1、§2.9函數(shù)模型及其應(yīng)用考綱展示1.了解指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)以及冪函數(shù)的增長特征，知道直線上升、指數(shù)增長、對數(shù)增長等不同函數(shù)類型增長的含義2了解函數(shù)模型(如指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、分段函數(shù)等在社會生活中普遍使用的函數(shù)模型)的廣泛應(yīng)用考點1用函數(shù)圖象刻畫實際問題中兩個變量的變化過程典題1(1)2017·浙江湖州模擬物價上漲是當(dāng)前的主要話題，特別是菜價，我國某部門為盡快實現(xiàn)穩(wěn)定菜價，提出四種綠色運輸方案據(jù)預(yù)測，這四種方案均能在規(guī)定的時間T內(nèi)完成預(yù)測的運輸任務(wù)Q0，各種方案的運輸總量Q與時間t的函數(shù)關(guān)系如圖所示，在這四種方案中，運輸效率(單位時間的運輸量)逐步提高的是()ABC

2、D答案B(2)已知正方形ABCD的邊長為4，動點P從點B開始沿折線BCDA向點A運動設(shè)點P運動的路程為x，ABP的面積為S，則函數(shù)Sf(x)的圖象是()ABCD答案D解析依題意知，當(dāng)0x4時，f(x)2x；當(dāng)4<x8時，f(x)8；當(dāng)8<x12時，f(x)242x，觀察四個選項知，故選D.點石成金判斷函數(shù)圖象與實際問題變化過程相吻合的兩種方法(1)構(gòu)建函數(shù)模型法：當(dāng)根據(jù)題意易構(gòu)建函數(shù)模型時，先建立函數(shù)模型，再結(jié)合模型選圖象(2)驗證法：當(dāng)根據(jù)題意不易建立函數(shù)模型時，則根據(jù)實際問題中兩變量的變化快慢等特點，結(jié)合圖象的變化趨勢，驗證是否吻合，從中排除不符合實際的情況，選擇出符合實際情況

3、的答案考點2應(yīng)用所給函數(shù)模型解決實際問題典題2某醫(yī)藥研究所開發(fā)的一種新藥，如果成年人按規(guī)定的劑量服用，據(jù)監(jiān)測，服藥后每毫升血液中的含藥量y(微克)與時間t(小時)之間近似滿足如圖所示的曲線(1)寫出第一次服藥后y與t之間的函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)f(t)；(2)據(jù)進一步測定，每毫升血液中含藥量不少于0.25微克時治療疾病有效，求服藥一次后治療疾病有效的時間解(1)由題圖，設(shè)y當(dāng)t1時，由y4，得k4，由1a4，得a3.所以y(2)由y0.25，得或解得t5.因此服藥一次后治療疾病有效的時間是5(小時)點石成金求解已給函數(shù)模型解決實際問題的關(guān)注點(1)認(rèn)清所給函數(shù)模型，弄清哪些量為待定系數(shù)(2)根據(jù)已知利用

4、待定系數(shù)法，確定模型中的待定系數(shù)(3)利用該模型求解實際問題提醒解決實際問題時要注意自變量的取值范圍.里氏震級M的計算公式為Mlg Alg A0，其中A是測震儀記錄的地震曲線的最大振幅，A0是相應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)地震的振幅假設(shè)在一次地震中，測震儀記錄的最大振幅是1 000.此時標(biāo)準(zhǔn)地震的振幅為0.001，則此次地震的震級為_級；9級地震的最大振幅是5級地震的最大振幅的_倍答案：6'10 000解析：根據(jù)題意，由lg 1 000lg 0.0016，得此次地震的震級為6級因為標(biāo)準(zhǔn)地震的振幅為0.001，設(shè)9級地震的最大振幅為A9，則lg A9lg 0.0019，解得A9106，同理5級地震的最大振幅

5、A5102，所以9級地震的最大振幅是5級地震的最大振幅的10 000倍考點3構(gòu)建函數(shù)模型解決實際問題1.幾類函數(shù)模型函數(shù)模型函數(shù)解析式一次函數(shù)模型f(x)axb(a，b為常數(shù)，a0)反比例函數(shù)模型f(x)b(k，b為常數(shù)且k0)二次函數(shù)模型f(x)ax2bxc(a，b，c為常數(shù)，a0)指數(shù)函數(shù)模型f(x)baxc(a，b，c為常數(shù)，b0，a>0且a1)對數(shù)函數(shù)模型f(x)blogaxc(a，b，c為常數(shù)，b0，a>0且a1)冪函數(shù)模型f(x)axnb(a，b為常數(shù)，a0)2三種函數(shù)模型的性質(zhì)函數(shù)性質(zhì)yax(a>1)ylogax(a>1)yxn(n>0)在(0，)上

6、的增減性單調(diào)_單調(diào)_單調(diào)遞增增長速度越來越快越來越慢相對平穩(wěn)圖象的變化隨x的增大逐漸表現(xiàn)為與_平行隨x的增大逐漸表現(xiàn)為與_平行隨n值變化而各有不同值的比較存在一個x0，當(dāng)x>x0時，有l(wèi)ogax<xn<ax答案：遞增遞增y軸x軸求解實際問題的兩個誤區(qū)：忽略自變量的取值范圍；忽略數(shù)學(xué)結(jié)果的實際合理性(1)據(jù)調(diào)查，某自行車存車處在某星期日的存車量為4 000輛次，其中變速車存車費是每輛一次0.3元，普通車存車費是每輛一次0.2元若普通車存車數(shù)為x輛次，存車費總收入為y元，則y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式是_答案：y0.1x1 200(0x4 000，xN)解析：y0.2x(4 000x)&

7、#215;0.30.1x1 200(0x4 000，xN)，這里不能忽略x的取值范圍，否則函數(shù)解析式失去意義(2)要在邊長為16米的正方形草坪上安裝噴水龍頭，使整個草坪都能噴灑到水，假設(shè)每個噴水龍頭的噴灑范圍都是半徑為6米的圓面，則最少需安裝噴水龍頭_個答案：4解析：可以將正方形分割成4個全等的正方形，每個小正方形的對角線長為8<12，所以安裝4個噴水龍頭就可以滿足題意由于是實際問題，不可以這樣理解：每個噴水龍頭可噴灑的面積為36平方米，3個噴水龍頭即可噴灑的面積為108平方米，又108>162，最后得出安裝3個就可以，這是錯誤的復(fù)利公式(1)某種儲蓄按復(fù)利計算利息，若本金為a元，

8、每期利率為r，存期是x，本利和(本金加利息)為y元，則本利和y隨存期x變化的函數(shù)關(guān)系式是_答案：ya(1r)x(2)人口的增長、細(xì)胞分裂的個數(shù)以及存款利率(復(fù)利)的計算等問題都可以用_函數(shù)模型解決答案：指數(shù)考情聚焦高考對函數(shù)應(yīng)用的考查，常與二次函數(shù)、基本不等式及導(dǎo)數(shù)等知識交匯，以解答題為主要形式出現(xiàn)，考查用函數(shù)知識解決以社會實際生活為背景的成本最低、利潤最高、產(chǎn)量最大、效益最好、用料最省等實際問題主要有以下幾個命題角度：角度一二次函數(shù)模型典題3為了保護環(huán)境，發(fā)展低碳經(jīng)濟，某單位在國家科研部門的支持下，進行技術(shù)攻關(guān)，采用了新工藝，把二氧化碳轉(zhuǎn)化為一種可利用的化工產(chǎn)品已知該單位每月的處理量最少為4

9、00噸，最多為600噸，月處理成本y(元)與月處理量x(噸)之間的函數(shù)關(guān)系可近似地表示為：yx2200x80 000，且每處理一噸二氧化碳得到可利用的化工產(chǎn)品的價值為100元則該單位每月能否獲利？如果獲利，求出最大利潤；如果不獲利，則國家至少需要補貼多少元才能使該單位不虧損？解設(shè)該單位每月獲利為S，則S100xy100xx2300x80 000(x300)235 000，因為400x600，所以當(dāng)x400時，S有最大值40 000.故該單位不獲利，需要國家每月至少補貼40 000元，才能不虧損點石成金二次函數(shù)模型問題的三個注意點(1)二次函數(shù)的最值一般利用配方法與函數(shù)的單調(diào)性解決，但一定要密切

10、注意函數(shù)的定義域，否則極易出錯；(2)確定一次函數(shù)模型時，一般是借助兩個點來確定，常用待定系數(shù)法；(3)解決函數(shù)應(yīng)用問題時，最后要還原到實際問題角度二構(gòu)造分段函數(shù)模型典題4國慶期間，某旅行社組團去風(fēng)景區(qū)旅游，若每團人數(shù)在30或30以下，飛機票每張收費900元；若每團人數(shù)多于30，則給予優(yōu)惠：每多1人，機票每張減少10元，直到達(dá)到規(guī)定人數(shù)75人為止每團乘飛機，旅行社需付給航空公司包機費15 000元(1)寫出飛機票的價格關(guān)于人數(shù)的函數(shù)；(2)每團人數(shù)為多少時，旅行社可獲得最大利潤？解(1)設(shè)旅行團人數(shù)為x，由題得0<x75(xN*)，飛機票價格為y元，則y即y(2)設(shè)旅行社獲利S元，則S即

11、S因為S900x15 000在區(qū)間(0,30上為單調(diào)增函數(shù)，故當(dāng)x30時，S取最大值12 000元，又S10(x60)221 000在區(qū)間(30,75上，當(dāng)x60時，取得最大值21 000.故當(dāng)x60時，旅行社可獲得最大利潤點石成金解決分段函數(shù)模型問題的三個注意點(1)實際問題中有些變量間的關(guān)系不能用同一個關(guān)系式給出，而是由幾個不同的關(guān)系式構(gòu)成，如出租車票價與路程之間的關(guān)系，應(yīng)構(gòu)建分段函數(shù)模型求解；(2)構(gòu)造分段函數(shù)時，要力求準(zhǔn)確、簡捷，做到分段合理、不重不漏；(3)分段函數(shù)的最值是各段的最大(或最小)值的最大者(最小者)角度三構(gòu)建“對勾”函數(shù)f(x)x(a>0)模型典題5為了在夏季降溫

12、和冬季供暖時減少能源損耗，房屋的屋頂和外墻需要建造隔熱層某幢建筑物要建造可使用20年的隔熱層，每厘米厚的隔熱層建造成本為6萬元該建筑物每年的能源消耗費用C(單位：萬元)與隔熱層厚度x(單位：cm)滿足關(guān)系C(x)(0x10)，若不建隔熱層，每年能源消耗費用為8萬元，設(shè)f(x)為隔熱層建造費用與20年的能源消耗費用之和(1)求k的值及f(x)的表達(dá)式；(2)隔熱層修建多厚時，總費用f(x)達(dá)到最小，并求最小值解(1)由已知條件得C(0)8，則k40，因此f(x)6x20C(x)6x(0x10)(2)f(x)6x101021070(萬元)，當(dāng)且僅當(dāng)6x10，即x5時等號成立所以當(dāng)隔熱層厚度為5 c

13、m時，總費用f(x)達(dá)到最小值，最小值為70萬元點石成金應(yīng)用函數(shù)模型yx的關(guān)鍵點(1)明確對勾函數(shù)是正比例函數(shù)f(x)ax與反比例函數(shù)f(x)疊加而成的(2)解決實際問題時一般可以直接建立f(x)ax的模型，有時可以將所列函數(shù)關(guān)系式轉(zhuǎn)化為f(x)ax的形式(3)利用模型f(x)ax求解最值時，要注意自變量的取值范圍，及取得最值時等號成立的條件角度四構(gòu)建指、對函數(shù)或復(fù)雜的分式結(jié)構(gòu)函數(shù)模型典題6已知一容器中有A，B兩種菌，且在任何時刻A，B兩種菌的個數(shù)乘積為定值1010，為了簡單起見，科學(xué)家用PAlg nA來記錄A菌個數(shù)的資料，其中nA為A菌的個數(shù)，現(xiàn)有以下幾種說法：PA1；若今天的PA值比昨天的

14、PA值增加1，則今天的A菌個數(shù)比昨天的A菌個數(shù)多10；假設(shè)科學(xué)家將B菌的個數(shù)控制為5萬，則此時5<PA<5.5(注：lg 20.3)則正確的說法為_(寫出所有正確說法的序號)答案解析當(dāng)nA1時，PA0，故錯誤；若PA1，則nA10，若PA2，則nA100，故錯誤；B菌的個數(shù)為nB5×104，nA2×105，PAlg nAlg 25.又lg 20.3，5<PA<5.5，故正確點石成金一般地，涉及增長率問題、存蓄利息問題、細(xì)胞分裂問題等，都可以考慮用指數(shù)函數(shù)的模型求解求解時注意指數(shù)式與對數(shù)式的互化，指數(shù)函數(shù)的值域的影響以及實際問題中的條件限制.方法技巧解

15、函數(shù)應(yīng)用問題的四步驟(1)審題：弄清題意，分清條件和結(jié)論，理順數(shù)量關(guān)系，初步選擇函數(shù)模型；(2)建模：將自然語言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語言，將文字語言轉(zhuǎn)化為符號語言，利用數(shù)學(xué)知識，建立相應(yīng)的函數(shù)模型；(3)解模：求解函數(shù)模型，得出數(shù)學(xué)結(jié)論；(4)還原：將數(shù)學(xué)結(jié)論還原為實際意義的問題以上過程用框圖表示如下：易錯防范1.解應(yīng)用題思路的關(guān)鍵是審題，不僅要明白、理解問題講的是什么，還要特別注意一些關(guān)鍵的字眼(如“幾年后”與“第幾年后”)2在解應(yīng)用題建模后一定要注意定義域，建模的關(guān)鍵是注意尋找量與量之間的相互依賴關(guān)系3解決完數(shù)學(xué)模型后，注意轉(zhuǎn)化為實際問題寫出總結(jié)答案 真題演練集訓(xùn) 12016·四川卷某公司

16、為激勵創(chuàng)新，計劃逐年加大研發(fā)資金投入若該公司2015年全年投入研發(fā)資金130萬元，在此基礎(chǔ)上，每年投入的研發(fā)資金比上一年增長12%，則該公司全年投入的研發(fā)資金開始超過200萬元的年份是()(參考數(shù)據(jù)：lg 1.120.05，lg 1.30.11，lg 20.30)A2018年B2019年C2020年D2021年答案：B解析：根據(jù)題意，知每年投入的研發(fā)資金增長的百分率相同，所以，從2015年起，每年投入的研發(fā)資金組成一個等比數(shù)列an，其中，首項a1130，公比q112%1.12，所以an130×1.12n1.由130×1.12n1>200，兩邊同時取對數(shù)，得n1>

17、，又3.8，則n>4.8，即a5開始超過200，所以2019年投入的研發(fā)資金開始超過200萬元，故選B.22015·北京卷汽車的“燃油效率”是指汽車每消耗1升汽油行駛的里程，如圖描述了甲、乙、丙三輛汽車在不同速度下的燃油效率情況下列敘述中正確的是()A消耗1升汽油，乙車最多可行駛5千米B以相同速度行駛相同路程，三輛車中，甲車消耗汽油最多C甲車以80千米/小時的速度行駛1小時，消耗10升汽油D某城市機動車最高限速80千米/小時相同條件下，在該市用丙車比用乙車更省油答案：D解析：根據(jù)圖象所給數(shù)據(jù)，逐個驗證選項根據(jù)圖象知消耗1升汽油，乙車最多行駛里程大于5千米，故選項A錯；以相同速度

18、行駛時，甲車燃油效率最高，因此以相同速度行駛相同路程時，甲車消耗汽油最少，故選項B錯；甲車以80千米/小時的速度行駛時燃油效率為10千米/升，行駛1小時，里程為80千米，消耗8升汽油，故選項C錯；最高限速80千米/小時，丙車的燃油效率比乙車高，因此相同條件下，在該市用丙車比用乙車更省油，故選項D對32014·湖南卷某市生產(chǎn)總值連續(xù)兩年持續(xù)增加第一年的增長率為p，第二年的增長率為q，則該市這兩年生產(chǎn)總值的年平均增長率為()A.BC.D1答案：D解析：設(shè)年平均增長率為x，原生產(chǎn)總值為a，則(p1)(q1)aa(1x)2，解得x1，故選D.42015·四川卷某食品的保鮮時間y(單

19、位：h)與儲藏溫度x(單位：)滿足函數(shù)關(guān)系yekxb(e2.718為自然對數(shù)的底數(shù)，k，b為常數(shù))若該食品在0 的保鮮時間是192 h，在22 的保鮮時間是48 h，則該食品在33 的保鮮時間是_h.答案：24解析：由已知條件，得192eb， bln 192.又48e22kbe22kln 192192e22k192(e11k)2，e11k.設(shè)該食品在33 的保鮮時間是t h，則te33kln 192192e33k192(e11k)3192×324. 課外拓展閱讀 利用函數(shù)模型巧解抽象函數(shù)問題函數(shù)部分有一類抽象函數(shù)問題，這類問題給定函數(shù)f(x)的某些性質(zhì)，要證明它的其他性質(zhì)，或利用這些

20、性質(zhì)解一些不等式或方程這些題目的設(shè)計一般都有一個基本函數(shù)作為“模型”，若能分析猜測出這個函數(shù)模型，結(jié)合這個函數(shù)模型的其他性質(zhì)來思考解題方法，那么這類問題就能簡單獲解典例1已知函數(shù)f(x)對任意實數(shù)x，y均有f(xy)f(x)f(y)，且當(dāng)x>0時有f(x)>0，f(1)2，求f(x)在2,1上的值域思路分析解因為對任意實數(shù)x，y均有f(xy)f(x)f(y)，令xy0，則f(0)f(0)f(0)，故f(0)0；再令yx，則f(xx)f(x)f(x)0，所以f(x)f(x)，即f(x)為奇函數(shù)設(shè)x1<x2，則x2x1>0.因為當(dāng)x>0時，f(x)>0，所以f(

21、x2x1)>0.所以f(x2)f(x1)f(x2x1)>0，所以f(x)為R上的增函數(shù)又f(2)f(11)2f(1)4，f(1)f(1)2，所以當(dāng)x2,1時，f(x)4,2典例2設(shè)函數(shù)f(x)的定義域是R，對于任意實數(shù)m，n，恒有f(mn)f(m)·f(n)，且當(dāng)x>0時，0<f(x)<1.(1)求證：f(0)1，且當(dāng)x<0時，有f(x)>1；(2)判斷f(x)在R上的單調(diào)性思路分析(1)證明因為對任意實數(shù)m，n，恒有f(mn)f(m)·f(n)，令m1，n0，則f(1)f(1)·f(0)因為當(dāng)x>0時，0<f(x)<1，所以f(0)1.設(shè)mx<0，nx>0，所以f(0)f(x)·f(x)，所以f(x)>1.即當(dāng)x<