1、2.2-2.32.2-2.3隨機變量的分布函數隨機變量的分布函數一、離散型隨機變量的概念一、離散型隨機變量的概念二、離散型隨機變量的分布函數二、離散型隨機變量的分布函數三、常見的離散型隨機變量的概率分布三、常見的離散型隨機變量的概率分布定義定義: 若隨機變量若隨機變量 X 的可能取值是有限多個或無窮的可能取值是有限多個或無窮 可列多個，則稱可列多個，則稱 X 為為離散型隨機變量離散型隨機變量. .描述離散型隨機變量的概率特性常用它的描述離散型隨機變量的概率特性常用它的概率分布概率分布或或分布律分布律，即，即, 2 , 1,)(kpxXPkk概率分布的性質概率分布的性質一、離散型隨機變量的概念一

2、、離散型隨機變量的概念q , 2 , 1, 0kpk非負性非負性q 11kkp規范性規范性F( x) F( x) 是分段階梯函數，在是分段階梯函數，在 X X 的可能取值的可能取值 x xk k 處處發生間斷，間斷點為第一類跳躍間斷點發生間斷，間斷點為第一類跳躍間斷點. .二、離散型隨機變量的分布函數二、離散型隨機變量的分布函數)()()(1kkkkxFxFxXPp) )()()(xxkkxXPxXPxFxxkxxkkkpxXP)(注意注意: :離散型隨機變量的概率分布分以下幾步來求離散型隨機變量的概率分布分以下幾步來求: : (1) (1)確定隨機變量的所有可能取值確定隨機變量的所有可能取值

3、; ; (2) (2)設法（如利用古典概率）計算取每個值的設法（如利用古典概率）計算取每個值的概率概率. . (3) (3)列出隨機變量的概率分布表（或寫出概率列出隨機變量的概率分布表（或寫出概率函數）函數）. .例例2.2.12.2.1 從從1 11010這這1010個數字中隨機取出個數字中隨機取出5 5個數字，令個數字，令X X：取出的取出的5 5個數字中的最大值試求個數字中的最大值試求X X的分布律的分布律 kXP 具體寫出，即可得具體寫出，即可得 X X 的分布律：的分布律：X 5 6 7 8 9 10 P 2521 2525 25215 25235 25270 252126 解：解：

4、X X 的可能取值為的可能取值為.1065， k5 5，6 6，7 7，8 8，9 9，1010 并且并且510C41 kC=求分布率一定要說求分布率一定要說明明 k k 的取值范圍！的取值范圍！例例2.2.22.2.2 袋內有袋內有5 5個黑球個黑球3 3個白球個白球, ,每次抽取一個不放每次抽取一個不放回回, ,直到取得黑球為止。記直到取得黑球為止。記X X為取到白球的數目為取到白球的數目,Y,Y為抽為抽取次數，求取次數，求X X、Y Y的概率分布及至少抽取的概率分布及至少抽取3 3次的概率。次的概率。 解解: : (1)X (1)X的可能取值為的可能取值為0,1,2,3, 0,1,2,3

5、, P(X=0)=5/8, P(X=0)=5/8, P(X=1)=(3P(X=1)=(35)/(85)/(87)=15/56,7)=15/56,類似有類似有P(X=2)=(3P(X=2)=(32 25)/(8 5)/(8 7 7 6)=5/56, 6)=5/56, P(X=3)=1/56, P(X=3)=1/56,所以所以,X,X的概率分布為的概率分布為X 0 1 2 3P 5/8 15/56 5/56 1/56 (2) Y(2) Y的可能取值為的可能取值為1,2,3,4,1,2,3,4,P(Y=1)=5/8, P(Y=2)=P(X=1)=15/56, P(Y=1)=5/8, P(Y=2)=P

6、(X=1)=15/56, 類似有：類似有：P(Y=3)=P(X=2)=5/56,P(Y=3)=P(X=2)=5/56,P(Y=4)=P(X=3)=1/56,P(Y=4)=P(X=3)=1/56,所以所以Y Y的概率分布為：的概率分布為：(3) P(Y3)=P(Y=3)+P(Y=4)=6/56(3) P(Y3)=P(Y=3)+P(Y=4)=6/56(1) (1) 0 0 1 1 分布分布X = xX = xk k 1 01 0P Pk k p p 1 1-p-p0 0 p p 1 11 , 0,)1 ()(1kppkXPkk 注注: :其分布律可寫成其分布律可寫成三、常見的離散型隨機變量的概率分

7、布三、常見的離散型隨機變量的概率分布 凡是隨機試驗只有兩個可能的結果，凡是隨機試驗只有兩個可能的結果，應用場合應用場合常用常用0 0 1 1分布描述，如產品是否格、人口性別統分布描述，如產品是否格、人口性別統計、系統是否正常、電力消耗是否超負荷等等計、系統是否正常、電力消耗是否超負荷等等. .(2) (2) 離散型均勻分布離散型均勻分布 X1x2xnxkpn1n1n1如在如在“擲骰子擲骰子”的試驗中，用的試驗中，用 表示事件出現表示事件出現 點，點， 則隨機變量則隨機變量 是均勻分布是均勻分布 iX iXX14kp6123566161616161(3)(3) 二項分布二項分布),(pnB背景：

8、背景：n n 重重Bernoulli Bernoulli 試驗中，每次試驗感興試驗中，每次試驗感興趣的事件趣的事件A A 在在 n n 次試驗中發生的次數次試驗中發生的次數 X X是一離散型隨機變量是一離散型隨機變量若若P P ( ( A A ) = ) = p p , , 則則nkppCkXPkPknkknn, 1 , 0,)1 ()()(稱稱 X X 服從服從參數為參數為n n, , p p 的二項分布的二項分布，記作，記作),(pnBX0 0 1 1 分布是分布是 n n = 1 = 1 的二項分布的二項分布. . 例例3.1.13.1.1 一大批產品的次品率為一大批產品的次品率為0.1

9、0.1，現從中取，現從中取 出出1515件試求下列事件的概率：件試求下列事件的概率： B B = = 取出的取出的1515件產品中恰有件產品中恰有2 2件次品件次品 C C = = 取出的取出的1515件產品中至少有件產品中至少有2 2件次品件次品 ,取取出出一一件件產產品品為為次次品品 A . 1 . 0 AP則則 由于從一大批產品中取由于從一大批產品中取1515件產品，故可近似件產品，故可近似 看作是一看作是一1515重重BernoulliBernoulli試驗試驗解：解：所以，所以， 1322159 . 01 . 0 CBP CPCP 1141151500159 . 01 . 09 .

10、01 . 01 CC例例3.1.23.1.2 一個完全不懂英語的人去參加英語考試一個完全不懂英語的人去參加英語考試. .假設此考試有假設此考試有5 5個選擇題，每題有個選擇題，每題有n n重選擇，其中只重選擇，其中只有一個答案正確有一個答案正確. .試求：他居然能答對試求：他居然能答對3 3題以上而及題以上而及格的概率格的概率. . 解解: :由于此人完全是瞎懵，所以每一題，每一個答案由于此人完全是瞎懵，所以每一題，每一個答案 對于他來說都是一樣的，而且他是否正確回答各題對于他來說都是一樣的，而且他是否正確回答各題 也是相互獨立的也是相互獨立的. .這樣，他答題的過程就是一個這樣，他答題的過程

11、就是一個 BernoulliBernoulli試驗試驗 .)5 , 1 , 0(,)1()( kppknkmPpknkk:,4,1此此人人及及格格的的概概率率是是時時于于是是當當其其中中 nnp10. 041554341454341355423543 ppp)/1 , 5(nBm這這個個隨隨機機變變量量他他答答對對題題數數(4) (4) Poisson Poisson 分布分布)(或或)(P或或若若, 2 , 1 , 0,!)(kkekXPk其中其中0是常數，則稱是常數，則稱 X X 服從服從參數為參數為的的Poisson Poisson 分布分布，記作，記作)()(P在一定時間間隔內：在一定

12、時間間隔內：一匹布上的疵點個數；一匹布上的疵點個數； 大賣場的顧客數；大賣場的顧客數；應用場合應用場合: :電話總機接到的電話次數；電話總機接到的電話次數；一個容器中的細菌數；一個容器中的細菌數；放射性物質發出的粒子數；放射性物質發出的粒子數；一本書中每頁印刷錯誤的個數；一本書中每頁印刷錯誤的個數；某一地區發生的交通事故的次數某一地區發生的交通事故的次數;市級醫院急診病人數；市級醫院急診病人數；等等等等.例例3.1.3 3.1.3 設隨機變量設隨機變量X X 服從參數為服從參數為的的PoissonPoisson分布，分布，且已知且已知 21 XPXP解：解：隨機變量隨機變量 X X 的分布律為

13、的分布律為 試試求求4 XP ，210! kekkXPk 由已知由已知 21 XPXP如果隨機變量如果隨機變量X 的分布律為的分布律為 ., 2 , 1! kkckXPk 為為常常數數其其中中0 試確定未知常數試確定未知常數c .例例3.1.4, 1!11 kkkkkckc 由分布率的性質有由分布率的性質有解：解： 1!kkk 而而1 e.11 ec所所以以1!0 kkk (5) (5) 幾何分布幾何分布 設用機槍射擊一次擊落飛機的概率為設用機槍射擊一次擊落飛機的概率為 , ,無限次地射擊，無限次地射擊，則首次擊落飛機時所需射擊的次數則首次擊落飛機時所需射擊的次數 服從參數為服從參數為 的的幾

14、幾何分布何分布，記，記 . .即即 pXp)(pGX,)1 ()(1ppkXPk, 2 , 1k 容易驗證，若在前容易驗證，若在前 m m 次射擊中未擊落飛機，那么次射擊中未擊落飛機，那么, ,在在 此條件下，為了等到擊落時刻所需要等待時間也服此條件下，為了等到擊落時刻所需要等待時間也服 從同一幾何分布，該分布與從同一幾何分布，該分布與 m m 無關，這就是所謂的無關，這就是所謂的 無記憶性無記憶性. . (6) (6) 超幾何分布超幾何分布 設有產品設有產品 件，其中正品件，其中正品 件，次品件，次品 件（件（ ），從中隨機地不放回抽取，從中隨機地不放回抽取 件，件， ，記，記X X為抽到的

15、為抽到的的正品件數，求的正品件數，求X X 的分布律的分布律. .此時抽到此時抽到 件正品的概率為件正品的概率為 sNMNMsnNn k k k=0=0，1 1， ， nsknMkNkXP)(n稱稱X X 服從服從超幾何分布超幾何分布. .記記 ),(nNMHX可以證明超幾何分布的極限分布就是二項分布，因此可以證明超幾何分布的極限分布就是二項分布，因此在實際應用中，當在實際應用中，當 都很大時，超幾何分布都很大時，超幾何分布可用下面式子近似可用下面式子近似 NMs, nsknMkNkXP)(,)()(knksMsNkn (7) (7) 負二項分布（負二項分布（PascalPascal分布分布) ) ( (自學自學) ) (8) (8) 截塔（截塔（ZipfZipf）分布）分布 ( (自學自學) ) 課堂練習課堂練習1. 將一枚均勻骰子拋擲將一枚均勻骰子拋擲3次，令次，令X 表示表示3次中次中出現出現“4”點的次數點的次數求求X的概率函數的概率函數3 , 2 , 1 , 0,)65()61(33kCkXPkkk提示：提示：. . 設生男孩的概率為設生男孩的概率為p p, ,生