1、高等結構動力學第七章第七章高等結構動力學對一般動力荷載的反應逐步法高等結構動力學高等結構動力學 分析承受任意動力荷載的線性結構，分析承受任意動力荷載的線性結構，Duhamel積積分或頻域分析，提供了最方便的解法。分或頻域分析，提供了最方便的解法。 這兩種方法的推導過程中都使用了疊加原理，只這兩種方法的推導過程中都使用了疊加原理，只能適用于線性體系，即反應過程中體系的特性保持不能適用于線性體系，即反應過程中體系的特性保持不變。變。 另一方面，有許多種重要的結構動力學問題，體另一方面，有許多種重要的結構動力學問題，體系不能視作線性的。如：足以引起嚴重破壞的地震運系不能視作線性的。如：足以引起嚴重破

2、壞的地震運動下的建筑物反應等等。因此，還需要發展適用于非動下的建筑物反應等等。因此，還需要發展適用于非線性體系的其它分析方法。線性體系的其它分析方法。高等結構動力學動力反應分析的方法動力反應分析的方法1 、疊加法、疊加法線性體系，即反應過程中體系的特性保線性體系，即反應過程中體系的特性保持不變；持不變；2、逐步法、逐步法體系不能視作線性的，要發展適用于非體系不能視作線性的，要發展適用于非線性體系的方法。線性體系的方法。高等結構動力學高等結構動力學高等結構動力學高等結構動力學0( )pp(7-1)(7-1)0mvcvkvp(7-2)(7-2)( )( )( )hpvvv(7-3)(7-3)( )

3、exp()(cossin)hDDvAB 021( )()pacvpkk(7-4)(7-4)0123( )exp()cos exp()sinDDvAAAA (7-5)(7-5)高等結構動力學其中其中00232vA12A200AvA30221()DAvA同樣地，可獲得時間步長期間的速度為同樣地，可獲得時間步長期間的速度為13223( )() exp() cos (A+A )exp()sinDDDDvAAA (7-6)(7-6)高等結構動力學高等結構動力學圖圖E7-2 分段精確計算的反應分段精確計算的反應高等結構動力學高等結構動力學高等結構動力學0000mvcvkvp00001()vpcvkvm01

4、101 21 2 vvvvvvhh；1 21 2010012211()()vvvvvvvhhh（7-77-7）（7-87-8）高等結構動力學010121(2)vvvvh（7-97-9）21010002()hvvvpcvkvm2100001()2hvpcvkvvvm（7-107-10）1102vvvh1102vvhv高等結構動力學2100000()2hvvhvpcvkvm（7-117-11）10011()2vvvvh10102()vvvvh（7-127-12）高等結構動力學 另一類一般性的逐步進行動力反應分析的數值方法是，對每一時間步，從初始到最終條件應用積分前進一步。這個基本概念可用如下式子表

5、示：100100( )( )hhvvvdvvvd （7-13a7-13a）（7-13b7-13b）高等結構動力學 最終速度和位移依據這些值的初始值加一個積分表達式。速度的變化依賴于加速度歷程的積分，而位移的變化依賴于相應的速度積分。 為了進行這類分析，首先需要假設在時間步的持續時間內加速度是如何變化的；加速度的假設也控制了速度的變化，因而可以由這一步向前獲得下一時間步。高等結構動力學Euler-Gauss方法 最簡單是假設加速度在時間步持續時間內為常數，結果是在持續時間內速度為線性，位移為二次曲線 著名的Euler-Gauss方法。高等結構動力學 列式特性的樣式，假設常量加速度是由初值及步長持

6、續時間內所獲得的最終加速度的平均。在此圖中也顯示了速度和位移的表達式，它們是對此加速度在這步持續時間內任意時刻 由逐次積分所獲得的，把 代入這些表達式而獲得最終速度和位移。h高等結構動力學圖7-3 基于常平均加速度的運動h0t1t210001()4hvvv hvv1001()2hvvvv1v 0v 0v 0v011()2avvvv001( )()2vvvv20001( )()4vvvvvh 加速度（常數） 速度（線性） 位移（二次的）高等結構動力學為了對任意步開始這種分析，首先需要計算初始加速度0v 時刻0tt式（7-7）所示的動力平衡表達式獲得。另外，最終加速度1v 需要應用隱式列式，它的值

7、可以由迭代獲得。對，這可以解1v 它的值可以由迭代獲得。對開始時用任意假設的值，再用圖7-3所列式（a）和（b）得到1v 和1v的值。然后，用與式（7-7）相當的表達式從動力平衡方程計算1t時刻1v 值的一個改進，由此再導得速度和1v 和1v 和位移1v 1v的改進值，最后，迭代收斂于這時間步最終加速度的一個固定的值，這個過程可以前進一步到下一時間步。高等結構動力學迭代的列式11111()vpcvkvm1v 開始時用任意假設的值 ， 再用圖7-3所列式（a）210001()4hvvv hvv1001()2hvvvv高等結構動力學 常平均加速度法的主要優點：是無條件穩定的。也就是說，從一步到下一

8、步不管時間步長選得如何長，誤差不會放大。因此時間步長的選擇只需要考慮所定義動力激勵和結構的振動反映特性。高等結構動力學Newmark法 一種更一般的逐步列式是由Newmark提出的，前面的方法可以作為它的特殊情況。但是也可以在其他一些形式下應用。在Newmark列式中，對最終速度和位移的基本積分式（7-13）如下所示：高等結構動力學1001(1)vvhvhv22100011()2vvhvh vh v（7-14a7-14a）（7-14b7-14b）由式（7-14a）顯然可見，系數 提供了在初始和最終加速度改變影響之間的線性變化的權重，類似地，系數提供了在這些初始和最終加速度對位移改變貢獻的權重。

9、高等結構動力學 從該列式性能的研究發現，系數控制了由這個逐步法導致的人工阻尼量；如果=1/2，方法是無人工阻尼的，因此這個值被推薦用于標準的單自由度分析。 在式（7-14a）和式（7-14b）中令系數=1/2和=1/4，此時可以看到， Newmark列式直接退化為圖7-3所示最終速度和位移的表達式。因此， Newmark=1/4法也可以歸諸于常平均加速度法。高等結構動力學 另一方面，如果取作1/6（用=1/2），最終速度和位移的表達式成為1001()2hvvvv221000136hhvvv hvv（7-15a7-15a）（7-15b7-15b）高等結構動力學 這些結果也可以如圖7-4所示，由假

10、設在時間步持續期間加速度在 和 的初始到最后值之間線性變化來得到；因此=1/6的Newmark法也稱為線加速度法。像常平均加速度法一樣，此法在實際中也是廣為應用的。但是與=1/4方法對比，線加速度法僅是條件穩定的。可是，與二階中心差分法一樣，在單自由度體系分析中這個限制并不重要，因為要獲得動力荷載和反應的滿意表示，必須取比這一限制更短的時間步長。1v 0v 高等結構動力學變換到顯式公式 法的隱式列式是不方便應用的，因為每一時間步內為了確定此步終點加速度需要進行迭代。因此，通常被修改為顯式形式，目的是最終加速度用其他反應量表示選擇一個基本未知量（位移較好）。高等結構動力學 再代入圖7-3式（a）

11、中，獲得最終速度表達式為11002()vvvvh（7-16b7-16b）11000244()vvvvvhh（7-16a7-16a）根據圖7-3式（b）對最終加速度求解可得高等結構動力學在t1時刻寫出動力平衡方程1111mvcvkvp并將式（7-16a）和（7-16b）代入上式，則可導得僅含時間步終點未知位移v1的表達式。經適當歸并同類項，此式可寫為c11ck vp（7-177-17）這是一個靜力平衡方程的形式，它包含等效剛度c224cmkkhh（7-17a7-17a）高等結構動力學和等效荷載0010001c2244()()vvppcvmvvhhh（7-17b7-17b）在式（7-17）里下標c

12、用以標記常平均加速度法。 1v 1v 高等結構動力學11111()vpcvkvm而不是從式（7-16a）求，因而保留了平衡條件。使用這個顯式公式，時間步終點位移v1可直接由式（7-17）計算，所要用到的僅是時間步開始時的數據。然后，此時刻的速度 可用式（7-16b）計算，最后，此時間步終點的加速度 由求解該時刻的動力平衡方程而得 高等結構動力學 采用同樣的方法，使用圖7-4中的式（a）和（b），也可以類似地將線性加速度法轉換為顯式形式，這些列式的位移差別就是等效剛度，等效荷載及最終速度的表達式不同。對線加速度分析來說，等效靜力平衡方程為 11ddkvp（7-187-18）高等結構動力學圖7-4

13、 基于線性變化加速度的運動0t1t221000136hhvvv hvv1001()2hvvvv1v 0v 0v 0v100( )()vvvvh21000( )()vvvvvhh2310000( )()26vvvvvvh 加速度（線性） 速度（二次的） 位移（三次的）h高等結構動力學001000012636(2)(2)2dvvhppmvvcvvhhh（7-18b7-18b）當位移v 1由式（7-18）計算時，同時刻的速度可由如下表達式給出相當于式（7-16b）:110003()22hvvvvvh（7-18c7-18c）其中下標d表示線加速度法。等效剛度和荷載分別為 236dcmkkhh（7-18

14、a7-18a）高等結構動力學 線加速度法僅僅是條件穩定，但如前面所述，對于單自由度體系分析，這一點并不重要。另一方面，假設每個步長持續時間內加速度線性變化，要比連續用常加速度法能獲得真實特性的更好近似。 實際上，數值實驗結果也證明了線加速度法結果比用常加速度步所得結果優越。基于此理由，對單自由度體系的分析推薦使用線加速度（=1/6）法。高等結構動力學高等結構動力學高等結構動力學圖圖 7-5 非線性動力體系的定義：非線性動力體系的定義：(a)基本單自由度結構；基本單自由度結構；(b)力的平衡；力的平衡；(c)非線性阻尼；非線性阻尼；(d)非線性剛度；非線性剛度；(e)作用荷載作用荷載(a)(b)

15、(c)(d)(e)高等結構動力學 考慮的結構為圖考慮的結構為圖7-5(a)所示的單自由度體系，體系的特性所示的單自由度體系，體系的特性m，k，c和和p(t)可以理解為可以理解為2-5節所討論的廣義量，而并不只局限于圖節所討論的廣義量，而并不只局限于圖面上所示的簡單情況。作用于體系質量面上所示的簡單情況。作用于體系質量m上的力如圖上的力如圖7-5(b)所示，所示，彈簧力和阻尼力的一般非線性性質分別繪于圖彈簧力和阻尼力的一般非線性性質分別繪于圖7-5(c)和和(d)中，任中，任意作用荷載則繪于圖意作用荷載則繪于圖7-5(e)中。中。 在任一瞬間在任一瞬間t，作用于質量，作用于質量m上的力系的平衡要

16、求：上的力系的平衡要求：)()()()(tptftftfSDI（7-19a7-19a） 而在暫短時間而在暫短時間t以后，平衡方程將為以后，平衡方程將為)()()()(ttpttfttfttfSDI（7-19b7-19b） 從方程從方程(7-19b)減去方程減去方程(7-19a)則可得時間間隔則可得時間間隔t的運動方程的增量形式：的運動方程的增量形式：（7-207-20）)()()()(tptftftfSDI高等結構動力學 這個方程中的增量力可表示如下：這個方程中的增量力可表示如下：（7-21a7-21a） 其中，質量其中，質量m不言而喻被假設為常量，而不言而喻被假設為常量，而c(t)和和k(t

17、)項則表示項則表示與時間間隔內速度和位移相應的阻尼和剛度特性，分別如圖與時間間隔內速度和位移相應的阻尼和剛度特性，分別如圖7-5(c)和和(d)所示。實際上，因為在時間增量末端的速度和位栘將所示。實際上，因為在時間增量末端的速度和位栘將依賴于這些特性，故所示割線斜率只能用依賴于這些特性，故所示割線斜率只能用迭迭代法進行計算。代法進行計算。因因此此，通常用時間間隔起點所定義的切線斜率來代替。，通常用時間間隔起點所定義的切線斜率來代替。（7-227-22）)()()()()()()()()()()()()()()()()(tpttptptvtktfttftftvtctfttftftvmtfttft

18、fSSSDDDIII tDvddftc)(tSdvdftk)(（7-21b7-21b）（7-21c7-21c）（7-21d7-21d）高等結構動力學 將方程將方程(7-21)代入方程代入方程(7-20)，可導得時間，可導得時間t的增量平衡方程的增量平衡方程的最終形式為：的最終形式為：（7-237-23） 在這種類型的分析中，所討論的材料特性可以包括任何的非在這種類型的分析中，所討論的材料特性可以包括任何的非線性形式。因此，沒有必要規定彈簧力線性形式。因此，沒有必要規定彈簧力fs像非線性彈性材那樣像非線性彈性材那樣僅僅依賴于位移。同樣也可以很好地說明非線性滯變材料，在僅僅依賴于位移。同樣也可以很

19、好地說明非線性滯變材料，在這種材料中，力依賴于變形的過去時程以及位移的當前值，唯這種材料中，力依賴于變形的過去時程以及位移的當前值，唯一的要求是剛度特性必須完全由變形的過去和目前狀態所確定。一的要求是剛度特性必須完全由變形的過去和目前狀態所確定。此外，隱含的質量不變的假定顯然是可以改動的：質量也可以此外，隱含的質量不變的假定顯然是可以改動的：質量也可以表示為隨時間變化的量。表示為隨時間變化的量。)()()()()()(tptvtktvtctvm 高等結構動力學 有很多方法可以用來進行方程有很多方法可以用來進行方程(7-23)的數值積分。的數值積分。 引入假定：在每個時間增量內加速度線性變化，而

20、引入假定：在每個時間增量內加速度線性變化，而且體系的特性在這個間隔內保持為常量。且體系的特性在這個間隔內保持為常量。 質量在時間間隔內的運動用圖形的形式繪于圖質量在時間間隔內的運動用圖形的形式繪于圖7-6中，與所中，與所假定的加速度為線性變化的方程一起，圖中還分別繪出了相應假定的加速度為線性變化的方程一起，圖中還分別繪出了相應的速度二次變化、位移三次變化的圖形。計算在間隔終點的速度二次變化、位移三次變化的圖形。計算在間隔終點(t)時后的值，導得速度和位移的增量方程如下：時后的值，導得速度和位移的增量方程如下：（7-6a7-6a* *）2)()(ttvtvtv 6)(2)()(22ttvttvt

21、vtv （7-6b7-6b* *）高等結構動力學圖圖 7-6 基于線性變化加速基于線性變化加速 度的增量運動度的增量運動高等結構動力學高等結構動力學 ()2()23()( )( )( )2( )26iiiiiiiiitttttttttv tvvtv tvvvtv tvvvvt高等結構動力學222( )( )( )2( )( )( )2( )( )( )26v ttv tv ttttv tv ttv tttv tv tv tv t t 取高等結構動力學 位移增量作為分析的基本變量，解式位移增量作為分析的基本變量，解式(7-6a*)可得加速度增量，并將這個可得加速度增量，并將這個表達式代入方程表達

22、式代入方程(7-6b*)，得：，得：（7-7a7-7a* *）（7-7b7-7b* *）)(3)(6)(6)(2tvtvttvttv )(2)(3)(3)(tvttvtvttv 獲得了用位移增量表達的速度和加速度增量。獲得了用位移增量表達的速度和加速度增量。把方程把方程(7-7*)代入方程代入方程(7-23),可導得下列的運動方程：可導得下列的運動方程：2663( )( )3 ( )( )( )3 ( )( )( )( )( )2tmv tv tv tc tv tv tv tk tv tp tttt （7-87-8* *）高等結構動力學最終把所有含已知初始條件的各項移到右邊，給出最終把所有含已

23、知初始條件的各項移到右邊，給出（7-9a7-9a* *）（7-9b7-9b* *） 方程方程(7-8*)相當于靜力增量平衡關系，即可將荷載增量除以相當于靜力增量平衡關系，即可將荷載增量除以剛度求得位移增量。在等效荷載和剛度項中包含慣性和阻尼的剛度求得位移增量。在等效荷載和剛度項中包含慣性和阻尼的項反映了動力特性。解方程（項反映了動力特性。解方程（7-8*），得出位移增量后，將此值），得出位移增量后，將此值代入方程代入方程(7-7b*)即可獲得速度增量。即可獲得速度增量。 下一時段的初始條件由該時段起點速度和位移值加上這些增下一時段的初始條件由該時段起點速度和位移值加上這些增量值得到。量值得到。

24、)()()(tptvtk（7-87-8* *）其中：其中：236( )( )( )k tk tc tmtt)(2)(3)()(3)(6)()(tvttvtctvtvtmtptp 高等結構動力學 分析包含兩個重要假定：分析包含兩個重要假定： (1)加速度為線性變化；加速度為線性變化； (2)質量、阻尼和剛度特性在時間步長內保持常量。質量、阻尼和剛度特性在時間步長內保持常量。 雖然時間步長很短時誤差甚小，但這兩個假定都不是完全雖然時間步長很短時誤差甚小，但這兩個假定都不是完全正確的。因此，誤差在增量平衡關系中出現，并積累。為了避正確的。因此，誤差在增量平衡關系中出現，并積累。為了避免誤差的積累，在

25、分析的每一步中利用總的平衡條件消除誤差。免誤差的積累，在分析的每一步中利用總的平衡條件消除誤差。 只要從總外荷載中減去總阻尼力和彈性力以表示時間步長只要從總外荷載中減去總阻尼力和彈性力以表示時間步長起點的加速度就行了。起點的加速度就行了。)()()(1)(tftftpmtvSD 高等結構動力學 對任一給定的時間增量，按如下程序進行運算：對任一給定的時間增量，按如下程序進行運算： (1)初始速度和位移值是已知的。它們或是前一增量的終點初始速度和位移值是已知的。它們或是前一增量的終點值或是問題的初始條件值；值或是問題的初始條件值； (2)利用這些值及結構特定的非線性特性，可找出時間間隔利用這些值及

26、結構特定的非線性特性，可找出時間間隔內的阻尼內的阻尼c(t)、剛度、剛度k(t)以及阻尼力以及阻尼力fD(t)和彈性力和彈性力fS(t)的當前值，的當前值，例如圖例如圖7-5(c)和和7-5(d)中所示；中所示； (3)初始加速度由下式給出：初始加速度由下式給出：（7-257-25）)()()(1)(tftftpmtvSD 時間時間t時平衡方程的重新排列；時平衡方程的重新排列； (4)等效荷載增量等效荷載增量 和等效剛度和等效剛度 按方程按方程(7-9*)計算；計算；)(tp)(tk高等結構動力學 (5)由方程（由方程（7-8*）可求得位移增量，從而由方程）可求得位移增量，從而由方程(7-7b

27、*)可求可求得速度增量；得速度增量； (6)最后，獲得時段終點速度和位移：最后，獲得時段終點速度和位移：（7-26a7-26a）)()()()()()(tvtvttvtvtvttv（7-26b7-26b）高等結構動力學 當第當第6步運算完成時，這個時段的分析結束；下一個時段的步運算完成時，這個時段的分析結束；下一個時段的分析，只需將上述整個程序重復進行即可。顯然，連續進行上分析，只需將上述整個程序重復進行即可。顯然，連續進行上述運算，就可進行任意多個時間增量的分析，這樣就能算出具述運算，就可進行任意多個時間增量的分析，這樣就能算出具有任何非線性性質的單自由度體系的全部反應時程。線性體系有任何非

28、線性性質的單自由度體系的全部反應時程。線性體系自然也可以用同樣的方法進行處理。此時阻尼和剛度特性保持自然也可以用同樣的方法進行處理。此時阻尼和剛度特性保持不變，因此分析的過程將稍為簡單一些。不變，因此分析的過程將稍為簡單一些。高等結構動力學 逐步積分法的精度，依賴于時間增量逐步積分法的精度，依賴于時間增量t的長的長度，選取時注意三個因素：度，選取時注意三個因素： (1)作用荷載作用荷載p(t)的變化速率；的變化速率； (2)非線性阻尼和剛度特性的復雜性；非線性阻尼和剛度特性的復雜性； (3)結構振動周期結構振動周期T。 高等結構動力學 為可靠地反映這些因素，時間增量必須足為可靠地反映這些因素，

29、時間增量必須足夠的短，其中最后一個因素是和體系的自由振夠的短，其中最后一個因素是和體系的自由振動特性聯系在一起的。一般來說，材料特性的動特性聯系在一起的。一般來說，材料特性的變化不是關鍵性的因素，如果發生一個重大的變化不是關鍵性的因素，如果發生一個重大的突然變化，例如一個彈塑性彈簧的屈服，這時突然變化，例如一個彈塑性彈簧的屈服，這時可以引入一個特殊再細分的時間增量來精確地可以引入一個特殊再細分的時間增量來精確地處理這個影響。同時，要估算能恰當地模擬動處理這個影響。同時，要估算能恰當地模擬動力荷載主要形狀的時間增量也并不困難。力荷載主要形狀的時間增量也并不困難。高等結構動力學 因此，如果加載過程

30、比較簡單，時間間隔的選取主要依賴于因此，如果加載過程比較簡單，時間間隔的選取主要依賴于結構的振動周期。這個線性加速度方法只是有條件穩定的，如結構的振動周期。這個線性加速度方法只是有條件穩定的，如果時間增量大于振動周期的一半左右，則將給出擴散的解。但果時間增量大于振動周期的一半左右，則將給出擴散的解。但是，為了提供適當的精度，時間增量必須比這個短的多，因此是，為了提供適當的精度，時間增量必須比這個短的多，因此不穩定是不會成為問題的。一般來說，按照經驗，如果增量不穩定是不會成為問題的。一般來說，按照經驗，如果增量一一周期比周期比t/T1/10，則可獲得可靠的結果。如果對于得出的則可獲得可靠的結果。

31、如果對于得出的解有任何懷疑，則第二次分析時取時間增值的一半進行，解有任何懷疑，則第二次分析時取時間增值的一半進行，如如果在第二次分析中反應沒有明顯的變化，果在第二次分析中反應沒有明顯的變化，則可以認為數值積分所產生的誤差是可以忽略不計的。則可以認為數值積分所產生的誤差是可以忽略不計的。高等結構動力學例題例題 E7-2 為了說明應用上述線性加速度逐步積分法的手算方法為了說明應用上述線性加速度逐步積分法的手算方法,我們我們來計算圖來計算圖E7-3所給出的彈塑性單自由度剛架在所給的加荷過程下的反應所給出的彈塑性單自由度剛架在所給的加荷過程下的反應.在分析中在分析中,時間步長取為時間步長取為0.1秒秒

32、,它比要得到精度較高的結果所需的步長較它比要得到精度較高的結果所需的步長較長一些長一些,但為了說明這個手算方法但為了說明這個手算方法,這個步長已經足夠了這個步長已經足夠了. 在這個結構里在這個結構里,假定阻尼系數保持常量假定阻尼系數保持常量,因此非線性影響僅由于發因此非線性影響僅由于發生屈服時剛度將改變才發生的生屈服時剛度將改變才發生的.此時等效剛度可以被表達為此時等效剛度可以被表達為參見方程參見方程(8-9c) 263660.10.1kktmckt其中其中k(t)或是或是5千磅千磅/英寸或是零英寸或是零,它們分別相應于剛架的彈性和屈服階段它們分別相應于剛架的彈性和屈服階段,等效增量荷載由下式

33、給出等效增量荷載由下式給出參見方程參見方程(7-9b*): 60.131mp tp tcvmcvp tvv 由方程由方程(7-7b*)給出的速度增量成為給出的速度增量成為:高等結構動力學3030.05vvvv便于手算的表格示于表便于手算的表格示于表E7-1圖圖 E7-3 彈塑性剛架和動力荷載彈塑性剛架和動力荷載高等結構動力學 ?vtvtpt DSftctvtftktvt 1DSv tp tftftm ?ptkt p tv tkt 332tv tv tv tv tt v ttv tv tv ttv tv t ?c tkt高等結構動力學手算方法演示手算方法演示: :首先, 在t=0時刻(第1步) ,初始荷載 00,00,20034pvv對應的阻尼系數c=0.2千磅秒/英寸（恒為常量），剛度k(0)=5千磅/英寸，max55,1.2Siifvvvvv根據公式：其中非彈性位移英寸 5 000.2 0605SDff ，0.2Dfv 000 70IDSfpff 18100 00Ivfm20.