1、金融數學（引論）金融數學（引論）主講人：那日薩2009年10月利息理論應用第七章-2第七章第七章 利率風險分析利率風險分析問題的提出：問題的提出：前面討論的基本假設：前面討論的基本假設： 利率水平固定利率水平固定在現實的金融市場中：在現實的金融市場中： 利率是隨時間變化的利率是隨時間變化的相應的研究：相應的研究：研究利率本身的變化規律研究利率本身的變化規律研究受利率影響的金融產品和市場的變化規律研究受利率影響的金融產品和市場的變化規律利息理論應用第七章-37.1 一般分析一般分析各個國家在不同時期的利率水平變化很大：各個國家在不同時期的利率水平變化很大：在在 1945 年美國的政府債券的平均收

2、益率僅為年美國的政府債券的平均收益率僅為0.33%， 而到了而到了1981 年同樣的債券的同期收益率為年同樣的債券的同期收益率為14.7% 。即使在。即使在1980 年年8 月份的優惠利率（月份的優惠利率（prime rate ，指大商業銀行對一些資信良好的大企業短期，指大商業銀行對一些資信良好的大企業短期貸款的利率，也是商業銀行貸款的最低利率）亦有貸款的利率，也是商業銀行貸款的最低利率）亦有11%，到，到12 月份為月份為21.5%。中國自中國自 1980 年至年至2000 年的二十年間利率在水平和結構上都有很大的變化。年的二十年間利率在水平和結構上都有很大的變化。利息理論應用第七章-419

3、80-2000 年中國的儲蓄利率變化情況年中國的儲蓄利率變化情況利息理論應用第七章-5利息理論應用第七章-6用基本的經濟學原理分析：用基本的經濟學原理分析：利率水平從某種意義上講是一種價格，利率水平從某種意義上講是一種價格， 應該由供應該由供求平衡來決定它的值：求平衡來決定它的值：如果借款的需求很大，利率將上升如果借款的需求很大，利率將上升如果借款的需求較小，利率將下降如果借款的需求較小，利率將下降影響利率水平的一些因素：影響利率水平的一些因素：1) 內在內在“純利率純利率”許多經濟學者和金融理論家都認為存在一個內許多經濟學者和金融理論家都認為存在一個內在的純利率，它與長期的經濟發展水平有關在

4、的純利率，它與長期的經濟發展水平有關利息理論應用第七章-7如果不考慮通貨膨脹因素，這個利率將代表無風險投資的收益率。如果不考慮通貨膨脹因素，這個利率將代表無風險投資的收益率。實證研究表明：實證研究表明： 這種利率會穩定很長時間。例如：美國這種利率會穩定很長時間。例如：美國20 世紀的幾十年間世紀的幾十年間這個利率一直介于這個利率一直介于2%和和3%之間。之間。2） 通貨膨脹率（見下面的討論）通貨膨脹率（見下面的討論）3）風險和不確定性（見下面的討論）風險和不確定性（見下面的討論）4） 投資期限（短期與長期的區別）投資期限（短期與長期的區別）5） 信息量（市場的信息量（市場的“無效無效”）利息理

5、論應用第七章-86） 法律的約束法律的約束有時政府會對利率水平作一些限制有時政府會對利率水平作一些限制 ，在美國近幾年有放松管制的趨勢所以這種因，在美國近幾年有放松管制的趨勢所以這種因素的影響較過去已降低許多。但是，某些利率仍然受到法規的限制。素的影響較過去已降低許多。但是，某些利率仍然受到法規的限制。7） 政府的政策政府的政策美國聯邦政府通過實施貨幣政策和財政政策對總美國聯邦政府通過實施貨幣政策和財政政策對總體的利率水平產生影響，甚至是控制。體的利率水平產生影響，甚至是控制。基本的控制手段是：基本的控制手段是： 美聯儲對貨幣供應量的調整。美聯儲對貨幣供應量的調整。同時，政府的赤字或盈余也對信

6、貸市場的需求產生重要影響。同時，政府的赤字或盈余也對信貸市場的需求產生重要影響。8） 隨機波動隨機波動利息理論應用第七章-9在實際業務中常用的表示利率變動的術語：在實際業務中常用的表示利率變動的術語：1） 基點（基點（basis point）計算利率變動的計量單位，計算利率變動的計量單位， 一百個基點表示一百個基點表示1%例：例： 利率從利率從9%上漲到上漲到9.25% ，則稱利率上漲了，則稱利率上漲了25個基點。個基點。2） 利差（利差（spread）用于比較兩種利率的差用于比較兩種利率的差 ，在投資問題中常以國債的收益率做為比較的基礎，在投資問題中常以國債的收益率做為比較的基礎例：例： 如

7、果一年期國債的收益利率為如果一年期國債的收益利率為8.25% ，另外有一種金融產品的收益利率，另外有一種金融產品的收益利率為為9.50% ，則稱，則稱“對一年期國債的利差為對一年期國債的利差為125 個基點個基點”。利息理論應用第七章-10通貨膨脹與利率通貨膨脹與利率通貨膨脹率表示購買能力因時間的推移而造成的損失通貨膨脹率表示購買能力因時間的推移而造成的損失金融市場的公布利率與通貨膨脹率通常是正相關的金融市場的公布利率與通貨膨脹率通常是正相關的貸款人至少要通過利率以補償其在資本購買力上的損失貸款人至少要通過利率以補償其在資本購買力上的損失市場中的現行利率被稱為市場中的現行利率被稱為名義利率名義

8、利率（ nominalrate of interest），）， 用用i 表示。表示。市場中的現行利率扣除了通貨膨脹率后的部分為市場中的現行利率扣除了通貨膨脹率后的部分為實際利率實際利率（real rate of interest），）， 用用i表示表示利息理論應用第七章-11如果如果r 表示同期的通貨膨脹率，則有以下關系表示同期的通貨膨脹率，則有以下關系)1)(1 (1riiririirii從而有從而有即：即： 名義利率等于實際利率與通貨膨脹率及兩者的乘積之和。名義利率等于實際利率與通貨膨脹率及兩者的乘積之和。因為一般情況下利率均為較小的數值，因為一般情況下利率均為較小的數值， 所以可將乘積項

9、所以可將乘積項ir 省略，進而得省略，進而得到常見的結論：名義利率為實際利率與通貨膨脹率之和到常見的結論：名義利率為實際利率與通貨膨脹率之和利息理論應用第七章-12結論：結論：當在一定的時期內實際利率的水平變化不大當在一定的時期內實際利率的水平變化不大時，市場上的名義利率的變化與通貨膨脹率的變化時，市場上的名義利率的變化與通貨膨脹率的變化是同步的。是同步的。另外另外 ，可以通過名義利率反解出實際利率，可以通過名義利率反解出實際利率i rriirii1111或F注：注： 固定利率債券的通貨膨脹風險也稱為購買力風險，比如投資者購買了一種息票利率固定利率債券的通貨膨脹風險也稱為購買力風險，比如投資者

10、購買了一種息票利率為為7%的債券，而通貨膨脹率為的債券，而通貨膨脹率為8% ，則現金流的購買力實際上已經下降了。浮動利率債券的，則現金流的購買力實際上已經下降了。浮動利率債券的通貨膨脹風險較低。通貨膨脹風險較低。利息理論應用第七章-13考慮通貨膨脹情況下的利息計算：考慮通貨膨脹情況下的利息計算：1） 現值的計算現值的計算考慮考慮n期期末年金的現值，年金的金額隨著通期期末年金的現值，年金的金額隨著通貨膨脹率同步遞增，即：貨膨脹率同步遞增，即：首次付款用首次付款用 R (1+ r)表示，以后每次付款為上表示，以后每次付款為上一期的一期的(1+ r)倍倍注：注： 在在0 時刻的現金量應為時刻的現金量

11、應為R以名義利率以名義利率 i 計算的現值公式為計算的現值公式為)1 ()1 ()1(22nnvrvrvrR利息理論應用第七章-14如果用如果用i 表示上式則應有表示上式則應有2） 終值的計算終值的計算例例： 某投資者以利率某投資者以利率i 投資投資A 元，元，n 期期,則到期時的收益為則到期時的收益為riirrRn)11(1)1 (12|(1)(1)(1)nn iRiiiRaniA)1 ( 利息理論應用第七章-15如果考慮通貨膨脹因素，這筆投資在到期時的實際收益為如果考慮通貨膨脹因素，這筆投資在到期時的實際收益為(1)(1)(1)nnniAAir因此，因此， 必須區別名義投資收益和實際投資收

12、益。必須區別名義投資收益和實際投資收益。例：例： 某保險公司在人身意外傷害保險的賠付條款中采用了年金賠付方式：首某保險公司在人身意外傷害保險的賠付條款中采用了年金賠付方式：首次賠付次賠付24,000 元，余額按元，余額按10年期末年金方式賠付，從第一次年金賠付開始賠年期末年金方式賠付，從第一次年金賠付開始賠付金額按照零售物價指數付金額按照零售物價指數5%逐年遞增，同期市場年利率逐年遞增，同期市場年利率8%， 計算：年金賠計算：年金賠付責任的現值。付責任的現值。利息理論應用第七章-16解解：已知：已知 i =0.08 r =0.05從而有實際利率從而有實際利率i = (0.08- 0.05)/(

13、1+0.05) = 0.028571從而年金賠付的現值應為從而年金賠付的現值應為1010|.0285711.051 ()1.0824,000(1.05).08.0524,000206,226.00a所以該保單的合計賠付金額（現值）應為所以該保單的合計賠付金額（現值）應為24,000+206,226.00 = 230,226.00利息理論應用第七章-17風險、不確定性與利率風險、不確定性與利率問題的提出：問題的提出：在前面的所有討論中，都假定未來的現金流的金額和時間是確定的。在前面的所有討論中，都假定未來的現金流的金額和時間是確定的。但是在現實情況中，通常存在發生時間和數量不確定的現金流但是在現

14、實情況中，通常存在發生時間和數量不確定的現金流例如：例如： 簡單的標準借貸業務，也存在以下這些風險：不能按期支付提前支付簡單的標準借貸業務，也存在以下這些風險：不能按期支付提前支付或是對抵押貸款的再融資風險、再投資利率變化的風險和早贖的風險等。或是對抵押貸款的再融資風險、再投資利率變化的風險和早贖的風險等。利息理論應用第七章-18兩種影響投資的市場價值的主要風險：兩種影響投資的市場價值的主要風險：市場風險市場風險，金融市場的變化表現為不同的到期收益率引起現金流價值的變，金融市場的變化表現為不同的到期收益率引起現金流價值的變化化信用風險信用風險 （credit risk ），金融產品本身的風），

15、金融產品本身的風險行為險行為例如：例如： 考慮考慮A 和和B 兩種溢價債券，有相同的息票收入、兌現值和到期日。兩種溢價債券，有相同的息票收入、兌現值和到期日。A 是由政府財政部發行是由政府財政部發行的國債；的國債；B 是一種高風險的企業債券。是一種高風險的企業債券。分析：分析：兩種債券的市場風險是相同的；兩種債券的市場風險是相同的；利息理論應用第七章-19但是，從產品本身的內在風險因素考慮，但是，從產品本身的內在風險因素考慮，B 的不確定性比的不確定性比A 大，從而大，從而B 在市在市場中的售價應低于場中的售價應低于A ，即，即B 的到期收益率應高于的到期收益率應高于A。F注：注： 如果在評估

16、有風險的債券的價值時，仍然用收益率作為評估的方法，如果在評估有風險的債券的價值時，仍然用收益率作為評估的方法，則這種收益率的計算將因為不確定性的存在比無風險情形的收益率計算復雜得則這種收益率的計算將因為不確定性的存在比無風險情形的收益率計算復雜得多。多。為了區別是否為有風險的債券，為了區別是否為有風險的債券， 在一般的市場中都會確定或假設存在一個在一般的市場中都會確定或假設存在一個無無風險收益率風險收益率（risk-freereturn rate default-free rate ），這個收益水平是），這個收益水平是指在任何情況下都確定的投融資水平。指在任何情況下都確定的投融資水平。利息理論

17、應用第七章-20例：例：市場的無風險投資的收益率為市場的無風險投資的收益率為8%現有一年期面值現有一年期面值 1000 元的債券年息率元的債券年息率8%， 到期按照面值兌現，現按面值出到期按照面值兌現，現按面值出售。售。另有一種債券，另有一種債券， 是一個處于成長期的企業發行的，面值是一個處于成長期的企業發行的，面值1000 元、年息率元、年息率8% ，到期兌現本金是有條件的：到期兌現本金是有條件的：如果企業運行良好，則按照面值兌現，否則只支付息票，不兌現本金。如果企業運行良好，則按照面值兌現，否則只支付息票，不兌現本金。已知后一種企業債券的市場售價為已知后一種企業債券的市場售價為 940 元

18、。元。試評估后一種債券的收益率。試評估后一種債券的收益率。F注：注： 這里這里60 元的差價是考慮后一種債券存在的違約風險后對購買者的風險元的差價是考慮后一種債券存在的違約風險后對購買者的風險補償。補償。利息理論應用第七章-21解：解：如果按以前的方法直接計算后一種債券的年收如果按以前的方法直接計算后一種債券的年收益率，則有益率，則有1)1 (1080940i由此可得由此可得i = 14.89%分析：分析： 14.89%表示一種風險投資的收益率，看上去比無風險債券的收益率高表示一種風險投資的收益率，看上去比無風險債券的收益率高出出6.89%。 但是，這種但是，這種“高收益高收益”是不確定的。是

19、不確定的。風險報酬風險報酬 / 風險溢價風險溢價 （risk premium）實際收益率與無風險收益率的差實際收益率與無風險收益率的差利息理論應用第七章-22分析：分析：例中的例中的6.89%為風險報酬。一般的，投資風險越大則風險報酬越高。為風險報酬。一般的，投資風險越大則風險報酬越高。思考思考 ：投資該種債券真的有如此高的收益率嗎？投資者是否都只投資該風險債券而投資該種債券真的有如此高的收益率嗎？投資者是否都只投資該風險債券而不投資收益率較低的無風險債券？不投資收益率較低的無風險債券？分析：分析：并不是這樣的，因為上述并不是這樣的，因為上述14.89%的收益率只的收益率只是代表不違約情況下的

20、最高收益率！是代表不違約情況下的最高收益率！如果發生全額（本金和息票）違約，則投資者的收益率為如果發生全額（本金和息票）違約，則投資者的收益率為-100%（940 元的投資元的投資全部損失）；全部損失）；如果發生部分違約（本金或息票），收益率將介于如果發生部分違約（本金或息票），收益率將介于利息理論應用第七章-23-100%與與14.89%之間；之間；即使不違約，但企業運營不好的時候，收益率也只有即使不違約，但企業運營不好的時候，收益率也只有由此可得由此可得i= -91.49%結論：結論： 可以認為可以認為940 元的買價即包括了預期收益率的成分，也包括了對未來違元的買價即包括了預期收益率的成

21、分，也包括了對未來違約風險的估計，即：約風險的估計，即：買價是對未來收益現值的預期結果買價是對未來收益現值的預期結果1)1 (80940i利息理論應用第七章-24用概率論的語言對問題的描述用概率論的語言對問題的描述設未來收益的現值用隨機變量設未來收益的現值用隨機變量 X 表示，并且假設表示，并且假設X僅有兩種可能的取值：僅有兩種可能的取值：（不發生違約），概率為（不發生違約），概率為p0 （全部違約），概率為（全部違約），概率為1- p從而從而 X 的數學期望為的數學期望為假設債券的買價為未來收益現值的數學期望，則有假設債券的買價為未來收益現值的數學期望，則有1)08. 1 (10801)08

22、. 1)(1080(p1)08. 1)(1080(940 p利息理論應用第七章-25由此可得概率由此可得概率p= 0.94。F注：注： 沒有任何收益的風險概率為沒有任何收益的風險概率為6%！在風險概率在風險概率 6%下，該債券的期望收益率與市場下，該債券的期望收益率與市場上的無風險利率相等，即有上的無風險利率相等，即有14.89%0.94 + (-100%) 0.06 = 8%這表明，存在無風險利率這表明，存在無風險利率8%的投資條件下，投資于違約風險的投資條件下，投資于違約風險6%的投資是不的投資是不一定合算的一定合算的F注：注： 與投資者對風險的偏好有關與投資者對風險的偏好有關利息理論應用

23、第七章-26例：例：假設在上例中，該企業債券不存在違約的情形，試分析該企業因運營不好而假設在上例中，該企業債券不存在違約的情形，試分析該企業因運營不好而不償還本金的風險概率。不償還本金的風險概率。解：解： 設未來收益的現值用隨機變量設未來收益的現值用隨機變量X 表示表示,則可假設則可假設X 僅有兩種可能的取值：僅有兩種可能的取值：（償還本金），概率為（償還本金），概率為p （不償還本金），概率為（不償還本金），概率為1- p從而從而 X 的數學期望為的數學期望為假設債券的買價為未來收益現值的數學期望，則有假設債券的買價為未來收益現值的數學期望，則有1)08. 1 (108011)08. 1)(

24、80)(1 ()08. 1)(1080(pp11)08. 1)(80)(1 ()08. 1)(1080(940pp1)08. 1)(80(利息理論應用第七章-27能夠正常得到這些收益的概率（互相獨立）分別為：能夠正常得到這些收益的概率（互相獨立）分別為： 其中其中 表表示可以得到收益示可以得到收益 的的的取值僅為的取值僅為 或或0由此可得：由此可得：p = 0.9352從而該企業不償還本金的風險概率為從而該企業不償還本金的風險概率為1- p = 0.0648更一般情形的討論：更一般情形的討論：設設 在在 時時 刻刻 1, 2, , n 預計收益現金流為預計收益現金流為nRRR,21tRtRtX

25、nXXX,21nppp,21tp實際（隨機）現金流為實際（隨機）現金流為(不是現值不是現值),并且假設并且假設利息理論應用第七章-28Pr()1Pr(0),1,2,.,ttttPXRXtn 如果市場的無風險利率為如果市場的無風險利率為i ,則這組收益的現值的數學期望為則這組收益的現值的數學期望為1(1)ntttEPVRip對應的風險投資收益率為滿足下面方程的解對應的風險投資收益率為滿足下面方程的解 ip11(1)(1)nntttttpRipRiF注注: 顯然有顯然有ip i利息理論應用第七章-29結論結論:如果概率如果概率 pt=pt (t=1,2,n)，則有,11()()1nnttttp i

26、pEPVRR vi其中其中vp,i為經過某種修正后的新的貼現因子為經過某種修正后的新的貼現因子:,1(1)(1)p ipvvii結論結論:在概率在概率pt = pt (t =1,2,.,n)條件下條件下,對應的風險溢價為對應的風險溢價為1(1)pip利息理論應用第七章-30證明：證明：將將vp,j看作是貼現因子，則對應的新的收益率為看作是貼現因子，則對應的新的收益率為,11111pp iiipiivppp 從而可得風險溢價為從而可得風險溢價為11(1)pippiiiippp F注：在無風險利率水平固定時，風險溢價水平隨風險程度的下降注：在無風險利率水平固定時，風險溢價水平隨風險程度的下降（p上

27、升上升）而下降，直至為零。而下降，直至為零。利息理論應用第七章-31 給定風險溢價水平由上述公式可以反解出單給定風險溢價水平由上述公式可以反解出單位時間的風險不發生概率為位時間的風險不發生概率為1(1)ipi溢價例：例：已知兩年期無風險年實利率為已知兩年期無風險年實利率為2.40%1）現有如下兩年期的公司債券：第一年底息票收入不發生違約的概率為）現有如下兩年期的公司債券：第一年底息票收入不發生違約的概率為95%；無論第一年是否違約，第二年底息票與本金收入不發生違約的概率；無論第一年是否違約，第二年底息票與本金收入不發生違約的概率為為90.25%。計算該公司債券的風險溢價。計算該公司債券的風險溢

28、價。利息理論應用第七章-322）若已知上述產品的風險溢價為）若已知上述產品的風險溢價為8%，第一年底息票收入不發生違約的概率為，第一年底息票收入不發生違約的概率為p；無論第一年是否違約，第二年底息票與本金收入不發生違約的概率為無論第一年是否違約，第二年底息票與本金收入不發生違約的概率為p2 計算計算p。解：解：1）由風險溢價公式可得）由風險溢價公式可得1 95%(12.40%)5.39%95%風險溢價所以該公司債券的風險收益率為所以該公司債券的風險收益率為2.40% + 5.39% = 7.79%利息理論應用第七章-332）由風險不發生概率公式可得）由風險不發生概率公式可得212.4%92.7

29、5%8%(12.40%)86.03%pp即即 若該公司債券按照若該公司債券按照 10.40%的風險收益率出售，則意味著：的風險收益率出售，則意味著：第一年底息票收入不發生違約的概率第一年底息票收入不發生違約的概率92.75%第第 二二 年底年底 息息 票票 與與 本本 金金 收收 入入 不不 發發 生生 違違 約約 的的 概概 率率 為為86.03%。利息理論應用第七章-347.2 利率期限結構利率期限結構利率的期限結構利率的期限結構（term structure of interest rates）因投資期限的不同而造成的投資到期收益率的因投資期限的不同而造成的投資到期收益率的變化結構變化結

30、構研究背景：研究背景： 在金融市場中不同的投資期限對應不同的收益水平在金融市場中不同的投資期限對應不同的收益水平 在每個交易時期都會存在一組市場利率，表示不同投資期限對應的利率在每個交易時期都會存在一組市場利率，表示不同投資期限對應的利率 一般情況下，這些利率具有隨投資期限增加而逐漸上升的趨勢一般情況下，這些利率具有隨投資期限增加而逐漸上升的趨勢利息理論應用第七章-35 大多數債券市場發達的資本市場是以國債或信用大多數債券市場發達的資本市場是以國債或信用等級最高的債券的收益率作為市場無風險利率（或簡稱利率）的代表。等級最高的債券的收益率作為市場無風險利率（或簡稱利率）的代表。國內通常選用國債的

31、收益率來研究利率期限結構。國內通常選用國債的收益率來研究利率期限結構。F注注：下面以國內銀行的儲蓄利率數據來分析利率期限結構下面以國內銀行的儲蓄利率數據來分析利率期限結構1）在固定時點的利率模型）在固定時點的利率模型 表表 7.1 為中國人民銀行公布的定期儲蓄利率表。為中國人民銀行公布的定期儲蓄利率表。 在每次公布的利率表中，不同的存款期限有不同的年利率，即年利率水平與投在每次公布的利率表中，不同的存款期限有不同的年利率，即年利率水平與投資期限有關。資期限有關。利息理論應用第七章-36圖圖7.1利息理論應用第七章-372）利率的整體期限結構）利率的整體期限結構 不同時期公布的利率表在整體上具有

32、一種結構或趨勢，表不同時期公布的利率表在整體上具有一種結構或趨勢，表7.2為為1980-2000 年中國的儲蓄利率變化情況。年中國的儲蓄利率變化情況。利息理論應用第七章-38利息理論應用第七章-39利息理論應用第七章-40圖圖7.2 為各個年份的為各個年份的1 年期儲蓄的利率水平的變化趨勢年期儲蓄的利率水平的變化趨勢利息理論應用第七章-41 收益率曲線收益率曲線（yield curves）將利率用投資期限表示的曲線將利率用投資期限表示的曲線 在自由競爭的市場中也會出現短期利率超過長期利率的情形稱為在自由競爭的市場中也會出現短期利率超過長期利率的情形稱為“顛倒的利率顛倒的利率曲線曲線”（inve

33、rted）。如美）。如美國在八十年代初期的利率曲線就是顛倒的國在八十年代初期的利率曲線就是顛倒的 對這種現象的一種解釋是：短期利率過高通常歸于對這種現象的一種解釋是：短期利率過高通常歸于政府緊縮的貨幣政策或通貨膨脹率較高，而長期利率政府緊縮的貨幣政策或通貨膨脹率較高，而長期利率則更側重對正常收益的期望。則更側重對正常收益的期望。 另 一 種 常 見 的 模 式 是另 一 種 常 見 的 模 式 是 “ 無 息 利 率 曲 線無 息 利 率 曲 線 ” （ f l a t y i e l dc u r v e ） ， 從 圖 形 上 看 是 一 條 與 時 間 軸 平 行 的 直 線 ， 表）

34、， 從 圖 形 上 看 是 一 條 與 時 間 軸 平 行 的 直 線 ， 表明 在 這 段 時 間 內 投 資 者 不 希 望 投 資 市 場 或 通 貨 膨 脹 率明 在 這 段 時 間 內 投 資 者 不 希 望 投 資 市 場 或 通 貨 膨 脹 率在今后一段時間內出現戲劇性的變化。在今后一段時間內出現戲劇性的變化。利息理論應用第七章-42利息理論應用第七章-43利息理論應用第七章-44中國債券收益率曲線中國債券收益率曲線(2003-11-21)NoImage利息理論應用第七章-45利息理論應用第七章-461989 1993 China Term Structure利息理論應用第七章-

35、471996 1999 China Term Structure利息理論應用第七章-483）短期利率、即期利率與遠期利率）短期利率、即期利率與遠期利率短期利率短期利率(short rate)1 年以下給定期限的利率年以下給定期限的利率 即期利率即期利率(spot rate)在當前時刻的（利率表）收益曲線上給出的利率，只在當前時刻的（利率表）收益曲線上給出的利率，只用一個時間坐標表示用一個時間坐標表示 遠 期 利 率遠 期 利 率 ( f o r w a r d r a t e ) 現 在 時 刻 對 未 來 某 個現 在 時 刻 對 未 來 某 個時刻的某期限的短期利率的預測，用兩個時間坐標表

36、時刻的某期限的短期利率的預測，用兩個時間坐標表示（利率的觀測時刻和利率對應的投資期限）示（利率的觀測時刻和利率對應的投資期限）注注：利率期限結構可以指即期利率在投資期限上的利率期限結構可以指即期利率在投資期限上的結構，如圖結構，如圖7.1 中的曲線；也可以指遠期利率的結構，中的曲線；也可以指遠期利率的結構，如表如表7.3 給出的不同時間的遠期利率水平。給出的不同時間的遠期利率水平。利息理論應用第七章-49表表7.3 1998-1999 銀行儲蓄年實利率和（預期）遠期利率表銀行儲蓄年實利率和（預期）遠期利率表利息理論應用第七章-50遠期利率的計算遠期利率的計算 設設it表示期限為表示期限為t 的

37、即期利率，的即期利率，fs表示今后時刻表示今后時刻s期期限為限為1 年的遠期利率，則有如下的關系式：年的遠期利率，則有如下的關系式：1(1)(1)tttssifF注注： ft是由一組即期利率是由一組即期利率it 構造的，由（債券）市場上公布的即期收益率可以構造的，由（債券）市場上公布的即期收益率可以導出這種遠期收益率。導出這種遠期收益率。F注注： 遠期利率是對未來短期利率的預測遠期利率是對未來短期利率的預測利息理論應用第七章-51F注：以注：以 1999-6-10 為例，計算過程如下：為例，計算過程如下：f1 = 2.25% f2 = (1+ 2.40%)2 /(1+ 2.25%) -1 =

38、2.55% f3= (1+ 2.63%)3 /(1+ 2.25%)(1+ 2.55%) -1 = 3.00%假設假設 f4 = f5 ，則有則有f5=(1+2.73%)5/(1+2.25%)(1+2.55%)(1+3.00%)1/2-1 =2.93%利息理論應用第七章-52考慮利率期限結構下投資收益的計算考慮利率期限結構下投資收益的計算例如，例如，以貼現現金流方法計算內部收益率（以貼現現金流方法計算內部收益率（IRR），如果用即期利率進行計算，），如果用即期利率進行計算，則凈現值公式為：則凈現值公式為：1NPV=(1)ntttRi其中其中it表示期限為表示期限為t 的即期利率。的即期利率。F注

39、：注：大多數情況下，用這種變化利率分析的結果要優于用一個固定利率分大多數情況下，用這種變化利率分析的結果要優于用一個固定利率分析的結果。析的結果。利息理論應用第七章-53示范利率示范利率投資期限投資期限即期年利率即期年利率17.00%28.00%38.75%49.25%59.50%例：例：兩種兩種5 年期的債券年期的債券A 和和B，其中，其中A 的年息率為的年息率為5%；B 的年息率為的年息率為10%。 分析分析 A 和和B 兩種債券的定價。兩種債券的定價。利息理論應用第七章-54解：解：若設債券的面值為若設債券的面值為1個貨幣單位個貨幣單位1）如果用相同的年收益率）如果用相同的年收益率7%定

40、價，則有定價，則有0.070.071 (0.05 0.07)0.9179965|1 (0.100.07)1.1230065|ABPaPa 2） 如果用即期利率進行定價，則有如果用即期利率進行定價，則有PA=0.05(1.07)-1+(1.08)-2+(1.0875)-3 +(1.0925)-4+(1.095)-5+(1.095)-5 =0.830559利息理論應用第七章-55PB=0.1(1.07)-1+(1.08)-2+(1.0875)-3 +(1.0925)-4+(1.095)-5+(1.095)-5 =1.025891結論：結論：定價定價2）比定價）比定價1）更合理。）更合理。例：例：某

41、企業需要一筆大額借款，期限兩年。該企業有某企業需要一筆大額借款，期限兩年。該企業有兩種選擇：兩種選擇：1）以當前的兩年期貸款利率）以當前的兩年期貸款利率8%借款兩年；借款兩年；2）先借款一年，利率）先借款一年，利率7%，一年后再以當時的一，一年后再以當時的一年即期利率借款一年。年即期利率借款一年。 分析在什么情況選擇第一種方式在什么情況下選分析在什么情況選擇第一種方式在什么情況下選擇第二種方式。擇第二種方式。利息理論應用第七章-56解：解：如果用如果用f 表示第二年的一年期遠期利率，則有表示第二年的一年期遠期利率，則有(1.08)2 = (1.07)(1+ f )由此可得：由此可得：f =9.

42、01% 所以，如果企業認為一年后的一年期即期利率將超所以，如果企業認為一年后的一年期即期利率將超過過9.01%的話則選擇第一種方式；的話則選擇第一種方式；不然則選擇第二種方式。不然則選擇第二種方式。F注：遠期利率注：遠期利率 9.01%是對未來短期利率的預期是對未來短期利率的預期。F注：注： 在遠期利率的描述上，必須指明遞延的時間和利率的期限。例如：今后在遠期利率的描述上，必須指明遞延的時間和利率的期限。例如：今后第第3 年到第年到第8 年間的遠期利率表示遞延年間的遠期利率表示遞延3 年的年的5 年遠期利率。年遠期利率。利息理論應用第七章-57例：例：利用示范利率表中的即期利率計算每年底利用示

43、范利率表中的即期利率計算每年底 1000元，共計元，共計5 年的年金的現值。其等價的年收益率為多年的年金的現值。其等價的年收益率為多少？少？解：解：該年金的現值為該年金的現值為1000(1.07)-1+(1.08)-2+(1.0875)-3+(1.0925)-4+(1.095)-5=3906.63等價收益率滿足等價收益率滿足3.906635|ia由此可得由此可得 i=8.83%利息理論應用第七章-58期限結構的理論與模型簡介期限結構的理論與模型簡介理性預期理論理性預期理論 （expectations theory）1896 年首次提出。其最早提出者可追溯到年首次提出。其最早提出者可追溯到費雪費

44、雪(Fisher，1896) 。 長期債券的平均年收益率長期債券的平均年收益率（y） 是預期短期利率（遠是預期短期利率（遠期利率）期利率）（ft） 的幾何平均，即的幾何平均，即121(1)(1)(1)(1)(1)nnntyffff從而有從而有1(1)-1nnttyf利息理論應用第七章-59如果用如果用Sn表示表示（S0=1)表示表示n期單位零息票債券的到期總期單位零息票債券的到期總收益，則遠期利率可以表示為收益，則遠期利率可以表示為1,1,2,.,1tttsftns例：例：假設在上例中，后三年的遠期利率都比上例中的假設在上例中，后三年的遠期利率都比上例中的遠期利率水平高遠期利率水平高 1%，計

45、算年金在，計算年金在 0 時刻的現值及等時刻的現值及等價收益率，并與上例的結果進行比較。價收益率，并與上例的結果進行比較。解：解：首先計算上例中在后三年的遠期利率水平以及提首先計算上例中在后三年的遠期利率水平以及提高后的遠期利率水平。高后的遠期利率水平。利息理論應用第七章-60第三年：第三年：332(1 8.75%)110.26%(1 8.00%)f 從而提高后應為從而提高后應為 11.26%第四年：第四年：443(1 9.25)110.76%(1 8.75)f 從而提高后應為從而提高后應為 11.76%利息理論應用第七章-61第五年：第五年：554(1 9.5%)110.51%(1 9.25

46、%)f 233= (1 8.00%) (10.1126)19.08%i 從而提高后應為從而提高后應為 11.51%計算后三年新的即期利率：計算后三年新的即期利率：三年期提高后為三年期提高后為四年期提高后為四年期提高后為44(1 8.75%)3(1 0.1176)19.50%i 利息理論應用第七章-62五年期提高后為五年期提高后為455(1 9.25%) (1 0.1151)19.70%i 從而年金的現值從而年金的現值1000(1.07)-1+(1.08)-2+(1.0908)-3+(1.095)-4+(1.097)-5=3887.66等價收益率滿足：等價收益率滿足：3.887665|ia由此得

47、到由此得到i =9.02%利息理論應用第七章-63流動性偏好理論流動性偏好理論(liquidity preference theory) J.R.Hicks(1939)和和 J.M.Culbertson(1957)對純預期對純預期理論進行了修正，提出了流動性偏好假設。理論進行了修正，提出了流動性偏好假設。長期利率是對預期短期利率與流動性償之和長期利率是對預期短期利率與流動性償之和 流動性補償流動性補償大多數投資者偏好持有短期債券，大多數投資者偏好持有短期債券，為了吸引投資者持有期限較長的債券，必須給他們一為了吸引投資者持有期限較長的債券，必須給他們一定的補償。定的補償。 現實生活中，個人和企業

48、都更偏好于短期投資，以現實生活中，個人和企業都更偏好于短期投資，以便能盡快收回他們的資金，保持資金的便能盡快收回他們的資金，保持資金的“流動性流動性”。因此，長期投資應該以較高的。因此，長期投資應該以較高的利率吸引投資者。利率吸引投資者。利息理論應用第七章-64 通通 貨貨 膨膨 脹脹 風風 險險 報報 酬酬 理理 論論 (inflation premiumtheory) 投資者對未來的通脹情況的不確定性有所擔憂投資者對未來的通脹情況的不確定性有所擔憂因此，需要提高利率來彌補這種風險。因此，需要提高利率來彌補這種風險。利息理論應用第七章-65利率風險的度量利率風險的度量問題的提出：問題的提出：

49、 由于利率期限結構的作用，未來現金流的時間由于利率期限結構的作用，未來現金流的時間性在利率敏感分析中起著重要的作用；性在利率敏感分析中起著重要的作用；現金流發生的時間越遠，對利率變化越敏感；現金流發生的時間越遠，對利率變化越敏感； 如果是一組現金流，就需要用一個量表示這一如果是一組現金流，就需要用一個量表示這一組現金流的時間性質。組現金流的時間性質。F注注 ： 金 融 產 品金 融 產 品 時 效 性時 效 性 的 一 個 基 本 指 標 是 到 期 期 限的 一 個 基 本 指 標 是 到 期 期 限(term to maturity)， 但僅憑此不能完全區別不同金融但僅憑此不能完全區別不同

50、金融產品的時間性產品的時間性利息理論應用第七章-66等時間法（等時間法（method of equated time） 基本思想：將現金流的發生時刻以流量為權數進行基本思想：將現金流的發生時刻以流量為權數進行加權平均，得到一個等價時間加權平均，得到一個等價時間 設設R1, R2, Rn為時刻為時刻1，2,n的一組同方向的現金流，則的一組同方向的現金流，則11nttntttRtR利息理論應用第七章-67例：例：對前面考慮的兩種對前面考慮的兩種5 年期債券：年期債券：A：年息率為：年息率為5%B：年息率為：年息率為10%求等價時間。求等價時間。解：解：債券債券 A 年息率年息率5%，所以，所以51

51、55 1004.605 5 100tAtt 利息理論應用第七章-68債券債券B 年息率年息率10%，所以，所以51105 1004.335 10 100tBtt 即：即：債券債券 A 的平均回收期為的平均回收期為4.6 年年;債券債券 B 的平均回收期為的平均回收期為4.3 年。年。F注注： 無論什么收益率環境，無論什么收益率環境，5%息率的債券比息率的債券比10%息率的債券的平均回收期都息率的債券的平均回收期都要長。要長。利息理論應用第七章-69期度期度 / 期限期限 / 久期久期 （duration）Macaulay 期度，記作期度，記作:d111( ),(1)ntttnttttRvd i

52、viRvF注注： 實際上是將現金流的發生時刻以流量的現值為權數進行加權平均得實際上是將現金流的發生時刻以流量的現值為權數進行加權平均得到一個等價時間到一個等價時間( )d i結論：結論：等價時間、等價時間、 越小則對利率風險越不敏感。越小則對利率風險越不敏感。( )d i利息理論應用第七章-70結論：結論：1） 若若i =0 則有則有 退化為等價時間退化為等價時間( ),( )d it d i2） 一般有一般有0( )d in 上式等號成立當且僅當現金流只有一次發生，即上式等號成立當且僅當現金流只有一次發生，即Rk = 0, 0k 0 注 在現實問題中，負債的情況在很大程度上是由企業的外部環境

53、決定的，因此免疫技術從定義上雖然是對資產和負債兩方面的調整，而實際的操作目標是調整資產的結構。 )()(iPiPc c利息理論應用第七章-100免疫技術的基本原則 適當調整資產結構，使得：1）資產收益現金流的凈現值不小于負債流出現金流的凈現值；2）資產的修正投資期限（期度）與負債的修正投資期限（期度）相等；3）在資產收益現金流的凈現值等于負債流出現金流的凈現值的條件下，資產的凸值應該大于負債的凸值。 利息理論應用第七章-101例：甲承諾在一年后付給乙1100元。 甲現在以1000元進行投資選擇：短期資金市場的隔日變動的當前利率為10%，另有10%收益率的兩年期無息票債券。 基于免疫技術給出一種

54、較優的投資策略。假定所有計算的年利率為10% 。 注 如果恰好有10%收益率的一年期無息票債券可供投資，則甲應選擇全部投資該一年期債券。在沒有正好的投資項目時，需要考慮組合投資，需要考慮免疫的問題。 利息理論應用第七章-102解：設解：設X 表示投資短期資金市場的金額，表示投資短期資金市場的金額，Y 表示投資表示投資債券的金額則有債券的金額則有213243( )1.21(1)1100 (1)( )2.42(1)1100 (1)( )7.26(1)2200 (1)P iXYiiP iYiiP iYii 設設 X 和和Y 滿足滿足2132(10%)1.21(1 10%)1100 (1 10%)0(

55、10%)2.42(1 10%)1100 (1 10%)0PXYPY利息理論應用第七章-103解方程可得：解方程可得：X =Y =50043(10%)7.26 500 (1 10%)2200 (1 10%)826.450P可以驗證：當利率有小的變化時，凈現值將保持大于可以驗證：當利率有小的變化時，凈現值將保持大于零零(11%)0.04060(9%)0.04210PP下面計算與該投資策略相關的修正投資期限和凸值：下面計算與該投資策略相關的修正投資期限和凸值：（i=10%）利息理論應用第七章-104關于修正投資期限，可以利用資產部分的表達式得：關于修正投資期限，可以利用資產部分的表達式得：23( )

56、1.21(1)1000( )2.42(1)909.09( )0.90909( )P iXYiP iYiP ivP i 也可以分別對短期資金市場和債券計算：也可以分別對短期資金市場和債券計算：20;1.1vv加權平均后，有：加權平均后，有：11200.90909221.1v 利息理論應用第七章-105關于凸值，有：關于凸值，有：4( )7.26(1)2479.34P iYi從而從而( )2479.342.47934( )1000P icP i例：例：30 年期住房抵押貸款，月換算名利率年期住房抵押貸款，月換算名利率10.2%，按，按月償還。計算：月償還。計算：1）還貸現金流的修正投資期限；）還貸

57、現金流的修正投資期限；2）還貸現金流的凸值。）還貸現金流的凸值。利息理論應用第七章-106解：解：1）月實際利率為）月實際利率為 ，0.1020.008512 將還款金額單位化將還款金額單位化后可得現金流的修正投資期限為后可得現金流的修正投資期限為()|99.85|iIanvani其中其中 n=360, i =0.0085 所以，修正的投資期限近似為所以，修正的投資期限近似為100 個月，而實際還個月，而實際還款期為款期為360 個月。個月。利息理論應用第七章-1072）計算二階導數：）計算二階導數：2221122221( )(1)(1)()1322321(1)nnttttntntP it t

58、ivtt vnt vvniiiii 由此可得由此可得22|1|() ( )( )ntntnvt vIaP icP ia21,940,079 11,283.8017,121(1.0085) (112.0591)利息理論應用第七章-108資產負債匹配資產負債匹配(matching of assets and liabilities)兩種資產負債匹配方法：兩種資產負債匹配方法：1）絕對匹配絕對匹配(absolute matching) 基本思想：構造一種資產組合使其收入的現金流在基本思想：構造一種資產組合使其收入的現金流在每個時期均與負債的現金流相匹配每個時期均與負債的現金流相匹配 例如：養老基金將

59、為退休人員以固定的方式和金額例如：養老基金將為退休人員以固定的方式和金額發放退休金，為此，養老基金一般選擇等級較高的無發放退休金，為此，養老基金一般選擇等級較高的無早贖債券的投資組合，例如一系列零息票債券，使其早贖債券的投資組合，例如一系列零息票債券，使其收益現金流與養老金的發放完全匹配。收益現金流與養老金的發放完全匹配。利息理論應用第七章-109 這種投資常被稱為這種投資常被稱為“專門的債券組合專門的債券組合”（dedicatedbond portfolio）。）。 一旦達到了這種匹配，就不需要進一旦達到了這種匹配，就不需要進一步的分析和計算了。一步的分析和計算了。注：在現實情形中注：在現實

60、情形中 很難或根本無法做到這種匹配很難或根本無法做到這種匹配例：現有如下的資產負債數據：例：現有如下的資產負債數據：利息理論應用第七章-110可選的投資資產有：可選的投資資產有： 1 年期零息政府債券年期零息政府債券 2 年期息率年期息率5%的政府債券的政府債券 3 年期息率年期息率6%的政府債券的政府債券 5 年期息率年期息率10%的政府債券的政府債券從資產負債現金流匹配的角度決定需要進行的資產從資產負債現金流匹配的角度決定需要進行的資產交易。交易。注：假設政府債券每年兌現一次息票注：假設政府債券每年兌現一次息票解：為了達到現金流的匹配每項負債現金流都必須解：為了達到現金流的匹配每項負債現金