1、6.3 齊次方程 如果一階微分方程 ),(yxfdxdy中的函數(shù) f(x, y)可寫成xy的函數(shù) 即)(),(xyyxf 則稱這方程為齊次方程 v齊次方程 例如 如果一階微分方程),(yxfdxdy中的函數(shù) f(x, y)可寫成xy的 函數(shù) 即)(),(xyyxf 則稱這方程為齊次方程 (1)022xyyyx是齊次方程 (2)2211yyx不是齊次方程 (3)(x2y2)dxxydy0是齊次方程 (4)(2xy4)dx(xy1)dy0不是齊次方程 (5)0ch3)ch3sh2(dyxyxdxxyyxyx是齊次方程 v齊次方程的解法 變量代換 分離變量 兩端積分 還原變量 v齊次方程 如果一階微

2、分方程),(yxfdxdy中的函數(shù) f(x, y)可寫成xy的 函數(shù) 即)(),(xyyxf 則稱這方程為齊次方程 令xyu 即 yux 則xdxuudu)( xdxuudu)( 求出積分后 再用xy代替 u 即 yux 則)(udxduxu 原方程可寫成 解 1)(222xyxyxxyydxdy 令uxy 即yux 則得 12uudxduxu 即 1uudxdux 分離變量 得 xdxduu )11 ( 兩邊積分 得 uln|u|Cln|x| 或?qū)懗?ln|xu|uC以xy代上式中的 u 得 Cxyy |ln 例 1 解方程dxdyxydxdyxy22 設(shè)此凹鏡是由xOy面上曲線 L yy(

3、x) (y0) 繞x軸旋轉(zhuǎn)而成 光源在原點 提示 在此變換下方程化為12vvdydvyv 提示 Cyvvlnln)1ln(2Cyvv121)(22vvCy 解 根據(jù)題意 得齊次方程令vyx 即 xyv 得 1)(2yxyxdydx 分離變量 得 ydyvdv12 兩邊積分并整理 得 12 vdydvy 1222CyvCy 例2 有旋轉(zhuǎn)曲面形狀的凹鏡 假設(shè)由旋轉(zhuǎn)軸上一點O發(fā)出的一切光線經(jīng)此凹鏡反射后都與旋轉(zhuǎn)軸平行 求這旋轉(zhuǎn)曲面的方程 以yvx代入上式 得 )2(22CxCy 所求的旋轉(zhuǎn)曲面方程為 )2(222CxCzy 設(shè)此凹鏡是由xOy面上曲線 L yy(x) (y0) 繞x軸旋轉(zhuǎn)而成 光源在

4、原點 解 根據(jù)題意 得齊次方程令vyx 即 xyv 得 1)(2yxyxdydx 分離變量 得 ydyvdv12 兩邊積分并整理 得 12 vdydvy 1222CyvCy 例2 有旋轉(zhuǎn)曲面形狀的凹鏡 假設(shè)由旋轉(zhuǎn)軸上一點O發(fā)出的一切光線經(jīng)此凹鏡反射后都與旋轉(zhuǎn)軸平行 求這旋轉(zhuǎn)曲面的方程 取O為原點 河岸朝順水方向為x軸 y軸指向?qū)Π?提示 解 設(shè)在時刻 t 鴨子位于點P(x y)則x和y滿足微分方程dybyaudu12 分離變量 得 yxyxbadydx1)(2 12ubadyduy 令uyx 即 xyu 得 分離變量且兩邊積分 得 )ln(lnarshCyabu 將yxu代入上式并整理 得 )

5、()(2111babaCyCyCx 例3 設(shè)一條河的兩岸為平行直線 水流速度為a 有一鴨子從岸邊點A游向正對岸點O 設(shè)鴨子的游速為b(ba) 且鴨子游動方向始終朝著點O 已知OAh 求鴨子游過的跡線的方程 )ln(lnarshCyabu )()(2111babaCyCyCx 故鴨子游過的跡線方程為 )()(211babahyhyhx 0yh 將yxu代入上式并整理 得 以 x|yh0 代入上式 得hC1 取O為原點 河岸朝順水方向為x軸 y軸指向?qū)Π?解 設(shè)在時刻 t 鴨子位于點P(x y)則x和y滿足微分方程yxyxbadydx1)(2 12ubadyduy 令uyx 即 xyu 得 分離變量且兩邊積分 得 例3 設(shè)一