1、“一元二次方程”教學分析與決策 1 研究背景“一元二次方程”是浙教版課標教材八年級下冊第二章第一節第一課時的內容。這節課普遍存在的問題是：課堂教學缺乏內涵和思想，且有盲目增補教學內容和隨意提高教學要求的現象。從說課活動中發現：教師對數學內容的本質、內容的邏輯結構和思想方法結構、內容蘊涵的科學方法、理性思維過程和價值觀資源認識模糊，從而導致說課缺乏內涵和思想?；谶@種事實，我們在區域性教研活動中進行了一次以“一元二次方程”為載體的教學分析與決策的微格教研活動?；顒咏洑v了“教學分析教學決策實踐驗證修改完善”的過程。筆者認為“一元二次方程”教學分析與決策，不但有助于教師明確“一元二次方程”的內涵和思

2、想，而且對幫助教師學會科學的教學分析的方法和提高有效的教學決策的能力會產生積極的影響。因此，特將其呈現如下，供讀者參考與研究。2 教學分析2.1 內容及其解析內容：“一元二次方程”主要講兩方面的內容：一元二次方程的概念，一元二次方程的一般形式。內容的邏輯結構及思想方法結構的概括見圖1。一元二次方程的概念一元二次方程特點方程概念 演繹 數學模型現實問題 數學化 概括 抽象一元二次方程一般形式 表示一元一次方程概念 類比 一元一次方程一般形式 類比圖1解析：“一元二次方程”是在學生學習了“一元一次方程”、“二元一次方程（組）”的基礎上，為滿足解決某些實際問題和進一步學習數學的需要提出來的，是體會方

3、程思想和方程是刻畫現實世界的一個有效的數學模型的繼續。一元二次方程概念與方程概念的聯系方式是“類屬關系”，一元二次方程概念與一元一次方程和二元一次方程（組）概念的聯系方式是“并列結合關系”，一元二次方程概念與有關現實問題的數學模型的聯系方式是“總括關系”。內容的數學本質是：研究現實世界數量的相等關系及研究相等關系的方法和觀念。內容的核心目標是：體會方程思想和方程是刻畫現實世界的一個有效的數學模型。內容蘊涵的方程思想、類比思想、數學化方法、觀察與比較方法、抽象表示方法等對發展學生的智力會產生積極的影響；內容蘊涵的理性思維過程對發展學生的概括能力和類比能力、豐富學生轉化、類比、反思等數學活動經驗、

4、形成多邊思維碰撞的學習狀態等有積極作用；內容能結合現實中的問題，對增強學生的方程意識和懂得數學的價值也有重要作用。重點：一元二次方程的涵義及表示，特別是體會方程思想和方程是刻畫現實世界的一個有效的數學模型。2.2 教學問題診斷認知特點：一元二次方程是特殊的方程，如果按這個思路進行教學，概念學習的學習形式類型是下位學習，思維形式是演繹。一元二次方程與一元一次方程、二元一次方程（組）既有聯系又有區別，如果按這個思路進行教學，概念學習的學習形式類型是并列結合學習，思維形式是類比。一元二次方程是現實問題的數學模型，如果按這個思路進行教學，概念學習的學習形式類型是上位學習，思維形式是歸納。一元二次方程一

5、般形式與一元一次方程一般形式既有聯系又有區別，一元二次方程一般形式的學習形式類型是并列結合學習，思維形式是類比。認知基礎：如果采用下位學習的形式，學生需要知道方程概念和具有演繹的能力；如果采用并列結合學習的形式，學生需要知道一元一次方程和二元一次方程的概念，需要具有一定的類比能力；如果采用上位學習的形式，學生需要具有現實問題轉化為數學問題的符號化經驗和觀察、比較、概括、類比的經驗。認知障礙：用上位學習的形式概括一元二次方程的概念，盡管學生認知結構中有相應的知識與新知識有聯系，但需要經歷實際問題轉化為數學模型的“數學化”過程，一部分學生“數學化”能力弱，可能會遇到困難；需要經歷特殊到一般的理性思

6、維的過程，一部分學生理性思維能力弱，可能很難渡過“抽象”這一關。用并列結合學習概括一元二次方程的一般形式，需要經歷特殊到特殊的類比推理的過程，一部分學生類比推理能力弱，可能會遇到困難。學生普遍對運算符號和性質符號理解不清，在求二次項系數、一次項系數、常數項時可能會出現錯誤。教學難點：設未知數，列方程；一元二次方程和一元二次方程一般形式特點的概括。2.3 學法指導分析（1）這節課教學的創新點之一是選擇合適的教學結構。根據一元二次方程知識的邏輯結構及隱含在知識背后的思想方法結構，這節課有以下四種教學結構可供選擇：回顧方程概念演繹得出一元二次方程特點類比給出一元二次方程概念類比給出一元二次方程的一般

7、形式概念的應用、辨析與建構。這種接受式學習方式為主的呈現方式，符合認知同化理論（新舊知識的聯系方式是“類屬關系”，新知識與學生已有認知結構中的有關知識的聯系方式也有“類屬關系”），且教學效率較高。但純數學操作，不利于學生體會方程思想和感受學習一元二次方程的必要性。盡管這種方式有利于發展學生的邏輯推理能力，但不利于發展學生的合情推理能力。目前學生合情推理能力比較弱，且這節課的數學本質是體會方程思想。因此，這種方式不利于學生和諧發展。回顧一元一次方程概念類比得出一元二次方程特點類比給出一元二次方程概念類比給出一元二次方程的一般形式概念的應用、辨析與建構。這種發現式學習方式為主的呈現方式，符合認知同

8、化理論（新舊知識的聯系方式是“并列結合關系”，新知識與學生已有認知結構中的有關知識的聯系方式也有“并列結合關系”），有利于發展學生的類比推理能力。但純數學操作，不利于學生體會方程思想和感受學習一元二次方程的必要性。盡管學生的類比推理能力比較弱，但這節課的數學本質是體會方程思想。因此，這種方式也不利于學生和諧發展。呈現若干實際問題用方程思想建立數學模型概括得出一元二次方程特點類比給出一元二次方程概念類比給出一元二次方程的一般形式概念的應用、辨析與建構。這種發現式學習方式為主的呈現方式，符合認知同化理論（新舊知識的聯系方式是“總括關系”，新知識與學生已有認知結構中的有關知識的聯系方式也有“總括關系

9、”），有利于學生體會方程思想和感受學習一元二次方程的必要性，有利于發展學生符號化能力和概括能力，且合適的情景有利于激發學生的學習情趣。但這種教學方式過程緩慢，會對按時完成教學任務帶來挑戰。呈現有意義的實際問題用方程思想建立數學模型用數學方法解決實際問題反思、提煉數學模型的特點類比給出一元二次方程概念類比給出一元二次方程的一般形式概念的應用、辨析與建構。這種“問題驅動”的方法，符合認知同化理論（新舊知識的聯系方式是“總括關系”，新知識與學生已有認知結構中的有關知識的聯系方式也有“總括關系”）。其優點是：能使學生經歷用一元二次方程解決實際問題的全過程，有利于學生體會方程思想和感受學習一元二次方程的

10、必要性，且有能力發展點、個性和創新精神培養點。其缺點是：“一個例子打天下”缺乏概括基礎，同樣存在學習過程緩慢的問題。這就是說，第三種教學方式，不但符合認知同化理論，而且最能反映數學的本質和最有利于學生認知發展。（2）這節課教學的創新點之二是選擇合適的教學內容。為有利于學生體會方程思想和方程是刻畫現實世界的一個有效的數學模型，課本提供了三個現實問題：第一個是包裝盒表面展開圖的問題；第二個是把面積為4平方米的一張紙分割成正方形和長方形兩個部分的問題；第三個是增長率問題，背景材料是浙江省2001年和2003年生產總值的數據。我覺得第一個問題有能力發展點，應該借用；第二個問題與第一個問題類型相同（都是

11、用面積或體積關系來列方程），可以考慮用其它類型的問題來替換，使問題的類型更和諧；第三個問題的背景不具有時代性，其背景材料可以考慮替換，使物質的景更能激發學生精神的情，如果找不到浙江省近幾年生產總值的數據，也可以用其他問題來替換，但替換的問題要與原問題承載的目標保持一致。從實際問題到數學模型，再從數學模型到一元二次方程的特征，是學生認識一元二次方程概念的第一次飛躍；通過對概念的應用、辨析與建構溝通知識之間的內在聯結與變式活動，使學生多方位豐富完善概念，區分、評價此概念與彼概念，明確概念的本質屬性和非本質屬性，使概念以一種完整的心理圖式儲存于大腦當中，是學生認識一元二次方程概念的第二次飛躍。但教材

12、提供的材料不能滿足學生多方位豐富完善概念的需要，需要根據教學目標適當增補教學內容。這就是說，需要教師再次開發教材，使教學內容具有個性化并滿足實現教學目標的需要。（3）這節課教學的創新點之三是選擇合適的教學方法。從現實問題到數學模型，需要經歷“數學化”的過程，部分學生“數學化”能力弱，需要教師在理解數學和了解學生的基礎上，根據“最近發展區”理論提供合適的感性材料，并用“暗示”的方法激活學生已有的知識與經驗及激發學生的學習情趣。從數學模型到一元二次方程的特點，需要經歷反省、內化和概括的過程，部分學生理性思維能力弱，需要教師用合適的“問題清單”驅動學生的思維（打開學生理性思維的“閘門”），幫助學生渡

13、過“抽象”難關。從一元二次方程的特點到一元二次方程特點的形式化表達，需要經歷用簡練的文字形式和符號表示的過程，需要教師用“點撥”的藝術激活學生數學表示的經驗，幫助學生仿效。從一元二次方程特點的形式化表達到一元二次方程概念的建構，需要經歷概念的應用、辨析與建構的過程，需要教師提供概念的應用、辨析與建構的合適的“問題清單”，并運用“獨立學習”、討論、積極的認知干預等指導藝術，幫助學生實現概念建構和發展認知。這就是說，根據學習內容的特點，這節課宜采用發現性學習與有意義的接受性學習相結合的方法。在學習過程中，教師需采用“獨立學習”、討論、“暗示”、點撥、積極的認知干預等指導藝術。3 教學決策3.1 教

14、學目標設計（1）借助與一元二次方程有關的合適的若干現實問題并通過經歷現實問題轉化為數學模型的過程，體會方程思想，感受學習一元二次方程的必要性，發展符號化能力和數學化經驗；（2）借助現實問題的數學模型并通過經歷觀察、比較、概括的過程，明確一元二次方程的特點，發展理性思維能力；（3）借助一元一次方程概念和一元一次方程的一般形式的定義經驗并通過類比的過程，會用簡練的文字形式和符號表示一元二次方程的特點和一元二次方程的一般形式，理解一元二次方程的概念，了解一元二次方程的一般形式，發展用簡練的文字形式和符號表示數學概念的經驗及類比能力；1530xx（4）借助合適的問題或例子并通過概念的應用、辨析與建構的

15、過程，會求二次項系數、一次項系數和常數項，明確一元二次方程概念的本質屬性及一元二次方程與一元一次方程、二元一次方程的區別與聯系，發展辨別能力，感受蘊涵在內容中的理性思維過程。3.2 教學過程設計3.2.1 “活動”感性探究活動1：某種包裝盒的表面展開圖如右圖（單位：cm）。若包裝盒的容積為750cm3，則圖中x應滿足怎樣的方程？活動2：近年，“象山紅”桔子進入了豐收期，但銷售價逐年下降。據調查2006年收購價是4元/斤，2008年收購價是1元/斤。問：單價平均每年下降的百分率是多少？若設單價平均每年下降的百分率為x，則x應滿足怎樣的方程？活動3：長5m的梯子斜靠在墻上，梯子的底端與墻的距離是3

16、m。如果梯子底端向右滑動的距離與梯子頂端向下滑動的距離相等，求梯子滑動的距離。若設梯子滑動的距離為x，則x應滿足怎樣的方程？注：“活動”是學生建構概念的起點，其目的是激發學生學習興趣和啟動學生思維，是為“過程”階段提供感性的素材、反省的對象。這個階段，教師的任務是：在理解數學和了解學生的基礎上，根據“最近發展區”理論提供典型材料；學生的任務是：借助已有的知識與經驗進行“活動”。3.2.2 “過程”理性思維活動4：你在數學化的過程中，用到了哪些思想方法？碰到了哪些困難？有哪些感觸？活動5：上述給出的三個方程：(15x)x×15=750、4(1x)2=1、(3+x)2+(4x)2=25有

17、何共同特點？ 活動6：你是怎樣發現這些特點的（發現的視角與視點）？注：從對“活動”的印象到概括形成“對象”，是概念認識上的第一次飛躍。概念教學不能抹去感性探究，但也不能放棄對數學“抽象”之美的追求。這個階段，教師的任務是：提供“問題清單”驅動學生思維；學生的任務是：對“活動”內容進行反思、內化、概括。3.2.3 “對象”概念的表示與應用活動7：你能用文字形式表示“一元一次方程”的經驗給出用文字形式表示“一元二次方程”嗎？在此基礎上，教師給出一元二次方程的概念：像(15x)x×15=750，4(1x)2=1，x2x=0這樣，兩邊都是整式，只含有一個未知數，且未知數的最高次數是2次的方程

18、叫做一元二次方程。能使一元二次方程兩邊相等的未知數的值叫一元二次方程的解（或根）?；顒?：你能用符號表示“一元一次方程”的經驗（一元一次方程的一般形式）給出用符號表示“一元二次方程”（一元二次方程的一般形式）嗎？在此基礎上教師給出一元二次方程的一般形式：ax2+bx+c=0(a、b、c是常數，a0)，及二次項、一次項、常數項和二次項系數、一次項系數的概念。活動9：已知關于x的一元二次方程x2+ax+a=0的一個根是3，a的值是什么？活動10：下列一元二次方程的二次項系數、一次項系數和常數項分別是什么？（1）2x2-3x-1=0； （2）3y2+4=5y； （3）9x2=-4x； （4）10x2

19、=9； （5）3y2=0。 活動11：請你給出三個一元二次方程的一般形式，并指出二次項系數、一次項系數和常數項分別是什么？注：“對象”既是概括的結果，又是性質探求、運算、證明等的依據和工具。這個階段，教師的任務是：激活學生數學表示的經驗，提供概念應用的例子；學生的任務是：仿效已有的經驗用簡練的文字形式和符號表示一元二次方程的特征，將概念作為一個已知對象（工具）進行演繹。3.2.4 “圖式”概念的辨析與建構活動12：下列方程哪些是一元二次方程？（1）10x2=9； （2）2(x-1)=3x； （3）2x2-3x-1=0； （4）；（5）2xy-7=0； （6）9x2=5-4x； （7）4x2=5

20、x； （8）3y2+4=5y。 活動13：在一元二次方程的一般形式：ax2+bx+c=0(a、b、c是常數，a0)中，為什么要規定a0？為什么不規定b和c也必須不為零呢？活動14：一元二次方程、一元一次方程和二元一次方程三者之間的聯系與區別是什么？活動15：你在學習過程中，獲得了哪些知識？學會了哪些技能？感受到了哪些思想方法和數學活動經驗？有哪些感觸？注：“對象”到“圖式”是思維的又一次飛躍。“對象”形成后，有了完整的形式化表述，但與原有的認知結構還可能處于一種分離的狀態，認識必須進一步上升到“圖式”階段。這個階段，教師的任務是：提供合適的“問題清單”；學生的任務是：進行概念的辨析與建構，使概念以一種完整的心理圖式儲存于大腦當中。3.2.5 “作業”檢測