1、圓的有關性質圓的有關性質薛慶海薛慶海圓圓定義定義點和圓的位置關系點和圓的位置關系經過不在同一條直經過不在同一條直線上的三個點的圓線上的三個點的圓基本定理基本定理垂徑定理及其推論垂徑定理及其推論圓心角，弧、弦，圓心角，弧、弦，弦心距之間的關系弦心距之間的關系圓周角定理及其推論圓周角定理及其推論條件、步驟條件、步驟圓內接四邊形圓內接四邊形點的集合點的集合推理推理單元知識結構：單元知識結構：單元知識要點和要求單元知識要點和要求1.理解圓的定義：理解圓的定義：“在一個平面內，圓是在一個平面內，圓是到到 定點的距離等于定長的點的集合。定點的距離等于定長的點的集合。” 圓是到定點的距離等于定長的所有點組圓

2、是到定點的距離等于定長的所有點組成成 的圖形，是封閉曲線，圓是圈，要和日的圖形，是封閉曲線，圓是圈，要和日常生活中的圓形區分開。常生活中的圓形區分開。 圓有外部和內部圓有外部和內部 2 .理解點與圓的三種位置關系，并會應用。理解點與圓的三種位置關系，并會應用。QPRO P點在圓外點在圓外 OP r R點在圓內點在圓內 OR rQ點在圓上點在圓上 OQ=r3 圓的確定圓的確定 圓心確定圓的位置，半徑確定圓的大小。圓心確定圓的位置，半徑確定圓的大小。 （1）經過一點可作無數個圓）經過一點可作無數個圓 （2）經過）經過A、B兩點可作無數個圓，圓心在線段兩點可作無數個圓，圓心在線段AB 的垂直平分線上

3、。的垂直平分線上。（3）經過三點的圓）經過三點的圓 a）經過在一直線上的三個點不能作圓。）經過在一直線上的三個點不能作圓。 b） 定理定理:不在同一條直線上的三個點確定一個圓不在同一條直線上的三個點確定一個圓. 理解確定的含義理解確定的含義: 不在同一條直線上的三個點能不在同一條直線上的三個點能作且只能作一個圓。作且只能作一個圓。 會用尺規作已知三角形的外接圓會用尺規作已知三角形的外接圓. c）外心的概念：三角形外接圓的圓心是三角形的）外心的概念：三角形外接圓的圓心是三角形的外心外心.外心是三角形三邊垂直平分線的交點，外心到外心是三角形三邊垂直平分線的交點，外心到三角形三個頂點的距離相等。銳角

4、、鈍角、直角三三角形三個頂點的距離相等。銳角、鈍角、直角三角形的外心分別在三角形的內部、外部和斜邊中點角形的外心分別在三角形的內部、外部和斜邊中點4 .理解圓的軸對稱性理解圓的軸對稱性,掌握垂徑定理及其推論掌握垂徑定理及其推論,并并會運用它們解決有關計算、證明和作圖問題會運用它們解決有關計算、證明和作圖問題. (1)圓是軸對稱圖形圓是軸對稱圖形,經過圓心的每條直線都是經過圓心的每條直線都是圓的對稱軸。（不能說直徑是圓的對稱軸）圓的對稱軸。（不能說直徑是圓的對稱軸） (2) 垂徑定理垂徑定理:垂直于弦的直徑平分弦垂直于弦的直徑平分弦, 并且平分弦所對的兩條弧。并且平分弦所對的兩條弧。 表示法表示

5、法:如圖如圖, CD是是 O的直徑的直徑,CDAB AE=BE,AD=BD,AC=BCABCEODO.推論推論1:平分弦平分弦(不是直徑不是直徑)的直徑垂直于弦的直徑垂直于弦, 并且平分弦所對的兩條弧并且平分弦所對的兩條弧（3)垂徑定理的推論垂徑定理的推論表示法表示法:如上圖如上圖, CD是是 O的直徑的直徑, AE=BE(AB不是直徑不是直徑) CDAB AD=BD,AC=BC平分弦所對的一條弧的直徑，平分弦所對的一條弧的直徑，垂直平分弦，并且平分弦所對的兩條弧垂直平分弦，并且平分弦所對的兩條弧表示法表示法:如上圖如上圖, CD是是 O的直徑的直徑, AC=BC CDAB AE=BE,AD=

6、BD弦的垂直平分線經過圓心弦的垂直平分線經過圓心,并且平分弦所對的兩條弧并且平分弦所對的兩條弧表示法表示法: 如圖如圖, CDAB, AE=BE CD是是 O的直徑的直徑, AD=BD,AC=BC推論推論2:圓的兩條平行弦所夾的弧相等圓的兩條平行弦所夾的弧相等表示法表示法:如圖如圖, AB/CD AC=BD BCADABCEODO.垂徑定理及推論垂徑定理及推論1可敘述為：一條直線如果它具有可敘述為：一條直線如果它具有垂直垂直于弦于弦平分弦平分弦平分弦所對的劣弧平分弦所對的劣弧平分弦所對的優弧平分弦所對的優弧經過圓心等五個性質中的任何兩個，它就有其余的三個經過圓心等五個性質中的任何兩個，它就有其

7、余的三個（其中有一種情況所說的弦不能是直徑）（其中有一種情況所說的弦不能是直徑）（4）弦心距是重要輔助線，常用的有三種：）弦心距是重要輔助線，常用的有三種：a)作作OMAB, 垂足為垂足為M,則則AM=BMb)已知已知M是是AB的中點時，連結的中點時，連結OM,則則OM垂直垂直ABc)已知已知C是弧是弧AB的中點時，連結的中點時，連結OC,則則OC垂直平分垂直平分ABBAOM(a)BAOM(b)BAOC(c)5理解圓的旋轉不變性，掌握圓心角，弦，弦心距的理解圓的旋轉不變性，掌握圓心角，弦，弦心距的概念和圓心角，弧、弦，弦心距之間的相等關系，并概念和圓心角，弧、弦，弦心距之間的相等關系，并能運用

8、它們解決有關計算、證明能運用它們解決有關計算、證明（1）圓是以圓心為對稱中心的中心對稱圖形，圓具）圓是以圓心為對稱中心的中心對稱圖形，圓具有圍繞圓心旋轉的不變性，它是研究圓心角，弧、弦，有圍繞圓心旋轉的不變性，它是研究圓心角，弧、弦，弦心距之間的關系的依據弦心距之間的關系的依據（2）定理：在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的）定理：在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦相等，所對的弦的弦心距相等弧相等，所對的弦相等，所對的弦的弦心距相等推論：在同圓或等圓中，如果兩個圓心角，兩條弧，推論：在同圓或等圓中，如果兩個圓心角，兩條弧，兩條弦或兩條弦的弦心距中有一組量相等，那么它們兩條弦或兩條

9、弦的弦心距中有一組量相等，那么它們所對應的其余各組量都分別相等所對應的其余各組量都分別相等 定理與推論使用的前提條件必須是定理與推論使用的前提條件必須是“在同圓或等圓中在同圓或等圓中”（3）在同圓或等圓中，若證明兩條弦相等，可以考慮：）在同圓或等圓中，若證明兩條弦相等，可以考慮： 證明弦所對的弧相等證明弦所對的弧相等 證明弦的弦心距相等證明弦的弦心距相等 6理解圓周角的概念，掌握圓周角定理及其推理解圓周角的概念，掌握圓周角定理及其推論，并能熟練地運用它們進行論證和計算論，并能熟練地運用它們進行論證和計算（1）定理：同一條弧所對的圓周角等于它所）定理：同一條弧所對的圓周角等于它所對的對的 圓圓

10、心心 角的一半角的一半表示法：表示法：A= ， 如圖如圖BOC21 定理的證明運用了數學的分情況討論的思想OCABOABCAOBC.（2）推論）推論推論推論1：同弧或等弧所對的圓周角相等，：同弧或等弧所對的圓周角相等，同圓或等圓中同圓或等圓中，相等的圓周角所對的弧相等，相等的圓周角所對的弧相等推論推論2：半圓或直徑所對的：半圓或直徑所對的圓周角圓周角是直角；是直角； 90度的度的圓周角圓周角所對的弦是直徑（所對的弧是半圓）所對的弦是直徑（所對的弧是半圓）表示法：表示法： AB是是 O的直徑的直徑 AC BC或或 AB是是 O的直徑的直徑090C推論推論3：如果三角形一邊上的中線等于這邊的一半，

11、：如果三角形一邊上的中線等于這邊的一半，那么這個三角形是直角三角形那么這個三角形是直角三角形表示法：表示法： 是直角三角形是直角三角形CDBDADABCABCO.ABCD7 理解圓的內接四邊形的概念和性質，并且會在推理解圓的內接四邊形的概念和性質，并且會在推 理論證中應用理論證中應用（1）定理：圓的內接四邊形對角互補，并且任何一）定理：圓的內接四邊形對角互補，并且任何一 個外角都等于它的內對角個外角都等于它的內對角表示法：如圖表示法：如圖ADCEBCDADB00180180(2)圓內接四邊形圓內接四邊形ABCD中中A:B:C:D=m:n:p:q 則則m+p=n+q(3) 圓內接平行四邊形是矩形

12、圓內接平行四邊形是矩形 圓內接梯形是等腰梯形圓內接梯形是等腰梯形 圓內接菱形是正方形圓內接菱形是正方形DCABE10課本例題得出的規律：課本例題得出的規律：（1）過相交兩圓的交點的直線與兩圓分別有兩個交點一）過相交兩圓的交點的直線與兩圓分別有兩個交點一個圓上兩個交點的連線與另一個圓上兩個交點的連線平行個圓上兩個交點的連線與另一個圓上兩個交點的連線平行（2）三角形兩邊的乘積等于第三邊上的高與三角形）三角形兩邊的乘積等于第三邊上的高與三角形外接圓直徑的乘積外接圓直徑的乘積ABCEFD.EACOBD單元例題解析單元例題解析 例例1 一圓弧拱橋的跨度為一圓弧拱橋的跨度為8米，拱高為米，拱高為2米，米，

13、 求此拱橋的半徑求此拱橋的半徑.由垂徑定理得由垂徑定理得AD=BD= ,AC=BC.又又CD=2米米, 421AB在在RtAOD中中 222ODADOA, 222)2(4OAOA即即 解得：解得： OA=5（米）（米）答答: : 拱橋的半徑為拱橋的半徑為5 5米米. .OABCD解解: :設設ABAB表示橋拱表示橋拱, ,弧弧ABAB的圓心為的圓心為O,O,過過O O作弦作弦ABAB的垂線的垂線OD,DOD,D為垂足為垂足, ,且與且與ABAB交于交于C.C.連結連結OAOA例例2 2 如圖如圖, ,以以ABAB為直徑作半圓為直徑作半圓,CD,CD是任一弦是任一弦, ,由由A ,BA ,B向向

14、CDCD所所在直線作垂線在直線作垂線, ,垂足為垂足為E,F,BFE,F,BF交半圓于交半圓于G.G.求證求證: :EC=FD,AC=DG.EC=FD,AC=DG.ABFECDOGM證明證明 連結連結AGAG作作OMEF,MOMEF,M為垂足為垂足. . 則則CM=DM.CM=DM.OMOM，又，又，即即是的直徑，是的直徑，又又 例例3中，中，C=90 度，度，AC=8,BC=15,以為以為圓心，為半徑的圓心，為半徑的 交于交于求的長求的長.CABDM解解: :方法一：方法一： 作作，為垂足，則，為垂足，則 在 在 中 ， 中 ， 90，178152222BCACAB，ABAMAC2 .176

15、42ABAC1712817642 AD例如圖，四邊形內接于例如圖，四邊形內接于 ，過作，過作 交的延長線于交的延長線于 求證：求證：CDBCADBE 分析分析ADBCCDBE DCADCADCADCADBADBA DBADBAAEBCD圓內接四邊圓內接四邊形形ABCD證明略證明略1、如圖，O的半徑OA=1，弦AB、AC長分別是 、 ，求BAC的度數。分析：過O點作OD AB，OE AC。答案： BAC=75EOCFBA 232、如圖，O是ABC的外接圓，AD BC于D，AE是直徑，求證： BAE= CAD。分析： 證法一：連結BE。 EDCAB證法二：連結CE。證法三：延長AD到F，連結EF。 F3、如圖，AB是O的直徑，弦CD垂直AB于E，F是弧AC上的任一點，AF與DC的延長線交于點P， 求證：FA FP=FC FD。PFEDACB分析：欲證FA FP=FC FD只證FA：FC=FD：FP FAD FCP1、過圓O內的點P的最長弦與最短弦分別為10cm、8cm，則OP長為 cm。2、圓內接四邊形ABC