1、2.4連續型隨機變量連續型隨機變量 及其概率密度及其概率密度連續型隨機變量的概念連續型隨機變量的概念三種重要的連續型隨機三種重要的連續型隨機變量變量小結小結 引例引例 一個靶子是半徑為一個靶子是半徑為2米的圓盤，設擊中米的圓盤，設擊中靶上任一同心圓盤的概率與該圓盤的面積成正靶上任一同心圓盤的概率與該圓盤的面積成正比，射擊均能中靶，用比，射擊均能中靶，用X 表示彈著點與圓心的表示彈著點與圓心的距離。試求距離。試求X 的分布函數的分布函數.解：由題意有解：由題意有當當x 0時時, F(x) = P Xx = P( ) = 0.當當x 2時時, F(x) = P Xx = P( ) = 1.Xx 當

2、當0 x 2時時, 由題意知由題意知 P 0 Xx = k x2其中其中k為一常數為一常數. 另一方面另一方面 1 = P 0 X 2 = 4 k k = .F(x) = P Xx = P X0 + P 0 Xx = 241x分布函數為分布函數為: :單調不降單調不降有界連續函數有界連續函數20,0;( ),02;41,2.xxF xxx x1O2F(x)1考慮函數考慮函數 f ( x )= x/2 , 0 x 2;0, 其它其它f (x)的變上限積分為的變上限積分為0, x 13). 1,0;(),01;1,1xxaexFxbxaex 0lim()(0)xF xF 0limxxaeb ab

3、1lim()(1)xF xF 又1ba 12ab 故，(2)X的密度函數的密度函數( )( )f xFx 1212121,0;(),01;1,1xxexFxxex 又 120121,0;(),01;,1xxexfxxex (3)P(X13).131()( )3P Xf x dx (1)112xedx 12 11()1()33P XP X11( )3F11122或例例 設隨機變量設隨機變量X 的密度函數為的密度函數為02,1;()1,1;axfxxx 求求(1)常數常數a ;(2)P(-12X12).;(2)X的分布函數的分布函數解解 (1)由密度函數的性質由密度函數的性質1( )f x dx

4、1121adxx 102121adxx 102 arcsinax a 1a 11(2)()22PX121211()( )22PXf x dx 12122111dxx 12021121dxx 1202arcsin x 13 (3)()F X求()( )xF Xf t dt 021,1;()1,1;xfxxx 而-1x 當時()( )xF Xf t dt 0 xdt 0 1x當-1時()( )xF Xf t dt 12111xdtt 11arcsinxt 11arcsin2x (3)()F X求()( )xF Xf t dt 021,1;()1,1;xfxxx 而-1x 當時()( )xF Xf

5、t dt 0 1x當-1時()( )xF Xf t dt 11arcsin2x 1x 當時()( )xF Xf t dt 112111dtt 111arcsin1t 2. 三種重要的連續型隨機變量三種重要的連續型隨機變量).,(,),(, 0,1)(baUXbaXbxaabxfX記為記為上服從均勻分布上服從均勻分布在區間在區間則稱則稱其它其它具有概率密度具有概率密度設連續型隨機變量設連續型隨機變量定義定義 () 均勻分布均勻分布)(xfab 即對于即對于( c, c + l ) (a, b ) ，有有1c lcP cxcldxba lba 均勻分布的分布函數：均勻分布的分布函數： 特點：特點：

6、隨機變量隨機變量X 落在落在 (a, b ) 的子區間的的子區間的概率與位置無關，僅與測度（即長度）成正比概率與位置無關，僅與測度（即長度）成正比. .0,;(),;1,xaxaFxaxbbaxb 均勻分布常見于下列情形：均勻分布常見于下列情形： 如在數值計算中，由于四舍五如在數值計算中，由于四舍五 入，小數入，小數點后某一位小數引入的誤差，例如對小數點點后某一位小數引入的誤差，例如對小數點后第一位進行四舍五后第一位進行四舍五 入時，那么一般認為誤入時，那么一般認為誤差服從（差服從（-0.5, 0.5）上的均勻分布。）上的均勻分布。如公交系統中乘客隨機乘車的等車時間如公交系統中乘客隨機乘車的等

7、車時間解解 設設X表示他到站的時刻（以分計），則表示他到站的時刻（以分計），則X是一個隨機變量，且是一個隨機變量，且X的概率密度為的概率密度為例例（等待時間）公共汽車從上午（等待時間）公共汽車從上午7 7點開始每點開始每1515分鐘按時分鐘按時有汽車到站，一乘客在有汽車到站，一乘客在7:00到到7:30隨機到達車站隨機到達車站. .求求(1)(1)他等車時間不超過他等車時間不超過5 5分鐘的概率分鐘的概率(2)(2)超過超過1010分鐘的概率分鐘的概率. .(0,30).XU1,010,( )300,.xf x 其它(1) 10152530PXPX15301025113030dtdt13 1,

8、010,( )300,.xf x 其它(2) 051520PXPX520015113030dtdt13 例例 設隨機變量設隨機變量X U( 0, 5 ) , 求方程求方程4 r2 + 4X r + X + 2 = 0 有實根的概率有實根的概率 p .解解：p = P ( 4 X )2 44 ( X+ 2 ) 0 = P X2 (X + 2)0 = P ( X 2 )( X + 1 )0 = P( X 1 X 2 ) = P X 1 + P X 2 = P 2 X 5 5 25=35=例例 設隨機變量設隨機變量 X 在在 2, 5 上服從均勻分布上服從均勻分布, 現對現對 X 進行三次獨立觀測進

9、行三次獨立觀測 ,試求至少有兩次觀測值大于試求至少有兩次觀測值大于3 的的概率概率. X 的密度函數為的密度函數為 ., 0, 52,31)(其他其他xxf設設 A 表示表示“對對 X 的觀測值大于的觀測值大于 3 ”, Y 表示表示3次獨次獨立觀測中觀測值大于立觀測中觀測值大于3的次數的次數.解解3)( XPAP由由于于,32d3153 x則則2 B3,.3Y 2 YP.2720 因而有因而有32()kP Yk 333222( ) (1)33kkkkC (2) 指數分布指數分布 設隨機變量設隨機變量X 的概率密度函數為的概率密度函數為稱隨機變量稱隨機變量X 服從參數為服從參數為 l l 的的

10、指數分布指數分布.( l l 0 0),0;()0,.xexf xl ll l 其他指數分布的分布函數：指數分布的分布函數：0,0;()10 xxFxexl l 指數分布的重要性質指數分布的重要性質 :“無記憶性無記憶性”.有有對于任意對于任意, 0t , s .|tXPsXtsXP |sXtsXP證明證明)()(SXPsXtsXP )SXPtsXP xs txsedxedxl ll ll ll l |xs txseel ll l ()s tseel ll l tel l tXP|xtel l xtedxl ll l tel l 而而于是于是.|tXPsXtsXP 指數分布的無記憶性是使其具有

11、廣泛應用指數分布的無記憶性是使其具有廣泛應用的重要原因！的重要原因！ 指數分布在可靠性理論中描繪設備工作的指數分布在可靠性理論中描繪設備工作的可靠時間可靠時間. .在排隊論中它被廣泛地用于描繪等待時間在排隊論中它被廣泛地用于描繪等待時間, ,如電話通話時間、各種隨機服務系統的服務時如電話通話時間、各種隨機服務系統的服務時間、等待時間等間、等待時間等. .例例 某種電子元件的壽命某種電子元件的壽命(以小時計以小時計) X 服從指數分服從指數分布布,其概率密度為其概率密度為(1) 求元件壽命至少為求元件壽命至少為200小時的概率小時的概率. (2) 將將3只這種元件聯接成為一個系統，設系統工作只這

12、種元件聯接成為一個系統，設系統工作的方式是至少的方式是至少2只元件失效時系統失效，又設只元件失效時系統失效，又設3只元只元件工作相互獨立件工作相互獨立.求系統的壽命至少為求系統的壽命至少為200小時的概小時的概率率. ., 00,1001)(100其它其它xexfx200 XP 200)(dxxfdxex1002001001 2200| 0000 eex解解 (1)(1)元件壽命至少為元件壽命至少為200200小時的概率為小時的概率為2 2只及只及2 2只以上元件的壽命大于只以上元件的壽命大于200200小時的概率為小時的概率為23222232()() (1)P YeCee0.050. 故系統

13、的壽命至少為故系統的壽命至少為200200小時的概率為小時的概率為0.050.p (2)(2)以以Y Y記記3 3只元件中壽命大于只元件中壽命大于200200小時的元件的只數小時的元件的只數. . 由于各元件的工作相互獨立，又由由于各元件的工作相互獨立，又由(1)(1)知一元件的壽知一元件的壽命大于命大于200200小時的概率為小時的概率為e e-2-2, ,故有故有2(3,).YBe 正態分布是最常見最重要的一種分布正態分布是最常見最重要的一種分布,例如例如測量誤差測量誤差, 人的生理特征尺寸如身高、體重等人的生理特征尺寸如身高、體重等 ;正常情況下生產的產品尺寸正常情況下生產的產品尺寸:直

14、徑、長度、重量直徑、長度、重量高度等都近似服從正態分布高度等都近似服從正態分布.正態分布的應用與背景正態分布的應用與背景 (3) 正態分布正態分布(高斯分布高斯分布).,(,)0(,e21)(22)(22NXXxxfXx記記為為的的正正態態分分布布或或高高斯斯分分布布服服從從參參數數為為則則稱稱為為常常數數其其中中的的概概率率密密度度為為設設連連續續型型隨隨機機變變量量 正態分布的定義正態分布的定義正態概率密度函數的幾何特征正態概率密度函數的幾何特征;)1(對稱對稱曲線關于曲線關于x ;21)(,)2(xfx取得最大值取得最大值時時當當 ; 0)(,)3(xfx時時當當;)4(處有拐點處有拐點

15、曲線在曲線在x ;,)(,)6(軸作平移變換軸作平移變換著著只是沿只是沿圖形的形狀不變圖形的形狀不變的大小時的大小時改變改變當固定當固定xxf;)5(軸軸為為漸漸近近線線曲曲線線以以 x.,)(,)7(圖形越矮越胖圖形越矮越胖越大越大圖形越高越瘦圖形越高越瘦越小越小而形狀在改變而形狀在改變不變不變圖形的對稱軸圖形的對稱軸的大小時的大小時改變改變當固定當固定xf正態分布的分布函數正態分布的分布函數txFxtde21)(222)( 正態分布下的概率計算正態分布下的概率計算txFxtde21)(222)( xXP ? 原函數不是原函數不是初等函數初等函數方法一方法一:利用統計軟件計算利用統計軟件計算

16、方法二方法二:轉化為標準正態分布查表計算轉化為標準正態分布查表計算).1, 0(,1, 0),(2NN記為記為態分布態分布的正態分布稱為標準正的正態分布稱為標準正這樣這樣時時中的中的當正態分布當正態分布 標準正態分布的概率密度表示為標準正態分布的概率密度表示為,e21)(22 xxx 3. 標準正態分布標準正態分布標準正態分布的分布函數表示為標準正態分布的分布函數表示為.,de21)(22 xtxxt標準正態分布的圖形標準正態分布的圖形),5 . 02 . 0()1( XP),2 . 1()2( XP)34. 0|(|)( XP(0,1)XN例設求)5 . 02 . 0()( XP)2 . 0

17、()5 . 0( 5793. 06915. 0 1122. 0 查表標準正態分布函數表查表標準正態分布函數表(2)由標準正態分布概率密度圖形的對稱性易知：由標準正態分布概率密度圖形的對稱性易知：).(1)(xx 即即xXP .1xXP xXPxx)2 . 1( (1.2)P X )2 . 1(1 1151. 08849. 01 0.340.34PX )34.0|(|)( XP )34. 0()34. 0( (0.34)1(0.34) 16331. 02 1)34. 0(2 2662. 0 它的依據是下面的定理：它的依據是下面的定理： 標準正態分布的重要性在于，任何一個標準正態分布的重要性在于，

18、任何一個一般的正態分布都可以通過線性變換轉化為一般的正態分布都可以通過線性變換轉化為標準正態分布標準正態分布. . 根據定理根據定理1,1,只要將標準正態分布的分布只要將標準正態分布的分布函數制成表，就可以解決一般正態分布的概函數制成表，就可以解決一般正態分布的概率計算問題率計算問題. .定理定理1 12( ,),(0,1)XXNYN 設則2( ,),XN 若若XY N(0,1) 若若 XN(0,1),()aXbP()P aXb( )( )ba ()()ba ()P aXb()abPY求求設設例例),60,500(32NX)( 0 0 XP|)( 0 00 0 0 00 0 XP., 1 .

19、0)3(xxXP求求若若 )1(00 XP解解00 XP 6050056060500XP 605005601 )1(1 1587. 08413. 01 0 00 0 0 00 0 |)2(XP 0 00 0 0 00 0 | XP 0 00 0 0 00 0 0 00 0 XP700300 XP 6050070060500605003001XP 3103101 131021 00 0 00 00 0 0 0 0 0 .).(, 1 . 0)3( xXP要求要求1 . 060500 x 即即需需 . 060500 x 為為單單調調函函數數因因為為)( ,.60500 x故故需需92.576 x即即).( 例例2 公共汽車車門的高度是按男子與車門公共汽車車門的高度是按男子與車門頂頭碰頭機會在頂頭碰頭機會在0.01以下來設計的以下來設計的. .設男子設男子身高身高XN( (170, ,62),),問車門高度應如何確定問車門高度應如何確定? ? 解解: : 設車門高度為設車門高度為h cm, ,按設計要求按設計要求P(X h)0.