1、7-1第第7章章 均勻波導中的導行電磁波均勻波導中的導行電磁波I基本要求基本要求I傳輸線的基本概念傳輸線的基本概念I7.1 導行電磁波的一般分析方法導行電磁波的一般分析方法I7.2 矩形波導中的導行電磁波矩形波導中的導行電磁波I7.3 圓形波導中的導行電磁波圓形波導中的導行電磁波I7.4 傳輸功率與傳輸損耗傳輸功率與傳輸損耗I7.5 同軸線中的導行電磁波同軸線中的導行電磁波I7.6 光導纖維中的導行電磁波光導纖維中的導行電磁波I主要內容主要內容7-2主要內容主要內容7-37-4 常見的傳輸線的常見的傳輸線的平行雙線、同軸線、微帶線、波導管、平行雙線、同軸線、微帶線、波導管、介質棒等等。介質棒等

2、等。傳輸線的基本概念傳輸線的基本概念7-5 傳輸線（波導）傳輸線（波導）用來引導電磁波做定向傳播的一種導用來引導電磁波做定向傳播的一種導波結構。波結構。 導行電磁波（導波）導行電磁波（導波）在傳輸線引導下做定向傳播的電在傳輸線引導下做定向傳播的電磁波。磁波。 均勻波導（規則波導）均勻波導（規則波導）橫截面的形狀和尺寸以及所用橫截面的形狀和尺寸以及所用導體和介質的特性沿縱向都是不變的無限長的直波導。導體和介質的特性沿縱向都是不變的無限長的直波導。 研究導行電磁波在波導中的傳播，就是求解電磁波在波導研究導行電磁波在波導中的傳播，就是求解電磁波在波導橫截面上的分布規律及其沿軸向的傳播特性。橫截面上的

3、分布規律及其沿軸向的傳播特性。 導行電磁波的一般分析方法導行電磁波的一般分析方法縱向場法。縱向場法。傳輸線的基本概念傳輸線的基本概念7-67.1 導行電磁波的一般分析方法導行電磁波的一般分析方法I7.1.1 橫向場和縱向場的亥姆霍茲方程橫向場和縱向場的亥姆霍茲方程I7.1.2 用縱向場表示的橫向場用縱向場表示的橫向場I7.1.3 傳播模式及其傳播特性傳播模式及其傳播特性 縱向場法縱向場法先求解其導行電磁波的縱向場分量所滿足的先求解其導行電磁波的縱向場分量所滿足的亥姆霍茲方程得到縱向場分量，然后利用麥克斯韋方程直亥姆霍茲方程得到縱向場分量，然后利用麥克斯韋方程直接由縱向場導出其它的橫向場分量。接

4、由縱向場導出其它的橫向場分量。7-77.1.1 橫向場和縱向場的亥姆霍茲方程橫向場和縱向場的亥姆霍茲方程I廣義柱坐標系廣義柱坐標系I四點假設四點假設I縱向場和橫向場的導波方程縱向場和橫向場的導波方程7-8廣義柱坐標系廣義柱坐標系 廣義柱坐標系廣義柱坐標系 只有只有 軸是直線，而軸是直線，而 是垂直是垂直于于 軸的兩組相互正交的曲線。例如：圓柱坐標系，拋物柱軸的兩組相互正交的曲線。例如：圓柱坐標系，拋物柱坐標系，橢圓柱坐標系，直角坐標系是一種特殊的柱坐標系。坐標系，橢圓柱坐標系，直角坐標系是一種特殊的柱坐標系。7-9 廣義柱坐標系中的哈密頓算子和拉普拉斯算子廣義柱坐標系中的哈密頓算子和拉普拉斯算

5、子 哈密頓算子哈密頓算子 拉普拉斯算子拉普拉斯算子 在直角坐標系中在直角坐標系中 在圓柱坐標系中在圓柱坐標系中橫向（二維）橫向（二維） 哈密頓算子哈密頓算子橫向（二維）橫向（二維） 拉普拉斯算子拉普拉斯算子廣義柱坐標系廣義柱坐標系 7-10（1）波導內填充線性各向同性的理想介質，即波導內填充線性各向同性的理想介質，即（2）波導壁是理想導體，即波導壁是理想導體，即（3）遠離波源的時諧場，即無源區的電磁場，電場和磁場均遠離波源的時諧場，即無源區的電磁場，電場和磁場均滿足亥姆霍茲方程，即滿足亥姆霍茲方程，即（7.1.2）四點假設四點假設（7.1.1）7-11（4）波沿波沿 方向傳播，即方向傳播，即

6、其中其中 和和 分別表示電場和磁場在波導橫截面上分別表示電場和磁場在波導橫截面上的分布，而傳播常數的分布，而傳播常數（7.1.4）（7.1.3）四點假設四點假設7-12 導行電磁波沿著廣義柱坐標系的導行電磁波沿著廣義柱坐標系的 方向（縱向）傳播時方向（縱向）傳播時的哈密頓算子和拉普拉斯算子的哈密頓算子和拉普拉斯算子縱向場和橫向場的導波方程縱向場和橫向場的導波方程7-13（7.1.11） 導行電磁波的縱向場和橫向場導行電磁波的縱向場和橫向場（7.1.12）導行電磁波的縱向場導行電磁波的縱向場導行電磁波的橫向場導行電磁波的橫向場 將（將（7.1.11）式和（）式和（7.1.12）式代入兩個亥姆霍茲

7、方程，結合）式代入兩個亥姆霍茲方程，結合廣義柱坐標系的哈密頓算子和拉普拉斯算子就可以直接得到廣義柱坐標系的哈密頓算子和拉普拉斯算子就可以直接得到縱向場和橫向場所滿足偏微分方程縱向場和橫向場所滿足偏微分方程導波方程。導波方程。縱向場和橫向場的導波方程縱向場和橫向場的導波方程7-14（7.1.13-14） 縱向場導波方程縱向場導波方程二階標量偏微分方程二階標量偏微分方程（7.1.15-16） 橫向場導波方程橫向場導波方程二階矢量偏微分方程二階矢量偏微分方程 其中其中 一旦給定波導橫截面的形狀和尺寸，求解（一旦給定波導橫截面的形狀和尺寸，求解（7.1.13）式和）式和（7.1.14）式就可以得到導行

8、電磁波的兩個縱向場以及）式就可以得到導行電磁波的兩個縱向場以及 。 橫向場可以直接由縱向場推出，而不要求解矢量偏微分方程。橫向場可以直接由縱向場推出，而不要求解矢量偏微分方程。縱向場和橫向場的導波方程縱向場和橫向場的導波方程7-157.1.2 用縱向場表示的橫向場用縱向場表示的橫向場 當波導中的縱向場不為零時，其橫向場可以利用兩個麥克斯當波導中的縱向場不為零時，其橫向場可以利用兩個麥克斯韋旋度方程以及矢量恒等式直接由縱向場推出，而不必求解韋旋度方程以及矢量恒等式直接由縱向場推出，而不必求解橫向場的矢量導波方程。橫向場的矢量導波方程。 橫向場與縱向場的關系為橫向場與縱向場的關系為（7.1.25）

9、（7.1.26） 若解出縱向場若解出縱向場 以及以及 后，就可以由后，就可以由（7.1.25）式和（）式和（7.1.26）式直接求出其余的橫向場分量了。）式直接求出其余的橫向場分量了。7-167.1.3 傳播模式及其傳播特性傳播模式及其傳播特性I傳播模式以及傳播模式的分類傳播模式以及傳播模式的分類I1. TEM模及其存在條件模及其存在條件I2. TE模和模和TM模的傳播條件和傳播特性模的傳播條件和傳播特性7-17傳播模式以及傳播模式的分類傳播模式以及傳播模式的分類 模式（模、波、波型）模式（模、波、波型）能夠在波導中單獨存在（滿足波能夠在波導中單獨存在（滿足波導內的場方程和所有的邊界條件）的電

10、磁場分布或結構。導內的場方程和所有的邊界條件）的電磁場分布或結構。 傳播模式的分類傳播模式的分類7-18 TEM模模縱向場分量縱向場分量 和和 都為零的波型。都為零的波型。1. TEM模及其存在條件模及其存在條件（7.1.27） 縱向場為零的縱向場為零的TEM模的橫向分量均不為零，必須模的橫向分量均不為零，必須 7-19 TEM模模縱向場分量縱向場分量 和和 都為零的波型。都為零的波型。1. TEM模及其存在條件模及其存在條件（7.1.29） TEM模的橫向場所滿足的方程模的橫向場所滿足的方程 （7.1.28） 這是二維拉普拉斯方程。它們與無源區內二維的靜電場和恒這是二維拉普拉斯方程。它們與無

11、源區內二維的靜電場和恒定磁場（統稱為靜態場）所滿足的方程是同樣的。定磁場（統稱為靜態場）所滿足的方程是同樣的。7-20 TEM模存在的條件模存在的條件任何一個波導系統內任何一個波導系統內TEM模的存在模的存在條件就是在該波導內必須能夠維持二維靜態場。條件就是在該波導內必須能夠維持二維靜態場。 能夠維持二維靜態場的波導的基本結構就是由雙導體或多能夠維持二維靜態場的波導的基本結構就是由雙導體或多導體組成的傳輸線。導體組成的傳輸線。 平行雙線、同軸線等雙導體系統內都能傳播平行雙線、同軸線等雙導體系統內都能傳播TEM模。模。 空心的金屬波導內，由于不可能存在二維靜態場，故不能空心的金屬波導內，由于不可

12、能存在二維靜態場，故不能傳播傳播TEM模。模。 1. TEM模及其存在條件模及其存在條件7-21 TEM模的傳播特性模的傳播特性均勻波導中所傳播的均勻波導中所傳播的TEM模是一種模是一種非均勻的平面波。它與無界的均勻理想介質中所傳播的均非均勻的平面波。它與無界的均勻理想介質中所傳播的均勻平面波具有相同的傳播特性，即勻平面波具有相同的傳播特性，即（7.1.30）（7.1.31）（7.1.32）（7.1.33）1. TEM模及其存在條件模及其存在條件7-22ITE模和模和TM模的傳播條件模的傳播條件ITE模和模和TM模的傳播特性模的傳播特性I兩個重要的結論兩個重要的結論ITE模和模和TM模截止模式

13、的傳播特性模截止模式的傳播特性ITE模和模和TM模的其它傳播特性模的其它傳播特性2. TE模和模和TM模的傳播條件和傳播特性模的傳播條件和傳播特性7-23 TE模模 縱向場縱向場 為零的模式（波型）。為零的模式（波型）。 TM模模 縱向場縱向場 為零的模式（波型）。為零的模式（波型）。 TE模和模和TM模的傳播條件模的傳播條件 在理想媒質中，在理想媒質中， 為實數。為實數。TE模和模和TM模的傳播條件模的傳播條件（7.1.34）（7.1.35） 當當 時，波將沿著時，波將沿著 方向傳播，對應的模式稱為傳播模方向傳播，對應的模式稱為傳播模式式 ， 稱為相位常數或相移常數；稱為相位常數或相移常數；

14、 當當 時時 ，波沿著，波沿著 方向呈指數衰減，不能傳播，對方向呈指數衰減，不能傳播，對應的模式是截止模式，應的模式是截止模式， 稱為衰減常數。稱為衰減常數。7-24 TE模和模和TM模的截止波數、截止波長和截止頻率模的截止波數、截止波長和截止頻率 仿照仿照 截止波數截止波數 截止波長截止波長 截止頻率截止頻率（7.1.36）（7.1.37） TE模和模和TM模的傳播條件模的傳播條件高通高通（7.1.38）TE模和模和TM模的傳播條件模的傳播條件7-25 幾點說明：幾點說明： 與場分量一樣，均勻波導中不同模式的截止參數與場分量一樣，均勻波導中不同模式的截止參數 也由導波方程和邊界條件所決定，所

15、以，它們與波導的類也由導波方程和邊界條件所決定，所以，它們與波導的類型及其尺寸有關。型及其尺寸有關。 如果給定波導的類型和尺寸，只有滿足傳播條件的電磁波如果給定波導的類型和尺寸，只有滿足傳播條件的電磁波才能在波導內以才能在波導內以TE模或模或TM模的形式傳播；反之，如果給模的形式傳播；反之，如果給定波導的類型和尺寸以及電磁波的工作參數定波導的類型和尺寸以及電磁波的工作參數 ，也只，也只有滿足傳播條件的有滿足傳播條件的TE模和模和TM模才能在波導內傳播，其余模才能在波導內傳播，其余的都將截止。的都將截止。 由于由于TEM模的模的 ，任何頻率或波長的電磁波都能以，任何頻率或波長的電磁波都能以TEM

16、模的形式傳播，只要該波導滿足模的形式傳播，只要該波導滿足TEM模的存在條件。模的存在條件。 只要條件合適，雙導體系統中可以同時傳播只要條件合適，雙導體系統中可以同時傳播TEM模、模、TE模和模和TM模。模。TE模和模和TM模的傳播條件模的傳播條件7-26 TE模和模和TM模傳播模式的相同的傳播參數模傳播模式的相同的傳播參數相位常數相位常數 波導波長波導波長 相速度相速度 群速度群速度（7.1.39）（7.1.40）（7.1.42）（7.1.52）電磁波的傳播速度電磁波的傳播速度TE模和模和TM模的傳播特性模的傳播特性7-27 TE模和模和TM模傳播模式的不同的傳播參數模傳播模式的不同的傳播參數

17、波型阻抗波型阻抗 TEM模的波阻抗模的波阻抗（7.1.54）（7.1.55）TE模和模和TM模的傳播特性模的傳播特性7-28兩個重要的結論兩個重要的結論（7.1.41）（7.1.53） 由于代表能量或信號的傳遞速度的是群速而不是相速，這由于代表能量或信號的傳遞速度的是群速而不是相速，這與一切能量傳播速度不可能大于光速的結論并不矛盾。與一切能量傳播速度不可能大于光速的結論并不矛盾。（1）TE模和模和TM模的波導波長模的波導波長 、工作波長、工作波長 和截止波長和截止波長 滿足關系式滿足關系式 波導波長波導波長 總是大于無界空間中電磁波的波長總是大于無界空間中電磁波的波長 。（2）相速相速 和群速

18、和群速 滿足關系式滿足關系式 相速大于電磁波在無界空間中的傳播速度（光速），而群相速大于電磁波在無界空間中的傳播速度（光速），而群速小于光速。速小于光速。7-29TE模和模和TM模截止模式的傳播特性模截止模式的傳播特性 截止模式只能定義衰減常數和波型阻抗截止模式只能定義衰減常數和波型阻抗 衰減常數衰減常數 波型阻抗波型阻抗 （7.1.56）（7.1.57） 截止模式的波阻抗是虛數，其橫向電場與橫向磁場有截止模式的波阻抗是虛數，其橫向電場與橫向磁場有 的相位差。根據坡印廷定理，電磁波沿的相位差。根據坡印廷定理，電磁波沿 方向沒有能量方向沒有能量傳播。傳播。7-30 TE模和模和TM模的色散模的色

19、散與與TEM模不同，模不同，TE模和模和TM模的模的傳播參數均是頻率的函數，這種波稱為色散波。但是，這傳播參數均是頻率的函數，這種波稱為色散波。但是，這種波的色散不同于導電媒質引起的色散。波導中的色散是種波的色散不同于導電媒質引起的色散。波導中的色散是由波導的邊界條件所引起的，故稱之為幾何色散。由波導的邊界條件所引起的，故稱之為幾何色散。 混合波型混合波型當單獨的當單獨的TE模和模和TM模不能滿足波導的邊界模不能滿足波導的邊界條件時，波導中傳播的是縱向場均不為零的混合波型。例條件時，波導中傳播的是縱向場均不為零的混合波型。例如，在圓形介質波導和部分填充介質的矩形波導等系統中，如，在圓形介質波導

20、和部分填充介質的矩形波導等系統中，將出現混合波型。混合波型同將出現混合波型。混合波型同TE模和模和TM模一樣，必須滿模一樣，必須滿足傳播條件才能傳播。足傳播條件才能傳播。 TE模和模和TM模的其它傳播特性（衰減和損耗），將在后面模的其它傳播特性（衰減和損耗），將在后面的章節中討論。的章節中討論。TE模和模和TM模的其它傳播特性模的其它傳播特性7-317.2 矩形波導中的導行電磁波矩形波導中的導行電磁波 當均勻波導的邊界及其中的媒質分界面為平面時，必須采當均勻波導的邊界及其中的媒質分界面為平面時，必須采用直角坐標系進行分析。例如，矩形金屬波導、平板金屬用直角坐標系進行分析。例如，矩形金屬波導、平

21、板金屬波導、矩形介質波導、平板介質波導以及它們的一些變形，波導、矩形介質波導、平板介質波導以及它們的一些變形，都可利用直角坐標系求解。都可利用直角坐標系求解。I7.2.1 直角坐標系中標量亥姆霍茲方程的通解直角坐標系中標量亥姆霍茲方程的通解I7.2.2 矩形波導中導行電磁波的傳播模式矩形波導中導行電磁波的傳播模式I7.2.3 矩形波導中導行電磁波的傳播特性矩形波導中導行電磁波的傳播特性I7.2.4 矩形波導中若干常用傳播模式的場結構矩形波導中若干常用傳播模式的場結構7-32I直角坐標系中橫向場與縱向場的關系直角坐標系中橫向場與縱向場的關系I直角坐標系中縱向場所滿足的導波方程直角坐標系中縱向場所

22、滿足的導波方程I直角坐標系中縱向場導波方程的解直角坐標系中縱向場導波方程的解I關于通解的幾點說明關于通解的幾點說明7.2.1 直角坐標系中標量亥姆霍茲方程的通解直角坐標系中標量亥姆霍茲方程的通解7-33 直角坐標系中橫向哈密頓算子直角坐標系中橫向哈密頓算子直角坐標系中橫向場與縱向場的關系直角坐標系中橫向場與縱向場的關系 橫向場分量與縱向場分量的關系式橫向場分量與縱向場分量的關系式式（式（7.2.14）7-34 事實上，只要事實上，只要求出任何兩個場分量，其余的場分量均可由求出任何兩個場分量，其余的場分量均可由麥克斯韋旋度方程導出，不一定是要先求出縱向場分量。麥克斯韋旋度方程導出，不一定是要先求

23、出縱向場分量。 縱向場分量所滿足的標量亥姆霍茲方程縱向場分量所滿足的標量亥姆霍茲方程式（式（7.2.56）其中其中直角坐標系中縱向場所滿足的導波方程直角坐標系中縱向場所滿足的導波方程 直角坐標系中橫向拉普拉斯算子直角坐標系中橫向拉普拉斯算子7-35直角坐標系中縱向場導波方程的解直角坐標系中縱向場導波方程的解令令 ，代入縱向場導波方程，得，代入縱向場導波方程，得（7.2.7）由于由于 和和 是相互獨立的，要使上式成立，可以令是相互獨立的，要使上式成立，可以令其中的分離常數其中的分離常數 和和 滿足分離方程滿足分離方程（7.2.10） 直角坐標系中縱向場導波方程的分離變量直角坐標系中縱向場導波方程

24、的分離變量7-36 的通解：的通解：（7.2.11） 的通解：的通解：（7.2.12）直角坐標系中縱向場導波方程的解直角坐標系中縱向場導波方程的解7-37 縱向場縱向場 的導波方程的解：的導波方程的解：（7.2.13） 縱向場縱向場 的導波方程的解：的導波方程的解：（7.2.14）直角坐標系中縱向場導波方程的解直角坐標系中縱向場導波方程的解7-38 指數函數的解也可以表示成雙曲函數的形式；指數函數的解也可以表示成雙曲函數的形式； 一般地，當場域為有限時，場應該呈駐波分布，解為三角一般地，當場域為有限時，場應該呈駐波分布，解為三角函數；當場域為無限時，場應該呈衰減分布，以保證無窮函數；當場域為無

25、限時，場應該呈衰減分布，以保證無窮遠處的場為零，解為指數函數或雙曲函數；遠處的場為零，解為指數函數或雙曲函數； 分離常數分離常數 和和 可以是異號的，也可以是同號的。但兩可以是異號的，也可以是同號的。但兩者一般不能同時為零。因此，標量亥姆霍茲方程的分離變者一般不能同時為零。因此，標量亥姆霍茲方程的分離變量解中橫向場分布可以同為三角函數，也可以同為指數函量解中橫向場分布可以同為三角函數，也可以同為指數函數；數； 解的形式以及待定常數的大小完全由邊界條件和激勵源決解的形式以及待定常數的大小完全由邊界條件和激勵源決定；定； 一旦確定了兩個縱向場分量，將它們代入（一旦確定了兩個縱向場分量，將它們代入（

26、7.2.1）（7.2.4）式就得到其余的橫向場分量了。式就得到其余的橫向場分量了。關于通解的幾點說明關于通解的幾點說明7-397.2.2 矩形波導中導行電磁波的傳播模式矩形波導中導行電磁波的傳播模式I矩形波導的結構矩形波導的結構I矩形波導中的縱向場矩形波導中的縱向場I1. 矩形波導中的矩形波導中的TE模模I2. 矩形波導中的矩形波導中的TM模模I波導的正規模及其重要特性波導的正規模及其重要特性7-40矩形波導的結構矩形波導的結構 矩形波導的結構（圖矩形波導的結構（圖7.2.1） 寬邊為寬邊為 ，窄邊為，窄邊為 矩形波導的邊界條件矩形波導的邊界條件內壁為理想導體內壁為理想導體（7.2.15）（7

27、.2.16） 矩形金屬波導簡稱矩形波導，是最矩形金屬波導簡稱矩形波導，是最常見的波導，許多波導元件都是由常見的波導，許多波導元件都是由矩形波導構成的。矩形波導構成的。7-41 矩形波導中縱向場的解矩形波導中縱向場的解由于縱向場在由于縱向場在 方向和方向和 方向方向都具有重復的零點，所以解均應選為三角函數，即都具有重復的零點，所以解均應選為三角函數，即（7.2.17）（7.2.18） 由于在介質均勻填充的矩形波導中，兩個縱向場可以單獨由于在介質均勻填充的矩形波導中，兩個縱向場可以單獨滿足波導的邊界條件，所以在矩形波導內傳播的電磁波可滿足波導的邊界條件，所以在矩形波導內傳播的電磁波可分為分為TE模

28、和模和TM模。模。矩形波導中的縱向場矩形波導中的縱向場7-42 TE模模 矩形波導中的矩形波導中的TE模的縱向場的解模的縱向場的解 1. 矩形波導中的矩形波導中的TE模模7-43 矩形波導中的矩形波導中的 模的所有場分量模的所有場分量 1. 矩形波導中的矩形波導中的TE模模7-44 由于有無窮多組解，所以有無窮多個由于有無窮多組解，所以有無窮多個TE模；模； 每一對每一對 值都對應著一種波型，故稱之為值都對應著一種波型，故稱之為 模；模； 被稱為波型指數或模指數；被稱為波型指數或模指數； 式中的式中的 是與激勵源有關的待定常數；是與激勵源有關的待定常數； 對于對于 模，模， 不能同時為零，否則

29、全部場分量為零。不能同時為零，否則全部場分量為零。 最簡單的最簡單的TE模是模是 模和模和 模。模。 矩形波導中的矩形波導中的TE模的縱向場的解的特點模的縱向場的解的特點 1. 矩形波導中的矩形波導中的TE模模7-45 TM模模 矩形波導中的矩形波導中的TM模的縱向場的解模的縱向場的解 2. 矩形波導中的矩形波導中的TM模模7-46 矩形波導中的矩形波導中的 模的所有場分量模的所有場分量2. 矩形波導中的矩形波導中的TM模模7-47 由于有無窮多組解，所以有無窮多個由于有無窮多組解，所以有無窮多個TM模；模； 每一對每一對 值都對應著一種波型，故稱之為值都對應著一種波型，故稱之為 模；模； 被

30、稱為波型指數或模指數；被稱為波型指數或模指數； 式中的式中的 是與激勵源有關的待定常數；是與激勵源有關的待定常數； 對于對于 模，模， 均不能為零，否則全部場分量為零；均不能為零，否則全部場分量為零； 最簡單的最簡單的TM模是模是 模。模。 矩形波導中的矩形波導中的TM模的縱向場的解的特點模的縱向場的解的特點 2. 矩形波導中的矩形波導中的TM模模7-48 正規模正規模各種不同金屬波導中所有的各種不同金屬波導中所有的 模和模和 模。模。它們是滿足麥克斯韋方程的兩套獨立的解，可以認為它們它們是滿足麥克斯韋方程的兩套獨立的解，可以認為它們是金屬波導中的基本模式，具有很重要的特性的。是金屬波導中的基

31、本模式，具有很重要的特性的。 正規模的完備性正規模的完備性金屬波導內傳輸的任意的電磁波可以金屬波導內傳輸的任意的電磁波可以表示為正規模的線性疊加。尤其是在激勵源附近，都會存表示為正規模的線性疊加。尤其是在激勵源附近，都會存在許多的模式，但是遠離激勵源后，通常只有一種模式可在許多的模式，但是遠離激勵源后，通常只有一種模式可以傳播。以傳播。 正規模的正交性正規模的正交性所有的正規模之間是相互正交的，它所有的正規模之間是相互正交的，它們各自攜帶著能量在波導內傳播。們各自攜帶著能量在波導內傳播。波導的波導的正規正規模及其重要特性模及其重要特性7-497.2.3 矩形波導中導行電磁波的傳播特性矩形波導中

32、導行電磁波的傳播特性I矩形波導的截止波數、截止波長和截止頻率矩形波導的截止波數、截止波長和截止頻率I矩形波導的矩形波導的TE模和模和TM模的傳播條件模的傳播條件I矩形波導截止波長分布圖矩形波導截止波長分布圖I矩形波導截止波長的特點矩形波導截止波長的特點I矩形波導的傳播模式的傳播參數矩形波導的傳播模式的傳播參數7-50矩形波導的截止波數、截止波長和截止頻率矩形波導的截止波數、截止波長和截止頻率 矩形波導中矩形波導中 模和模和 模的截止波數、截止波長和截止模的截止波數、截止波長和截止頻率具有相同的公式，但是模指數的選擇有所不同。頻率具有相同的公式，但是模指數的選擇有所不同。（7.2.32）（7.2

33、.33）（7.2.34）截止波數截止波數截止波長截止波長截止頻率截止頻率7-51 對于給定頻率的激勵源，有可能產生許多的模式，但是只對于給定頻率的激勵源，有可能產生許多的模式，但是只有滿足傳播條件的模式才能在波導中傳播。反之，要使某有滿足傳播條件的模式才能在波導中傳播。反之，要使某一種模式能在波導中傳播，其工作頻率必須滿足傳播條件。一種模式能在波導中傳播，其工作頻率必須滿足傳播條件。 矩形波導的截止頻率不僅與波導的尺寸有關，還與模指數矩形波導的截止頻率不僅與波導的尺寸有關，還與模指數有關。因此，當波導的尺寸一定時，隨著工作頻率的的改有關。因此，當波導的尺寸一定時，隨著工作頻率的的改變，矩形波導

34、可以多模傳播，也可以單模傳播，甚至也可變，矩形波導可以多模傳播，也可以單模傳播，甚至也可以處于截止狀態（沒有模式可以傳播）。以處于截止狀態（沒有模式可以傳播）。 大多數情況下，波導是工作在單模傳播的狀態。據此，生大多數情況下，波導是工作在單模傳播的狀態。據此，生產廠家設計出適用于不同頻段的波導，供人們選用。產廠家設計出適用于不同頻段的波導，供人們選用。矩形波導的矩形波導的TE模和模和TM模的傳播條件模的傳播條件（7.1.38） 矩形波導中傳播的模式必須滿足的條件是矩形波導中傳播的模式必須滿足的條件是7-52 WJB100型型矩形波導截止波長分布圖矩形波導截止波長分布圖7-53 矩形波導的截止波

35、長與尺寸成正比。為了傳播同一種模式，矩形波導的截止波長與尺寸成正比。為了傳播同一種模式，波導的尺寸越大，其工作波長越大，工作頻率越低。波導的尺寸越大，其工作波長越大，工作頻率越低。 矩形波導的截止波長與模指數成反比。對于同樣尺寸的波矩形波導的截止波長與模指數成反比。對于同樣尺寸的波導，工作波長越小，工作頻率越高，在波導內傳播的模式導，工作波長越小，工作頻率越高，在波導內傳播的模式越多。越多。 當當 時，矩形波導的主模（截止波長最大的模）是時，矩形波導的主模（截止波長最大的模）是 模式模式 ，且，且 （7.2.35）矩形波導截止波長的特點矩形波導截止波長的特點7-54 除主模以外的模式稱為高次模

36、，其中截止波長最大的高次除主模以外的模式稱為高次模，其中截止波長最大的高次模或截止波長第二大的模式稱為最低型高次模。模或截止波長第二大的模式稱為最低型高次模。 矩形波導的最低型高次模有兩個。矩形波導的最低型高次模有兩個。 時，最低型高次模是時，最低型高次模是 模式，模式， 時，最低型高次模是時，最低型高次模是 模式，模式， 矩形波導的截止區（沒有模式可以傳播的波長范圍）為矩形波導的截止區（沒有模式可以傳播的波長范圍）為 矩形波導的主模的單模工作條件矩形波導的主模的單模工作條件（7.2.36）（7.2.37）矩形波導截止波長的特點矩形波導截止波長的特點 當當 時，時， 模和模和 模是簡并的模是簡

37、并的7-55 模式簡并模式簡并截止波長相同，場結構完全不同的兩種模式截止波長相同，場結構完全不同的兩種模式 模指數相同的模指數相同的 模和模和 模都是簡并的模都是簡并的矩形波導截止波長的特點矩形波導截止波長的特點7-56矩形波導的傳播模式的傳播參數矩形波導的傳播模式的傳播參數所有波導中傳播模式的傳播常數的公式都是一樣的所有波導中傳播模式的傳播常數的公式都是一樣的相位常數相位常數波導波長波導波長相速度相速度群速度群速度7-57矩形波導的傳播模式的傳播參數矩形波導的傳播模式的傳播參數波型阻抗波型阻抗 波導的傳播常數中只有波型阻抗與傳播的波型有關波導的傳播常數中只有波型阻抗與傳播的波型有關 截止模式

38、的波型阻抗是虛數。截止模式的波型阻抗是虛數。7-58例例7.2.1 空氣填充的矩形金屬波導空氣填充的矩形金屬波導 內傳播內傳播 模。模。測得波導內的最大電場測得波導內的最大電場 ，相鄰的電場最小點之間，相鄰的電場最小點之間的距離的距離 。試求其工作頻率、相位常數、相速、群速和。試求其工作頻率、相位常數、相速、群速和波阻抗，并寫出該模式的各個場分量。波阻抗，并寫出該模式的各個場分量。解：由于傳播的是解：由于傳播的是 模，其截止波長模，其截止波長而波導波長而波導波長 代入代入 解得解得 7-59由此得到由此得到7-60由于矩形波導由于矩形波導 模只有一個電場分量，即模只有一個電場分量，即 其最大值

39、為其最大值為 由已知得到由已知得到 若設若設 的相位為零，則的相位為零，則 模的三個場分量為模的三個場分量為 式中式中 和和 的單位都是厘米。的單位都是厘米。7-617.2.4 矩形波導中若干常用傳播模式的場結構矩形波導中若干常用傳播模式的場結構I場結構的基本概念場結構的基本概念I電磁力線的規律電磁力線的規律I矩形波導內傳播模式的場結構的特點矩形波導內傳播模式的場結構的特點I基本模式的場結構基本模式的場結構I矩形波導中場結構的規律矩形波導中場結構的規律7-62場結構的基本概念場結構的基本概念 電磁力線的微分方程電磁力線的微分方程 場結構場結構在任一時刻，波導中電磁場的空間分布圖（電在任一時刻，

40、波導中電磁場的空間分布圖（電磁力線圖或場強的幅值圖）。通過分析不同模式的場結構，磁力線圖或場強的幅值圖）。通過分析不同模式的場結構，可以更形象和直觀地了解波導內場的分布，從而有助于波可以更形象和直觀地了解波導內場的分布，從而有助于波導以及波導元件的設計與使用。這里，僅分析波導中滿足導以及波導元件的設計與使用。這里，僅分析波導中滿足傳播條件的傳播模式的場結構。傳播條件的傳播模式的場結構。（7.2.38）（7.2.39） 嚴格地畫出場結構非常麻煩，通常是根據電力線和磁力線嚴格地畫出場結構非常麻煩，通常是根據電力線和磁力線的規律，由場分量的表示式畫出場結構的示意圖。的規律，由場分量的表示式畫出場結構

41、的示意圖。7-63 電磁力線的分布應遵循如下規律：電磁力線的分布應遵循如下規律：（1）電力線可以發自正電荷，止于負電荷，也可以是環繞電力線可以發自正電荷，止于負電荷，也可以是環繞 交變磁場形成閉合曲線；交變磁場形成閉合曲線；（2）磁力線總是閉合曲線，它們圍繞電流或電力線；磁力線總是閉合曲線，它們圍繞電流或電力線；（3）電力線和磁力線處處相互正交；電力線和磁力線處處相互正交；（4）電力線垂直于理想導體表面，磁力線平行于理想導體電力線垂直于理想導體表面，磁力線平行于理想導體表面。表面。電磁力線的規律電磁力線的規律7-64 矩形波導內傳播模式的場分量的時空關系式：矩形波導內傳播模式的場分量的時空關系

42、式：（1）場沿場沿 方向呈行波分布（隨時間向方向呈行波分布（隨時間向 方向傳播的正弦方向傳播的正弦波）。因此，只要畫出某一時刻的場結構，隨著時間波）。因此，只要畫出某一時刻的場結構，隨著時間 的增的增加，整個場結構向加，整個場結構向 方向平移；方向平移；（2）場在橫截面上呈駐波分布（隨時間原地振蕩的正弦波），場在橫截面上呈駐波分布（隨時間原地振蕩的正弦波），模指數模指數 分別表示場在寬壁和窄壁上的半駐波數（或半分別表示場在寬壁和窄壁上的半駐波數（或半周期數）；周期數）；（3）縱向場分量與橫向場分量在相位上都相差了縱向場分量與橫向場分量在相位上都相差了 。體現在。體現在場結構上，就是沿場結構上，

43、就是沿 方向，縱向場分量與橫向場分量的極方向，縱向場分量與橫向場分量的極值位置相差了四分之一波導波長。值位置相差了四分之一波導波長。矩形波導內傳播模式的場結構的特點矩形波導內傳播模式的場結構的特點7-65 基本模式（基本模式（“巢巢”或或“單元單元”）構成波導內所有模式場構成波導內所有模式場結構的最簡模式。結構的最簡模式。基本模式的場結構基本模式的場結構 的模的場結構：的模的場結構： 主模主模 場分量場分量7-66 模、模、 模、模、 模的場結構：模的場結構：基本模式的場結構基本模式的場結構7-67 矩形波導中幾個傳播模式的場結構的橫截面分布圖：矩形波導中幾個傳播模式的場結構的橫截面分布圖：矩

44、形波導中場結構的規律矩形波導中場結構的規律7-68（1）矩形波導的基本模式（巢）是矩形波導的基本模式（巢）是 模（模（ 模）、模）、 模和模和 模；模；（2） 模是模是 模繞模繞 軸旋轉而成；軸旋轉而成；（3） 模是模是 個個 模沿寬壁排列而成，相鄰巢的力線方模沿寬壁排列而成，相鄰巢的力線方向是相反的；向是相反的；（4） 模是模是 個個 模沿窄邊排列而成，相鄰巢的力線方模沿窄邊排列而成，相鄰巢的力線方向相反；向相反；（5） 模和模和 模分別是模分別是 個個 模或模或 模排列模排列而成，相鄰巢的力線方向相反。而成，相鄰巢的力線方向相反。矩形波導中場結構的規律矩形波導中場結構的規律7-697.3

45、圓形波導中的導行電磁波圓形波導中的導行電磁波 除矩形波導外，均勻波導橫截面呈圓形或同心圓的情況在除矩形波導外，均勻波導橫截面呈圓形或同心圓的情況在工程實際中也經常出現。例如，圓形金屬波導、圓形介質工程實際中也經常出現。例如，圓形金屬波導、圓形介質波導、同軸線以及光導纖維等等，它們都需要求解圓柱坐波導、同軸線以及光導纖維等等，它們都需要求解圓柱坐標系中的標量亥姆霍茲方程。標系中的標量亥姆霍茲方程。I7.3.1 圓柱坐標系中標量亥姆霍茲方程的通解圓柱坐標系中標量亥姆霍茲方程的通解I7.3.2 圓形波導中導行電磁波的傳播模式圓形波導中導行電磁波的傳播模式I7.3.3 圓形波導中導行電磁波的傳播特性圓

46、形波導中導行電磁波的傳播特性I7.3.4 圓形波導中若干常用傳播模式的場結構圓形波導中若干常用傳播模式的場結構7-707.3.1 圓柱坐標系中標量亥姆霍茲方程的通解圓柱坐標系中標量亥姆霍茲方程的通解I圓柱坐標系中橫向場與縱向場的關系圓柱坐標系中橫向場與縱向場的關系I圓柱坐標系中縱向場所滿足的導波方程圓柱坐標系中縱向場所滿足的導波方程I圓柱坐標系中縱向場導波方程的解圓柱坐標系中縱向場導波方程的解I關于通解的幾點說明關于通解的幾點說明7-71圓柱坐標系中橫向場與縱向場的關系圓柱坐標系中橫向場與縱向場的關系 圓柱坐標系中橫向哈密頓算子圓柱坐標系中橫向哈密頓算子 橫向場分量與縱向場分量的關系式橫向場分

47、量與縱向場分量的關系式式（式（7.3.36）7-72 圓柱坐標系中的圓柱坐標系中的其余場分量滿足的方程不是獨立的。其余場分量滿足的方程不是獨立的。 縱向場分量所滿足的標量亥姆霍茲方程縱向場分量所滿足的標量亥姆霍茲方程式（式（7.2.56）其中其中圓柱坐標系中縱向場所滿足的導波方程圓柱坐標系中縱向場所滿足的導波方程 圓柱坐標系中橫向拉普拉斯算子圓柱坐標系中橫向拉普拉斯算子7-73圓柱圓柱坐標系中縱向場導波方程的解坐標系中縱向場導波方程的解 圓柱坐標系中縱向場導波方程的分離變量圓柱坐標系中縱向場導波方程的分離變量令令 ，代入（，代入（7.2.1）式，通過分離變量可得）式，通過分離變量可得（7.3.

48、8）（7.3.7）7-74 分離函數分離函數 的解的解如果所分析波導的場域空間滿足如果所分析波導的場域空間滿足 ，則式，則式（7.3.8）的的解必須為周期性的三角函數，即解必須為周期性的三角函數，即通常，習慣上寫成通常，習慣上寫成（7.3.10）（7.3.9）圓柱圓柱坐標系中縱向場導波方程的解坐標系中縱向場導波方程的解7-75 分離函數分離函數 的解的解 的解與的解與 的取值有關。考慮到的取值有關。考慮到TE模和模和TM模的模的 ，于是有于是有（7.3.12）以以 為自變量的為自變量的 階第一類貝塞爾函數階第一類貝塞爾函數以以 為自變量的為自變量的 階第二類貝塞爾函數階第二類貝塞爾函數與與 相

49、對應的相對應的 階第一類變形貝塞爾函數階第一類變形貝塞爾函數與與 相對應的相對應的 階第二類變形貝塞爾函數階第二類變形貝塞爾函數（7.3.11）圓柱圓柱坐標系中縱向場導波方程的解坐標系中縱向場導波方程的解7-76 各類貝塞爾函數的曲線各類貝塞爾函數的曲線圖圖7.3.1 貝塞爾函數是振蕩型的函數，有多個零點，可以看成是駐貝塞爾函數是振蕩型的函數，有多個零點，可以看成是駐波。通常分布在半徑有限的區域。波。通常分布在半徑有限的區域。 變形貝塞爾函數是非振蕩型的的函數，單調增加或減少。變形貝塞爾函數是非振蕩型的的函數，單調增加或減少。通常分布在半徑無限的區域上。通常分布在半徑無限的區域上。圓柱圓柱坐標

50、系中縱向場導波方程的解坐標系中縱向場導波方程的解7-77 第一類貝塞爾函數的導函數第一類貝塞爾函數的導函數圖圖7.3.3 貝塞爾函數及其導函數都是振蕩型的函數，均有多個零點；貝塞爾函數及其導函數都是振蕩型的函數，均有多個零點； 零是除了零是除了 以外所有貝塞爾函數及其導函數的零點；以外所有貝塞爾函數及其導函數的零點； 零點的大小有表可查；零點的大小有表可查； 除了除了 以外，零點的大小隨著階數的增加而增加。以外，零點的大小隨著階數的增加而增加。圓柱圓柱坐標系中縱向場導波方程的解坐標系中縱向場導波方程的解7-78 縱向場縱向場 的導波方程的解：的導波方程的解： 縱向場縱向場 的導波方程的解：的導

51、波方程的解：（7.3.13）（7.3.14）圓柱圓柱坐標系中縱向場導波方程的解坐標系中縱向場導波方程的解7-79關于通解的幾點說明關于通解的幾點說明 三角函數的選取與激勵源的分布有關，可以單獨存在，也可三角函數的選取與激勵源的分布有關，可以單獨存在，也可以同時存在；以同時存在； 貝塞爾函數的選取視邊界情況而定；貝塞爾函數的選取視邊界情況而定； 截止參數與波導的邊界條件及其尺寸有關；截止參數與波導的邊界條件及其尺寸有關； 待定常數由邊界條件和激勵源的大小而定；待定常數由邊界條件和激勵源的大小而定； 將式（將式（7.3.13）和式（）和式（7.3.14）代入式（）代入式（7.3.3）式（）式（7.

52、3.6）就能得到其余的場分量。就能得到其余的場分量。7-807.3.2 圓形波導中導行電磁波的傳播模式圓形波導中導行電磁波的傳播模式I圓形波導的結構圓形波導的結構I圓形波導中的縱向場圓形波導中的縱向場I1. 圓形波導中的圓形波導中的TE模模I2. 圓形波導中的圓形波導中的TM模模I波導的正規模及其重要特性波導的正規模及其重要特性7-81圓形波導的結構圓形波導的結構 圓形波導的結構（圖圓形波導的結構（圖7.3.2） 半徑為半徑為 矩形波導的邊界條件矩形波導的邊界條件內壁為理想導體內壁為理想導體（7.3.15） 圓柱形金屬波導簡稱圓形波導或圓圓柱形金屬波導簡稱圓形波導或圓波導，它具有損耗小、雙極化

53、等優波導，它具有損耗小、雙極化等優點。點。7-82 只有振蕩型的貝塞爾函數才能滿足邊界條件。此外，由于只有振蕩型的貝塞爾函數才能滿足邊界條件。此外，由于場量軸線上必須為有限值，場量軸線上必須為有限值， 而第二類貝塞爾函數不能滿足而第二類貝塞爾函數不能滿足這一點。所以，圓形波導內的兩個縱向場分量應為這一點。所以，圓形波導內的兩個縱向場分量應為（7.3.16）（7.3.17） 同矩形波導一樣，在介質均勻填充的圓形波導中，兩個縱同矩形波導一樣，在介質均勻填充的圓形波導中，兩個縱向場可以單獨滿足波導的邊界條件，所以在矩形波導內傳向場可以單獨滿足波導的邊界條件，所以在矩形波導內傳播的電磁波可分為播的電磁

54、波可分為TE模和模和TM模。模。圓形波導中的縱向場圓形波導中的縱向場7-83 TE模模 圓形波導中的圓形波導中的TE模的縱向場的解模的縱向場的解 1. 圓形波導中的圓形波導中的TE模模由由 的邊界條件可以解得的邊界條件可以解得（7.3.18）（7.3.19） 階第一類貝塞爾函數的導函數階第一類貝塞爾函數的導函數 的的 第第 個不為零的零點值（表個不為零的零點值（表7.3.1） （7.3.21）7-84 圓形波導中的圓形波導中的 模的所有場分量模的所有場分量 1. 圓形波導中的圓形波導中的TE模模7-85 由于有無窮多組解，所以有無窮多個由于有無窮多組解，所以有無窮多個TE模；模； 每一對每一對

55、 值都對應著一種波型，故稱之為值都對應著一種波型，故稱之為 模；模； 被稱為波型指數或模指數；被稱為波型指數或模指數； 式中的式中的 是與激勵源有關的待定常數；是與激勵源有關的待定常數； 模指數模指數 可以為零，表示場沿圓周方向的周期數；可以為零，表示場沿圓周方向的周期數； 模指數模指數 不可以為零，表示場在半徑上的零點或極值數；不可以為零，表示場在半徑上的零點或極值數； 最簡單的最簡單的TE模是模是 模，但是主模是模，但是主模是 模。模。 圓形波導中的圓形波導中的TE模的縱向場的解的特點模的縱向場的解的特點 1. 圓形波導中的圓形波導中的TE模模7-86 TM模模 圓形波導中的圓形波導中的T

56、M模的縱向場的解模的縱向場的解 2. 圓形波導中的圓形波導中的TM模模由由 的邊界條件可以解得的邊界條件可以解得（7.3.29）（7.3.26）（7.3.27） 階第一類貝塞爾函數階第一類貝塞爾函數 的的 第第 個不為零的零點值（表個不為零的零點值（表7.3.2） 7-87 圓形波導中的圓形波導中的 模的所有場分量模的所有場分量 2. 圓形波導中的圓形波導中的TM模模7-88 由于有無窮多組解，所以有無窮多個由于有無窮多組解，所以有無窮多個TM模；模； 每一對每一對 值都對應著一種波型，故稱之為值都對應著一種波型，故稱之為 模；模； 被稱為波型指數或模指數；被稱為波型指數或模指數； 式中的式中

57、的 是與激勵源有關的待定常數；是與激勵源有關的待定常數； 模指數模指數 可以為零，表示場沿圓周方向的周期數；可以為零，表示場沿圓周方向的周期數； 模指數模指數 不可以為零，表示場在半徑上的零點或極值數；不可以為零，表示場在半徑上的零點或極值數； 最簡單的最簡單的TM模是模是 模，但是不是主模。模，但是不是主模。 圓形波導中的圓形波導中的TM模的縱向場的解的特點模的縱向場的解的特點 2. 圓形波導中的圓形波導中的TM模模7-89 正規模正規模各種不同金屬波導中所有的各種不同金屬波導中所有的 模和模和 模。模。它們是滿足麥克斯韋方程的兩套獨立的解，可以認為它們它們是滿足麥克斯韋方程的兩套獨立的解，

58、可以認為它們是金屬波導中的基本模式，具有很重要的特性的。是金屬波導中的基本模式，具有很重要的特性的。 正規模的完備性正規模的完備性金屬波導內傳輸的任意的電磁波可以金屬波導內傳輸的任意的電磁波可以表示為正規模的線性疊加。尤其是在激勵源附近，都會存表示為正規模的線性疊加。尤其是在激勵源附近，都會存在許多的模式，但是遠離激勵源后，通常只有一種模式可在許多的模式，但是遠離激勵源后，通常只有一種模式可以傳播。以傳播。 （與矩形波導一樣）（與矩形波導一樣） 正規模的正交性正規模的正交性所有的正規模之間是相互所有的正規模之間是相互正交的，正交的，它們各自攜帶著能量在波導內傳播。它們各自攜帶著能量在波導內傳播

59、。 （與矩形波導有區別）（與矩形波導有區別）波導的波導的正規正規模及其重要特性模及其重要特性7-907.3.3 圓形圓形波導中導行電磁波的傳播特性波導中導行電磁波的傳播特性I圓形波導的截止波數、截止波長和截止頻率圓形波導的截止波數、截止波長和截止頻率I圓形波導的圓形波導的TE模和模和TM模的傳播條件模的傳播條件I圓形波導截止波長分布圖圓形波導截止波長分布圖I圓形波導截止波長的特點圓形波導截止波長的特點I圓形波導的傳播模式的傳播參數圓形波導的傳播模式的傳播參數7-91圓圓形波導的截止波數、截止波長和截止頻率形波導的截止波數、截止波長和截止頻率 圓形波導中圓形波導中 模和模和 模的截止波數、截止波

60、長和截止模的截止波數、截止波長和截止頻率公式因為貝塞爾函數和導函數的零點不同而有所區別。頻率公式因為貝塞爾函數和導函數的零點不同而有所區別。（7.2.32）（7.2.33）（7.2.34）截止波數截止波數截止波長截止波長截止頻率截止頻率 圓形波導中圓形波導中 模和模和 模的模指數的選擇是相同的。模的模指數的選擇是相同的。7-92 對于給定頻率的激勵源，有可能產生許多的模式，但是只對于給定頻率的激勵源，有可能產生許多的模式，但是只有滿足傳播條件的模式才能在波導中傳播。反之，要使某有滿足傳播條件的模式才能在波導中傳播。反之，要使某一種模式能在波導中傳播，其工作頻率必須滿足傳播條件。一種模式能在波導