1、第第5 5章章 離散時(shí)間傅里葉變換離散時(shí)間傅里葉變換 5.1-5.1-5.25.2非周期信號(hào)的表示：離散時(shí)間傅里葉變換；非周期信號(hào)的表示：離散時(shí)間傅里葉變換； 周期信號(hào)的傅里葉變換周期信號(hào)的傅里葉變換2022-3-15信號(hào)與系統(tǒng)第12講2n傅里葉變換的卷積性質(zhì)傅里葉變換的卷積性質(zhì)n時(shí)域卷積，頻域乘積，時(shí)域卷積，頻域乘積，n時(shí)域：輸入與單位沖激響應(yīng)卷積求得輸出時(shí)域：輸入與單位沖激響應(yīng)卷積求得輸出n頻域：輸入頻譜與頻率響應(yīng)乘積得到輸出頻域：輸入頻譜與頻率響應(yīng)乘積得到輸出n頻率響應(yīng)為單位沖激的傅里葉變換頻率響應(yīng)為單位沖激的傅里葉變換n傅里葉變換的乘積性質(zhì)傅里葉變換的乘積性質(zhì)n乘積用于信號(hào)的調(diào)制乘積用

2、于信號(hào)的調(diào)制n調(diào)制和解調(diào)的頻譜搬移過(guò)程調(diào)制和解調(diào)的頻譜搬移過(guò)程n微分方程表示的系統(tǒng)，其頻率響應(yīng)的導(dǎo)出和應(yīng)用微分方程表示的系統(tǒng)，其頻率響應(yīng)的導(dǎo)出和應(yīng)用2022-3-15信號(hào)與系統(tǒng)第12講3n研究了連續(xù)時(shí)間傅里葉變換，離散時(shí)間情況怎樣？研究了連續(xù)時(shí)間傅里葉變換，離散時(shí)間情況怎樣？n復(fù)指數(shù)信號(hào)為其特征函數(shù)，可是輸出表達(dá)簡(jiǎn)單復(fù)指數(shù)信號(hào)為其特征函數(shù)，可是輸出表達(dá)簡(jiǎn)單n周期信號(hào)都能用復(fù)指數(shù)信號(hào)的線性組合構(gòu)造周期信號(hào)都能用復(fù)指數(shù)信號(hào)的線性組合構(gòu)造n離散時(shí)間的傅里葉級(jí)數(shù)是有限項(xiàng)的離散時(shí)間的傅里葉級(jí)數(shù)是有限項(xiàng)的n離散時(shí)間的頻譜是周期的離散時(shí)間的頻譜是周期的n傅里葉變換導(dǎo)出、周期信號(hào)表示、性質(zhì)、頻率響應(yīng)傅里葉變換

3、導(dǎo)出、周期信號(hào)表示、性質(zhì)、頻率響應(yīng)2022-3-15信號(hào)與系統(tǒng)第12講4n1.離散時(shí)間傅里葉變換的導(dǎo)出離散時(shí)間傅里葉變換的導(dǎo)出n周期離散時(shí)間信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)表示周期離散時(shí)間信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)表示(2/)(2/) 1 jkN nkkNjkN nknNx na eax n eN周期序列：0(2/)0 ( ),11 2 /jknjkN nknnx nx tax n ex n eNNN由的一個(gè)周期構(gòu)成的非周期序列其傅里葉級(jí)數(shù)，2022-3-15信號(hào)與系統(tǒng)第12講5n周期離散時(shí)間信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)表示周期離散時(shí)間信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)表示n離散與連續(xù)的類(lèi)比離散與連續(xù)的類(lèi)比 因?yàn)殡x散時(shí)間復(fù)指數(shù)信號(hào)以因?yàn)殡x散時(shí)間復(fù)指

4、數(shù)信號(hào)以2 為周期為周期n正變換結(jié)果是周期的正變換結(jié)果是周期的n反變換積分區(qū)間是有限的（只在一個(gè)周期內(nèi)）反變換積分區(qū)間是有限的（只在一個(gè)周期內(nèi)）n正變換的低頻在正變換的低頻在 的偶數(shù)倍位置，高頻在的偶數(shù)倍位置，高頻在 的奇數(shù)倍位置的奇數(shù)倍位置001() () jkjj nknX ex n eaX ekN定義：，則有：，0000011 () = ()2jkjknjkjknkNkNx nx nX eeX eeN可表示為：000211, , () ()22jkjknjj nkNNx nx nx nX eeX eed可得：積分區(qū)間？分析公式分析公式正變換正變換綜合公式綜合公式反變換反變換變換與周期級(jí)變

5、換與周期級(jí)數(shù)系數(shù)的關(guān)系數(shù)系數(shù)的關(guān)系2022-3-15信號(hào)與系統(tǒng)第12講6n不同序列的變換結(jié)果圖示不同序列的變換結(jié)果圖示n變換緩慢的序列，正變換的峰值出現(xiàn)在變換緩慢的序列，正變換的峰值出現(xiàn)在 的偶數(shù)倍位置的偶數(shù)倍位置n變換快的序列，正變換的峰值出現(xiàn)在變換快的序列，正變換的峰值出現(xiàn)在 的奇數(shù)倍位置的奇數(shù)倍位置2022-3-15信號(hào)與系統(tǒng)第12講7n2.離散時(shí)間傅里葉變換舉例離散時(shí)間傅里葉變換舉例n（1）指數(shù)序列）指數(shù)序列 a0 a0nA為正，最大值出現(xiàn)在為正，最大值出現(xiàn)在 的偶數(shù)倍位置，序列以低頻為主的偶數(shù)倍位置，序列以低頻為主nA為負(fù)，最大值出現(xiàn)在為負(fù)，最大值出現(xiàn)在 的奇數(shù)倍位置，序列以高頻為主

6、的奇數(shù)倍位置，序列以高頻為主 1nx na u na01 = 1-njnj njjnnX ea u n eaeae畫(huà)出a取正負(fù)值時(shí)的波形，并進(jìn)行比較2022-3-15信號(hào)與系統(tǒng)第12講8n（2）偶對(duì)稱(chēng)指數(shù)序列）偶對(duì)稱(chēng)指數(shù)序列 n變換結(jié)果是實(shí)函數(shù)，對(duì)變換結(jié)果是實(shí)函數(shù)，對(duì)a取正值作圖如下：取正值作圖如下：n如果如果a取負(fù)值，結(jié)果怎樣？取負(fù)值，結(jié)果怎樣？ 1nx naa10222211-1=1-1-1- ()1-2 cosnnnjj njjnnnjjjjjjjX ea eaeaeaeaeaeaaaeaea eeaaa2022-3-15信號(hào)與系統(tǒng)第12講9n（3）矩形脈沖序列）矩形脈沖序列 n變換結(jié)果

7、是實(shí)函數(shù)，變換結(jié)果是實(shí)函數(shù)，n為離散情況下的為離散情況下的sinc函數(shù)函數(shù)n對(duì)對(duì)N1=2作圖作圖n離散情況下的離散情況下的sinc函數(shù)以函數(shù)以2 為周期為周期n連續(xù)情況下的連續(xù)情況下的sinc函數(shù)是非周期的函數(shù)是非周期的111, 0, nNx nnN11111111()(1)/ 2/ 2/ 2/ 2(1/ 2)(1/ 2)1/ 2/ 2()1-sin(1/2)-sin(/2)NjNjNj Nj Njjjjj njjjnNjNjNjjeeeeeeeX eeeeeeeNee2022-3-15信號(hào)與系統(tǒng)第12講10n3.關(guān)于離散時(shí)間傅里葉變換的收斂問(wèn)題關(guān)于離散時(shí)間傅里葉變換的收斂問(wèn)題n前面討論的是有

8、限長(zhǎng)的序列，計(jì)算結(jié)果都是收斂的前面討論的是有限長(zhǎng)的序列，計(jì)算結(jié)果都是收斂的n離散時(shí)間傅里葉變換對(duì)無(wú)限長(zhǎng)序列是否存在離散時(shí)間傅里葉變換對(duì)無(wú)限長(zhǎng)序列是否存在n存在的條件是什么？存在的條件是什么？n連續(xù)時(shí)間傅里葉變換收斂的兩類(lèi)條件在離散情況怎樣應(yīng)用？連續(xù)時(shí)間傅里葉變換收斂的兩類(lèi)條件在離散情況怎樣應(yīng)用？n收斂情況分析收斂情況分析n對(duì)于正變換，顯然，滿足以下條件都能收斂對(duì)于正變換，顯然，滿足以下條件都能收斂n對(duì)于反變換，是一個(gè)有限區(qū)間的積分，一般序列都能收斂對(duì)于反變換，是一個(gè)有限區(qū)間的積分，一般序列都能收斂n如果只取部分頻率范圍積分，得到近似的非周期信號(hào)如果只取部分頻率范圍積分，得到近似的非周期信號(hào)2

9、nnxnxn 能 量 有 限 ：絕 對(duì) 可 和 ：1 ()2Wjj nWx nX eed, wx nx n則，與離散時(shí)間周期方波的近似過(guò)程一樣，也沒(méi)有吉伯斯現(xiàn)象2022-3-15信號(hào)與系統(tǒng)第12講11n收斂分析舉例收斂分析舉例 () 1jj nnx nnX ex n e序列：，其傅里葉變換：1sin 2Wj nWWnx nedn部分頻率范圍積分近似：W采用不同得到的近似結(jié)果如下：W增加，震蕩頻率增加W增加，振幅減小W=2 /8、W=3 /8W=4 /8、W=6 /8W=7 /8、W=8 /82022-3-15信號(hào)與系統(tǒng)第12講12n單個(gè)復(fù)指數(shù)序列的傅里葉變換單個(gè)復(fù)指數(shù)序列的傅里葉變換n周期序列

10、可由成諧波關(guān)系的復(fù)指數(shù)序列組合周期序列可由成諧波關(guān)系的復(fù)指數(shù)序列組合n用以上結(jié)果帶入傅里葉反變換進(jìn)行驗(yàn)證用以上結(jié)果帶入傅里葉反變換進(jìn)行驗(yàn)證00( ) jtjnx tex ne 0000連續(xù)情況，的傅里葉變換是在 =處的沖激2()離散序列，的傅里葉變換也該是 =的沖激2()0022-0211 () 2(2)22 (jj nj nljnj nx nX eedl edx nede =只在一個(gè)周期積分：）0-()2(2)jlX el 但必須是周期的,所以記為：2022-3-15信號(hào)與系統(tǒng)第12講13n周期序列的傅里葉變換周期序列的傅里葉變換n周期序列由成諧波關(guān)系的復(fù)指數(shù)序列表示周期序列由成諧波關(guān)系的復(fù)

11、指數(shù)序列表示n根據(jù)前面復(fù)指數(shù)序列的傅里葉變換的推導(dǎo)根據(jù)前面復(fù)指數(shù)序列的傅里葉變換的推導(dǎo)n離散周期信號(hào)傅里葉變換圖示離散周期信號(hào)傅里葉變換圖示2()2(jkkNkX eaN ）(2/) jkN nkkNx na e(2/)0(2/)12(2/)2(1)(2/)1 jkN nkkNjN njN nj NN nNx na eaa ea eae2022-3-15信號(hào)與系統(tǒng)第12講14n周期序列的傅里葉變換舉例周期序列的傅里葉變換舉例n（1）余弦信號(hào)）余弦信號(hào)n余弦信號(hào)傅里葉變換圖示余弦信號(hào)傅里葉變換圖示222()2( 5522()(- 2(- 255jkkNjllkXeaNXell ） +） ,-或）

12、0000112 cos, 225jnjnx nnee2022-3-15信號(hào)與系統(tǒng)第12講15n周期序列的傅里葉變換舉例周期序列的傅里葉變換舉例n（2）離散時(shí)間沖激串）離散時(shí)間沖激串n沖激串傅里葉變換圖示沖激串傅里葉變換圖示(2/)11 jkNnknNax n eNN傅 里 葉 級(jí) 數(shù) 的 系 數(shù) ： ()kNx nnkN周期為 的沖激串：222()2()()jkkNkNkkXeaNNN 傅 里 葉 變 換 ：2022-3-15信號(hào)與系統(tǒng)第12講16本講小結(jié)本講小結(jié)n離散時(shí)間非周期信號(hào)的傅里葉變換離散時(shí)間非周期信號(hào)的傅里葉變換n離散時(shí)間傅里葉變換的導(dǎo)出離散時(shí)間傅里葉變換的導(dǎo)出n考慮離散時(shí)間周期信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)考慮離散時(shí)間周期信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)n周期無(wú)限大，第一周期的信號(hào)稱(chēng)為非周期信號(hào)周期無(wú)限大，第一周期的信號(hào)稱(chēng)為非周期信號(hào)n有此得到離散傅里葉變換表達(dá)式有此得到離散傅里葉變換表達(dá)式n離散時(shí)間傅里葉變換的特點(diǎn)離散時(shí)間傅里葉變換的特點(diǎn)n分析公式（正變換）的周期性分析公式（正變換）的周期性n低頻在低頻在 偶數(shù)倍，高頻在偶數(shù)倍，高頻在 奇數(shù)倍位置奇數(shù)倍位置n綜合公式（反變換）積分區(qū)間的有限綜合