1、上上 頁頁下下 頁頁結結 束束返返 回回第七章第七章 剛體力學剛體力學7.3 剛體定軸轉動的角動量剛體定軸轉動的角動量轉動慣量轉動慣量7.3.1 剛體定軸轉動對軸上一點的角動量剛體定軸轉動對軸上一點的角動量7.3.2 剛體對一定轉軸的轉動慣量剛體對一定轉軸的轉動慣量7.3.3 剛體定軸轉動的角動量定理和轉動定理剛體定軸轉動的角動量定理和轉動定理7.3.4 剛體的重心剛體的重心7.3.5 典型例子典型例子上上 頁頁下下 頁頁結結 束束返返 回回第七章第七章 剛體力學剛體力學7.3 剛體定軸轉動的角動量剛體定軸轉動的角動量轉動慣量轉動慣量7.3.1 剛體定軸轉動對軸上一點的角動量剛體定軸轉動對軸上

2、一點的角動量1.轉軸為對稱軸轉軸為對稱軸 zm1m2Or1r2 2r1r L1L2L如圖如圖,對對O點點 k 1111vmrL 2222vmrL 1111vmrL 2222vmrL 因因m1= m2= m kLL coscos222111vmrvmrL 22mr rrr 21rvv 21故總角動量故總角動量 上上 頁頁下下 頁頁結結 束束返返 回回第七章第七章 剛體力學剛體力學2.轉軸為非對稱軸轉軸為非對稱軸 zm1m2O 2 12r 1r L1L2Lk 如圖如圖, 對對O點同樣有點同樣有 1111vmrL 2222vmrL 1111vmrL 2222vmrL 21LLL 總角動量與轉軸成總角

3、動量與轉軸成 角角. 剛體繞對稱軸轉動時，剛體上任一點的角動量剛體繞對稱軸轉動時，剛體上任一點的角動量與角速度方向相同與角速度方向相同.一般情況，剛體定軸轉動對軸上一般情況，剛體定軸轉動對軸上一點的角動量并不一定沿角速度的方向，而是與之一點的角動量并不一定沿角速度的方向，而是與之成一定夾角成一定夾角.上上 頁頁下下 頁頁結結 束束返返 回回第七章第七章 剛體力學剛體力學7.3.2 剛體對一定轉軸的轉動慣量剛體對一定轉軸的轉動慣量iiiivmrL 質點系對點的角動量質點系對點的角動量 設剛體繞設剛體繞Oz 軸轉動，剛體角動量在軸轉動，剛體角動量在 z 軸的投影軸的投影 iizzLL iiirm

4、)(2ziizrv 22rmIiz剛體對剛體對 z 軸轉動慣量軸轉動慣量 剛體對剛體對 z 軸角動量軸角動量 zzzIL 轉動慣量是轉動慣性的量度轉動慣量是轉動慣性的量度. 22ML mkg 單單位位：1.轉動慣量轉動慣量 上上 頁頁下下 頁頁結結 束束返返 回回第七章第七章 剛體力學剛體力學二轉動剛體發生完全非彈性碰撞角動量守恒二轉動剛體發生完全非彈性碰撞角動量守恒 上上 頁頁下下 頁頁結結 束束返返 回回第七章第七章 剛體力學剛體力學質量連續質量連續分布的剛體分布的剛體 VmSmlmmrJddddddd2 體體面面線線其中其中 、 、 分別為質量的線密度、面密度和體分別為質量的線密度、面密

5、度和體密度密度.轉軸的位置轉軸的位置; 質量分布質量分布. 總質量；總質量；轉動慣量的決定因素：轉動慣量的決定因素：上上 頁頁下下 頁頁結結 束束返返 回回第七章第七章 剛體力學剛體力學例例1求均質圓盤求均質圓盤(m,R)過圓心且與板面垂直的轉軸的過圓心且與板面垂直的轉軸的轉動慣量轉動慣量 .解解242121mRhR xyzrdr盤由許多環組成盤由許多環組成 mrIdd2 mrId2 rhrrd22 Rrrh03d2 上上 頁頁下下 頁頁結結 束束返返 回回第七章第七章 剛體力學剛體力學2.幾種典型形狀剛體的轉動慣量幾種典型形狀剛體的轉動慣量 圓筒圓筒 )(212221RRmI 圓環圓環I=m

6、R2 RmO O 圓柱圓柱 221mRI LRR2R12121mlI 細圓棒細圓棒l上上 頁頁下下 頁頁結結 束束返返 回回第七章第七章 剛體力學剛體力學R圓球圓球 252mRI 球殼球殼 R232mRI 3. 回轉半徑回轉半徑 任何轉動慣量均有任何轉動慣量均有 I = mk2 k稱為回轉半徑稱為回轉半徑 Rk52 圓球圓球Rk21 圓柱圓柱質量相同的剛體，質量相同的剛體，I ，k 上上 頁頁下下 頁頁結結 束束返返 回回第七章第七章 剛體力學剛體力學(1)平行軸定理平行軸定理 ABCdxmi i i i iiCmI2 對對C A軸平行軸平行C 軸（質心軸）軸（質心軸）對對AiiAmI2 由圖

7、由圖 iiiidd cos2222 iiAmI2 )cos2(22iiiiddm dmdmmiiiiii2cos22 iiiiixmm cos故：故： 2mdIIcA 平行軸定理平行軸定理 0 cmx4.反映轉動慣量性質的定理反映轉動慣量性質的定理 上上 頁頁下下 頁頁結結 束束返返 回回第七章第七章 剛體力學剛體力學(2)垂直軸定理（正交軸定理）垂直軸定理（正交軸定理）mi ixyz yixiOyxzIII (3)可疊加原理可疊加原理 若一個復雜形狀的物體是由許多簡單形體組成，若一個復雜形狀的物體是由許多簡單形體組成，則這個復雜物體的對某軸的轉動慣量等于各簡單形則這個復雜物體的對某軸的轉動慣

8、量等于各簡單形體對同一轉軸的轉動慣量之疊加體對同一轉軸的轉動慣量之疊加.上上 頁頁下下 頁頁結結 束束返返 回回第七章第七章 剛體力學剛體力學7.3.3 剛體定軸轉動的角動量定理和轉動定理剛體定軸轉動的角動量定理和轉動定理zzzizIttLM dddd iizzLLzziiiIrm )(2剛體對定軸的角動量剛體對定軸的角動量 角動量定理微分形式角動量定理微分形式 0dzzzzzIItM 角動量定理積分形式角動量定理積分形式 上上 頁頁下下 頁頁結結 束束返返 回回第七章第七章 剛體力學剛體力學剛體定軸轉動剛體定軸轉動 I = 常量常量zzizIM 剛體定軸轉動的轉動定理剛體定軸轉動的轉動定理說

9、明：說明：地地位位相相當當與與amFIM )1(式式中中各各量量對對同同一一轉轉軸軸)2(.00 , ,3轉轉動動第第一一定定律律恒恒量量，若若則則常常量量）（ MMI IM 上上 頁頁下下 頁頁結結 束束返返 回回第七章第七章 剛體力學剛體力學驗證剛體定軸轉動定理的演示實驗驗證剛體定軸轉動定理的演示實驗 上上 頁頁下下 頁頁結結 束束返返 回回第七章第七章 剛體力學剛體力學7.3.4 剛體的重心剛體的重心重心重心剛體處于不同方位時剛體處于不同方位時,重力作用線都要通過的那重力作用線都要通過的那 一點一點. 如圖如圖,被懸掛剛體處于靜止被懸掛剛體處于靜止,C為重心為重心,因因C不動不動,可視為

10、可視為轉軸轉軸.因為剛體靜止因為剛體靜止,所以諸體元重力對所以諸體元重力對C 軸合力矩為零軸合力矩為零.xzCiWyABDWCCABDW0)( ciixxW上上 頁頁下下 頁頁結結 束束返返 回回第七章第七章 剛體力學剛體力學WzWziic gmWii 則重心坐標與質心坐標同，但概念不同則重心坐標與質心坐標同，但概念不同. 質心是質量質心是質量中心，其運動服從質心運動定理中心，其運動服從質心運動定理. 重心是重力合力作重心是重力合力作用線通過的那一點用線通過的那一點.WxWxiic WyWyiic 若取若取上上 頁頁下下 頁頁結結 束束返返 回回第七章第七章 剛體力學剛體力學7.3.5 典型例

11、子典型例子例題例題2如圖如圖(a)表示半徑為表示半徑為R的放水弧形閘門，可繞圖的放水弧形閘門，可繞圖中左方質點轉動，總質量為中左方質點轉動，總質量為m,質心在距轉軸質心在距轉軸 處，處，閘門及鋼架對質點的總轉動慣量為閘門及鋼架對質點的總轉動慣量為 ,可用鋼可用鋼絲繩將弧形閘門提起放水，近似認為在開始提升時鋼絲繩將弧形閘門提起放水，近似認為在開始提升時鋼架部分處于水平，弧形部分的切向加速度為架部分處于水平，弧形部分的切向加速度為a=0.1g，g為重力加速度為重力加速度,不計摩擦不計摩擦,不計水浮力不計水浮力.297mRI R32圖圖(a) 上上 頁頁下下 頁頁結結 束束返返 回回第七章第七章 剛

12、體力學剛體力學（1）求開始提升時的瞬時，鋼絲繩對弧形閘門的拉力）求開始提升時的瞬時，鋼絲繩對弧形閘門的拉力和質點對閘門鋼架的支承力和質點對閘門鋼架的支承力.（2）若以同樣加速度提升同樣重量的平板閘門）若以同樣加速度提升同樣重量的平板閘門圖圖(b)需拉力是多少？需拉力是多少？TF W圖圖(b) 上上 頁頁下下 頁頁結結 束束返返 回回第七章第七章 剛體力學剛體力學xyONFTFW圖圖(a) 解解（1）以弧形閘門及鋼架）以弧形閘門及鋼架為隔離體，受力如圖為隔離體，受力如圖(a)所示所示. 建立直角坐標系建立直角坐標系Oxy，camWFF NT向向x及及y軸投影得軸投影得 根據轉動定理根據轉動定理x

13、cxmaF NzmRRmgRF 2T9732 ycymaFmgF NT0 xcaRaz Razcy 32 起動時起動時根據質心運動定理根據質心運動定理 上上 頁頁下下 頁頁結結 束束返返 回回第七章第七章 剛體力學剛體力學即起動瞬時繩對閘板的拉力為即起動瞬時繩對閘板的拉力為 ，質點，質點O 對閘門鋼對閘門鋼架的支承力豎直向上，大小等于架的支承力豎直向上，大小等于29mg/90.mg9067TF W圖圖(b) mgFy9029N mgF9067T 0N xF(2) 用用 表示提升平板形閘門所用的拉力，對閘門應表示提升平板形閘門所用的拉力，對閘門應用牛頓第二定律，得：用牛頓第二定律，得：TF mg

14、F1011T 比較上面結果，可見提升弧形閘門比較上面結果，可見提升弧形閘門所用的拉力較小所用的拉力較小.mamgF T上上 頁頁下下 頁頁結結 束束返返 回回第七章第七章 剛體力學剛體力學例題例題3如圖表示一種用實驗方法測量轉動慣量的裝置。如圖表示一種用實驗方法測量轉動慣量的裝置。待測剛體裝在轉動架上，線的一端繞在轉動架的輪軸上，待測剛體裝在轉動架上，線的一端繞在轉動架的輪軸上，線與線軸垂直，輪軸的軸體半徑為線與線軸垂直，輪軸的軸體半徑為r，線的另一端通過定，線的另一端通過定滑輪懸掛質量為滑輪懸掛質量為m的重物，已知轉動架慣量為的重物，已知轉動架慣量為I0 ，并測得，并測得m自靜止開始下落自靜止開始下落 h 高度的時間為高度的時間為 t ,求待測物體的轉動求待測物體的