1、數(shù)計院劉文軍（2012 年 11 月）第一章 概率論的基本概念練.1 樣本空間、隨機(jī)略練.2 概率、古典概型第一題P( A È B) = P( A) + P(B) - P( AB) = 0.9P( A - B) = P( A) - P( AB) = 0.3P( A È B) = P( A) + P(B) - P( AB) = 1- P( A) +1- P(B) - (1- P( A È B) = 0.6P( A È B) = P( A) + P(B) - P( AB)= 1- P( A) + P(B) - (P(B - AB)= 1- P( A) + P

2、(B) - (P(B) - P( AB)= 0.7P( AB) = P(B - AB) = P(B) - P( AB) = 0.2P( A È AB) = P( A) + P( AB) - P( AAB) = 0.9第二題解：（1） P( AB) £ P( A) < P(B) £ 1 P( AB) = P( A) 時取得最大值即 A Ì B 時， P( AB) 時取得最大值P( A È B) = P( A) + P(B) - P( AB)（2） P( AB) = P( A) + P(B) - P( A È B)又 P( A &#

3、200; B) £ 1即 P( A È B) = 1 ， P( AB) 取得最小值第三題解：設(shè) Ai = 任取的 10 件中有i 件次品 i = 0,1, 2, 3917 C20（1）由古典概型：C10（2） P( A È A È A ) = 1- P( A ) = 1- 17 1230C1020第四題數(shù)計院劉文軍（2012 年 11 月）解：設(shè)甲到達(dá)碼頭的時刻為 x ，乙到達(dá)碼頭的時刻為 y則樣本空間為W = (x, y) | 8 £ x £ 20,8 £ y £ 20設(shè) A = 甲乙兩油輪到達(dá)的時刻碼頭均為空，

4、不需要等待即 A = (x, y) ÎW | x - y ³ 2或 y - x ³ 1區(qū)域圖如下：102 +112容易算出 m(W) = 12 , m( A) =22m( A)221P( A) = m(W) = 288所以設(shè) B = 甲乙兩油輪到達(dá)的時刻相同即 B = (x, y) ÎW | y = x ，區(qū)域圖如下：容易算出 m (B) = 0所以 P(B) = 0 但是 B ¹Æ 第五題解：設(shè) A = 至少有兩人同一天過生日根據(jù)古典概型，則有B = 至少有一人在十月一號過生日數(shù)計院劉文軍（2012 年 11 月）A10P( A)

5、= 1- P( A) = 1- 365 3651036410P(B) = 1- P(B) = 1-36510練.3 條件概率、全概率公式第一題P( AB) = P(B | A)P( A) = a × cP( A È B) = P( A) + P(B) - P( AB) = a + b - a × c P( A - B) = P( A) - P( AB) = a - a × cP( A | B) = P( AB) = a × cP(B)bP(B | A) = P( AB) = P( A - AB) = a - a × cP( A)P(

6、A)aP(B | A) = P( AB) = P(B - AB) = b - a × c1- aP( A)P( A)第二題解：設(shè) A = 電子儀器使用為 1000 小時以上B = 電子儀器使用為 1500 小時以上B Ì A則B | A = 電子儀器使用為 1000 小時以后，還能繼續(xù)使用 500 小時以上P( AB)P(B)2由條件概率： P(B | A) =P( A)P( A)3第三題解：設(shè) Ai = 選取的是第i 個車間生產(chǎn)的一箱 i = 1, 2, 3B = 從箱子中選取出的是次品則 B | Ai = 已知選取的是第 i 個車間生產(chǎn)的一箱， 從箱子中選取出的是次品

7、i = 1, 2, 3由題有： P( A1 ) = 0.3, P( A2 ) = 0.2, P( A3 ) = 0.5P(B | A1 ) = 0.2, P(B | A2 ) = 0.1, P(B | A3 ) = 0.05根據(jù)全概率公式：P(B) = P( A1 )P(B | A1 ) + P( A2 )P(B | A2 ) + P( A3 )P(B | A3 )= 0.105數(shù)計院劉文軍（2012 年 11 月）Ai | B = 已知從箱子中選取出的由條件概率：i = 1, 2, 3是次品，這箱是第i 個車間生產(chǎn)的| B) = P( A1B) = P(B | A1 )P( A1 ) = 0

8、.06P( A1P(B)P(B)0.105| B) = P( A2 B) = P(B | A2 )P( A2 ) =0.02P( A2P(B)P(B)0.105| B) = P( A3 B) = P(B | A3 )P( A3 ) = 0.025P( A3P(B)P(B)0.105易得此最可能是第一車間生產(chǎn)的第四題解：設(shè) A = 人患有肝癌B = 人被此法診斷為肝癌患者則 B | A = 人患有肝癌并被此法確診為肝癌患者B | A = 人未患肝癌卻被此法誤診為肝癌患者由題得 P( A) = 0.0004，P(B | A) = 0.95，P(B | A) = 0.01根據(jù)全概率公式：P(B) =

9、 P( A)P(B | A) + P( A)P(B | A)= 0.010376由條件概率，人在被診斷為肝癌患者時，真患有肝癌的概率為：P( A | B) = P( AB)P(B)= P(B | A)P( A)P(B)= 0.037比未作檢查時的概率大了 90 倍第五題解：設(shè) A = 裝配工選 A 箱 A = 裝配工選 B 箱Bi = 取出第i 個零件是一等品 i = 1, 2則 B1B2 = 在取出第1個零件是一等品后，摸出第2 個零件仍是一等品B1 | A = 從 A 箱中取出一等品B2 | A = 從 B 箱中取出一等品B1B2 | A = 從 A 箱中取出第1個零件是一等品后，摸出第2

10、 個零件仍是一等品數(shù)計院劉文軍（2012 年 11 月）B1B2 | A =從 B 箱中取出第1個零件是一等品后，摸出第2 個零件仍是一等品根據(jù)全概率公式可得：P(B1 ) = P( A)P(B1 | A) + P( A)P(B1 | A)= 0.4| B ) = P(B1B2 )P(B21P(B )1= P(B1B2 | A)P( A) + P(B1B2 | A)P( A)P(B1 )C1C1C1 C11( 10 9 + 18 17 )C1 C1C1 C12=504930290.4= 0.4856第六題解：設(shè) A = 系統(tǒng)有效， B = 系統(tǒng)有效則有 P( A) = 0.92，P(B) =

11、0.93，P(B | A) = 0.85P( A È B) = 1- P( AB)= 1- P( A - AB)= 1- (P( A) - P( AB)= 1- (P( A) - P( AB) × P( A)P( A)= 1- (P( A) - P(B | A) × P( A)= 0.988練.4性第一題解：這五次試驗的結(jié)果相互有影響，不，不能用二項概率公式。第二題解：設(shè) A = 甲破譯了D = 恰有一人破譯了由題可知： A、B、C 相互B = 乙破譯了C = 丙破譯了E = ，則有：被破譯數(shù)計院劉文軍（2012 年 11 月）P(D) = P( ABC) + P

12、( ABC) + P( ABC)= P( A)P(B)P(C) + P( A)P(B)P(C) + P( A)P(B)P(C)= 1330P(E) = 1- P(E)= 1- P( ABC)= 1- P( A)P(B)P(C)= 35第三題= 恰有i次取到次品, i = 0,1, 2, 3, 4解：設(shè) AiB = 至少有三次取到次品由題意，每次取電阻相互，根據(jù)二項概率公式：P( A ) = C 2 (0.01)2 (0.99)224P(B) = P( A3 ) + P( A4 )= C3 (0.01)3 (0.99)1 + C 4 (0.01)4 (0.99)044第四題解：設(shè) Ai = 三個

13、燈泡使用1000小時后恰有i個燈泡壞了, i = 0,1, 2, 3B = 三個燈泡使用1000小時后至多有1個燈泡壞了由題意，每個燈泡的使用P(B) = P( A0 ) + P( A1)相互，根據(jù)二項概率公式：=C0 (0.8)0 (0.2)3 + C1(0.8)1(0.2)233第五題解：設(shè) Ai = 第i道工序, i = 1, 2, 3不B = 三道工序后是次品由題意，各道工序是互不影響的，相互，則有：數(shù)計院劉文軍（2012 年 11 月）P(B) = 1- P(B)= 1- P( A1 A2 A3 )= 1- P( A1)P( A2 )P( A3)= 1- 0.90307= 0.096

14、93自測題第一章第一題1、等可能性；無窮的。2、不能同時發(fā)生；至少有一個發(fā)生。3、互斥； P( AB) 。4、 P( AB) ；相互。5、 A Ç (B È C) ； A Ì (B È C) 。6、至多 3 次；至少 7 次。7、數(shù)學(xué)書全都是 90 年后的中文版的館有 90 年或者 90 年以前的外文版的數(shù)學(xué)書。：1、 A Ç B Ç C = A Þ A Ì (B Ç C)又 B Ç C=90年后 A Ç B Ç C = 的中文版的書館里的數(shù)學(xué)書全都是90年后的中文版的2、由

15、題：A - B = 外文版的數(shù)學(xué)書又( A - B) Ç C ¹ ÆC = 90年或者90年后的所以館有 90 年或者 90 年以前的外文版的數(shù)學(xué)書第二題1、錯；2、對；3、錯；樣本空間可能不是所有足球隊員。4、對；5、對；6、錯；A、B、C 相互有影響，當(dāng)摸上來的是三個單色球之中的一個，A、B、C 互。斥，當(dāng)摸上來的是三色球，A、B、C 同時發(fā)生。所以A、B、C 不第三題1、W= 3, 4, 5,.,10數(shù)計院劉文軍（2012 年 11 月）2、W= ì 0 ,., 3000 ü12í30 30ýî3030

16、54;第四題解：由題意ìP( A)P(B) = 1ïí9ïîP( A)P(B) = P( A)P(B)11Þ P( A) ×= (1- P( A) × (1-)9(1- P( A)9(1- P( A)Þ P( A) = (1- P( A)(8 - 9P( A)Þ P( A) = 23第五題解：設(shè) Ai = 4名代表中有i名女工, i = 1，2，3B = 4名代表中至少有2名女工根據(jù)古典概型：P(B) = P( A2 ) + P( A3)C2 × C2 + C3 × C1=

17、3737 C410第六題解：設(shè) A = 甲破譯了B = 乙破譯了C = 丙破譯了D = 此未被丙破譯，而甲、乙至少有一人破譯了由題可知： A、B、C 相互P(D) = P(C) × (1- P( AB)= P(C) × (1- P( A) × P(B)，則有：720=第七題解：設(shè) A = 此件是正品 B = 此件被檢驗為正品則 B|A = 此件是正品的被檢驗為正品數(shù)計院劉文軍（2012 年 11 月）B|A = 此件是次品的被誤檢驗為正品A|B = 此件被檢驗為正品并且確實是正品由題： P(B|A) = 0.98 P(B|A) = 0.05P(B) = P( A)

18、P(B | A) + P( A)P(B | A)= 0.9428P( A | B) = P( AB)P(B)= P( A)P(B | A)第二章 隨量P(B)= 0.9979練習(xí) 2.1 隨量及其分布函數(shù)第一題（3）： 根據(jù)隨量分布函數(shù)的性質(zhì)：1 F (x) 單調(diào)不減；2 lim F(x) = 1 ， lim F(x) = 0 ；x®+¥x®-¥3F (x) 右連續(xù)。（1）不符合性質(zhì) 2， lim F(x) = 2x®+¥（2） 不符合性質(zhì) 1， sin x 在0,p ) 上不為單調(diào)不減（3） 符合所有性質(zhì)。第二題解： F (x) 為

19、隨量 X 的分布函數(shù)，則有l(wèi)im F(x) = 1 Þ (2) = 1x®+¥F (x) 單調(diào)不減Þ (3) £ 0又 F (x)右連續(xù)Þ (1) = (3) = 0第三題解：數(shù)計院劉文軍（2012 年 11 月）lim F(x) = 1， lim F(x) = 0 ；（1）x®+¥x®-¥pì Aì A = 1+× B = 1 2ïï21píÞ ípï A -× B = 0ïB =&#

20、239;îïî212（2）根據(jù)定義易得： P(-1 < X £ 1) = F (1) - F (-1) =練習(xí) 2.2 離散型隨量及其分布第一題N (N +1N（1） å P( X = K ) = 1 Þ a ×K =12N1（2） P(< X £ 3) = P(1) + P(3) = 0.3 2（3） X 的所有可能取值為0,1, 2C 2145P( X = 0) = 2 =C21012 =1645C10C22845P( X = 2) = 8 =C210第二題解： X 的所有可能取值為0,1, 2A3

21、2235P( X = 0) = 13 =A315X012pk141424數(shù)計院劉文軍（2012 年 11 月）2× C11235132 =A315C2135 2 =A15第三題解： X 的所有可能取值為0,1, 2, 3P(X = 0) = C0 ×(0.1)0 ×(0.9)3 = 0.7293P(X =1) = C1 ×(0.1)1 ×(0.9)2 = 0.2433P(X = 2) = C2 ×(0.1)2 ×(0.9)1 = 0.0273P(X = 3) = C3 ×(0.1)3 ×(0.9)0 =

22、0.0013第四題是第五題解：設(shè) 5 個同類型的供水設(shè)備被使用數(shù)位 X（1） P(X = 2) = C2 ×(0.1)2 ×(0.9)3 = 0.07295（2）P( X ³ 1) = 1- P( X < 1)= 1- P( X = 0)= 1- (0.9)5= 0.4095第五題解：設(shè)次數(shù)為 X ，則 X B(5000，0.001) ，由于 n = 5000很大， p = 0.001 很小，n × p = 5 不太大，故可用泊松近似公式，令l = n × p = 5 ，有X0123pk0.7290.2430.0270.001X012pk

23、22351235135數(shù)計院劉文軍（2012 年 11 月）P( X ³ 2) = 1- P( X = 0) - P( X = 1)e-5 × 50e-5 × 51» 1-0!1!= 1- 6e-5練習(xí) 2.3 連續(xù)型隨量及其分布第一題（1）2 ；（2）1.96；（3）0.4；（4）0.4931；ì0, x < 900ì1, 900 £ x £ 1100ï x - 900f (x) = ï 200； F (x) = í, 900 £ x £ 1100（5）&#

24、237;200ïî0, or elseïïî1, x > 1100第二題pòcos xdx = 2 ，不符合分布密度函數(shù)的特點不正確，因為2p2-第三題解：當(dāng) x £ 0 時， F (x) = 0當(dāng)0 < x £ p 時， F(x) =cos xdx = sin xxò2當(dāng) x > p 時， F (x) = 120ppp2 -2ò P(< x £) =2 cos xdx =p4224第四題+¥+¥òòòò

25、;-f (x)dx =Aedx = 2A = 1解：由分布函數(shù)的特點，可得-¥-¥-¥0得 A = 1111 11- xò- xò即 f (x) =e，則 P(0 < x < 1) =edx =e dx =- x2222e00當(dāng) x < 0 時， f (x) = 1 ex ， F (x)ò2-¥ 22當(dāng) x > 0 時， f (x) = 1 e-x ， F (x) = 1 + ò222220數(shù)計院劉文軍（2012 年 11 月）第五題x-13-200200òò解： F (

26、200) =f (x)dx =f (x)dx = - e 600 |200 = 1- e0-¥0-11e則三個兩件在 200 小時內(nèi)，至少有一只元件損壞的概率為： P = 1- (e 3 )3 = 1-練習(xí) 2.4 隨量函數(shù)的分布第一題（1）（2）ìP(Y = 1) =( )n1ì1å2kï( 2) , X = 2n2nïï P(Y = 1) 21k =1P( X ) = íÞ íÞ=P(Y = -1)21n1ïïåïî( 2), X

27、= 2n -12n-1P(Y = -1) =( )2k -1ïî2k =1（3）3 yyFY) = P(Y £ y) = P( X £ y) = P( Xy ) = òf (x)dx = F (x) |= Fy )33£ 3( 3- 211f ( y) = F ' ( y) = Fy ) = f1 ( 3y ) × ( 3 y )' =y 3 f ( y 3 ) 3( 3YYXX（4）F ( y) = P(Y £ y) = P(e- X £ y) = P(- X £ ln y)

28、= P( X ³ -ln y) = 1- P( X £ -ln y)Y- ln yò-¥= 1-x)dx = 1- F (x) |-ln y = 1- F (-ln y)fX-¥X0 < x < 1 Þ 0 < -ln y < 1 Þ e-1 < y < 1f ( y) = F ' ( y) = -F 1(-ln y) = - f (-ln y) × (-ln y)'YYXXì- 2 ln y, 1 < y < 1= ïye

29、7;ïî0, or else第二題解： X N(m，s 2 )Y-11pk2313Y210-1-2-3pk112161311214112數(shù)計院劉文軍（2012 年 11 月）-( x-m )21 f (x) = e2s 2X2psF ( y) = P(Y £ y) = P(3 - X £ y) = P( X ³ 15 - 5 y) = 1- P( X £ 15 - 5 y)Y515-5 yò-¥x)dx = 1- F (x) |15-5 y = 1- F (15 - 5 y)= 1-fX-¥Xf ( y)

30、 = F ' ( y) = -F 1(15 - 5 y) = - f (15 - 5 y) × (15 - 5 y)'YYXX(3- m - y )2-5(15-5 y -m )22(s )2511-= - e× (-5) =2s 2es2ps2p ()5即Y N(3 - m ，() )s255第三題解：設(shè)球的直徑為 D ,球的體積為V由于球的直徑服從a, b 的均勻分布，ì1, a < d < b(d ) = ïb - a fíDïî0, or else4D16V又因為V =p () =p D

31、Þ D = 3 33p3266v11當(dāng) a < 3< b 時，即 p a < v <p b 時33p663 6v3 6v16v6vpòF (v) = P(V £ v) = P( p D3 £ v) = P(D £ 3) =(d )dd = F (d ) |= Fppf( 3)VpDD-¥D6-¥6vp6v6vf (v) = F(v) = F) = fD ( 3) × ( 3)'1( 3'VVDpp11p26=× × ()3 × ( )b - a

32、36vpì1p21611× × ()3 × ( ), p a3 < v <p b3ï綜上所述： fV (v) = íb - a36vp66ïî0, or else第四題數(shù)計院劉文軍（2012 年 11 月）- x21解：因為 X 服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，即 y = e22pY = 1- 2 | X |F ( y) = P(Y £ y) = P(1- 2 | X |£ y) = P(| X |³ 1- y )Y21- y當(dāng)< 0 時，即 y > 1, F ( y) =

33、0 Þ f ( y) = 0YY21- y當(dāng)³ 0 時，即 y £ 1，2F ( y) = P(Y £ y) = P(1- 2 | X |£ y) = P(| X |³ 1- y ) = P( X £ y -1 + P( X)³ 1- y )Y222y -11- y= P( X £) +1- P( X £)22y-11- y= òf (x)dx -f X (x)dx +1ò22X-¥-¥y-11- y= FX (x) |-F(x) |+122-¥

34、X-¥y-11- yf ( y) = F ' ( y) = (F (x) |)' - (F (x) |)'22YYX-¥X-¥( y -1y -1 ') × () -1- y1- y=f X () × ()'fX222(1- y )22( y -1)21- 211- 21=×-2× (- ) 2 e e222p2p-( y -1)21= e82pì0.y > 1ï綜上所述： f ( y) = í-( y-1) 21, y £ 1e8

35、9;2pî自測題 第二章第一題ìe-x , x > 0c - a11512f (x) = í0, x £ 0（1）；（2）；（3） （4）2b - a2第二題（5）315e4î（1）錯（2）錯（3）錯（4）對第三題解：當(dāng) x < 0 時， F (x) = P( X £ x) = 0當(dāng)0 £ x < 1時， F (x) = P( X £ x) = P( X = 0) = q數(shù)計院劉文軍（2012 年 11 月）當(dāng) x ³ 1時， F (x) = P( X £ x) = P( X

36、= 0) + P( X = 1) = 1F (x) 圖形：第四題e-ll0= 0.4 Þ l = -ln 0.4解： P( X = 0) = 0.4 Þ0!P( X ³ 2) = 1- P( X = 0) - P( X = 1) - P( X = 2) = 0.6 + 0.4 ln 0.4第五題解：設(shè)次數(shù)為 X ，則 X B(1000，0.005) ，由于 n = 1000很大， p = 0.005 很小，n × p = 5 不太大，故可用泊松近似公式，令l = n × p = 5 ，有e-5 ×50e-5 ×51P( X

37、³ 0) = 1- P( X = 0) » 1-= 1- e-5P( X = 1) »= 5e-50!1!第六題y ) 3解：設(shè)隨量 X 的分布函數(shù)為 F (x) ， 而 F ( y) = P(Y £ y) = P(3X £ y) = P( X £y當(dāng) < a 時，即 y < 3a 時， F ( y) = 03 yyò當(dāng) a ££ b 時，即3a £ y £ 3b 時， F( y) =f (x)dx33y當(dāng)> b 時，即 y > 3b 時， F ( y) = 1

38、3aì1yf ( ), 3a £ y £ 3bï又 F ( y) = f ( y) 則'f ( y) = í33ïî0, or else第七題解：X服從均勻分布數(shù)計院劉文軍（2012 年 11 月）ì1 ,1 < x < 6 f (x) = ï5íïî0, or else又方程有實根，則 X 2 - 4 ³ 0 Þ X ³ 2 或 X £ -2 P = ò 1 dx = 462 55第三章 隨機(jī)向量練習(xí) 3

39、.1 二維隨機(jī)向量及其分布第一題+¥ +¥密度函數(shù)性質(zhì)： ò-¥ ò-¥ f (x, y)dxdy = 11、根據(jù)連續(xù)型二維隨量 1 25+¥ +¥9 10òòò òf (x, y)dxdy =Cdxdy = 25C Þ C =-¥ -¥4 52、P(x +h £ 1) =1 1- yòòx+ y£1ò ò-( x+2 y )f (x, y)dxdy =2edxdy0 011- y1&#

40、242;ò= 2é-e-( x+2 y )ùdy = 2(-e+ e)dy-( y +1)-2 y0 ëû00e-2 y ù1é= 2 êe-( y+1) -= e-2 - 2e-1 +1 = 0.3996ú2ëû03、當(dāng) x ³ 0, y ³ 0 時，¶2F (x, y)¶x¶y¶(e- x - e- x- y )¶y- x- y- x- y- x- yF (x, y) = 1- e- e+ eÞ f (

41、x, y) = eìe-x- y , x ³ 0, y ³ 0f (x, y) = íî0, or else數(shù)計院劉文軍（2012 年 11 月）4、20xyxyò òò ò2F (x, y) =f (u, v)dudv =dudvp (u +16)(v + 25)22-¥ -¥-¥ -¥54p 2 (v2 + 25)()xyò ò=dudvu-¥ -¥( ) +1)2451d u4yxò2ò=dvp (v

42、 + 25)u2-¥-¥( ) +1)245(arctan x + p )5(arctan x - lim arctan u )y 4u®-¥4 dv =y 42 dvòò=p 2 (v2 + 25)p 2 (v2 + 25)-¥-¥arctan x + parctan x + p 1d v =42 × (arctan y - lim arctan )v=42yòpvp22555-¥v®-¥( ) +125(arctan x + p )(arctan y + p )

43、=4252 p 2= ( 1 ×arctan x + 1 )( 1 ×arctan y + 1)p第二題解：42 p52當(dāng) x < 0 or y < 0 時， F (x, y) = P(x £ x,h £ y) = 0當(dāng)0 £ x < 1, 0 £ y < 1 時， F (x, y) = P(x £ x,h £ y) = P(x = 0,h = 0) = 14hx010141411414數(shù)計院劉文軍（2012 年 11 月）0 £ x < 1, y > 1 or 0 &

44、#163; y < 1, x > 1當(dāng)時，F(xiàn) (x, y) = P(x £ x,h £ y) = P(x = 0,h = 0) + P(x = 1,h = 0) = 12or F (x, y) = P(x £ x,h £ y) = P(x = 0,h = 0) + P(x = 0,h = 1) = 12當(dāng) x ³ 1, y ³ 1時，F(xiàn) (x, y) = P(x £ x,h £ y) = P(x = 0,h = 0) + P(x = 0,h = 1) + P(x = 1,h = 0) + P(x = 1

45、,h = 1) = 1x < 0 or y < 00 £ x < 1, 0 £ y < 1ì0 ,ï1ï,綜上所述， F (x, y) = ï 4í1ï0 £ x < 1, y > 1 or 0 £ y < 1, x > 1x ³ 1, y ³ 1,ï 2ï1 ,î第三題解：2y3òòx+ y³1òP(x +h ³ 1) =x23163601- x0

46、 ëû1- x0124356é 1ë 449 5 24ù65721ò=(û00第四題+¥ +¥分布密度函數(shù)性質(zhì)： ò-¥ ò-¥x2 + y2 )dxdyf (x, y)dxdy = 1解：1、根據(jù)連續(xù)型二維隨量+¥ +¥òòòòx+ y£Rf (x, y)dxdy =C(R -¥ -¥令 x = r cosq , y = r sinqr 3 ùR2p é

47、Rr 22p+¥ +¥Ròòòòx2 + y2 )dxdy = C òdq ò (R - r)rd r = C òdqf (x, y)dxdy =C(R -êú23-¥ -¥000ëû0x+ y£Rp R3R332p= C ò0dq =C Þ C = p R3632、令 x = r cosq , y = r sinq ， (x ,h) 落在 x2 + y2 £ r2 (r < R) 內(nèi)的概率為數(shù)計院劉

48、文軍（2012 年 11 月）3p R332pròòòò3P(x 2 +h 2 £ r2 ) =q(R - r)rd r(R -x2 + y2 )dxdy =dp R2r3R300x2 + y2 £r232p é Rr 2r 3 ùrRr2r33r232p= p R3 ò023dq = p R3 ò0 (- 3 )dq =-êú2R2ëû0第五題¥ ¥解：1、根據(jù)離散型二維隨量概率性質(zhì)： åå pij = 1i=1

49、j =11 + 1 + 1 + a = 1 Þ a = 144632、當(dāng) x < -1 or y < 1 時， F (x, y) = P(x £ x,h £ y) = 0當(dāng)-1 £ x < 0,1 £ y < 2 時， F (x, y) = P(x £ x,h £ y) = P(x = -1,h = 1) = 14-1 £ x < 0, y > 2當(dāng)時，512F (x, y) = P(x £ x,h £ y) = P(x = -1,h = 1) + P(x =

50、 -1,h = 2) =當(dāng)1 £ y < 2, x > 0 時， F (x, y) = P(x £ x,h £ y) = P(x = -1,h = 1) + P(x = 0,h = 1) = 12當(dāng) x ³ 0, y ³ 2 時，F(xiàn) (x, y) = P(x £ x,h £ y)= P(x = -1,h = 1) + P(x = -1,h = 2) + P(x = 0,h = 1) + P(x = 0,h = 2) = 1x < -1 or y < 1-1 £ x < 0,1 

51、3; y < 2ì0,ï1ïï 4,ï 5F (x, y) =-1 £ x < 0, y > 2綜上所述，,íï12ï11 £ y < 2, x > 0x ³ 0, y ³ 2,ï 2ïïî1 ,練習(xí) 3.2-3.3二維隨機(jī)向量的邊緣分布和條件分布第一題+¥ +¥量密度函數(shù)性質(zhì)： ò-¥ ò-¥ f (x, y)dxdy = 1解：1、根據(jù)連續(xù)型二

52、維隨數(shù)計院劉文軍（2012 年 11 月）é x2 y2 ù1é x2 y2 ù1+¥ +¥1111òòf (x, y)dxdy = ò dxCx ydy = Còòdx = C ò2dxêúêú22-¥ -¥-12-1 ë-1 ëxûx2ûx2é x3x7 ù14x62141ò= C(- )dx = C ê26-ú14=C &

53、#222; C =212-1ëû-12、 X 的概率邊緣分布密度函數(shù)：ì2142181ò2x (1- x ) , -1 £ x £ 124ïx ydy+¥òf (x) =f (x, y)dy =í2xX-¥ïî0,or elseì52147yïòx2 ydx =y 2 , 0 £ y £ 12+¥Y 的概率密邊緣分布度函數(shù)： fY ( y) = ò-¥ f (x, y)dx = 

54、7;-yïî0, or else第二題解 ： 1 、 因 為 (x ,h) 服 從 均 勻分布 ，設(shè) 其 概 率 密 度 函 數(shù) 為, -a < x < a, -b < y < b, or elsef (x, y) = ìCíî0Cdxdy =dxCdy = 4ab × C = 1 Þ C = 1 +¥ +¥abòòòò根據(jù)均勻分布概率密度函數(shù)性質(zhì)：4ab-¥ -¥-a-bì1, -a < x < a

55、, -b < y < b, or elsef (x, y) = ï 4abíïî0即14ab1+¥bò-¥ò2、x 的概率密度函數(shù)： f (x) =f (x, y)dy =dy =, -a < x < a2ax-b11+¥aò-¥òh 的概率密度函數(shù)： f ( y) =f (x, y)dx =dx =, -b < y < b2bh4ab-a第三題解：1、根據(jù)二維隨量條件分布有：P(h = 1,x = 0) = P(h = 1| x = 0)

56、 × P(x = 0) = 1 × (0.3)0 (0.7)1 = 0.17P(h = 2,x = 0) = P(h = 2 | x = 0) × P(x = 0) = 2 × (0.3)0 (0.7)1 = 0.27P(h = 3,x = 0) = P(h = 3 | x = 0) × P(x = 0) = 4 × (0.3)0 (0.7)1 = 0.47P(h = 1,x = 1) = P(h = 1| x = 1) × P(x = 1) = 1 × (0.3)1(0.7)0 = 0.152P(h = 2,x = 1) = P(h = 2 | x = 1) &