1、第十九章 四 邊 形【知識概念圖表】知識要點（定義、公理、定理、公式、法則）（一）平行四邊形平行四邊形定義及表示法平行四邊形性質平行四邊形判定其他定理及面積（1）定義:丙組對邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形。（2）表示：用“”和四個頂點的字母來表示。具有四邊形的一切性質外，還有：從邊看丙組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形；推論： 夾在兩條平行線間的平行線段相等；三角形中位線定理 ：三角形的中位線平行于第三邊，并且等于第三邊的一半；平行四邊形的面積=底×高。平行四邊形的對邊相等；兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形 ；平行四邊形的對角相等；一組對邊平行相等的四邊形是平行四邊形 ；平行四

2、邊形的對角線互相平分；從對角線看對角線互相平分的四邊形是平行四邊形 ；平行四邊形是中心對稱圖形，兩條對角線的交點就是對稱中心。從角看兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形。 （二）特殊的平行四邊形1.矩形矩形定 義矩形性質矩形判定其他定理及面積(1)定義：有一個角是直角的平行四邊形叫做矩形。(2)表示法：“矩形”+“頂點字母”。矩形的四個角都是直角；從角看有一個角是直角的平行四邊形是矩形；直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半；矩形既是中心對稱圖形，也是軸對稱圖形，對稱中心是對角線的交點，對稱軸是過對邊中點的直線；矩形面積=長×寬。有三個角是直角的四邊形是矩形；矩形的對角線相等。從對角線

3、看對角線相等的平行四邊形是矩形。2.菱形菱形定 義菱形性質菱形判定其他定理及面積(1)定義：有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形。(2)表示法：“菱形”+“頂點字母”。菱形的四條邊都相等；從邊看有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形；菱形既是中心對稱圖形，也是軸對稱圖形，對稱中心是對角線的交點，對稱軸是對角線所在的直線；菱形面積除了可用平行四邊形的面積計算方法外，還特有：菱形面積等于對角線長的積的一半，即S=（a×b）÷2四條邊都相等的四邊形是菱形；菱形的對角線互相垂直，并且每一條對角線平分一組對角。從對角線看對角線互相垂直的平行四邊形是菱形。3.正方形正方形定 義正方形性質正方形

4、判定其他定理及面積(1)定義：四條邊都相等，四個角都是直角的四邊形叫做正方形；(2)表示法：“正方形”+“頂點字母”。正方形的四個角都是直角，四條邊都相等；有一個角是直角的菱形是正方形；正方形既是中心對稱圖形，也是軸對稱圖形，對稱中心是對角線的交點，對稱軸是對角線所在的直線以及過對邊中點的直線；正方形面積等于邊長的平方，也等于兩條對角線長的積的一半的。正方形的兩條對角線相等，并且互相垂直平分，每條對角線平分一組對角 。有一組鄰邊相等的矩形是正方形。（三）梯形梯 形概 念等腰梯形性質等腰梯形判定梯形其他定理及面積計算常見輔助線作法梯形定義：一組對邊平行，另一組對邊不平行的四邊形叫做梯形。等腰梯形

5、定義：兩腰相等的梯形叫做等腰梯形。直角梯形定義：有一個角是直角的梯形叫做直角梯形。等腰梯形在同一底上的兩個角相等；等腰梯形的兩條對角線相等。等腰梯形是軸對稱圖形，過上下底的中點的直線是它的對稱軸。在同一底上的兩個角相等的梯形是等腰梯形 ；對角線相等的梯形是等腰梯形。梯形中位線定理：梯形的中位線平行于兩底，并且等于兩底和的一半 ，即L=（a+b）÷2 梯形面積=中位線長×高，即：S=L×h ，也等于：（上底+下底）×高÷2.平移一腰：把梯形轉化成了一個平行四邊形和一個三角形；作兩條高：分成矩形和兩個直角三角形；平移一對角線：使兩對角線轉移到同一個

6、三角形中；延長兩腰：構造具有公共角的兩個相似三角形；過一腰中點作直線：構造兩個全等三角形。（四）幾種常見幾何圖形的重心1.線段的重心就是線段的中點；2.平行四邊形的重心就是它的兩條對角線的交點；3.三角形的三條中線交于一點，這一點就是三角形的重心；4.等腰三角形的重心在底邊的中垂線上；5正多邊形的重心就正多邊形的中心。方法指引平行四邊形判定的常用方法有五種，關于“邊”的有三條，關于“角”的有一條，關于“對角線”的有一條，常用“順口溜”幫助記憶，即：判定平行四邊形，兩個條件才能行，兩組對邊都平行，或證對邊都相等，一組對邊也可以，必須相等且平行。對角線是個寶，互相平分也能行，對角相等也有用，兩組對

7、角才能成。反之，判定成性質，還是中心對稱形，面積計算也簡單，底邊與高來相乘。方法指引矩形的判定口訣：任意一個四邊形，三個直角成矩形，對角線等互平分，那它一定是矩形；已知平行四邊形，一個直角叫矩形，兩對角線若相等，理所當然為矩形。矩形的性質：除了具有平行四邊形的一切性質外，還有自己特有的性質。即四個角都是直角，對角線都相等，還具有“雙對稱性”。方法指引菱形的判定口訣：任意一個四邊形，四邊相等成菱形；四邊形的對角線，垂直互分是菱形。已知平行四邊形，鄰邊相等叫菱形，兩對角線若垂直，順理成章為菱形。菱形的性質：也是除了具有平行四邊形的一切性質外，還有自己特有的性質，即四條邊都相等，對角線垂直，且每一條

8、對角線平分一組對角。也具有“雙對稱性”，面積計算還特有一個公式，即兩條對角線的長的積的一半。方法指引正方形是一個極其特殊的四邊形，它包含了平行四邊形、矩形、菱形的所有性質，也同樣具有“雙對稱性”，面積的計算也有兩個公式。它的判定是比較原則性的，即只要能判定它既是一個矩形，又是一個菱形，就可判定它是一個正方形。常用的有兩個，即有一個角是直角的菱形是正方形，以及有一組鄰邊相等的矩形是正方形。深度理解梯形的中位線：連接梯形兩腰中點的線段叫做梯形的中位線；記寫梯形時，用“梯形”+“四個頂點字母”；用數學符號記寫梯形時，常常要告訴哪兩邊平行，象告訴直角三角形一樣，交待要具體，須告訴哪個角是直角。方法指引

9、其實，梯形的面積公式：“（上底+下底）×高÷2”，這一個公式就涵蓋了特殊四邊形和三角形的面積公式，它們的內在聯系是，當梯形的某一底縮小為0時，就是一個三角形，其面積公式不就是：“底×高÷2”嗎？當兩底變得一樣長時，就變成了一個平行四邊形，其面積公式不就是：“底×高”嗎？【易混易錯剖析】1.對于概念的內涵和外延把握不準，包含關系混淆不清，另外，對于每一個特殊的四邊形的性質和判定把握不準確。一是要重視各個概念的定義，因為那是它的本質屬性（如下圖），由定義我們可以弄清其包含關系，矩形、菱形都包含了正方形，正方形是特殊的矩形，也是特殊的菱形；而矩形和菱

10、形又都是特殊的平行四邊形，平行四邊形包含有矩形和菱形及正方形；平行四邊形、矩形、菱形、正方形都是特殊的四邊形，包括梯形也是特殊的四邊形；二是要抓好“對角線”這條紐帶，從圖中可以從對角線角度來厘清各概念的聯系。（見下圖）對角線互相平分的四邊形是平行四邊形，對角線相等且互相平分的四邊形是矩形，對角線互相垂直平分的四邊形是菱形，對角線相等且互相垂直平分的四邊形是正方形，對角線相等的平行四邊形是矩形，對角線互相垂直的平行四邊形是菱形，對角線相等且垂直的平行四邊形是正方形，對角線互相垂直的矩形是正方形，對角線相等的菱形是正方形；三是我們必須要高度熟練各個特殊四邊形的性質和判定，尤其是判定最容易混淆，有人

11、總結有順口溜可幫助記憶（見前面總結的概念圖表）。四邊形平行四邊形矩形菱形正方形梯形等腰梯形直角梯形兩組對邊分別平行有一個角 是直角鄰邊相等鄰邊相等有一個角是直角 一組對邊平行另一組對邊不平行兩腰相等 有一個角 是直角有一個角是直角且鄰邊相等四邊形平行四邊形矩形菱形正方形互相平分相等且互相垂直垂直相等相等垂直相等且互相平分互相垂直平分互相垂直平分且相等典型示例： 選擇：如圖，點E、F、G、H分別是四邊形ABCD的邊AB、BC、CD、DA的中點，當其對角線AC和 BD（ ）時，四邊形EFGH是正方形。A. ACBD B. AC=BD C. ACBD且AC=BD D.以上都不對ABCDEFGOH易混

12、1圖常見錯誤：選A。解析點評：本題主要考查三角形中位線定理、平行四邊形、矩形、菱形、正方形的判定。多邊形總是被對角線分割成一些三角形，四邊形也不例外，每條對角線都能把它分成兩個三角形，那么四邊形的四邊中點的連線就成了相應三角形的中位線，三角形的中位線是平行于第三邊且等于第三邊的一半的，所以EFGH的四條邊中EH與FG都平行且等于BD的一半的，EF與HG都平行且等于AC的一半的，這樣，我們就輕易得到：EH平行且等于FG的，或者EF平行且等于HG的，因而四邊形EFGH就是平行四邊形，要想使一個平行四邊形成為矩形，需要有一個直角，考慮到它的邊都與對角線AC、BD有關，根據平行線的性質，只有當ACBD

13、時，平行四邊形EFGH才會成為矩形。什么樣的矩形才是正方形呢？有一組鄰邊相等的矩形就是正方形。由于EFGH的四條邊中EH與FG都等于BD的一半的，EF與HG都等于AC的一半的，所以只有當兩條對角線AC和BD相等時，才有四邊形EFGH的鄰邊相等，因而，當ACBD且AC=BD時，四邊形EFGH才是正方形。故正確答案應選C。本題啟示：把四邊形問題轉化為三角形問題來加以解決是我們的一貫策略。見到三角形或者是四邊形的邊的中點，要馬上想到以下定理：a三角形中位線定理：三角形的中位線平行于第三邊且等于第三邊的一半；b直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半；c等腰三角形底邊上的中線也是底邊上的高，還是頂角的平分

14、線等等。對于特殊四邊形的判定和性質要相當熟練。平行四邊形的判定方法共有哪幾條？a從邊的角度去判定主要有三條：兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形（定義）；兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形；一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形；b從角的角度去判定主要是：兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形；c從對角線的角度去判定主要有：對角線互相平分的四邊形是平行四邊形等共有五條判定定理。那么平行四邊形的性質都有哪些呢？a邊的方面：平行四邊形的兩組對邊分別平行，平行四邊形的兩組對邊分別相等；b角的方面：平行四邊形的兩組對角分別相等；c對角線方面：平行四邊形的兩條對角線互相平分。那么矩形都有哪些判定方法呢？

15、主要有兩條：a從角的角度去判定：有一個角是直角的平行四邊形是矩形；b從對角線的角度去判定：對角線相等的平行四邊形是矩形。那么矩形的性質又是什么呢？除了具備平行四邊形所有性質外，還有：矩形的四個角都是直角，矩形的對角線相等。至于菱形的判定主要有三條：一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形；對角線互相垂直的平行四邊形是菱形；四條邊相等的四邊形是菱形。菱形的性質是除了具備平行四邊形所有性質外，還具有：菱形的四條邊都相等；菱形的兩條對角線互相垂直，并且每一條對角線平分一組對角。對于正方形，常用的判定有二：有一組鄰邊相等的矩形是正方形；有一個角是直角的菱形是正方形。至于正方形的性質就更多，具備了平行四邊形，矩形

16、，菱形的所有性質，具體地說：正方形的四個角都是直角；四條邊都相等，對邊平行且相等；對角線互相平分、相等且互相垂直，并且每一條對角線平分一組對角。我們只有對定理熟練了，在使用時才會得心應手。其實諸如此類的問題還真的不少，注意連接任意四邊形的四邊中點得到的四邊形就是平行四邊形，那么根據需要再去思考看還需要什么條件就添加什么條件。如：順次連結下列四邊形各邊的中點，所得的四邊形為矩形的是（ ）A、等腰梯形 B、矩形 C、菱形 D、平行四邊形順次連結四邊形各邊中點得到一個菱形，則原四邊形必是（ ）A、矩形 B、梯形 C、兩條對角線互相垂直的四邊形 D、兩條對角線相等的四邊形其中的正確答案應選C；的正確答

17、案應選D；2.將四邊形的內容與三角三邊關系定理，與直角三角形性質，與等邊三角形性質，分類討論問題等相結合時，往往由于缺乏技能而出現錯誤。典型示例：選擇：平行四邊形的一邊長為5cm，則它的兩條對角線長可以是（ ） A、4cm, 6cm B、4cm, 3cm C、2cm, 12cm D、4cm, 8cm填空：已知平行四邊形一內角為600，與之相鄰的兩邊為2cm和3cm，則其面積為 _ _cm2。填空：矩形的對角線交于點一條邊長為1，是正三角形，則這個矩形的周長為_填空：已知梯形上、下底長分別為6，8，一腰長為7，則另一腰的范圍是_ _；常見錯誤：選A、B、C的都有；沒填結果的多，也有填6cm2.只

18、填一個答案的較多。填：或只填：；填：或。解析點評：如圖，由于平行四邊形的對角線是互相平分的，那么兩條對角線長的一半與這條邊長要能滿足三角形三邊關系定理才行。顯然A兩個量的一半分別是2cm和3cm，那么與5cm顯然是有問題的，因為2+3=5，所以A不對；B兩個量的一半分別是2cm和1.5cm，同樣與5cm也是不能滿足三邊關系定理的；C兩個量的一半分別是1cm和6cm，與5cm顯然也是有問題的，因為6-5=1，不能滿足三邊關系定理；那么D選項如何呢？兩個量的一半分別是2cm和4cm，它們與5cm，顯然較短的兩邊之和2+4=6>5，所以只有D才是正確的。本題啟示：四邊形的問題往往要轉化為三角形

19、的問題加以解決，當然要善于聯系平行四邊形的相關性質。圖5本題其實有兩種情況，但是卻只有一種結果。如圖，從平行四邊形的一個頂點向對邊作垂線，構造直角三角形，由直角三角形的邊角關系可得前一個圖形的高為cm，后一個圖形的高為cm，由三角形的面積計算公式可得：它們的面積都是因而正確的答案應是本題啟示：要善于構造直角三角形，將特殊角轉移在直角三角形中，利用解直角三角形的知識和平行四邊形的面積計算公式求解。2cm3cm3cm2cm600600圖本題要注意也是有兩種可能性情況，由于長為1的邊不確定，因而要分類討論。如圖，當AB=1時，因為四邊形是矩形，所以ABC=900，又因為是正三角形，所以BAC=600

20、，在RtABC中，所以BC=，又矩形的對邊相等，所以其周長為：；當BC=1時，同樣的道理，可得，所以，因而此時矩形的周長就為：，綜合上述兩種情況可得：這個矩形的周長就應該為：或。而不能只填一種情況。本題啟示：在四邊形中，當告訴的條件不夠明確時，應該進行分類討論。另外，要善于運用矩形的相關性質及解直角三角形的相關知識，使問題得到解決。ABCDO圖11ABCDO本題主要考查梯形中常用輔助線的作法及三角形三邊關系定理。如圖，只需要過上底的一端作一腰的平行線即可，將梯形分割成了一個平行四邊形和一個三角形，顯然這個三角形的一邊為7，另一邊為2，第三邊為，由三邊關系定理得：。687圖786=26本題啟示：

21、往往將梯形的問題轉化為平行四邊形和三角形的問題加以解決；在梯形中常常要作輔助線來創造條件解決問題，常用輔助線的作法有：a.平移一腰：把梯形分割成一個平行四邊形和一個三角形；b.作兩條高：分成矩形和兩個直角三角形；c.平移一對角線：使兩對角線轉移到同一個三角形中；d.延長兩腰：構造具有公共角的兩個相似三角形；e.過一腰中點作直線：構造兩個全等三角形。3.圖形變換與四邊形結合的問題，學生往往不會作。由于學生對于圖形變換和四邊形的性質和判定理解得不是很透徹，往往不會解答或避其捷徑而求遠，走了彎路費了時間，解答過程還不理想。典型示例：如圖所示，已知中，ACB=900，ABC=600，將繞點B沿逆順時針

22、方向旋轉得到BDE，再將沿著AC所在直線翻轉得到ACF,連接 求證：四邊形ADBF是菱形；ACBDEF易混3圖常見錯誤：證明：BDE是由繞點B沿逆順時針方向旋轉后得到的，又ACF是由沿著AC所在直線翻轉后面而得到的，AF=AB=DB，四邊形ADBF是平行四邊形。又在中，ACB=900，ABC=600，BAC=300，BA=2BC，又BC=CF，BF=2BC=BA=AF，ADBF是菱形。解析點評：本題主要考查圖形變換及性質、菱形的判定、含30度銳角的直角三角形的性質等知識點。題目給出了一個特殊的直角三角形，特殊就特殊在含有600的銳角，因而也就有300的銳角，所以300的銳角所對的直角邊就等于斜

23、邊的一半，就得到邊與邊之間有特殊的關系；另外，將這個直角三角形作了旋轉和翻轉，根據旋轉和翻轉的性質：圖形旋轉變換和對稱變換前后其形狀和大小完全一樣即全等的性質，那些對應邊就相等，對應角也相等，于是就得到了BD=BA=AF，即一組對邊相等，還得到了DBE=ABC=F=600，所以DBF+F=DBA+ABF+F=600+600+600=1800,由同旁內角互補，兩直線平行，得到DBAF,而BD=AF，由一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形的判定，就得到四邊形ADBF是平行四邊形。那么要證明一個平行四邊形是菱形還需要什么條件呢？結合圖形觀察，很明顯就是要從邊的角度去考慮才簡單一些，找一組鄰邊相等，

24、由于在中，BAC=300，所以BA=2BC，又由軸對稱的性質知道：BC=CF，所以BF=2BC=BA，而BA=BD，所以就得到了：BF=BD，即一組鄰邊相等，因而平行四邊形ADBF就是菱形。上題錯誤原因是對于軸對稱和旋轉的性質使用上表達得較為含糊，另外對于平行四邊形的判定及菱形的判定定理似乎不是很熟悉，因而，推理過程是錯誤的。本題正確的解答是：證明：BDE是由繞點B沿逆順時針方向旋轉后得到的，BA=BD，ABC=DBE，而ABC=600，ABC=DBE=600，又ACF是由沿著AC所在直線翻轉后面而得到的，BA=AF，F=ABC=600，BC=CF，BD=AF，DBF+F=DBA+ABF+F=

25、600+600+600=1800,DBAF,而BD=AF，四邊形ADBF是平行四邊形。在中，ACB=900，ABC=600，BAC=300，BA=2BC，又BC=CF，BF=2BC=BA，而BA=BD，BF=BD，又四邊形ADBF是平行四邊形，ADBF是菱形。本題啟示：要正確理解圖形變換的本質特性。圖形變換是初中幾何的重要內容，在初中所學的幾種圖形變換中，除了位似變換外，像軸對稱變換，旋轉變換（中心對稱），平移變換等，都有共同的特性，那就是變換前后圖形的形狀和大小是完全相同的。也就是說除了位置發生了變化外，其形狀和大小是沒有變化的，因而這種變換也叫合同變換，或者說叫全等變換，既然是全等變換，就

26、自然具備全等的性質，即變換前后，對應的線段相等，對應的角也相等弄清楚了這些，見到變換的內容，我們就會從容應對，泰然處之；對于直角三角形尤其是含有30度銳角的直角三角形，我們要相當熟悉，對其性質要能了如指掌。見到含有30度銳角的直角三角形就要馬上想到其對邊是斜邊的一半，要形成條件反射；特殊四邊形的性質與判定也是非常重要的，必須要對于每一種特殊的四邊形的性質與判定都要非常熟練。我們回顧一下：平行四邊形的判定方法共有哪幾條？從邊的角度去判定主要有三條：定義：兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形；兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形；一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形；從角的角度去判定主要是：兩組

27、對角分別相等的四邊形是平行四邊形；從對角線的角度去判定主要有：對角線互相平分的四邊形是平行四邊形；共有五條判定定理；那么平行四邊形的性質都有哪些呢？邊的方面：平行四邊形的兩組對邊分別平行，平行四邊形的兩組對邊分別相等；角的方面：平行四邊形的兩組對角分別相等；對角線方面：平行四邊形的兩條對角線互相平分；那么矩形都有哪些判定方法呢？主要有兩條：從角的角度去判定：有一個角是直角的平行四邊形是矩形；從對角線的角度去判定：對角線相等的平行四邊形是矩形；那么矩形的性質又是什么呢？除了具備平行四邊形所有性質外，還有：矩形的四個角都是直角，矩形的對角線相等；至于菱形的判定主要有三條：一組鄰邊相等的平行四邊形是

28、菱形；對角線互相垂直的平行四邊形是菱形；四條邊相等的四邊形是菱形；菱形的性質是除了具備平行四邊形所有性質外，還具有：菱形的四條邊都相等；菱形的兩條對角線互相垂直，并且每一條對角線平分一組對角；對于正方形，常用的判定有二：有一組鄰邊相等的矩形是正方形；有一個角是直角的菱形是正方形；至于正方形的性質就更多，具備了平行四邊形，矩形，菱形的所有性質，具體地說：正方形的四個角都是直角；四條邊都相等，對邊平行且相等；對角線互相平分、相等且互相垂直，并且每一條對角線平分一組對角；【考點命題突破】考點分析: 必考點：平行四邊形、矩形、菱形、正方形的性質和判定方法及其綜合應用；?？键c：等腰梯形的性質和判定方法，

29、梯形的常規輔助線作法，梯形中位線的性質，梯形面積計算方法；少考點：四邊形的不穩定性，線段、矩形、平行四邊形、三角形的重心及其物理意義。中考熱點：將平行四邊形、矩形、菱形、正方形和等腰梯形的性質和判定方法與三角形全等及相似的知識結合出題，與直角三角形的性質及軸對稱（折疊）、旋轉等圖形變換的知識結合出題，與操作性問題、探究性問題、方程思想等結合出題。考查方式：常見有填空題、選擇題和計算題以及證明題，多為中檔難度試題，但也會見到與函數結合的壓軸題。考點1平行四邊形的判定、三角形中位線定理、勾股定理綜合運用（2011安徽）如圖，D是ABC內一點，BDCD，AD=6，BD=4，CD=3，E、F、G、H分

30、別是AB、AC、CD、BD的中點，則四邊形EFGH的周長是（ ）A7B9 C10D11解題思路：本題告訴了BDCD， BD=4，CD=3，我們馬上意識到可由勾股定理得出BC=5，題目還告訴了E、F、G、H分別是AB、AC、CD、BD的中點，認真觀察，不難發現HG是三角形DBC的中位線，EF也是三角形ABC的中位線，同時，GF、HE也分別是三角形DAC和DAB的中位線，因而，所以EFGH的周長為11.答案：D考點2矩形性質、軸對稱性質及勾股定理及方程思想綜合運用（2011四川宜賓）如圖，矩形紙片ABCD中，已知AD=8，折疊紙片使AB邊與對角線AC重合，點B落在點F處，折痕為AE，且EF=3，則

31、AB的長為（ ）A3 B4 C5 D6 （第7題圖）解題思路：本題是一個與矩形有關的折疊問題。即ABE與AFE是關于直線AE對稱的，因而ABEAFE，所以BE=FE，AF=AB，DC=AB，AFE=B，又由矩形性質知：B=90O，BC=AD，所以AFE=B=90O，所以CFE=90O，又EF=3，所以BE=FE=3，所以EC=8-3=5，在RtEFC中，由勾股定理得：CF=4，若設AB=x，則AF=DC=x，在RtADC中，由勾股定理得：，所以：，解得x=6.答案：D考點3等腰梯形的判定、等腰三角形性質、全等三角形的判定與性質、相似三角形的性質的綜合運用（2011廣東茂名）如圖，在等腰ABC中

32、，點D、E分別是兩腰AC、BC上的點，連接AE、BD相交于點O，12(1)求證：ODOE；(2)求證：四邊形ABD是等腰梯形；(3)若AB3DE, DCE的面積為2, 求四邊形ABED的面積 解題思路：本題第一問按常規思路就是要證ODOE，就是要證ODE=OED，但似乎一時不易突破，所以我們再想用間接方法來證，即由可得OAOB，如果能證出BDAE，等量減等量差相等，就可得證。那么如何證BDAE呢？不要忘了題目告訴了：ABC是等腰三角形，有ACBC ， 所以有BADABE，又21，AB公用，所以ABDBAE(ASA)，問題就得到了解決。第二問要證明四邊形ABD是等腰梯形，首先要證明它是梯形，然后

33、再找兩邊相等。由(1)知：ODOE，所以OEDODE，所以OEDDOE)，同理：1AOB)，又因為DOEAOB，所以1OED，所以DEAB，找到了一組對邊平行。又因為AD、BE是等腰三角形兩腰所在的線段，所以AD與BE不平行，即另一組對邊不平行，所以由梯形定義知四邊形ABED是梯形，又由(1)知ABDBAE，所以有ADBE，即有兩對邊相等，所以梯形ABED是等腰梯形基本上都是利用“梯形”和“等腰梯形”的定義來證明的。第三問由(2)可知：DEAB，因而由相似三角形判定可得：DCEACB，那么由相似三角形的性質知：，即：，所以ACB的面積等于18，所以四邊形ABED的面積是等于ACB的面積減去DC

34、E的面積的，即答案：(1)證明：如圖，ABC是等腰三角形，ACBC ， BADABE，又ABBA、21， ABDBAE(ASA)，BDAE，又，OAOB，BDOBAEOA，即：ODOE·(2) 證明：由(1)知：ODOE，OEDODE，OEDDOE)，同理：1AOB)，又DOEAOB，1OED，DEAB，AD、BE是等腰三角形兩腰所在的線段，AD與BE不平行，四邊形ABED是梯形，又由(1)知ABDBAE，ADBE梯形ABED是等腰梯形(3)解：由(2)可知：DEAB，DCEACB，即：，ACB的面積等于18， 考點4梯形的性質，矩形的判定，菱形的判定，等腰梯形的判定，勾股定理，解動

35、態探究問題的方法等綜合運用（原創題）如圖，四邊形ABCD是直角梯形，ADBC，B=900，AB=8cm，AD=20cm，BC=26cm，直線EF繞AD的中點E旋轉，若旋轉時，直線EF與底邊BC的交點 F在BC上的運動速度始終是1cm/s，F從點C出發，到達B點時停止運動。請探究下列問題：1 運動多少秒后，四邊形DEFC是平行四邊形？并驗證該平行四邊形會不會是菱形？請你判斷在運動過程中，四邊形DEFC能成為等腰梯形嗎？若能，計算出運動時間；若不能，說明理由。你能計算出四邊形DEFC在由平行四邊形向等腰梯形變化的過程中，直線EF繞E旋轉在直角梯形ABCD上所掃過的面積嗎？若能，請求出面積的大小。A

36、BCDEF解題思路：題目告訴了一個直角梯形，告訴了上下底和高，以及上底的中點，一個動點分別從下底的一端C向B運動，速度是1cm/s。第一問，問當運動多少秒后，四邊形DEFC是平行四邊形？并驗證該平行四邊形會不會是菱形？對于這樣的問題，我們通常要設運動時間，然后用未知數去表示相關的線段，根據平行四邊形的性質，對邊平行且相等，列出方程，求出未知數的值，若該數值符合問題情境，不與條件產生沖突，就說明在運動過程中是能形成平行四邊形的，第二問的探究思路也是一樣。具體的探究過程是：第一問，設當運動時間為t秒時，四邊形DEFC是平行四邊形。則CF=tcm，而點E為AD的中點，且AD=20cm，所以DE=10

37、cm，又 BC=26cm，所以DE=10cm，BF=（26-t）cm，由平行四邊形的對邊平行且相等性質知：DE=CF，所以當t=10cm時,解得：t=10s。即CF=DE=10cm，所以AE=10cm，BF=16cm。如圖，作EGBC于G.則EGB=EGF=900，因為ADBC，B=900，所以A=1800-B=900，所以A=B=EGB=900，所以四邊形EGBA是矩形，所以BG=AE=10cm，EG=AB=8cm，而BF=16cm，所以GF=BF-BG=6cm，在RtEGF中，由勾股定理得：，由于EF=FC=10cm，有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形，所以DEFC是菱形。第二問，如圖，假設

38、經過x秒后，四邊形DEFC能成為等腰梯形. 則EF=CD， CF=xcm，DE=10cm,作EGBC于G，DHBC于H。則EGF=DHC=DHG=900,所以EGDH，而ADBC，所以EG=DH，GH=DE，所以RtEGFRtDHC（HL），所以GF=HC，又在RtDHC中，由勾股定理可得：HC=6cm，所以 ，即，解得：x=22s。所以在運動過程中，當運動22秒后，四邊形DEFC就成為了等腰梯形。第三問，由于四邊形DEFC在由平行四邊形向等腰梯形變化的過程中，直線EF繞E旋轉在直角梯形ABCD上所掃過的圖形實質上是三角形，所以是能計算出這個圖形的面積的。由（1）知：當四邊形DEFC是平行四邊

39、形時，CF=10cm，所以此時BF=16cm；由（2）知：當四邊形DEFC是等腰梯形時，CF=22cm，此時BF=4cm，所以所掃過的三角形的底邊長是12cm，而這條底上的高就是直角梯形的高，即：AB=8cm，因而：所掃過的三角形的面積就是：48cm2.ABCDEF例4（1）題G答案：(1)解：設當運動時間為t秒時，四邊形DEFC是平行四邊形。則CF=tcm，而點E為AD的中點，且AD=20cm，DE=10cm，由平行四邊形的性質對邊平行且相等知：DE=CF，當t=10cm時,解得：t=10s。即CF=DE=10cm，AE=10cm，BF=16cm。如圖，作EGBC于G.則EGB=EGF=90

40、0，ADBC，B=900，ABCDEF例4（2）題GHA=1800-B=900，A=B=EGB=900，四邊形EGBA是矩形，BG=AE=10cm，EG=AB=8cm，而BF=16cm，GF=BF-BG=6cm，在RtEGF中，由勾股定理得：，由于EF=FC=10cm，DEFC是菱形。答：當運動10秒后，四邊形DEFC是平行四邊形。并且此時該平行四邊形是菱形。（2）解：如圖，假設經過x秒后，四邊形DEFC能成為等腰梯形. 則EF=CD， CF=xcm，DE=10cm,作EGBC于G，DHBC于H。則EGF=DHC=DHG=900,EGDH，而ADBC，EG=DH，GH=DERtEGFRtDHC

41、（HL），GF=HC，又在RtDHC中，由勾股定理可得：HC=6cm， ，即，解得：x=22s。答：在運動過程中，當運動22秒后，四邊形DEFC就成為了等腰梯形。（3）解：由于四邊形DEFC在由平行四邊形向等腰梯形變化的過程中，直線EF繞E旋轉在直角梯形ABCD上所掃過的圖形實質上是三角形，所以是能計算出這個圖形的面積的。由（1）知：當四邊形DEFC是平行四邊形時，CF=10cm，所以此時BF=16cm；由（2）知：當四邊形DEFC是等腰梯形時，CF=22cm，此時BF=4cm，所以所掃過的三角形的底邊長是12cm，而這條底上的高就是直角梯形的高，即：AB=8cm，因而：所掃過的三角形的面積就

42、是：48cm2.答：能計算出四邊形DEFC在由平行四邊形向等腰梯形變化的過程中，直線EF繞E旋轉在直角梯形ABCD上所掃過的面積，這個三角形的面積是48cm2. 難點突破和易錯警示難點突破： 本題的關鍵是要能發現三角形的中位線。難點突破：利用勾股定理建立方程是我們的常用方法。往往選擇哪一個直角三角形才便于建立方程卻成了解決此類問題的關鍵。易錯警示：要想直接證明ODOE有困難時，要換一下思路，采取間接方法去證明；任何一個概念的定義，既是最重要的性質，也是最基本的判定，在沒有更合適的判定途徑時，往往要用定義去判定；相似三角形的面積的比是等于相似比的平方的，不要顛倒了比的前后項，更不能掉了“平方”。

43、難點突破：本題主要考查梯形的性質，勾股定理，矩形的判定，菱形的判定，等腰梯形的判定，解動態探究問題的方法等。題目難就難在是一個考查多個知識點的動態探究問題。要注意的是：解動態探究問題，始終要保持清醒的頭腦，要能動中取靜，能抓住那些在運動過程中，始終不變的量和式子，往往這些量和式子才是解決問題的關鍵；要善于將等腰梯形進行分割轉化，變成矩形和全等的兩直角三角形，從而找到一些等量關系，為順利解決問題創造條件；在探究性問題中，先假定能（存在），然后據此進行推導，求出相關的量之后，一定要看看它與問題情境是否有沖突，與其他條件是否有沖突，若有沖突，就是不合題意的，應當舍去，也就說明所探究的情況是不能（存在

44、）的。若沒有沖突，那么探究的結論就是存在的，這是解決存在性問題或者探究性問題常用的思維方式；方程思想是我們解決許多實際問題的重要工具，在幾何探究問題中，我們也常常要用代數中方程（組）的思想方法來處理相關的幾何計算問題，如用勾股定理，這也是代數中，列方程（組）的一種重要途徑；在動態探究問題中，要求某部分的面積，一定要先搞清楚它的形狀，若是規則圖形，就要依據相應的面積公式去計算，若不是規則圖形，就應想辦法轉化為較規整的圖形，來計算其面積，或者用割補思想采用間接的方法來計算某些圖形的面積。【中考典題回顧】例1 （2011浙江金華）如圖，在ABCD中，AB3，AD4，ABC60°，過BC的中點E作EFAB，垂足為點F，與DC的延長線相交于點H，則DEF的面積是 .答案：2例2（2011山東煙臺）如圖，三個邊長均為2的正方形重疊在一起，O1、O2是其中兩個正方形的中心，則陰影部分的面積是 .答案：2例3.(2011重慶綦江)如圖,菱