1、1.3.2函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)內(nèi)容要求1.了解函數(shù)極值的概念,會(huì)從幾何方面直觀理解函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系,并會(huì)靈活應(yīng)用.2.掌握函數(shù)極值的判定及求法.3.掌握函數(shù)在某一點(diǎn)取得極值的條件.前H習(xí)白土空習(xí),枳流基昭知識(shí)點(diǎn)i極值點(diǎn)與極值的概念(i)極小值點(diǎn)與極小值*j如圖,函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x=a的函數(shù)值f(a)比它在點(diǎn)x=a附.近其他點(diǎn)的函數(shù)值都小,f'a)=0;而且在點(diǎn)x=a附近的左也側(cè)f'x)<0,右側(cè)f'xl>0,那么把點(diǎn)a叫做函數(shù)y=f(x)的極小值點(diǎn),f(a)叫做函數(shù)y=f(x)的極小值.(2)極大值點(diǎn)與極大值如(1)中圖,函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x=b的函

2、數(shù)值f(b)比它在點(diǎn)x=b附近其他點(diǎn)的函數(shù)值都大,f'b)=0;而且在點(diǎn)x=b的左側(cè)f'x)>0,右側(cè)f'x)<0,那么把點(diǎn)b叫做函數(shù)y=f(x)的極大值點(diǎn),f(b)叫做函數(shù)y=f(x)的極大值.極大值點(diǎn)、極小值點(diǎn)統(tǒng)稱為極值點(diǎn),極大值和極小值統(tǒng)稱為極值.【預(yù)習(xí)評(píng)價(jià)】(正確的打“,錯(cuò)誤的打“X)(1)函數(shù)f(x)假設(shè)有極大值和極小值,那么極大值一定大于極小值.()(2)假設(shè)f'x0)=0,那么x0是函數(shù)f(x)的極值點(diǎn).()假設(shè)f(x)在區(qū)間(a,b)上是單調(diào)函數(shù),那么f(x)在區(qū)間(a,b)上沒(méi)有極值點(diǎn).()提示(1)函數(shù)f(x)的極大值和極小值的大

3、小關(guān)系不確定,如下圖,極大值f(x1)小于極小值f(x2),所以(1)錯(cuò).反例：f(x)=x3,f'xl=3x2,那么f'(0)0,但0不是f(x)=x3的極值點(diǎn),(2)錯(cuò).由極值的定義可知(3)正確.答案(1)X(2)X(3),知識(shí)點(diǎn)2求函數(shù)v=f(x)的極值的方法解方程f'x)=0,當(dāng)f'x0)=0時(shí)：(1)如果在X0附近的左側(cè)f'x)>0,右側(cè)f'x)<0,那么f(xo)是極大值.(2)如果在xo附近的左側(cè)f'xl<0,右側(cè)f'x)>0,那么f(xo)是極小值.【預(yù)習(xí)評(píng)價(jià)】1函數(shù)f(x)=3x3-x2

4、-3x+6的極大值為,極小值為.解析f'xl=x2-2x-3,令f'x)>0,得x<1或x>3,令f'x)<0得1<x<3,故f(x)在(oo,1),+8)上單增,在(1,3)上單減,故f(x)的極大值為23f(1)=二,極小值為f(3)=3.323答案23-3|M章互動(dòng)I題型到析,互動(dòng)探究題型一求函數(shù)的極值【例11求函數(shù)f(x)=x22x12的極值.解函數(shù)的定義域?yàn)镽.f'xl=2(x2+1)4x22(x1)(x+1)zz=zz(x2+1)2(x2+1)2令f'x)=0,得x=1,或x=1.當(dāng)x變化時(shí),f'x

5、),f(x)的變化情況如下表:x(一oo,1)1(-1,1)1(1,+00)f'x)一0十0一f(x)-3/1由上表可以看出:當(dāng)x=1時(shí),函數(shù)有極小值,且極小值為f(1)=3;當(dāng)x=1時(shí),函數(shù)有極大值,且極大值為f(1)=1.規(guī)律方法求可導(dǎo)函數(shù)f(x)的極值的步驟：(1)確定函數(shù)的定義域,求導(dǎo)數(shù)fx);(2)求方程f'x)=0的根；用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為0的點(diǎn),順次將函數(shù)的定義域分成假設(shè)干個(gè)小開(kāi)區(qū)間,并列成表格檢測(cè)f'x)在方程根左右兩側(cè)的值的符號(hào),如果左正右負(fù),那么f(x)在這個(gè)根處取得極大值；如果左負(fù)右正,那么f(x)在這個(gè)根處取得極小值；如果左右不改變符號(hào),那么f(x)在

6、這個(gè)根處無(wú)極值.3【練習(xí)11求函數(shù)f(x)=3+3lnx的極值.x3解函數(shù)f(x)=-+3lnx的止義域?yàn)?0,+00)x,333(x-1)fxl=一x=一丁令f'x)=0,得x=1.當(dāng)x變化時(shí),f'x)與f(x)的變化情況如下表:x(0,1)1(1,+00)f'x)一0十f(x)3/因此當(dāng)x=1時(shí),f(x)有極小值f(1)=3.題型二利用函數(shù)極值確定參數(shù)的值【例2】函數(shù)f(x)=ax3+bx2+cx(aw0)在x=土處取得極值,且f(1)=-1.(1)求常數(shù)a,b,c的值；(2)判斷x=±1是函數(shù)的極大值點(diǎn)還是極小值點(diǎn),試說(shuō)明理由,并求出極值.解(1)f&#

7、39;x)=3ax2+2bx+c.x=蟲(chóng)是函數(shù)f(x)的極值點(diǎn),.x=蟲(chóng)是方程f'x)=3ax2+2bx+c=0的兩根,由根與系數(shù)的關(guān)系,得2b3a0,c3a-1又f(1)=1,.a+b+c=-1.13由解得a=2,b=0,c=5.,1o3(2)由(1)知f(x)=2x3x,3一2-3-2-2X3-2-1)(x+1),當(dāng)x<1或x>1時(shí),f'x)>0,當(dāng)一1<x<1時(shí),f'x)<0,函數(shù)f(x)在(一00,1)和(1,+oo)上是增函數(shù),在(一1,1)上是減函數(shù),當(dāng)x=1時(shí),函數(shù)取得極大值f(1)=1,當(dāng)x=1時(shí),函數(shù)取得極小值f(1

8、)=1.規(guī)律方法(1)利用函數(shù)的極值確定參數(shù)的值,常根據(jù)極值點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)為0和極值兩個(gè)條件列方程組,利用待定系數(shù)法求解.由于“導(dǎo)數(shù)值等于零不是“此點(diǎn)為極值點(diǎn)的充要條件,所以利用待定系數(shù)法求解后,必須驗(yàn)證根的合理性.【練習(xí)2函數(shù)f(x)=ax3+bx2+cx在x=x0處取得極大值5,其導(dǎo)函數(shù)y=f'x)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)(1,0),(2,0),如下圖,求：(1)x0的值;(2)a,b,c的值.解(1)由圖象可知,在(8,1)上f'xl>0,在(1,2)上f'xl<0,在(2,+OO)上fx)>0.故f(x)在(一8,1),(2,+8)上單調(diào)遞增,在(1,2)上單調(diào)

9、遞減,因此f(x)在x=1處取得極大值,所以xo=1.(2)f'x)=3ax2+2bx+c,由f'(筠0,f'(肖0,f(1)=5,3a+2b+c=0,得12a+4b+c=0,解彳4a=2,b=9,c=12.a+b+c=5,互動(dòng)探究超型三函數(shù)極值的綜合應(yīng)用【探究1】設(shè)f(x)=3x3x+1,試判斷f(x)零點(diǎn)的個(gè)數(shù).解f'x)=9x21,令f'x)>0,得x<a或x>a,令f'x)<0,得一石<x<,3333一,11,、,11,、一,一,故f(x)在一8,3,3,+OO上單調(diào)遞增,在一3,3上單調(diào)遞減,因此,當(dāng)

10、33331111.1一一一x=3'時(shí),f(x)有極大值,且極大值為f3=8,當(dāng)x=3時(shí),f(x)有極小值,且極小值為f1=9,由此易知f(x)的大致形狀及走向如圖39所示,由圖可知f(x)共有一個(gè)零點(diǎn).【探究2】設(shè)函數(shù)f(x)=x36x+5,xR.(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間和極值；(2)假設(shè)關(guān)于x的方程f(x)=a有三個(gè)不同的實(shí)根,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.解(1)f'x)=3x26,令f'x)=0,解得x1=42,x2=q2.由于當(dāng)x>42或x<5時(shí),f'x)>0;當(dāng)一q2Vx<,2時(shí),f'x)<o,所以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)

11、間為(一0°,<2)和(吊2,十°°)；單調(diào)遞減區(qū)間為(一業(yè)回當(dāng)x=一加時(shí),f(x)有極大值5+4回當(dāng)x=42時(shí),f(x)有極小值5-4版(2)由(1)的分析知y=f(x)的圖象的大致形狀及走向如下圖.小所以,當(dāng)54V2va<5+4V2時(shí),/八.直線y=a與y=f(x)的圖象有三個(gè)不同的交點(diǎn),即當(dāng)a(5-'''屋4亞,5+4也)時(shí),方程f(x)=a有三個(gè)不同的實(shí)根.規(guī)律方法用求導(dǎo)的方法確定方程根的個(gè)數(shù),是一種很有效的方法.它通過(guò)函數(shù)的變化情況,運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想來(lái)確定函數(shù)圖象與x軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù),從而判斷方程根的個(gè)數(shù).【練習(xí)3】設(shè)a為

12、實(shí)數(shù),函數(shù)f(x)=x3+3x+a.求f(x)的極值；(2)是否存在實(shí)數(shù)a,使得方程f(x)=0恰好有兩個(gè)實(shí)數(shù)根？假設(shè)存在,求出實(shí)數(shù)a的值；假設(shè)不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.解(1)f'x)=3x2+3,令f'x)=0,得x=1或x=1.l3為當(dāng)xC(8,1)時(shí),f'xl<0,當(dāng)xC(1,1)時(shí),f'x)>0,當(dāng)x(1,+oo)時(shí),£&)<0,所以f(x)的極小值為f(1)=a2,極大值為f(1)=a+2.(2)由于f(x)在(一8,1)內(nèi)單調(diào)遞減,且當(dāng)x8時(shí),f(x)一+oo,f(x)在(1,+oo)內(nèi)單調(diào)遞減,且當(dāng)x一十oo時(shí),f(

13、x)oo,而a+2>a2,即函數(shù)的極大值大于極小值,所以當(dāng)極大值等于0時(shí),極小值小于0,此時(shí)曲線f(x)與x軸恰有兩個(gè)交點(diǎn),即方程f(x)=0恰好有兩個(gè)實(shí)數(shù)根,所以a+2=0,a=2,如圖1所示.當(dāng)極小值等于0時(shí),極大值大于0,此時(shí)曲線f(x)與x軸恰有兩個(gè)交點(diǎn),即方程f(x)=0恰好有兩個(gè)實(shí)數(shù)根,所以a2=0,a=2,如圖2所示.綜上所述,當(dāng)a=2或a=2時(shí),方程f(x)=0恰有兩個(gè)實(shí)數(shù)根.|i稼富反taimmQm適睢mm：.於歪亞sss!國(guó)三)篁主民情.小海成效課堂達(dá)標(biāo)1 .函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽,導(dǎo)函數(shù)f'x)的圖象如下圖,那么函數(shù)f(x)()A.無(wú)極大值點(diǎn),有四個(gè)極小值

14、點(diǎn)B.有三個(gè)極大值點(diǎn),兩個(gè)極小值點(diǎn)C.有兩個(gè)極大值點(diǎn),兩個(gè)極小值點(diǎn)D.有四個(gè)極大值點(diǎn),無(wú)極小值點(diǎn)解析f'xl的符號(hào)由正變負(fù),那么f(x.)是極大值,f'x)的符號(hào)由負(fù)變正,那么f(x.)是極小值,由圖象易知有兩個(gè)極大值點(diǎn),兩個(gè)極小值點(diǎn)答案C2 .函數(shù)f(x)=x3px2qx的圖象與x軸切于點(diǎn)(1,0),那么f(x)的極值情況為()a.極大值為27,極小值為0.,一4B.極大值為0,極小值為274c.極大值為0,極小值為一27D.極大值為一27,極小值為0解析f'x)=3x22pxq,根據(jù)題意,知x=1是函數(shù)的一個(gè)極值點(diǎn),那么f'(1)=32pq=0,p=2,解得

15、f(1)=1pq=0,q=1,所以f'x)=3x24x+1.令f'x)=0,得x=1或x=1,易判斷當(dāng)x=1時(shí),f(x)有極大值為1,當(dāng)x=1時(shí),3327f(x)有極小值為0,應(yīng)選A.答案A3 .f(x)=x3+ax2+(a+6)x+1有極大值和極小值,那么a的取值范圍為()A.(T,2)B.(3,6)C.(oo,1)U(2,+oo)D.(-3)U(6,+oo)解析f'x=3x2+2ax+(a+6),由于f(x)既有極大值又有極小值,那么A=(2a)2-4X3X(a+6)>0,解得a>6或a<3.答案D4 .設(shè)函數(shù)f(x)=6x3+3(a+2)x2+2

16、ax假設(shè)f(x)的兩個(gè)極值點(diǎn)為x1,x2,且x1x2=1,那么實(shí)數(shù)a的值為.解析f'xl=18x2+6(a+2)x+2a.2a由fx()=fx2)=0,從而x1x2=18=1,所以a=9,經(jīng)驗(yàn)證此時(shí)A>0,符合題意.答案91Q5.關(guān)于x的函數(shù)f(x)='x3+bx2+cx+bc,右函數(shù)f(x)在x=1處取得極值34o,貝Ub_,c=.3解析f'x)=x2+2bx+c,由f(x)在x=1處取得極值一:,得3f'(1)=1+2b+c=0,f(1)b+c+bcq.33b=1,b=1,解得或c=-1c=3.假設(shè)b=1,c=1,那么f'x)=x2+2x1=(

17、x1)200,此時(shí)f(x)沒(méi)有極值；假設(shè)b=1,c=3,那么f'x)=x22x+3=(x+3)(x1),當(dāng)一3<x<1時(shí),f'x)>0,當(dāng)x>1時(shí),f'x)<0.4所以當(dāng)x=1時(shí),f(x)有極大值3.故b=-1,c=3.答案13課堂小結(jié)1 .在極值的定義中,取得極值的點(diǎn)稱為極值點(diǎn),極值點(diǎn)指的是自變量的值,極值指的是函數(shù)值.2 .函數(shù)的極值是函數(shù)的局部性質(zhì).可導(dǎo)函數(shù)f(x)在點(diǎn)x=x0處取得極值的充要條件是f'x0)=0且在x=x0兩側(cè)f'x)符號(hào)相反.3 .利用函數(shù)的極值可以確定參數(shù)的值,解決一些方程的解和圖象的交點(diǎn)問(wèn)題.牌

18、后作業(yè)iH-黑：強(qiáng)化期穩(wěn)固握升根底過(guò)關(guān)1 .函數(shù)f(x)的定義域?yàn)殚_(kāi)區(qū)間(a,b),導(dǎo)函數(shù)f'x)在(a,b)內(nèi)的圖象如下圖,那么函數(shù)f(x)在開(kāi)區(qū)間(a,b)內(nèi)的極小值點(diǎn)有()A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)解析函數(shù)在極小值點(diǎn)附近的圖象應(yīng)有先減后增的特點(diǎn),因此根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的圖象,應(yīng)該在導(dǎo)函數(shù)的圖象上找與x軸相交,且交點(diǎn)左側(cè)圖象在x軸下方、交點(diǎn)右側(cè)圖象在x軸上方的點(diǎn),這樣的點(diǎn)只有1個(gè),所以函數(shù)只有1個(gè)極小值點(diǎn).答案A2 .可導(dǎo)函數(shù)v=f(x)在一點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)值為0是“可導(dǎo)函數(shù)y=f(x)在這點(diǎn)取得極值的()A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件解析對(duì)于f(x

19、)=x3,f,x)=3x2,f'(0)0,不能推出f(x)在x=0處取極值,反之成立.應(yīng)選B.答案B3假設(shè)a>0,b>0,且函數(shù)f(x)=4x3ax22bx+2在x=1處有極值,那么ab的最大值等于()A.2B.3C.6D.9解析f'xl=12x2-2ax-2b,f(x)在x=1處有極值,：.f(1)122a2b=0,.a+b=6.又a>0,b>0,a+b>2/ab,-2Vab<6,.ab<9,當(dāng)且僅當(dāng)a=b=3時(shí)等號(hào)成立,；ab的最大值為9.答案D4 .函數(shù)f(x)=x3+3ax2+3(a+2)x+3既有極大值又有極小值,那么實(shí)數(shù)a的

20、取值范圍是.解析f'xl=3x2+6ax+3(a+2),令3x2+6ax+3(a+2)=0,即x2+2ax+a+2=0,函數(shù)f(x)有極大值和極小值,方程x2+2ax+a+2=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根,即A=4a24a8>0,解得a>2或a<1.答案(8,1)U(2,+oo)5 .函數(shù)f(x)=x36x+a的極大值為,極小值為.解析f'xl=3x2-6,令fx)=o,得x=->/2或x=q2.由于當(dāng)x(8,一V2)時(shí),f,x)>0,當(dāng)xC(啦,V2)時(shí),f'x)<0,當(dāng)xC(V2,+oo)時(shí),fx)>0,所以f(x)極大值=f(一

21、42)=a+4>/2,f(x)極小值=f(J2)=a4亞.答案a+4也a4啦6 .f(x)=x3+2mx22m2x4(m為常數(shù),且m>0)有極大值一5,求m的值.解.f'xl=3x2+mx2m2=(x+m)(3x2m),令f'x)=0,那么乂=m或x=叁m.3當(dāng)x變化時(shí),f'x),f(x)的變化情況如下表：x(一00,一m)一mm,1m323m2.2m,+003f'x)十0一0十f(x)/極大值極小值/f(x)極大值=f(m)=m3+2m3+2m34=2,.m=1.7 .設(shè)a為實(shí)數(shù),函數(shù)f(x)=x3x2x+a.求f(x)的極值；(2)當(dāng)a在什么范圍

22、內(nèi)取值時(shí),曲線y=f(x)與x軸僅有一個(gè)交點(diǎn)?解(1)f'x)=3x22x1.令f'x)=0,那么x=；或x=1.3當(dāng)x變化時(shí),f'x),f(x)的變化情況如下表：x,1(一00,3)1-3(-11)1(1,+00)fx)十0一0十f(x)/極大值極小值/所以f(x)的極大值是f3=扁+a,極小值是f(1)=a1.327(2)函數(shù)f(x)=x3-x2-x+a=(x1)2(x+1)+a-1,由此可知,x取足夠大的正數(shù)時(shí),有f(x)>0,x取足夠小的負(fù)數(shù)時(shí),有f(x)<0,所以曲線y=f(x)與x軸至少有一個(gè)交點(diǎn)1立,由(1)知f(x)極大值=f3=27+a,f

23、(x)極小值=f(1)=a1.由于曲線y=f(x)與x軸僅有一個(gè)交點(diǎn),所以f(x)極大值<0或f(x)極小值>0,_5.一即27+a<0或a1>0,所以a<-£a>1,5所以當(dāng)aC8,一萬(wàn)u(i,+oo)時(shí),曲線y=f(x)與x軸僅有一個(gè)交點(diǎn).水平提升28.設(shè)函數(shù)f(x)=,+lnx,那么()x1 .A.x=2為f(x)的極大值點(diǎn)1一B.x=2為f(x)的極小值點(diǎn)C.x=2為f(x)的極大值點(diǎn)D.x=2為f(x)的極小值點(diǎn)221x-2.一斛析f(x)=x+lnx(x>0),fx)=x2+x=x2",當(dāng)x>2時(shí),fx1>0

24、,止匕時(shí)f(x)為增函數(shù)；當(dāng)0<x<2時(shí),f'x)<0,止匕時(shí)f(x)為減函數(shù),因此x=2為f(x)的極小值點(diǎn).答案D9.假設(shè)函數(shù)f(x)=xax2+x+1在區(qū)間2,3內(nèi)有極值點(diǎn),那么實(shí)數(shù)a的取值范圍是32L5B.2,2c10D.2,萬(wàn)()5A.2,2c10C.2,33解析由于函數(shù)f(x)=32+x+1,32所以f'x)=x2ax+1.x3a1假設(shè)函數(shù)f(x)=§ax2+x+1在區(qū)間2,3內(nèi)有極值點(diǎn),那么f'x)=x2ax+1在區(qū)間2,3內(nèi)有零點(diǎn).由x2ax+1=0,彳4a=x+y.x一、,1-1,110由于xC2,3,y=x+x在2,1上遞

25、減,在(1,3)上遞增,所以2<a<-3.又由于當(dāng)a=2時(shí),f'x)=x22x+1=(x-1)2>0,不符合題意,所以a*2.應(yīng)選C.答案C10 .直線y=a與函數(shù)v=x33x的圖象有三個(gè)相異的交點(diǎn),那么a的取值范圍是.解析f'xl=3x2-3,令f'x)=0,得x=1或x=1.由于當(dāng)x(8,1)時(shí),f'x)>0,當(dāng)x(1,1)時(shí),f'x)<0,當(dāng)xC(1,+00)時(shí),fx)>0,所以f(x)極小值=f(1)=-2,f(x)極大值=f(1)=2.函數(shù)y=x33x的大致圖象如下圖,所以一2<a<2.答案(2,2)11 .對(duì)于函數(shù)f(x)=x33x2,給出以下四個(gè)命題：f(x)是增函數(shù),無(wú)極值；f(x)是減函數(shù),有極值；f(x)在區(qū)間(一8,0),(2,+8)內(nèi)是增函數(shù)；f(x)有極大值0,極小值4.其中正確命題的序號(hào)為.解析f'xl=3x2_6x=3x(x2),當(dāng)xC(一,0)時(shí),f'x)>0,此時(shí)函數(shù)f(x)單調(diào)遞增；當(dāng)xC(0,2)時(shí),f'x)<0,此時(shí)函數(shù)f(x)單調(diào)遞減；當(dāng)xC(2,+00)時(shí),、x)>0,此時(shí)函