1、 內容提要n張量運算的基本法則張量運算的基本法則n應力分析應力分析n應變分析應變分析 向量的表示方法n字母表示法字母表示法n坐標表示法坐標表示法n矩陣表示法矩陣表示法 向量的數乘向量的和與差 向量的點積向量的叉積向量的夾角 3個向量的混合積字母標記法 需要注意的是: 自由標號Kronneker Delta 相關運算置換符號相關運算空間坐標轉換向量，一階張量二階張量張量相等張量加減與數乘n張量的加減為各個分量逐個加減運算張量的加減為各個分量逐個加減運算n張量的數乘為張量的各個分量分別乘以張量的數乘為張量的各個分量分別乘以張量的并乘與張量的外積張量的縮并與張量的點積一點應力的表示方法 x y z

2、xy yx yz zy zx xz主應力112312323應力張量的不變量圖圖3.1 應力張量的分解應力張量的分解zzyxzyxzyxzyxzxymmmxzyijmij ijszmxmym應力偏張量應力球張量應力偏量不變量22221223311 22 33 131 2 316Js ss ss sJs s s 八面體正應力與剪應力321212233octmoctIJ ab312NNPJ2的相關代表力應力不變量之間的關系應力狀態和不變量的幾何解釋121333235octmoctmIJ應力狀態和不變量的幾何解釋12312223cos22 3sJJ應力不變量之間的關系120.5 10 2010 201

3、0 202212cKuufc Kc1221t1t2t1 3.65(01)11 0.8(0),cctcttfffff 雙向受壓 一拉一張 雙向受拉 212221210.20.21.11.201.2ccccccccLiuNilsonSlftefa雙向受壓 時， 時 ， 211cbc1011210312103 2ccctctcbcJIabffaffbffaffbff 三軸應力下的混凝土強度準則三軸應力下的混凝土強度準則tf2fcc3f2fttf2f3ftfffffc1111( )(=0，=)(=0，= 在混凝土的破壞包絡曲面上有一些。混凝土的單軸抗壓強度( ，有減摩措施的試驗所得)和抗拉強度各有三個

4、點，分別位于三個坐標軸的負、正方向。混凝土的二軸等壓和等拉強度位于坐標平面內的兩個坐標軸的等分線上，三個坐標面內各有一個點；而混凝土的三軸等拉強度只有一)(=點落在靜特征強度)點水壓力軸的f2f3ff2f3f(7 1( )b11正方向。對于任意應力比的三軸受壓、受拉或拉/壓應力狀態，考慮混凝土的各向同性，可由坐標或者主應力值的輪換，在應力空間中各畫出六個點，位于同一偏平面上，且夾角 值相等 圖()(，)。312123tcc(0 0)(0fff破壞包絡曲面的三維立體圖既不便繪制，又不適用于理解和應用，常改用拉壓子午面(圖7.1c)和偏平面上的平面圖形來表示。拉壓子午面為靜水壓立軸與一主應力軸(如

5、圖中的軸)組成的平面，同時通過另兩個主應力軸()的等分線。此平面與破壞包絡面的交線，分別稱為。 拉子午線的應力條件為，線上拉、壓子的特征強度點有單軸受拉和午線和， ， -二等壓，-軸cc123cttttttttttttt)0(0 0)(0)0()ffffffrrtc，偏平面上的夾角為；壓子午線的應力條件則為，線上有單軸受壓和二軸等拉，偏平面上的=， ，-，夾角。拉壓子午線與靜水壓立軸同交于一點，即三軸等拉。拉、壓子午線至靜水壓立軸的垂直距，離=即為偏應力 和， ，。混凝土破壞包絡面的特征(1)(2)(3)(4)(5)r rr rtctc曲面連續、光滑、外凸；對靜水壓立軸三折對稱；在靜水壓立軸的

6、拉端封頂，定點為三軸等拉應力狀態；壓端 開口，不與靜水壓立軸相交；子午線上各點的偏應力或八面體剪應力值，隨靜水壓力的代 數值的減小而單調增大，但斜率漸減，有極限值；偏平面上的封閉曲線三折對稱，其形狀隨凈水壓力或正應力 值的減小，由近似三角形逐漸外凸飽滿，過渡為一 ( / =0.5)( /圓=1)。(a) 平面 (b)柱面屈服面圖2.9 屈服面和屈服軌跡1octm2octm123122133323523cos2 32 3IJsJJ混凝土強度準則模型1t1221t,2 3cos30ff I JJIf112122m33cos22cos3332cos3SJISS132212,sin30,sin320K

7、f JJKfK 2220f JJKtanc212121,sinsincossincos03333Jf I JIJc1212,0f I JaIJK2octoctoctcccabcfff0.724octoctcc0.875octoctcc0.9940.55600.6630.550ffff 圖圖7.3 各破壞準則的拉壓子午線各破壞準則的拉壓子午線圖圖7.4 各破壞準則的偏平面包絡線各破壞準則的偏平面包絡線圖圖7.5 各破壞準則的二軸包絡線各破壞準則的二軸包絡線結構特點、計算等級結構特點、計算等級選擇模型形式選擇模型形式材料特點、構件特點選材料特點、構件特點選擇試驗點并加權擇試驗點并加權自動確定模型參

8、數自動確定模型參數1、2、3、45參數模型混凝土三軸試驗數據庫本構關系 混凝土在多軸應力狀態下的本構關系，當然更要復雜得多。三個方向主應力的共同作用，使各方向的正應變和橫向變形效應相互約束和牽制，影響內部微裂縫的出現和發展程度。而且，混凝土多軸抗壓強度的成倍增長和多軸拉壓強度的降低，擴大了混凝土的應力范圍，改變了各部分變形成分的比例，出現了不同的破壞過程和形態。這些都使得混凝土多 軸變形的變化范圍大，形式復雜。另一方面，混凝土多軸試驗方法的不統一和應變量測技術的困難，又加大了變量測數據的離散度，給研究本構關系造成更大困難。混凝土多軸本構關系大體有混凝土多軸本構關系大體有4類：類：1.線彈性模型

9、線彈性模型，2.非線彈性模型非線彈性模型，3.塑性理論模型塑性理論模型，4.其它力學理論類模型其它力學理論類模型。 其中，1、3 類模型是將成熟的力學體系(即彈性力學和塑件理論等)的觀點和方法作為基礎，移植至混凝土；4類模型則是借鑒些新興的力學分支，如粘性彈(塑)性理論、內時理論、斷裂力學、損傷力學等的概念相方法，結合混凝土的材料特點推導而得；2類模型主要依據混凝土多軸試驗的數據和規律，進行總結回歸分析后得到。 各類本構模型的理論基礎、觀點和方法迥異，表達形式多樣，簡繁相差懸殊，適用范圍和計算結果的差別大。很難確認一個通用的混凝土本構模型，只能根據結構的特點、應用范圍和精度要求等加以適當選擇。

10、 至今，實際工程中應用最廣泛的還是源自試驗、計算精度有保證、形式簡明和使用方便的非線彈性類本構模型。1. 線彈性模型 這是最簡單、最基本的材料本構模型。材料變形(應變)在加載和卸載時都沿一直線變化，完全卸載后無殘余變形。應力和應變有確定的唯一關系其比值即為材料的彈性常數，稱彈性模量。當混凝土的應力水平較低，內部微裂縫和裂縫和塑性變形未有較大發展時；預應力結構或受約束結構的外裂之前；體形復雜結構的初步或近似計算時；有結構選用不同的本構模型,對其計算結果不敏感時等等。 所以，線彈性本構模型在鋼筋混凝土結構分析中的應用仍有相當大的余地 特別是因為按照線彈性分析的應力分布進行適當配筋后，一般結構能保證

11、必要的，甚至稍高的承載力安全度，有些設計規范中允許采用這類本構模型。空間應力應變關系彈性本構矩陣Ev形式彈性本構矩陣KG形式（1）各向異性本構模型：）各向異性本構模型：這一本構模型中剛度矩陣不對稱，共需36個材料彈性常數。（2）正交異性本構模型：）正交異性本構模型：（3）各向同性本構模型：）各向同性本構模型：11112222333312122323313111112 1vvEEEvvEEEvvEEGEGv 11112222333312122323313111011 2000211 21 20021 2002E2. 非線彈性模型彈性模量彈性模量混凝土三維本構模型的核心各種本構模型的本質差別非線性

12、彈性模型的基本思路非線性彈性模型的分類全量模型Codolin模型Ottosen模型非線性指標(Nonlinear Index)二維非線性指標三維非線性指標：Ottosen法三維非線性指標： 法2J三維非線性指標：比例增大法等效一維應力應變關系割線模量計算式22000002200c00cc1211111112222cscscssfEADADEfEEEEEEEEEEED三維混凝土應力應變關系1228.2 1213.9 126.9 123.81 MP（）峰值和應變都要增大峰值和應變都要增大 取值fE1.750.180.00150.038octfccEEf20011413cfccfEEJEEf割線泊松

13、比計算02aff0aaa11ssvvvvvv 果 如果 -如本構矩陣計算步驟01)cos(1222cccfIdfJcbfJa例題求主應力 12222112222331133122331222231122331223311123223133122331232466 122483224221215.2922245.29234cos331.03mTIsJS SS SS SSSSJJS S SS S SS SS SS SJrJr 21coscos 31.033.46622cos5.288 cos 31.0312087.90533312.630cos 31.031202cos3JI求非線性指標22122

14、22220.11.28561.426810.22513.21281.28561.4268 10.2251cos3.2128100.0032140.50944.855409.0185.2920.5879.018tcffcccfffffabcdfJJIfffJJJJJ 得到Es和vs增量模型020002002200012112tctcdEdEEESaenEEEEz sModel Darwin模型02012iuiuiucicicEEE122122ic32ic1 3.65121.62.250.35cccciccicpciciciccicpcccfffffff 如果 如果 本構矩陣11211212222

15、121212124421cc010110024Biaxial compression0.2Others0.20.60.4Ev E Edddv E EEdVddEEvE Evvff 圖圖8.14 Ottosen本構模型本構模型(a)單軸受壓單軸受壓 關系關系 (b)多軸多軸 關系關系 (c)泊松比泊松比222200c01122111221122cccccccccccsccssADfADADADEEEEEEEEEE 又代入上式，整理后可得即時割線模量計算式為220fcEED（1- ）-1多軸應力峰值彈性模量1228.2 1213.9 126.9 123.81 MP（）1.750.180.00150.038()OttosenocftcocfctccfEEffEEE1式中：混凝土破壞時的割線模量； 混凝土初始彈性的模量； 應力矢量與軸在 平面上投影之角 相似角； 八面體正應力； 混凝土單軸抗壓強 （2.81）