1、大題考法專訓(四)概率與統計A級一一中檔題保分練1.(2019全國卷m)為了解甲、乙兩種離子在小鼠體內的殘留程度，進行如下試驗：將200只小鼠隨機分成A,B兩組，每組100只，其中A組小鼠給服甲離子溶液，B組小鼠給服乙離子溶液.每只小鼠給服的溶液體積相同、摩爾濃度相同.經過一段時間后用某種科學方法測算出殘留在小鼠體內離子的百分比.根據試驗數據分別得到如下直方圖：記C為事件：“乙離子殘留在體內的百分比不低于5.5”，根據直方圖得到P(Q的估計值為0.70.(1) 求乙離子殘留百分比直方圖中a,b的值；(2) 分別估計甲、乙離子殘留百分比的平均值(同一組中的數據用該組區間的中點值為代表).解：(1

2、)由已知得0.70=a+0.20+0.15,解得a=0.35,所以b=1-0.050.150.70=0.10.(2)甲離子殘留百分比的平均值的估計值為2X0.15+3X0.20+4X0.30+5X0.20+6X0.10+7X0.05=4.05.乙離子殘留百分比的平均值的估計值為3X0.05+4X0.10+5X0.15+6X0.35+7X0.20+8X0.15=6.00.22.(2019天津高考)設甲、乙兩位同學上學期間，每天7:30之前到校的概率均為3假定甲、乙兩位同學到校情況互不影響，且任一同學每天到校情況相互獨立.(1) 用X表示甲同學上學期間的三天中7:30之前到校的大數，求隨機變量X的

3、分布列和數學期望；(2) 設M為事件“上學期間的三天中，甲同學在7:30之前到校的大數比乙同學在7:30之前到校的大數恰好多2”，求事件M發生的概率.解：(1)因為甲同學上學期間的三天中到校情況相互獨立，且每天7:30之前到校的概率2均為年,3故XBj3,3；從而RX=k)=C3j|j$；k,k=0,1,2,3.所以隨機變量X的分布列為X0123P12482799272隨機變量X的數學期望E(X)=3X-=2.3(2)設乙同學上學期間的三天中7:30之前到校的大數為Y,則YB3,|J,且MX=3,Y=1UX=2,Y=0.由題意知，事件X=3,Y=1與X=2,Y=0互斥，且事件X=3與Y=1,事

4、件X=2與憐0均相互獨立，從而由(1)知P(M)=P(X=3,Y=1UX=2,Y=0)=P(X=3,Y=1)+P(X=2,Y=0)=P(X=3)RY=1)+RX=2)P(Y=0)824120=x+x=.2799272433.某商店為迎接端午節，推出花生粽與肉粽兩款粽子.為調查這兩款粽子的受歡迎程度，店員連續10天記錄了這兩款粽子的銷售量，用1,2，10分別表示第1,2，10天，記錄結果得到頻數分布表如下所示(其中銷售量單位：個).銷售4?號12345678910花生粽1039398931068687849199肉粽8897989510198103106102112(1)根據表中數據完成如圖所示

5、的莖葉圖:花生粽肉棕8g1011(2)根據統計學知識，請判斷哪款粽子更受歡迎;(3) 求肉粽銷售量y關于序號t的線性回歸方程，并預估第15天肉粽的銷售量.(回歸方程的系數精確到0.01)10參考數據：Z(tit)(yiy)=156.i=1參考公式：回歸方程y=a+bt中斜率和截距的最小二乘估計分別為b=n三(ti-7)i1a=y-bt解：(1)根據所給數據完成莖葉圖如圖所示.花生揣76498331638g1011肉棕578B12362法一：由(1)中莖葉圖可知，肉粽的銷售量均值比花生粽高，兩款粽子的銷售量波動情況相當,所以可以認為肉粽更受歡迎.1法二：由題意得花生粽的銷售量的均值y1=95+而

6、X(82+32+119-8114+4)=94,1肉粽的銷售量的均值y2=100+10-X(12-325+1-2+3+6+2+12)=100.因為94v100,所以yky2,即肉粽的銷售量的均值較花生粽高，所以可以認為肉粽更受歡迎.,11二2122222165.A156所以b=1652(3)由題中數據可得tZ(ti-t)=-X(9+7+5+3+1)X2=2i=141.89,a=1001.891x89.60.故肉粽銷售量y關于序號t的線性回歸方程為y=1.89t+89.60.當t=15時，y=1.89X15+89.60118,所以預估第15天肉粽的銷售量為118個.B級一一拔高題滿分練1.(201

7、9全國卷I)為治療某種疾病，研制了甲、乙兩種新藥，希望知道哪種新藥更有效，為此進行動物試驗.試驗方案如下：每一輪選取兩只白鼠對藥效進行對比試驗.對于兩只白鼠，隨機選一只施以甲藥，另一只施以乙藥.一輪的治療結果得出后，再安排下一輪試驗.當其中一種藥治愈的白鼠比另一種藥治愈的白鼠多4只時，就停止試驗，并認為治愈只數多的藥更有效.為了方便描述問題，約定：對于每輪試驗，若施以甲藥的白鼠治愈且施以乙藥的白鼠未治愈則甲藥得1分，乙藥得一1分；若施以乙藥的白鼠治愈且施以甲藥的白鼠未治愈則乙藥得1分，甲藥得-1分；若都治愈或都未治愈則兩種藥均得0分.甲、乙兩種藥的治愈率分別記為a和6,一輪試驗中甲藥的得分記為

8、X.(1) 求X的分布列；(2) 若甲藥、乙藥在試驗開始時都賦予4分,p(i=0,1,，8)表示“甲藥的累計得分為i時，最終認為甲藥比乙藥更有效”的概率，貝Up°=0,p8=1,pi=ap1+bp+cp+1(i=1,2，7),其中a=RX=1),b=RX=0),c=RX=1).假設a=0.5,3=0.8. 證明：p+1-pi(i=0,1,2，7)為等比數列； 求p4,并根據p4的值解釋這種試驗方案的合理性.解：(1)X的所有可能取值為一1,0,1.則P(X=1)=(1a)3,P(X=0)=a$+(1a)(13),P(X=1)=a(13),所以X的分布列為X-101P(1(X)3a6+

9、(1(X)(13)(X(13)(2)證明：由(1)得a=0.4,b=0.5,c=0.1,因為p=0.4pi1+0.5pi+0.1pi+1,所以0.1(pi+1pi)=0.4(pipi1),即pi+1-pi=4(pi-pi1).又因為p1p0=pi乒0,所以pi+1-pi(i=0,1,2，7)是公比為4,首項為p1的等比數列.由可得?8=p8p7+p7?6+p1p°+p048-1=(p8p7)+(p7p6)+(“一p°)=-p1.3，一,3由于？8=1,故p1=481,所以P4=(P4-P3)+(P3P2)+(P2-Pl)+(PlP0)44-11=3P1=257'P4

10、表示最終認為甲藥更有效的概率.由計算結果可以看出，在甲藥治愈率為0.5,乙藥治1愈率為0.8時，認為甲藥更有效的概率為P4=q0.0039,此時礙出錯誤結論的概率非常257小，說明這種試驗方案合理.2.某省局考改革實施方案指出：該省局考考生總成績將由語文、數學、外語3門統一高考成績和3門學生自主選擇的高中學業水平等級性考試科目成績共同構成，該省教育廳為了解正在讀高中的學生家長對高考改革方案所持的態度，隨機從中抽取了100名城鄉學生家長作為樣本進行調查，調查結果顯示樣本中有25人持不贊成意見，如圖是根據樣本的調查結果繪制的等高條形圖.(1)根據已知條件與等高條形圖完成下面的2X2列聯表，并判斷我

11、們能否有95%勺把握認為“贊成高考改革方案與城鄉戶口有關”？贊成不贊成總計城鎮居民農村居民總計*(a+叮籍；'b+d)，其中n=a+b+c+&附:RK2Akc)0.100.05kc2.7063.841(2)用樣本的頻率估計概率，若隨機在全省不贊成高考改革的家長中抽取3人，記這3個家長中是城鎮戶口的人數為X,試求X的分布列及數學期望.解：(1)完成列聯表，如下:代入公式，得K2=贊成不贊成總計城鎮居民301545農村居民451055總計7525100100X(300-6752q45X55X75X253.03V3.841.我們沒有95%勺把握認為“贊成高考改革方案與城鄉戶口有關”.

12、用樣本的頻率估計概率，隨機在全省不贊成高考改革的家長中抽中城鎮戶口家長的概率為0.6，抽中農村戶口家長的概率為0.4.X的可能取值為0,1,2,3,P(X=0)=(0.4)3=0.064;p(X=1)=C3x0.6X(0.4)寫出張先生一次租車費用y(單位：元)與用車時間t(單位：分)的函數關系式；若張先生一次開車時間不超過40分為“路段暢通”，設E表示3次租用新能源分時租賃汽車中“路段暢通”的次數，求E的分布列和期望；若公司每月給1000元的交通補助，請估計張先生每月(按22天計算)的交通補助是否足夠讓張先生上、下班租用新能源分時租賃汽車？并說明理由.(同一時段的時間用該區間的中點值代表)解

13、：(1)當20Vt<40時，y=0.12t+15;當40vt<60時，y=0.12X40+0.20(t40)+15=0.2t+11.8.0.12t+15,20Vt<40,故V=，一一一0.2t+11.8,40Vt<60.(2)張先生租用一次新能源分時租賃汽車中“路段暢通”的概率E可取0,1,2,3.02。327P(日=0)=吒莊戶125,=0.288;P(X=2)=C3x0.62X0.4=0.432;p(X=3)=C3x0.63=0.216.X的分布列為X0123P0.0640.2880.4320.216E(X)=0X0.064+1X0.288+2X0.432+3X0.

14、216=1.8.3.為響應綠色出行，某市在推出共享單車后，又推出新能源分時租賃汽車.其中一款新能源分時租賃汽車，每次租車收費的標準由兩部分組成：根據行駛里程數按1元/公里計費；行駛時間不超過40分鐘時按0.12元/分計費，超過40分鐘時，超出部分按0.20元/分計費.已知張先生家離上班地點15公里，每天租用該款汽車上、下班各一次.由于堵車、紅綠燈等因素，每次路上開車花費的時間t(單位：分)是一個隨機變量.現統計了張先生50次路上開車花費的時間，在各時間段內的頻數分布情況如下表所示時間t/分(20,30(30,40(40,50(50,60頻數2182010將頻率視為概率，每次路上開車花費的時間視

15、為用車時間.P31展誦3里P（弋一1）一%加荷P3-2-dH2'.3'1-36P（E2）一%槌廠125,p（3）=c3D（I）=焉27/E（日）=°x宓+1X125E的分布列為0123P275436812512512512554°36-8卜2X拓+3=1.2.125125或EE尸3X|=1.2；,CL2“18“20t=25X+35X+45X505050（3）張先生每月的交通補助足夠讓他上、下班租用新能源分時租賃汽車.理由如下.法一：張先生租用一次新能源分時租賃汽車的平均用車時間10一、+55X冰=42.6（分），50每次租用新能源分時租賃汽車的平均費用為0.2X42.6+11.8=20.32（元），張先生一個月上、下班租車費用約為20.32X22X2=894.08（元），因為894