1、1 隨機向量的分布 二維隨機變量 聯合分布函數 聯合分布律 聯合概率密度返回主目錄設 E 是一個隨機試驗，它的樣本空間是 =e，設 X=X(e) 和 Y=Y(e) 是定義在 上的隨機變量。由它們構成的一個向量 (X, Y) ，叫做二維隨機向量，或二維隨機變量。eX(e)Y(e)1 隨機向量的分布定義定義返回主目錄注注 意意 事事 項項維隨機向量；二維隨機變量也稱為二我們應把二維隨機變量 YXYX，系的；之間是有聯與看作一個整體，因為YX作平面上的隨機點可看，量在幾何上，二維隨機變YX1 隨機向量的分布返回主目錄二維隨機變量的例子二維隨機變量的例子身體狀況，令考察某地區成年男子的高；：該地區成年

2、男子的身X就是一個二維隨機變量，則YX：對一目標進行射擊，令重：該地區成年男子的體Y距離；：彈著點與目標的水平X距離；：彈著點與目標的垂直Y就是一個二維隨機變量，則YX1 隨機向量的分布返回主目錄二維隨機變量的例子二維隨機變量的例子，令：考察某地區的氣候狀況：該地區的溫度；X就是一個二維隨機變量，則YX，令：考察某鋼廠鋼材的質量：該地區的濕度Y：鋼材的含碳量；X：鋼材的含硫量；Y就是一個二維隨機變量，則YX1 隨機向量的分布返回主目錄，實數則對于任意一對是一個二維隨機變量，設yxYX.的分布函數，變量為二維隨機的函數我們稱此函數，是YXyxyYxXPyxF，1 隨機向量的分布定定 義義返回主目

3、錄二元分布函數的幾何意義二元分布函數的幾何意義概率點的無窮矩形中的為右上頂，落在以，點表示平面上的隨機，意義是：二元分布函數的幾何yxYXyxFyo(x, y)(X, Y )1 隨機向量的分布返回主目錄一個重要的公式一個重要的公式，設：2121yyxx則2121yXyxXxP，1222yxFyxF，1121yxFyxF，yxox1x2y1y2(X, Y )(x2 , y2)(x2 , y1)(x1 , y2)(x1 , y1)1 隨機向量的分布分布函數具有以下的基本性質： F (x , y )是變量 x , y 的不減函數，即對于任意固定的 y , 當 x1 x2時，對于任意固定的 x , 當

4、 y1 y2時，);,(),(21yxFyxF);,(),(21yxFyxF 對于任意固定的 Y , 對于任意固定的 X , , 1),(0yxF; 0),( yF; 0),(xF. 1),(; 0),(FF1 隨機向量的分布2)1)且返回主目錄 . 0),(),(),(),(21111222yxFyxFyxFyxF3) F (x , y )=F(x+0,y), F (x , y )=F(x ,y+0), 即 F (x , y )關于 x 右連續，關于 y 也右連續.yxox1x2y1y2(X, Y )(x2 , y2)(x2 , y1)(x1 , y2)(x1 , y1)1 隨機向量的分布4

5、)說說 明明上述四條性質是二維隨機變量分布函數的最基本的性質，即任何二維隨機變量的分布函數都具有這四條性質；更進一步地，我們還可以證明：如果某一二元函數具有這四條性質，那么，它一定是某一二維隨機變量的分布函數（證明略）1 隨機向量的分布返回主目錄n n 維隨機變量維隨機變量是其樣本空間，是一個隨機試驗，設E nieeXXii，21個隨機變量是該樣本空間上的n則稱 eeXeXeXXXXnn，2121維隨機變量上的為樣本空間n1 隨機向量的分布返回主目錄n n維隨機變量的分布函數維隨機變量的分布函數，維實數組意一維隨機變量，則對于任是一個，設nnxxxnnXXX21211 隨機向量的分布維隨機變量

6、我們稱此函數為nnXXX，21nxxxF，21nnxXxXxXP，2211分布函數。的聯合分布函數。簡稱返回主目錄二維離散型隨機變量二維離散型隨機變量1 隨機向量的分布為二維離散型隨機變量，個，則稱無窮的取值是有限個或可列，若二維隨機變量YXYX二維離散型隨機變量，設YX的取值為X，ixxx21的取值為Y，jyyy21則稱，21jiyYxXPPjiij的（聯合）分布律，為二維離散型隨機變量YX二維離散型隨機變量的聯合分布律二維離散型隨機變量的聯合分布律下表表示的聯合分布律也可以由， YXYX1y2yjy1x11p12pjp12x21p22pjp2ix1 ip2ipijp1 隨機向量的分布返回主

7、目錄二維離散型隨機變量聯合分布律的性質二維離散型隨機變量聯合分布律的性質：性質 10jiijyYxXPp，有1jiijp，：性質 2，對任意的21jiji1 隨機向量的分布返回主目錄例例 1的三個盒子中，編號為將兩個球等可能地放入321的聯合分布律，試求YX；，的可能取值為210X解：號盒中的球數；：放入令：1X號盒中的球數：放入2Y，的可能取值為210Y00YXP，912311 隨機向量的分布返回主目錄例例 1（續）（續）9223210YXP，20YXP，2319101YXP，2329211YXP，2329221YXP， P01 隨機向量的分布02YXP，2319122YXP， P012YX

8、P， P0返回主目錄例例 1 1（續）（續）的聯合分布律為，由此得YX1 隨機向量的分布 Y X012091929119292029100例例 2 2次，令：將一枚均勻的硬幣擲3的聯合分布律，試求YX數；次拋擲中正面出現的次： 3X；，的可能取值為3210X解：，的可能取值為31Y次數之差的絕對值與反面出現次拋擲中正面出現次數： 3Y1 隨機向量的分布返回主目錄例例 2 2（續）（續）；010YXP，30YXP，；8111YXP，；83；031YXP，12YXP，；83；032YXP，；013YXP，8133YXP，的聯合分布律為，由此得隨機變量YX1 隨機向量的分布返回主目錄例例 2（續）（

9、續） X Y0123108383038100811 隨機向量的分布返回主目錄邊緣分布的定義邊緣分布的定義的邊緣分布，關于二維隨機變量或者的分布為或者也有分布我們稱或者，分量是一維隨機變量，因此或者則它的分量是一個二維隨機變量，如果YXYXYXYXYXYX邊緣分布也稱為邊沿分布或邊際分布已知聯合分布函數求邊緣分布函數的分布函數為，則分量，的分布函數為，設二維隨機變量XyxFYX返回主目錄 ，xFyxFYxXPxXPxFyXlim已知聯合分布律求邊緣分布律下表表示的邊緣分布律也可以由以及YX YX1y2yjy ip1x11p12pjp1 1p2x21p22pjp2 2pix1 ip2ipijp i

10、pjp1 p2 pjp返回主目錄由題意知，X=i，Y=j的取值情況是：i=1,2,3,4，且是等可能的；然后 j 取不大于 i 的正整數。由乘法公式求得 ( X,Y ) 的分布律。., 4 , 3 , 2 , 1,411|,ijiiiXPiXjYPjYiXP其中1 隨機向量的分布設隨機變量 X 在 1,2,3,4四個數中等可能地取值，另一個隨機變量 Y 在1X 中等可能地取一整數值。試求 ( X,Y ) 的聯合分布律，與X及Y各自的邊緣分布律。例例 3 3解：解：返回主目錄例 3（續） YX1234 ip141000412818100413121121121041416116116116141

11、jp482548134874832 邊緣分布返回主目錄例：布律律及它們各自的邊緣分二等品數的聯合分布件產品中的一等品數與的情況下，分別計算取出不放回場合這兩種合，次試在有放回場取出一件，共抽取現從這批產品中每次，三等品占占，二等品件，其中一等品占一批產品共55%20%50%3050例 3（續），的取值都是與54321, 0YX在有放回場合下，若5 ji0jYiXP ，有，若5 jijYiXP ，有jijijiji52 . 05 . 03 . 0!5!5的邊緣分布律為、的聯合分布律及，得YXYX2 邊緣分布返回主目錄例 3（續） Y X012345 ip00.000320.004000.0200

12、00.050000.062500.031250.1680710.002400.024000.090000.150000.0937500.3601520.007200.054000.135000.11250000.308730.010800.054000.067500000.132340.008100.0202500000.0283550.00243000000.00243jp0.031250.156250.31250.31250.156250.031252 邊緣分布返回主目錄例 3（續）在不放回場合下，若5 ji0jYiXP ，有，若5 jijYiXP ，有5505102515CCCCjiji

13、的邊緣分布律為、的聯合分布律及，得YXYX2 邊緣分布返回主目錄例 3（續） Y X012345 ip00.00010.00250.01700.04880.05970.02500.153110.00150.02120.09560.16280.089600.370720.00590.05580.14870.1140000.324430.00970.05370.06440000.127840.00640.016100000.022550.0014000000.0014jp0.0250.14930.32570.32560.14930.0252 邊緣分布返回主目錄二維離散型隨機變量的聯合分布函數二維離

14、散型隨機變量的聯合分布函數，21jiyYxXPPjiij二維離散型隨機變量，設YX分布律為聯合其)(的聯合分布函數為，則YXyyxxijjipyxF，1 隨機向量的分布返回主目錄對于二維隨機變量 ( X,Y ) 分布函數 F (x , y )，如果存在非負函數 f (x , y )，使得對于任意的 x，y有： yxdudvvufyxF,),(),(則稱 ( X,Y ) 是連續型的二維隨機變量連續型的二維隨機變量，函數 f (x , y )稱為二維隨機變量 ( X,Y )的概率密度概率密度，或稱為 X 和 Y 的聯合概率密度聯合概率密度。 二維連續型隨機變量二維連續型隨機變量1 隨機向量的分布返

15、回主目錄按定義，概率密度 f (x , y ) 具有以下性質：;0),(10yxf;1),(),(20 Fdxdyyxf).,(),(),(),(320yxfyxyxFyxyxf連續，則有在點若1 隨機向量的分布 40 設 G 是平面上的一個區域，點 ( X,Y )落在 G 內 的概率為：GdxdyyxfGYXP.),(),(返回主目錄 在幾何上 z = f (x , y) 表示空間的一個曲面，上式即表示 P(X,Y)G的值等于以 G 為底，以曲面 z = f (x , y)為頂的柱體體積1 隨機向量的分布返回主目錄例例 4 4的密度函數為，設二維隨機變量YX；常數求c解：，得由密度函數的性質

16、其它，022222RyxyxRcyxf的概率內落入圓，求RrryxYX02221 隨機向量的分布返回主目錄例例 4 4（續）（續） dxdyyxf，122222RyxdxdyyxRc，得，作極坐標變換sincosyxdRcdR0201cR 331所以，33Rc1 隨機向量的分布返回主目錄例例 4 4（續）（續）222ryxYXP，2222233ryxdxdyyxRR，得，作極坐標變換sincosyxdRdRr02033RrRr321322222ryxdxdyyxf，222ryxYXP，1 隨機向量的分布返回主目錄例例 5 5的密度函數為，設二維隨機變量YX；常數求c解：由密度函數的性質，得其它

17、，00043yxceyxfyx的聯合分布函數；，求YX，求2010YXP1 隨機向量的分布返回主目錄例例 5 5（續）（續） dxdyyxf，1 0043dxdyecyxdyedxecyx040312c所以，12c1 隨機向量的分布xy0, 0yx；，0yxF時，或當00yxyxF，)2(yYxXP，返回主目錄例例 5 5（續）（續）時，且當00yxyxF，dvedueyvxu040312 xydudvvuf，yYxXP， xyvududve004312yxee4311其它，所以，0001143yxeeyxFyx1 隨機向量的分布返回主目錄例例 5 5（續）（續）dyedxeyx2041031

18、22010yxdxdyyxf， 10204312dxdyeyx8311ee，2010YXP1 隨機向量的分布返回主目錄例例 6 612Oxy1度函數為的密，設二維隨機變量YX其它，02010312yxxyxyxf試求概率1YXP解：積分區域如圖所示，1 隨機向量的分布x+y=1x=1y=2返回主目錄例例 6 6（續）（續）1023213465dxxxx1yxdxdyyxf，1021231xdyxyxdx72651YXP1 隨機向量的分布12Oxy1x+y=1x=1y=2返回主目錄二維均勻分布二維均勻分布的密度函數為，如果二維隨機變量YXAD其面積為是平面上的有界區域，設上的均勻分布服從區域，則稱二維隨機變量DYXDyx