別比較各部分與序號數(1，2，3，4，n)之間的關系，把其蘊含的規律用含序號數的式子表示出來；第三步：根據找出的規律表示出第n個數式2解圖形規律探索題的方法：第一步：標序號：記每組圖形的序數為“1，2，3，n”；第二步：數圖形個數：在圖形數量變化時，要記出每組圖形的表示個數；第三步：尋找圖形數量

3、與序號數n的關系：針對尋找第n個圖形表示的數量時，先將后一個圖形的個數與前一個圖形的個數進行比對，通常作差(商)來觀察是否有恒定量的變化，然后按照定量變化推導出第n個圖形的個數；函數法：若當圖形變化規律不明顯時，可把序號數n看作自變量，把第n個圖形的個數看作函數，設函數解析式為yan2bnc(初中階段設二次函數完全可以解決)，再代入三組數值進行計算出函數解析式(若算出a0就是一次函數)即可AB(45，12)3(2014東營)將自然數按以下規律排列：表中數2在第二行第一列，與有序數對(2，1)對應，數5與(1，3)對應，數14與(3，4)對應，根據這一規律，數2014對應的有序數對為_解析：由已

4、知可得：根據第一列的奇數行的數的規律是第幾行就是那個數平方，第一行的偶數列的數的規律，與奇數行規律相同；45452025，2014在第45行，向右依次減小，2014所在的位置是第45行，第12列，其坐標為(45，12)4(2014內江)如圖，將若干個正三角形、正方形和圓按一定規律從左向右排列，那么第2014個圖形是_解析：由圖形看出去掉開頭的兩個三角形，剩下的由三個正方形，一個三角形，兩個圓6個圖形為一組，不斷循環出現，(20142) 63352所以第2014個圖形是與循環的第二個圖形相同是正方形故答案為：5(2014孝感)正方形A1B1C1O，A2B2C2C1，A3B3C3C2，按如圖的方式

5、放置點A1，A2，A3，和點C1，C2，C3，分別在直線yx1和x軸上，則點B6的坐標是_(63，32)解析：直線yx1，x0時，y1，A1B11，點B2的坐標為(3，2)，A1的縱坐標是：120，A1的橫坐標是：0201，A2的縱坐標是：1121，A2的橫坐標是：1211，A3的縱坐標是：22422，A3的橫坐標是：123221，A4的縱坐標是：44823，A4的橫坐標是：1247231，即點A4的坐標為(7，8)據此可以得到An的縱坐標是：2n1，橫坐標是：2n11.即點An的坐標為(2n11，2n1)點A6的坐標為(251，25)點B6的坐標是：(261，25)即(63，32)數字猜想型

6、問題50【例1】(2015黔東南州)將全體正整數排成一個三角形數陣，根據上述排列規律，數陣中第10行從左至右的第5個數是_【點評】本題考查數字的變化規律：通過從一些特殊的數字變化中發現不變的因素或按規律變化的因素，然后推廣到一般情況數式規律型問題【例2】(2014揚州)設a1，a2，a2014是從1，0，1這三個數中取值的一列數，若a1a2a201469，(a11)2(a21)2(a20141)24001，則a1，a2，a2014中為0的個數是_165【點評】本題解題的關鍵是對給出的式子進行正確的變形對應訓練2(2015咸寧)古希臘數學家把數1，3，6，10，15，21，叫做三角數，它有一定的

7、規律性若把第一個三角數記為a1，第二個三角數記為a2，第n個三角數記為an，計算a1a2，a2a3，a3a4，由此推算a399a400_1.6105或160000圖形規律型問題【例3】(2015深圳)觀察下列圖形，它們是按一定規律排列的，依照此規律，第5個圖形有_個太陽21【點評】本題考查圖形的變化規律，找出圖形之間的運算規律，利用規律解決問題485對應訓練3(1)(2014深圳)如圖，下列圖形是將正三角形按一定規律排列，則第5個圖形中所有正三角形的個數有_解析：第一個圖形正三角形的個數為5，第二個圖形正三角形的個數為53217，第三個圖形正三角形的個數為173253，第四個圖形正三角形的個數

8、為5332161，第五個圖形正三角形的個數為16132485.故答案為：4852n(n1)(2)(2015內江)如圖是由火柴棒搭成的幾何圖案，則第n個圖案中有_根火柴棒(用含n的代數式表示)數形結合猜想型問題a 17.5 【點評】本題考查了圖形的變化類問題，解題的關鍵是能夠仔細讀題，找到圖形內和圖形外格點的數目對應訓練4在由mn(mn1)個小正方形組成的矩形網格中，研究它的一條對角線所穿過的小正方形個數f.(1)當m，n互質(m，n除1外無其他公因數)時，觀察下列圖形并完成下表：mnmnf123213432354257347猜想：當m，n互質時，在mn的矩形網格中，一條對角線所穿過的小正方形的

9、個數f與m，n的關系式是(不需要證明)(2)當m，n不互質時，請畫圖驗證你猜想的關系式是否依然成立解：(1)如表：mnmnf12321343235425763476fmn1 (2)當m，n不互質時，上述結論不成立，如圖 試題(1)下圖是在正方形網格中按規律填成的陰影，根據此規律，則第n個圖中陰影部分小正方形的個數是_(2)如圖，第個圖有2個相同的小正方形，第個圖有6個相同的小正方形，第個圖有12個相同的小正方形，第個圖有20個相同的小正方形，按此規律，那么第個圖有_個相同的小正方形(3)如圖，由等圓組成的一組圖中，第1個圖由1個圓組成，第2個圖由7個圓組成，第3個圖由19個圓組成，按照這樣的規

10、律排列下去，則第9個圖形由_個圓組成審題視角探索數量規律題可以檢驗同學們觀察圖形的變化規律，并從中找出其數量關系的能力，由于沒有現成的公式、定理可以套用，對初中生而言，有一定的難度但只要了解一些數列的有關知識，加上一些常用的分析方法，解決這類問題也是比較容易的規范答題解析(1)根據每一個圖形都是一個正方形和右邊的一個矩形構成，得到左邊的正方形中小正方形的個數和右邊的矩形中的小正方形的個數的和即可仔細觀察圖形知道：每一個陰影部分由左邊的正方形和右邊的矩形構成，分別為：第1個圖有：13個；第2個圖有：44個；第3個圖有：95個；故第n個圖有：n2(n2)個(2)觀察不難發現，每一個圖形中正方形的個

11、數等于圖形序號乘以比序號大1的數，根據此規律解答即可第個圖有2個相同的小正方形：212；第個圖有6個相同的小正方形：623；第個圖有12個相同的小正方形：1234；第個圖有20個相同的小正方形：2045；按此規律，第個圖有n(n1)個相同的小正方形(3)首先分析題意，找到規律，并進行推導得出答案觀察分析可得：第1個圖有1個圓；第2個圖由7個圓組成，716；第3個圖由19個圓組成，191626；故第9個圖由162636861(1238)6217(個)圓組成答題思路第一步：審題，仔細觀察圖形并找到相應的規律；第二步：化形為數，相當于找出數列的前若干項；第三步：考察相鄰兩項的差異，再根據這些項或項中某些部分(如分子、分母，整數、分數等)構成何種數列；第四步：按題中要求寫出某一項的結果或某些項的和能找到前三項，就能求出任一項；另外，有些圖形或數的出現是循環出現或按某種規律反復出現等，就需要具體問題具體分析了；第五步：反思回顧，查看關鍵點、易錯點，完善解題步驟試題(2014德陽)如圖，直線ab，ABC是等邊三角形，點A在直線a上，邊BC在直線b上，把ABC沿BC方向平移BC的一半得到ABC(如圖)；繼續以上的平移得到圖，再繼續以上的平移得到圖，；請問在第100個圖形中等邊三角形的個數是_錯解301依題意可得，第1個圖形中大等邊三角形有2個，小等邊三角形有2個，第2個圖形中大