1、2022-3-15靜電場習題課靜電場習題課 電勢的計算 電勢能，電場能的計算 電勢和電場的相互推算 導體的靜電平衡，電容的計算 有介質時高斯定理的應用，P，D，E，的計算12022-3-151. .電荷守恒定律電荷守恒定律2. .電荷量子化電荷量子化3. .庫侖定律庫侖定律01222101241r rF Frqq4. .場疊加原理場疊加原理 n1iin21EEEEE 第一部分第一部分 真空中的靜電場真空中的靜電場 22022-3-152. .電偶極矩電偶極矩l lp pq4. .電通量電通量SdS SE E5. .電場力的功電場力的功l lE EdqWba06. . 電勢能電勢能UqWP0 7

2、. .電勢電勢0qWUP 8. .電勢差電勢差baabUUU l lE Edbal lE Eda1. .電場強度電場強度0qF FE E32022-3-15I. .電場強度計算方法電場強度計算方法1. .由點電荷電場由點電荷電場求點電荷系求點電荷系nii1E EE E02041iiirqr r2. .矢量積分法矢量積分法連續帶電體連續帶電體E EE EdV02041r rrdqV020rrq41E42022-3-153. .利用高斯定理利用高斯定理具有高度對稱的場具有高度對稱的場0qdSS SE E4. .場強與電勢的微分關系場強與電勢的微分關系已知電勢已知電勢0nnUE 5. .靈活運用場疊

3、加原理靈活運用場疊加原理oP如空心均勻帶電球體，如空心均勻帶電球體，求球心連線上求球心連線上P點的場強。點的場強。52022-3-15II. .電勢的計算方法電勢的計算方法1. .由定義由定義00qWqWUaP 2. .點電荷系點電荷系3. .代數積分法代數積分法連續帶電體連續帶電體iniUU 1niiirq104dUUV 體體rdqV04體4. .場強的線積分法場強的線積分法l dEUaa 62022-3-151. .靜電場中的高斯定理靜電場中的高斯定理0qdSS SE E2. .靜電場中的環路定理靜電場中的環路定理Ld0l lE E5. .靈活運用場疊加原理靈活運用場疊加原理如求由多個球殼

4、構成體系的電勢如求由多個球殼構成體系的電勢2R1R2q1q72022-3-15高斯面高斯面例例1：兩同心均勻帶電球面，帶電量分別兩同心均勻帶電球面，帶電量分別為為 q1、 q2, , 半徑分別為半徑分別為 R1 、R2 , , 求各區求各區域內的場強和電勢。域內的場強和電勢。o1R1q2q解：解：在三個區域中分在三個區域中分別作高斯球面，別作高斯球面，IIIIII2R0qdSS SE E024qrE2041rqE82022-3-15高斯面高斯面o1R2R1q2qIIIIII2041rqE,1Rr ,0q01E,21RrR1qq210241rqE,2Rr21qqq2210341rqqE92022

5、-3-15I區電勢區電勢22113211RRRRrdddVl lE El lE El lE E221320RRRdrEdrE212014RRdrrq220214Rdrrqq2111041RqRq221041Rqq 102022-3-1522011014141RqRqV22322RRrddVl lE El lE EII區電勢區電勢2232RRrdrEdrE22014Rrdrrq220214Rdrrqq220104141Rqrq112022-3-15III 區電勢區電勢rdVl lE E33高斯面高斯面o1R2R1q2qIIIIIIrdrE3rdrrqq20214rqq21041122022-3-

6、151. .靜電平衡條件：靜電平衡條件： 導體內部場強為導體內部場強為0 0。2. .靜電平衡時導體為等勢體，導體表面為等勢靜電平衡時導體為等勢體，導體表面為等勢面。面。3. .靜電平衡時導體內無靜電平衡時導體內無凈凈電荷，所有電荷分布于電荷，所有電荷分布于外表面。外表面。4. .孤立導體孤立導體電荷面密度與導體表面的曲率半徑電荷面密度與導體表面的曲率半徑成反比。成反比。5. .靜電平衡時，場強方向與導體表面垂直。靜電平衡時，場強方向與導體表面垂直。第二部分第二部分 靜電場中導體與電介質靜電場中導體與電介質132022-3-156. .靜電平衡時，導體表面靜電平衡時，導體表面附近附近的場強大小

7、為的場強大小為0E7. . 空腔內無電荷：空腔內無電荷：空腔內表面無電荷全部電荷空腔內表面無電荷全部電荷分布于外表面分布于外表面, ,空腔內場強空腔內場強 E E = 0= 0?？涨粚w具空腔導體具有靜電屏蔽的作用。有靜電屏蔽的作用。8. . 空腔原帶有電荷空腔原帶有電荷 Q：將將 q 電荷放入空腔內，電荷放入空腔內，內表面帶有內表面帶有 - -q 電電荷電電荷, ,外表面帶有外表面帶有 Q + + q 電荷。電荷。接地可屏蔽內部電場變化，對外部電場的影響。接地可屏蔽內部電場變化，對外部電場的影響。142022-3-151. .介質中的場強介質中的場強E EE EE E0r0E EE E2.

8、.介質中的電勢差介質中的電勢差l lE EdUbaab3. .介質中的環路定理介質中的環路定理0l lE Ed4. .電場強度通量電場強度通量00qqdSS SE E152022-3-151. .定義定義V pP真空中真空中 P = 0 ，真空中無電介質。真空中無電介質。導體內導體內 P = 0 ，導體內不存在電偶極子。導體內不存在電偶極子。2. .極化強度大小極化強度大小PEPe0 rP1103. .極化強度通量極化強度通量SPdS SP Pq電極化率電極化率1 re 162022-3-151. . D D 是自由電荷與極化電荷共同產生的。是自由電荷與極化電荷共同產生的。P PE ED D0

9、2. . 對各向同性、均勻電介質對各向同性、均勻電介質E ED Dr0E E3. . 對平行板電容器對平行板電容器0D4. . 介質中的高斯定理介質中的高斯定理0qdSS SD D172022-3-15abUqC1. .電容器電容電容器電容2. .電容器串聯電容器串聯nCCCC1111213. .電容器并聯電容器并聯nCCCC21182022-3-15CQW221 221CUQU21體體VEW221 體EDV21體VD221221EED21221D體體VWwe 192022-3-15例例2：帶正電的導體帶正電的導體 A ，接近不帶電的導體接近不帶電的導體 B ，導體導體 B 的電勢如何變化。的

10、電勢如何變化。答案：答案：升高。升高。202022-3-153124AQBQ解：解：SSQA21SSQB43AB在導體極板內，取在導體極板內，取 A、B 兩點，由靜電平衡條件兩點，由靜電平衡條件040302012222AE0040302012222BE0聯立求解聯立求解21例例3：兩導體板分別帶電兩導體板分別帶電 Qa、Qb。求各表面的電求各表面的電荷面密度。荷面密度。2022-3-1541SQQBA232SQQBA23124AQBQAPBP1. .兩外表面電荷等量同號。兩外表面電荷等量同號。2. .兩內表面電荷等量異號。兩內表面電荷等量異號。222022-3-15SQ/SQ/有有041SQ3

11、2討論：討論：QQQBA41SQQBA232SQQBA2232022-3-1541320BQSQA2SQA241SQQBA232SQQBA2242022-3-15例例4：球形電容器由半徑為球形電容器由半徑為 R1 帶電為帶電為 Q 的導體的導體球和與它同心的導體球殼構成，其間充有球和與它同心的導體球殼構成，其間充有 r1、r2 兩種介質，兩種介質，求：求：(1)場強分布；場強分布；(2) 兩極間電兩極間電勢差；勢差；(3) 電容電容 C 。解：解： (1)I區：區：E1=0II區：區：作高斯球面作高斯球面0qdSS SD DQrD224導體內導體內1R2R3R4R1r2rIIIIIIIVQV2

12、52022-3-15224rQD1022rDE2104rQrIII區：區：同理同理22034rQEr導體內導體內IV區：區：04EV區：區：0qdSS SD D1R2R3R4R1r2rIIIIIIIVQV262022-3-15254rQD055DE（2） 兩極間電勢差兩極間電勢差1R2R3R4R1r2rIIIIIIIVQV3113RRdUl lE E204rQ213232RRRRdrEdrE2132222144RRRRdrrQdrrQ272022-3-15213222211344RRRRdrrQdrrQU322211114114RRQRRQ32121231112324)()(RRRRRRRRR

13、Q(3) 電容電容C13UQC)()(42311123232121RRRRRRRRR282022-3-15o例例5：球形電容器兩球面的半徑分別為球形電容器兩球面的半徑分別為 R1、R2 ，帶電量分別為帶電量分別為 + +Q 和和 Q， 極間充有極間充有電介質電介質 ，求：電容器能量。，求：電容器能量。解：解：極間場強極間場強QQ1R2R241rQE能量密度能量密度221Ewe422 32rQ292022-3-15drrdV24體元體元dVwdWee228rdrQdrrrQ242243222821rdrQdWWRRVee212118RRQoQ1RQ2Rrdr302022-3-152.平行板電容器

14、平行板電容器 S d r V 恒定恒定,將電容器中介質全將電容器中介質全部抽出部抽出,則此過程中則此過程中(1)電容器貯能的改變量電容器貯能的改變量 W?(2)電場力克服電源非靜電力作功電場力克服電源非靜電力作功A2=?(3)外力作功外力作功A3=?0SVd21VC21CV21W1VCqCVq ,dSCdSC20r2020000r0）減減少少的的量量：（解解：介介質質抽抽出出，0SVd1V)qq(A)2(20r020SVd21WAA)3(20r23312022-3-153.黃銅球浮在相對介電常數為黃銅球浮在相對介電常數為 r 的油槽中的油槽中,球的一球的一半浸在油中半浸在油中,球的上半在空氣中

15、球的上半在空氣中,已知球上凈電荷已知球上凈電荷Q,問球的上下部分各有多少電荷問球的上下部分各有多少電荷?(10.29)C1 Q1C2 Q2分析：分析：設上、下半球的電容和電量分別為設上、下半球的電容和電量分別為（C1、Q1）、 （C2、Q2），并假設油槽足夠大，可忽略邊緣影響。并假設油槽足夠大，可忽略邊緣影響。322022-3-15QQQQrrr 11121(1) CRCrr1022 (2) QQQ 21(3) UCQ CQ 2211332022-3-15dqQ EEqEQ4.有一無限大接地金屬板有一無限大接地金屬板,在板前在板前d處有一電量為處有一電量為q的點電荷的點電荷.試計算試計算(1)

16、金屬板表面附近的電場強金屬板表面附近的電場強度度.(2)金屬板表面上感應電荷面密度金屬板表面上感應電荷面密度.dq342022-3-15dqQ E內內=0EqEQ0EEEQq內內dqQ E外外EqEQ0EEEQq外外352022-3-15QqEE 解：由分析可知解：由分析可知22220qydd)yd(4q2cosE2E外外i)yd(2qdE2/3220外外2/3220)yd(2qd E外外dqQ E外外EqEQOXYQqEEE外外362022-3-155 一半徑為 R 的“無限長”圓柱形帶電體，其電荷體密度為 = A r （ r R ），式中 A 為常數。求 （1）圓柱體內、外各點場強大小分布

17、； （2）選距離軸線為 l （ l R ）處為電勢零點，計算圓柱體內、外各點的電勢分布。Rrh解解:（1）取高斯面，由高斯定理0VSdVSdE372022-3-15Rrh030013222AhrrhdrArrhERrr0212ArE 030023222AhRrhdrArrhERrRrARE0322382022-3-15（2）由定義：lrrrdEURlARrRAdrrARdrArdrEdrEURrlRRrlRRrln393303330030221rlARdrrARdrEURrlrlrln3303032392022-3-156. 電荷面密度分別為電荷面密度分別為 +和和 -的兩塊的兩塊“無限大無限

18、大”均勻均勻帶電平行平面，處于與平面垂直的帶電平行平面，處于與平面垂直的 X 軸上的軸上的 +a 和和 -a 的位置上。設坐標原點的位置上。設坐標原點 O 處電勢為零。求空間的處電勢為零。求空間的電勢分布表示式并畫出其曲線。電勢分布表示式并畫出其曲線。解：解：由高斯定理得場強分布xaaxEaxaE,00XaaO402022-3-15XaaO:) 1 (ax00000adxdxEdxUaaxx:)2(axa0000 xdxEdxUxx:)3( xa00000adxdxEdxUaaxx412022-3-157. 在一接地導體球殼在一接地導體球殼 A 內有一同心帶電導體球內有一同心帶電導體球 B ，A 外有電量為外有電量為 Q 的點電荷。已知點電荷與球殼的點電荷。已知點電荷與球殼 A 的的球心距離為球心距離為 R ，球殼球殼 A 的外表面半徑為的外表面半徑為 a。求求 A 外外表面的總電量。表面的總電量。ABArBraQR解解:設 B 球外表面帶電為 ，則 A 球內表面帶電為 ，A 球外表面帶電為 0Q0QxQ根據定義，球心電勢為 1r1r14Qdrr4Ql dEUUUAB00rr200rrA00ABAB 422022-3-15再根據電勢疊加法，則再根據電勢疊加法，則 244440000000R