1、第三節第三節 多元復合函數微分法多元復合函數微分法第三節第三節 復合函數的微分法復合函數的微分法一一. 復合函數的微分法復合函數的微分法一元復合函數的微分法則-鏈導法:dxdududydxdy推廣)(),().1 (xxfz定理1 設 和 都在點x可導,而z=f(u,v)在對應點 (u,v)可微,則復合函數 在點x可導,且)(xv)(),(xxfz)(xudxdvvfdxduufdxdz注:1.上述定理可推廣到所有的多元復合函數.全導數2. 因為多元復合函數類型復雜,所以不要死記公式,要學會用 復合關系圖.(證明略)uzvx例如:)(),(),(),(xhwxvxuwvufzdxdwwfdxd

2、vvfdxduufdxdz),(),().2(yxyxfz定理2 設 和 都在點(x,y)可偏導,而z=f(u,v) 在對應點(u,v)可微,則復合函數 在 點(x,y)可偏導,且),(yxv),(yxu),(),(yxyxfzxvvzxuuzxzyvvzyuuzyzzuvwxzuvxy),(),(),(),(yxhwyxvyxuwvufz類似的:xwwzxvvzxuuzxzywwzyvvzyuuzyzzuvwxy類似的:,),(),(),(yxyxfzyxuyxufzxfxuufxzyfyuufyz 對x的偏導數,),(yxyxfz),(yxufz 對x的偏導數注意符號的區別zxuyxy例1

3、.,sinyxvxyuvezu求yzxz,解法一: 將 u,v 帶入解出偏導數;解法二: 用鏈導法:xvvzxuuzxz1cossinveyveuu)cos()sin(yxyxyexyyvvzyuuzyz1cossinvexveuu)cos()sin(yxyxxexy由此例看出,鏈導法對于具體函數幫助不大例2.yxzeuzyxsin,2222求xz解法一: 解法二: yxyxeu2422sin)sin42(23sin2422yxxexuyxyxxfxzzfxu2222222sin22zyxzyxxeyxze例3.)(),(ufxyfz 可微,證明0yzyxzx)()(2xyufxududzxz

4、xufyududzyz1)(0yzyxzx例4.)(,)(22ufyxfyz可微,證明211yzyzyxzx2)2(fxf yxz yfyzyxzx11122ffxy 2)2(fyf yfyz 222ffyf2yz二二. 復合函數的高階偏導數復合函數的高階偏導數例5.fxyyxfz),(22具有二階連續偏導數,求yxzxz222,xyvyxuvufz,),(22xvvzxuuzxz212yfxf 注意:),(1vuffu),(2vuffv2222211211122xvfxufyxvfxufxfxz222121121442fyxyffxf22221212112yvfyufyfyvfyufxyxz

5、221222112)(24xyffyxxyff例6.fxyzzyxfw),(具有二階連續偏導數,求zxw221yzffxw)(2221212112xyffyzyfxyffzxw22221211)(zfxyyfyfzxf三三. 全微分形式不變性全微分形式不變性dxxvvzxuuz)(dyyvvzyuuz)(dvvzduuzdzvufz: ),(),(yxv),(yxu若:),(),(yxyxfz則對dyyzdxxzdz)()(dyyvdxxvvzdyyudxxuuzdvvzduuz全微分形式不變性注:(1).利用全微分形式不變性可得出與一元函數類似的微分 法則;(2).可以利用全微分形式不變性及

6、微分法則求微分和偏導數.例如前面例1:vdvevdueveddzuuucossin)sin(解法三:)cos()sin(yxyxyexzxy)cos()sin(yxyxxeyzxyxdyydxxyddu)(dydxyxddv)(dxyxyxyexy)cos()sin(dyyxyxxexy)cos()sin(. 4 )cossin(e2 cossinecose) 2cose (2) 2cose (sinecose2sine,2sine 2212112122x2112x11x121221xyffyxyyyfyyfyfyfxyfyfyyfxffyyyxzxfyfxzxxxxxxyxzfyxyfzx222,),sine (. 1求有二階連續偏導數其