1、導數在函數的單調性、極值中的應用一、知識梳理1函數的單調性與導數在區間(a，b)內，函數的單調性與其導數的正負有如下關系：如果f_(x)>0，那么函數yf(x)在這個區間內單調遞增；如果f_(x)<0，那么函數yf(x)在這個區間內單調遞減；如果f_(x)0，那么f(x)在這個區間內為常數問題探究1：若函數f(x)在(a，b)內單調遞增，那么一定有f (x)>0嗎？f (x)>0是否是f(x)在(a，b)內單調遞增的充要條件？提示：函數f(x)在(a，b)內單調遞增，則f (x)0，f (x)>0是f(x)在(a，b)內單調遞增的充分不必要條件2函數的極值與導數(

2、1)函數的極小值函數yf(x)在點xa的函數值f(a)比它在xa附近其他點的函數值都小，f (a)0，而且在點xa附近的左側f_(x)<0，右側f_(x)>0，則點a叫做函數yf(x)的極小值點，f(a)叫做函數yf(x)的極小值(2)函數的極大值函數yf(x)在點xb的函數值f(b)比它在點xb附近的其他點的函數值都大，f (b)0，而且在點xb附近，左側f_(x)>0，右側f_(x)<0，則點b叫做函數yf(x)的極大值點，f(b)叫做函數yf(x)的極大值極小值點，極大值點統稱為極值點，極大值和極小值統稱為極值問題探究2：若f (x0)0，則x0一定是f(x)的極

3、值點嗎？提示：不一定可導函數在一點的導數值為0是函數在這點取得極值的必要條件，而不是充分條件，如函數f(x)x3，在x0時，有f (x)0，但x0不是函數f(x)x3的極值點二、自主檢測1函數yxlnx的單調減區間是()A(，1)B(0,1)C(1，) D(0,2)2函數f(x)x33x23x的極值點的個數是()A0B1C2D33函數f(x)x3ax2在區間(1，)上是增函數，則實數a的取值范圍是()A3，) B3，)C(3，) D(，3)4(2012年山東諸城高三月考)已知函數yf(x)，其導函數yf (x)的圖象如圖所示，則yf(x)()A在(，0)上為減函數B在x0處取極小值C在(4，)

4、上為減函數D在x2處取極大值5若函數f(x)x3ax23x9在x3時取得極值，則a()A2B3C4D56(1)函數f(x)在xx0處可導，則“f (x0)0”是“x0是函數f(x)極值點”的_條件(2)函數f(x)在(a，b)上可導，則“f (x)>0”是“f(x)在(a，b)上單調遞增”的_條件(3)函數f(x)在(a，b)上可導，則“f (x)0”是“f(x)在(a，b)上單調遞增”的_條件三、考向指導考點1求函數的單調區間1.求可導函數單調區間的一般步驟和方法(1)確定函數f(x)的定義域；(2)求f (x)，令f (x)0，求出它在定義域內的一切實根；(3)把函數f(x)的間斷點

5、(即f(x)的無定義點)的橫坐標和上面的各實數根按由小到大的順序排列起來，然后用這些點把函數f(x)的定義區間分成若干個小區間；(4)確定f (x)在各個開區間內的符號，根據f (x)的符號判定函數f(x)在每個相應小開區間內的增減性2證明可導函數f(x)在(a，b)內的單調性的步驟(1)求f (x)(2)確認f (x)在(a，b)內的符號(3)作出結論：f (x)>0時，f(x)為增函數；f (x)<0時，f(x)為減函數例1 (2010年全國)已知函數f(x)x33ax23x1.(1)設a2，求f(x)的單調區間；(2)設f(x)在區間(2,3)中至少有一個極值點，求a的取值范

6、圍課堂過手練習：設函數f(x)x3ax29x1(a<0)若曲線yf(x)的斜率最小的切線與直線12xy6平行，求：(1)a的值；(2)函數yf(x)的單調區間考點2由函數的單調性求參數的取值范圍已知函數的單調性，求參數的取值范圍，應注意函數f(x)在(a，b)上遞增(或遞減)的充要條件應是f (x)0(或f (x)0)，x(a，b)恒成立，且f (x)在(a，b)的任意子區間內都不恒等于0，這就是說，函數f(x)在區間上的增減性并不排斥在區間內個別點處有f (x0)0，甚至可以在無窮多個點處f (x0)0，只要這樣的點不能充滿所給區間的任何一個子區間例2 已知函數f(x)x3ax1，在實

7、數集R上yf(x)單調遞增，求實數a的取值范圍課堂過手練習：已知f(x)exax1.(1)求f(x)的單調增區間；(2)若f(x)在定義域R內單調遞增，求a的取值范圍；(3)是否存在a，使f(x)在(，0上單調遞減，在0，)上單調遞增？若存在，求出a的值；若不存在，說明理由考點3求已知函數的極值運用導數求可導函數yf(x)極值的步驟：(1)先求函數的定義域，再求函數yf(x)的導數f (x)；(2)求方程f (x)0的根；(3)檢查f (x)在方程根的左右的值的符號，如果左正右負，那么f(x)在這個根處取得極大值如果左負右正，那么f(x)在這個根處取得極小值例3 設f(x)，其中a為正實數(1

8、)當a時，求f(x)的極值點；(2)若f(x)為R上的單調函數，求a的取值范圍課堂過手練習：函數f(x)x33x21在x_處取得極小值考點4利用極值求參數已知函數解析式，可利用導數及極值的定義求出其極大值與極小值；反過來，如果已知某函數的極值點或極值，也可利用導數及極值的必要條件建立參數方程或方程組，從而解出參數，求出函數解析式例4 設x1與x2是函數f(x)alnxbx2x的兩個極值點(1)試確定常數a和b的值；(2)試判斷x1，x2是函數f(x)的極大值點還是極小值點，并說明理由課堂過手練習：設函數f(x)(xa)2lnx，aR.若xe為yf(x)的極值點，求實數a.易錯點求參數取值時出現

9、典例：已知函數f(x)ax33x2x1在R上是減函數，求a的取值范圍 (1)當函數在某個區間內恒有f (x)0，則f(x)為常數，函數不具有單調性f (x)0是f(x)為增函數的必要不充分條件在解題中誤將必要條件作充分條件或將既不充分與不必要條件誤作充要條件使用而導致的錯誤還很多，在學習過程中注意思維的嚴密性(2)函數極值是一個局部性概念，函數的極值可以有多個，并且極大值與極小值的大小關系不確定要強化用導數處理單調性、極值、最值、方程的根及不等式的證明等數學問題的意識(3)如果一個函數在給定定義域上的單調區間不止一個，這些區間之間一般不能用并集符號“”連接，只能用“，”或“和”字隔開糾錯課堂練習：已知函數f(x)x3ax2bxc在x1處取極值2.(1)試用c表示a，b；(2)求f(x)的單調遞減區間1與函數的單調性有關的問題(1)利用導數求函數的單調區間，可通過f (x)>0或f (x)<0來進行，至于區間的端點是否包含，取決于函數在端點處是否有意義，若有意義，則端點包含與不包含均可；若無意義，則必不能包含端點(2)若函數f(x)在(a，b)上遞增(或遞減)，則在(a，b)上f (x)0(或f (x)0)恒成立，若該不等式中含有參數，我們可利用上述結論求參數的范圍，它蘊涵了恒成立思想利用上述方法求