1、,0 r,20 . z一、利用柱面坐標計算三重積分一、利用柱面坐標計算三重積分的柱面坐標的柱面坐標就叫點就叫點個數個數，則這樣的三，則這樣的三的極坐標為的極坐標為面上的投影面上的投影在在為空間內一點，并設點為空間內一點，并設點設設MzrrPxoyMzyxM,),( 規定：規定：xyzo),(zyxM),(rPr .,sin,coszzryrx 柱面坐標與直角坐柱面坐標與直角坐標的關系為標的關系為為常數為常數r為常數為常數z為常數為常數 如圖，三坐標面分別為如圖，三坐標面分別為圓柱面；圓柱面；半平面；半平面；平平 面面),(zyxM),(rPrzxyzo dxdydzzyxf),(.),sin,

2、cos( dzrdrdzrrf drxyzodzdr rd如圖，柱面坐標系如圖，柱面坐標系中的體積元素為中的體積元素為,dzrdrddv 例例1 1 計算計算 zdxdydzI，其中，其中 是球面是球面 4222 zyx與拋物面與拋物面zyx322 所圍的立體所圍的立體.解解由由 zzryrx sincos, zrzr34222, 3, 1 rz知交線為知交線為 23242030rrzdzrdrdI.413 面面上上，如如圖圖，投投影影到到把把閉閉區區域域xoy .20, 3043:22 rrzr，例例計計算算 dxdydzyxI)(22， 其其中中 是是曲曲線線 zy22 ，0 x 繞繞oz

3、軸軸旋旋轉轉一一周周而而成成的的曲曲面面與與兩兩平平面面, 2 z8 z所所圍圍的的立立體體.解解由由 022xzy 繞繞 oz 軸旋轉得，軸旋轉得，旋旋轉轉面面方方程程為為,222zyx 所圍成的立體如圖，所圍成的立體如圖， :2D, 422 yx.222020:22 zrr:1D,1622 yx,824020:21 zrr所圍成立體的投影區域如圖，所圍成立體的投影區域如圖， 2D1D,)()(21222221 dxdydzyxdxdydzyxIII 12821DrfdzrdrdI,345 22222DrfdzrdrdI,625 原式原式 I 345 625 336. 82402022rdz

4、rrdrd 22202022rdzrrdrd其中其中 為由為由例例3. 計算三重積分計算三重積分zyxyxzddd22xyx2220),0(, 0yaazz所圍所圍解解: : 在柱面坐標系下在柱面坐標系下:cos202ddcos342032acos2020az 0及平面及平面2axyzozvdddd20dazz0dzzddd2原式398a柱面柱面cos2成半圓柱體成半圓柱體. .o oxyz例例4. 計算三重積分計算三重積分解解: 在柱面坐標系下在柱面坐標系下h:hz42dhdh2022)4(124)41ln()41(4hhhhz h2020h202d120d,1ddd22yxzyxzyx42

5、2)0( hhz所圍成所圍成 .與平面與平面其中其中 由拋物面由拋物面42rzvdddd原式原式 =二、利用球面坐標計算三重積分二、利用球面坐標計算三重積分sincos ,sinsin ,cos .xyz 球面坐標與直角坐標的關系為球面坐標與直角坐標的關系為Pxyzo),(zyxM zyxA，軸上的投影為軸上的投影為在在點點，面上的投影為面上的投影為在在設點設點AxPPxoyM.,zPMyAPxOA 則則,r 0.20 ,0 規定：規定：為常數為常數r為常數為常數 為常數為常數 如圖，三坐標面分別為如圖，三坐標面分別為圓錐面；圓錐面；球球 面；面；半平面半平面 dxdydzzyxf),(2(s

6、incos ,sinsin ,cos)sin.fd d d 球面坐標系中的體積元素為球面坐標系中的體積元素為2sin,dvdrd d d xyzod sin d d d dsin如圖，如圖，例例 3 3 計計算算 dxdydzyxI)(22，其其中中 是是錐錐面面222zyx ， 與與平平面面az )0( a所所圍圍的的立立體體.解解 1 采采用用球球面面坐坐標標az ,cos ar222zyx ,4 ,20,40,cos0: ar dxdydzyxI)(22drrdda 40cos03420sin da)0cos(51sin255403.105a 解解 2 采采用用柱柱面面坐坐標標 ,:22

7、2ayxD dxdydzyxI)(22 aradzrrdrd2020 adrrar03)(254254aaa .105a 222zyx , rz ,20,0,: arazr例例 4 4 求曲面求曲面22222azyx 與與22yxz 所圍所圍 成的立體體積成的立體體積.解解 由由錐錐面面和和球球面面圍圍成成，采用球面坐標，采用球面坐標，由由22222azyx ,2ar 22yxz ,4 ,20,40,20: ar由由三三重重積積分分的的性性質質知知 dxdydzV, adrrddV202020sin4 4033)2(sin2da.)12(343a 例例5. 5. 計算三重積分計算三重積分,)(

8、222zdydxdzyx22yxz為錐面2222Rzyx解解: : 在球面坐標系下在球面坐標系下:zyxzyxddd)(222所圍立體所圍立體. .40Rr 020其中其中 與球面與球面dddsind2rrv Rrr04d)22(515R40dsin20dxyzo4Rr 例例6.6.求曲面求曲面)0()(32222azazyx所圍立體體積所圍立體體積. .解解: : 由曲面方程可知由曲面方程可知, , 立體位于立體位于xoyxoy面上部面上部, ,cos0:3ar 利用對稱性利用對稱性, , 所求立體體積為所求立體體積為vVdrrad3cos02dcossin32203a331a3cosar

9、,202020dsin20d4yozyoz面對稱面對稱, , 并與并與xoyxoy面相切面相切, , 故在球坐標系下所圍立體為故在球坐標系下所圍立體為且關于且關于 xozxoz dddsind2rrv yzxar（1） 柱面坐標的體積元素柱面坐標的體積元素dzrdrddxdydz （2） 球面坐標的體積元素球面坐標的體積元素 ddrdrdxdydzsin2 （3） 對稱性簡化運算對稱性簡化運算三重積分換元法三重積分換元法 柱面坐標柱面坐標球面坐標球面坐標三、小結三、小結思考題思考題則則上的連續函數上的連續函數為為面對稱的有界閉區域，面對稱的有界閉區域，中關于中關于為為若若,),(3 zyxfx

10、yR ; 0),(,_),(dvzyxfzyxf為為奇奇函函數數時時關關于于當當 1),(_),(,_),(dvzyxfdvzyxfzyxf為偶函數時為偶函數時關于關于當當.1面面上上方方的的部部分分在在為為其其中中xy zz2一一、 填填空空題題: :1 1、 若若 由由曲曲面面和和)(3222yxz 16222 zyx所所圍圍, ,則則三三重重積積分分 dvzyxf),(表表示示成成直直角角坐坐標標下下的的三三次次積積分分是是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _; ;在在柱柱面面坐坐標標下下的的三三次次積積分分是是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

11、 _ _ _ _ _ _ _; ;在在球球面面坐坐標標下下的的三三次次積積分分是是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _. .2 2、 若若 由由曲曲面面及及222yxz 22yxz 所所圍圍, ,將將 zdv表表為為柱柱面面坐坐標標下下的的三三次次積積分分_ _ _ _ _ _ _ _ _ _, ,其其值值為為_ _ _ _ _ _ _ _. .練練 習習 題題 3 3、若空間區域、若空間區域 為二曲面為二曲面azyx 22及及 222yxaz 所圍所圍, ,則其體積可表為三重積分則其體積可表為三重積分_; ;或二重積分或二重積分_; ;或柱面坐標下的三次

12、積分或柱面坐標下的三次積分_. . 4 4、若由不等式、若由不等式2222)(aazyx , ,222zyx 所確定所確定, ,將將 zdv表為球面坐標下的三次積分為表為球面坐標下的三次積分為_；其值為；其值為_. .二二、計計算算下下列列三三重重積積分分: : 1 1、 dvyx)(22, ,其其中中 是是由由曲曲面面 24z)(2522yx 及及平平面面5 z所所圍圍成成的的閉閉區區域域. . 2 2、 dvyx)(22, ,其中其中 由不等式由不等式 0,0222 zAzyxa所確定所確定. . 3 3、 dxdydzczbyax)(222222, , 其中其中 1),(222222cz

13、byaxzyx. .三、求曲面三、求曲面225yxz 及及zyx422 所圍成的立所圍成的立體的體積體的體積. .四、曲面四、曲面2224aazyx 將球體將球體azzyx4222 分分成兩部分成兩部分, ,試求兩部分的體積之比試求兩部分的體積之比. .五五、求求由由曲曲面面, 0,22 xayxyxz0, 0 zy 所所圍圍成成立立體體的的重重心心( (設設密密度度1 ) ). .六六、求求半半徑徑為為a, ,高高為為h的的均均勻勻圓圓柱柱體體對對于于過過中中心心而而垂垂 直直于于母母線線的的軸軸的的轉轉動動慣慣量量 ( (設設密密度度)1 . .一、一、1 1、 22222216)(344

14、22),(yxyxxxdzzyxfdydx )(3164422222222),(yxyxxxdzzyxfdydx, , 21632020),sin,cos(rrdzzrrfrdrd rrdzzrrfrdrd31620202),sin,cos(, , 406020,cossin(rfdd drrrr sin)cos,sinsin2 406520,cossin(rfdd drrrr sin)cos,sinsin2；練習題答案練習題答案 2 2、 2221020rrzdzrdrd, ,127 ； 3 3、 dv, , Ddxdyayxyxa)2(2222, , raaradzrdrd20202； 4 4、4cos203402067,cossinadrrdda . .二、二、1 1、 8； 2 2、)(15455aA ； 3 3、abc 54. .三、三、)455(32 . .四四、27376276373321 aaVV. .五五、)3