1、第一部分 生存模型和多元衰減模型l第一章 單生命生存模型l第二章 多生命生存模型l第三章 多元衰減模型l大意梗概：人壽保險是以人的壽命、身體或健康為保險標的（指具體的保險目標）的保險， 因此， 研究人的壽命的延續(xù)規(guī)律是制定保險保費的重要基礎。人的壽命往往是不確定的，可以看作隨機變量，因此，用概率統計方法研究壽命是普遍方法。l本部分分上述三章來介紹：單生命生存規(guī)律和多個單生命組成的群體的生存規(guī)律；這些規(guī)律決定保險產品的定價、準備金的提取、 養(yǎng)老金方案設計、退保、各項費率厘定等壽險環(huán)節(jié)。l本教材的特點：先基礎后實踐、先分類介紹基本的一般模型， 使初學者容易把握壽險總體規(guī)律， 避免一開始就陷入具體復

2、雜的保險細節(jié)和精算公式的推導等計算問題，迷失方向。后在一般模型基礎上介紹幾類常見精算問題及其精算公式。第一章 單生命生存模型l1.2. 生存分布(或生存函數): 用X表示一個剛降生的生命體(個體)的壽命, 它是隨機變量,有其特定的連續(xù)分布函數和密度函數, 分別記為 F 和 f. K(0)-該個體生存的整年數, 即X; S(0)-X的小數部分, 則 X=K(0)+S(0)稱函數 s(t)=P(Xt), t=0 為壽命 X 的生存函數或生存分布. 它表示個體活過 t 歲的概率。l生存函數與分布函數的關系： l（生命體的）死亡力：一個活到某歲的個體恰在此年齡死亡的概率(瞬時死亡概率).l結論與例子：

3、結論1.2.1 生存函數s(t)和密度函數f(t)可用死亡力來 表示: ()1() , 0 ,)( 0 )1 ,( 0 )0 .XXstFttsF( )( ),(0,)1( )XXftttFt( ) t00( )( )( ),( )( ).tts dss dsXs teftt e證明：由于 故存在常數C,滿足 ( )( ) (1( ) ( )1( )( )( )( ),(ln( ( ) ( ),( )XXXXftFtFttFts ts tsts tts t 000( )(ln ( )ln( ( )( ).0(0)10,( ).ttts dss xdxs ts dsCtsCs te 由死亡力的定

4、義可得 將上式代入此等式，即得結論中的第二個等式。( )( ) ( )Xftt s t例1.2.1 設密度函數 計算生存函數 和死亡力 。解： 1( ),0.Xftt( )s t( ) t( )1( )1.Xtts tFt( )11( )/.1( )XXftttFtt死亡力與生存分布之間存在一一對應關系。例1.2.2 設生存分布為 其中 為參數。求死亡力定義：前者是新生兒壽命的期望，后者是新生兒的生存整年數的期望。( ),0 ,ts tet0( ).t00(),(0).eEXeE Kl結論1.2.2 上述兩個期望與生存函數有如下關系：例1.2.3 在例1.2.1的假設下計算新生兒壽命 的期望和

5、壽命變量的二階原點矩。解：0001( ),( ).nes t dt es n2000200.5 , ()2 ( )2/3.tedtE Xts t dtttdtl 常見死亡力函數 : （1）de Moivre（1729）死亡力；（2）Gompertz (1825)死亡力；（3）Makeham(1860)死亡力；（4）Weibull (1939)死亡力。詳見教材（楊靜平 編著）表1.1.說明, 可以借助計算機技術處理表達式更為復雜的死亡力; 上述死亡力在實務中已較少使用,但由于其表達簡便, 易于得到具有實際指導意義的理論結果. l1.3. X 歲個體的生存分布: (x) 表示x歲的個體, 這里x為

6、整數. 個體(x) 的未來生存時間(即x歲后存活的時間-余壽) 是一隨機變量, 記為T(x). lT(x)=X-x, 其中X表示該個體的壽命, 即最大生存時間.lT(x) = K(x) + S(x), 或 T = K + S, T 的分布函數、密度、生存函數。l基本計算公式: 1) 2) T(x)的死亡力( )()( )1( )T xs xtFts x ( )( )( )( )1( )T xxT xfttFtX與T(x)的分布、密度、生存、死亡函數的關系l結論1.3.10( )()( )()( ),0;( )( );( )().tXT xx s dsT xXfxtftts xstetxt證明：

7、( )( )()( )( )(1)( )()( )().( )T xT xXs xtftFts xs xts xfxts x根據死亡力的定義，( )( )( )()/ ( )( )1( )1 (1()/ ( )()/ ( )()()/ ( )()().T xXXT xXXftfxts xtFts xts xfxts xfxts xts xs xtxt還可證明：由于 0( )( )( )( )( )( )00(),( )( )( )()(ln( ),( )(ln( )(),ln( )(ln( )(),( ).tT xXT xT xT xttT xT xx s dsT xsttxtstststxt

8、stssdsxs dsste 例1.3.1設新生兒壽命X的密度函數為 求1( ), 0.Xftt()()( ),( ),0.TxTxFtftt X歲的個體又生存了t年時,年齡為x+t歲,該個體與其他年齡為x+t的個體的生存分布之間的關系:l定理1.3.2. 假設個體的年齡及是否死亡為已知,個體的其他信息均未告知. x歲的個體生存了 t 年后, 其再繼續(xù)生存時間的分布和x+t歲的個體的未來生存時間的分布相同, 即( ( )|( )( (),0,)P T xst T xtP T xts s國際精算協會采用的表示概率的符號-精算表示法:l :(x) 活過年齡 x+t 歲的概率, 即(x)至少再活 t

9、年的概率：l :(x)未來t 年內死亡的概率： l :(x)在年齡段( x+u, x+u+t 死亡的概率, 即(x)活過 x+u 歲, 并在接下來的 t年內死亡的概率：:txp( )P T xttxq|u txq( )P uT xut( ( )P T xtt=1時,簡化表示:11,|1,xxxx uxuxppqqqq結論1.3.3 (1) (2) 對t0,u0,(3) 對0hu) ( ( )| ( )(T(x)u) ()|()0)(T(x)u) ( ()| ()0)(T(x)u) ( ().u txux tx uqP T xu T xtuPP T xtu T xuPP Xxut XxuPP T

10、 xut T xuPP T xutp q (3)( ( )( ( ) ( ( )|( )( ( ) ( ()|()0)( ( ) ( ().txhx t hx hpP T xtP T xh P T xt T xhP T xh P T xhth T xhP T xh P T xhthpp l例1.3.3 已知生存函數計算 1/ 2( )(1),0100.100 xs xx1719 15 36 15|13 36,.pqq解: 17191536153615|13361536 13511536(36)8,(19)9(51)111/8,(36)(64)(1)(1) 1/8.(51)spssqpssqpq

11、qs (x)的未來生存時間的期望; (x)的未來生存整年數的期望.l結論1.3.4. (1)(2)( ( )( ( )xxeET xeE K x01,;xtxxnxnep dt ep2201( ( ) )2, ( ( ) )(21).txnxnE T xt p dt E K xnp(3)1;()( ( )().xx xxtxtxep epdppxx tdx1.4 隨機生存群和確定生存群l封閉的生存群體: 無遷出和遷入,無生育l1.4.1隨機生存群: 個個體, 壽命為0l012,lXXX服從共同的生存分布 ( )s txl,:該群體活到 x歲的期望人數, 實際活到x歲的人數.01( )ilXxi

12、L xI( )L x00101( ( )()()( ).ilxXxilE L xE Il P Xxl s x000111:,0,:,()().iiitxxx tltxx Xx tilltxtxx Xx t XiidlltDIdEIIE D l 為群體在年齡段 x,x+t) 死亡人數的期望.txd結論1.4.1 存在下列關系:()(1 ) .,;( 2 ) .() ,().xtxxttxtxtxxxxxsd sxtxxnnxyxldpqlld llxd xll edlyd y l (2)的第一式說明 在 x 歲死亡的“人數”等于在此年齡活著的人數 乘以在此時的死亡力.l(2)的第三式表明在年齡段

13、 x,x+n) 死亡個體的總數目.l例1.4.1l例1.4.21.4.2 確定生存群l依次假設第一年, 第二年, 第 x 年的死亡比例, 得出活過 x 歲的人數計算公式.l特點: 用死亡比例替代死亡概率, 計算簡便, 易于掌握.l確定生存群與確定投資收益的現金流相似. (表1.2)l例1.4.3 (30年內1000人群體的人數變化與基金額的變化)1.4.3 例子隨機生存群的合理性例 1.4.4 一隨機生存群, 由兩個子群體組成. 分別為:(1)1600個新生兒; (2)10 歲的 540 個個體.群體中的個體服從下列的生存分布:0, 10, 70:40, 39, 26xxl令Y1,Y2分別表示

14、兩個子群體活過70歲的個體總數.試求 , 使得 12()0.05.P YYc解：本題實際上是求分布的分位點c的問題。為此，應首先考慮兩個子群中活過70歲的總人數變量服從什么分布？由于個體的數量較多，可以利用中心極限定理來近似其分布。令 表示1600個新生兒的未來生存時間， 表示540個10歲個體的未來生存時間，則121600(0),(0,),(0)TTT12540(10),(10),(10)TTT為了求出中心極限定理中的獨立隨機變量和的標準化變量，必須先計算上述和變量的期望和方差。可求得：16005401(0)702(10)6011,iiTTiiYIYI1 6 0 01( 0 )7 0 7 0

15、015 4 02(1 0 )6 0 6 01 016 01 01 0()()1 6 0 02 61 6 0 01 0 4 0 ,4 0()()5 4 02 65 4 05 4 03 6 0 ,3 9iiTiTiEYEIpEYEIpll方差為111 (0) 707007002 (10) 60( )1600()26141600(1)16004040364,( )540()120.TTVar YVar IppVar YVar I由中心極限定理可得Y_1+Y_2近似服從正態(tài)分布，即1212121212121212()()( )()()()1()( )()( )()14001()0.05,22YYEYE

16、YP YYcPVar YVar YcEYEYcEYEYVar YVar YVar YVar Yc 查標準正態(tài)分布表可知所以， 由期望生存人數還可以直接計算未來生存整年數的期望e_x,(1.645)0.95,1.6452214001436.2.c 111.xnxnnxnxnnxxllepll1.5 生命表l1.5.1 一些函數 (生命表的構造及人口理論中常使用的變量):l中心死亡率 :l定義 l令 10:,:nxnxxxntxqmmmp dt10( )( ) :txxxt pt dta xq1000,:.ttxx sxx sxx sxxLlds Tlds YTds LLl結論1.5.1 中心死亡

17、率和a(x)滿足( )( ( ) |( )1),.nxnxnxda xE T xT xmL結論1.5.2 ,(min( ),),.nxnxxxntxxxxxmLllLl ET xtTl el a(x)表示在年齡段x,x+t）死亡的個體在此年齡段內生存時間的期望；l tLx 表示生存群中的所有個體在年齡段x,x+t）總生存時間的期望；l Tx表示活到 x歲的lx 個個體的未來生存時間的期望。l例1.5.1 證明:11( )(1( )( )1/ 2()/ 2xxxxxxLa x la x la xLll1.5.2 生命表簡介l根據觀察到的死亡記錄構造在每一年齡死亡和生存概率的列表， 它給出某一整數

18、年齡的一群個體在未來死亡和生存人數的變化情況。（這里死亡率只與年齡有關）l生命表的分類：l我國編制的生命表（1990-1993）l例1.5.21.6 分數年齡上的分布假設lT(x) = K(x) + S(x), K(x)分布由生命表, S(x)的分布無法由生命表.l1.6.1 Uniform Distribution of Death (UDD)假設, 或線性插值假設:l s(x+t)=(1-t)s(x)+ts(x+1).l結論1.6.1 x,x+1), UDD成立, 0t1, 則(1). (2).1(1),;x txxtxxlt ltldtd( ),( ),( )1xtxxT xxxxqqtqftqttq結論結論1.6.2 已知在每一年齡年UDD成立, 則K(x)與S(x)相互獨立, 且S(x)服從0,1上的均勻分布.l例1.6.1, 例1.6.2,例1.6.3l1.6.2 常數死亡力假設及Balducci假設:l結論結論1.6.3 常數死亡力假設成立, 則 (1)期望生存人數滿足ln(1 )lnlnx t