1、1. 1. 微積分學微積分學: : 一元微積分一元微積分2. 2. 線性代數(shù)線性代數(shù) 大學數(shù)學主要內(nèi)容大學數(shù)學主要內(nèi)容多元微積分多元微積分3. 3. 概率與統(tǒng)計概率與統(tǒng)計如何學習高等數(shù)學如何學習高等數(shù)學 1. 1. 認識高等數(shù)學的重要性認識高等數(shù)學的重要性, , 培養(yǎng)濃厚的學習興趣培養(yǎng)濃厚的學習興趣.2. . 做好預(yù)習復習，多做習題做好預(yù)習復習，多做習題3. . 作業(yè)：每兩周第一次課上課前提交作業(yè)：每兩周第一次課上課前提交 要求：要求：1 1）不能抄作業(yè)）不能抄作業(yè) 2 2）解題過程盡量詳細）解題過程盡量詳細參考書目 高等數(shù)學高等數(shù)學，高等教育出版社，同濟大，高等教育出版社，同濟大學數(shù)學系編學

2、數(shù)學系編 高等數(shù)學精品課堂高等數(shù)學精品課堂， 廈門大學出版社，廈門大學出版社，林建華等編著林建華等編著 托馬斯微積分托馬斯微積分第十版，高等教育出版第十版，高等教育出版社，葉其孝等譯社，葉其孝等譯考試安排 期中考試（待定）期中考試（待定） 期末考試，閉卷考，最后兩周，期末考試，閉卷考，最后兩周，1 1月月5 5日日-10-10日日 評分：平時（出勤、作業(yè)等）評分：平時（出勤、作業(yè)等）20%20%、期中考試、期中考試10%10%，期末考試占，期末考試占70%70%第一章第一章 函數(shù)、極限與連續(xù)函數(shù)、極限與連續(xù) 1.1 1.1 函數(shù)函數(shù)一、實數(shù)與區(qū)間一、實數(shù)與區(qū)間二、鄰域二、鄰域三、函數(shù)的概念三、

3、函數(shù)的概念四、函數(shù)的特性四、函數(shù)的特性五、數(shù)學建模五、數(shù)學建模函數(shù)關(guān)系的建立函數(shù)關(guān)系的建立一、實數(shù)與區(qū)間一、實數(shù)與區(qū)間集合集合具有某種特定性質(zhì)的事物的總體具有某種特定性質(zhì)的事物的總體.元素元素組成這個集合的事物稱為該集合的元素組成這個集合的事物稱為該集合的元素.集合與元素的關(guān)系集合與元素的關(guān)系:,Ma Ma 由無限個元素組成的集合稱為由無限個元素組成的集合稱為無限集無限集.由有限個元素組成的集合稱為由有限個元素組成的集合稱為有限集有限集. 集合的概念集合的概念集合舉例集合舉例)1()2()3()4(年在廣東地區(qū)出生的人年在廣東地區(qū)出生的人.方程方程0232 xx的根的根.全體奇數(shù)全體奇數(shù).拋物

4、線拋物線2xy 上的所有點上的所有點.2005集合的表示方法集合的表示方法. 1列舉法列舉法: 即在即在 中按任意順序、不遺漏、不中按任意順序、不遺漏、不重復地列出集合的所有元素重復地列出集合的所有元素. 例如例如)1(若若A僅由有限個元素僅由有限個元素naaa,21組成組成,)2(.,21naaaA 可記為可記為由方程由方程0232 xx的根構(gòu)成的集合的根構(gòu)成的集合, .2 , 1 A可記為可記為. 2描述法描述法:xxM| 所具有的特征所具有的特征由方程由方程0232 xx的根構(gòu)成的集合的根構(gòu)成的集合, )1(可記為可記為.023|2 xxxM)2(全體奇數(shù)的集合全體奇數(shù)的集合, 可記為可

5、記為., 12|ZnnxxM AB就稱集合就稱集合 和和 相等相等,若若,BA 且且,AB 記為記為.BA 記為記為AB則稱集合則稱集合 是是 的的真子集真子集,若若BA 且且,BA 空集空集不包含任何元素的集合不包含任何元素的集合, 記為記為.BA 規(guī)定規(guī)定:空集為任何集合的子集空集為任何集合的子集.集合之間的關(guān)系集合之間的關(guān)系若若Ax ,Bx 則稱則稱 是是 的的子集子集,AB記為記為.BA 集合的運算集合的運算設(shè)設(shè)BA,是兩個集合是兩個集合, 定義定義)1(AB與與的并集的并集(簡稱簡稱并并);Bx )2(AB與與的交集的交集(簡稱簡稱交交);Bx )3(AB與與的差集的差集(簡稱簡稱差

6、差);Bx 或或Axx |BA U且且Axx |BA IBA 且且Axx |BABABABA集合的運算集合的運算)4(當所研究的問題限定在一個大的集合當所研究的問題限定在一個大的集合 中進行中進行,S所研究的其他集合所研究的其他集合 都是都是 的子集的子集.SA定義定義 的的余集余集A或或補集補集.ASA 例如例如, 在實數(shù)集在實數(shù)集 中中,R集合集合10| xxA的余的余集就是集就是0| xxA或或.1 xASA集合的基本運算規(guī)律集合的基本運算規(guī)律設(shè)設(shè)CBA,為任意三個集合為任意三個集合, 則有下列法則成立則有下列法則成立:)1(交換律交換律,ABBAUU ;ABBAII )2(結(jié)合律結(jié)合律

7、),()(CBACBAUUUU ABCABC()();IIII)3(分配律分配律),()()(CBCACBAIUIIU );()()(CBCACBAUIUUI )4(對偶律對偶律.)(BABAUI .)(BABAIU 數(shù)集分類數(shù)集分類: N自然數(shù)集自然數(shù)集 R實數(shù)集實數(shù)集 Z整數(shù)集整數(shù)集 Q有理數(shù)集有理數(shù)集數(shù)集間的關(guān)系數(shù)集間的關(guān)系:.RQZN 注注: 如無特別說明如無特別說明, 本課程中提到的數(shù)都是實數(shù)本課程中提到的數(shù)都是實數(shù).數(shù)集數(shù)集元素都是數(shù)的集合稱為元素都是數(shù)的集合稱為數(shù)集數(shù)集.區(qū)間區(qū)間閉區(qū)間閉區(qū)間;|,bxaxba 半開半閉區(qū)間半開半閉區(qū)間,|),bxaxba ;|,(bxaxba ,

8、|),xaxa ;|),(bxxb 特別地特別地, ,全體實數(shù)的集合全體實數(shù)的集合R也可表示為無限區(qū)間也可表示為無限區(qū)間).,(開區(qū)間開區(qū)間;|),(bxaxba 二、鄰域二、鄰域定義定義 設(shè)設(shè) 與與 是兩個實數(shù)是兩個實數(shù),a 且且, 0 數(shù)集數(shù)集| axx稱為點稱為點 的的 鄰域鄰域.a 記為記為.|),( axaxaU記為記為),( aU即即.|0|),( axxaU點點 的去心的的去心的 鄰域鄰域, a以以 為中心的任何開區(qū)間均是點為中心的任何開區(qū)間均是點 的鄰域的鄰域,aa記為記為).(aU三、函數(shù)的概念三、函數(shù)的概念定義定義設(shè)設(shè)x和和y是兩個變量是兩個變量,D是一個給定的數(shù)集是一個給

9、定的數(shù)集.如果對于每個數(shù)如果對于每個數(shù),Dx 變量變量y按照一定的法則總按照一定的法則總有確定的數(shù)值和它對應(yīng)有確定的數(shù)值和它對應(yīng), 則稱則稱 是是 的函數(shù)的函數(shù),yx記作記作Dxxfy ),(因變量因變量自變量自變量其中其中,數(shù)集數(shù)集D稱為函數(shù)的稱為函數(shù)的定義域定義域, 記為記為,fD即即.DDf 函數(shù)值函數(shù)值)(xf全體組成的集合稱為函數(shù)全體組成的集合稱為函數(shù) 的的值域值域,f記為記為fR或或),(Df即即.),(|)(DxxfyyDfRf 注注:構(gòu)成函數(shù)的要素為構(gòu)成函數(shù)的要素為: 定義域定義域與與對應(yīng)法則對應(yīng)法則兩函數(shù)相等兩函數(shù)相等它們的定義域和對應(yīng)法則均相同它們的定義域和對應(yīng)法則均相同.

10、例例判斷下面函數(shù)是否相同判斷下面函數(shù)是否相同, , 并說明理由并說明理由. .(1)1y 與與22sincos;yxx(2)21yx與與21.xy定義域的確定定義域的確定:)1(對實際問題對實際問題, 根據(jù)問題的實際根據(jù)問題的實際意義確定意義確定;)2(對抽象函數(shù)表達式對抽象函數(shù)表達式, 約定約定: 定義域是使算式有定義域是使算式有意義的一切實數(shù)組成的集合意義的一切實數(shù)組成的集合,這種定義域又稱為這種定義域又稱為函數(shù)的函數(shù)的自然定義域自然定義域.例如例如,;1 , 1 :,12 Dxy).1 , 1(:,112 Dxy函數(shù)的圖形函數(shù)的圖形: 坐標平面上的點集坐標平面上的點集),(| ),(Dx

11、xfyyx 稱為函數(shù)稱為函數(shù)Dxxfy ),(的圖形的圖形.函數(shù)的表示法函數(shù)的表示法. 1表格法表格法自變量的值與對應(yīng)的函數(shù)值列成表格自變量的值與對應(yīng)的函數(shù)值列成表格的方法的方法. 2圖像法圖像法在坐標系中用圖形來表示函數(shù)關(guān)系的在坐標系中用圖形來表示函數(shù)關(guān)系的方法方法. 3公式法公式法(解析法解析法)將自變量和因變量之間的關(guān)系用將自變量和因變量之間的關(guān)系用數(shù)學表達式數(shù)學表達式(又稱為解析表達式又稱為解析表達式)來表示的方法來表示的方法.例如例如, 某水文站統(tǒng)計了某河流在某水文站統(tǒng)計了某河流在40年內(nèi)的平均月流年內(nèi)的平均月流量量 如下表如下表:V月月平均月平均月流量流量V(億立方米億立方米)12

12、3456789 10 11 1230.039.075.035.044.072.03.44.48.10.172.050.0定義域定義域 為數(shù)集為數(shù)集fDttt,121| 為自然數(shù)為自然數(shù)fDfD函數(shù)的表示法函數(shù)的表示法根據(jù)函數(shù)的解析表達式的形式不同根據(jù)函數(shù)的解析表達式的形式不同, 函數(shù)也可函數(shù)也可分為以下三種分為以下三種:)1(顯函數(shù)顯函數(shù)函數(shù)函數(shù) 由由 的解析表達式直接表示的解析表達式直接表示.yx例如例如. 12 xy)2(隱函數(shù)隱函數(shù)關(guān)系由方程關(guān)系由方程0),( yxF來確定來確定.例如例如,).sin(lnyxy 函數(shù)的自變量函數(shù)的自變量 與因變量與因變量 的對應(yīng)的對應(yīng)yx)3(分段函數(shù)

13、分段函數(shù)函數(shù)在其定義域的不同范圍內(nèi)函數(shù)在其定義域的不同范圍內(nèi), 具具有不同的解析表達式有不同的解析表達式.完完例例 1 絕對值函數(shù)絕對值函數(shù),0|,0 x xyxx x 定義域定義域(,),D 值域值域0,).fR 注注:常用絕對值的運算性質(zhì)常用絕對值的運算性質(zhì): :| |;xyxy |;|xxyy | | |.xyxyxy設(shè)設(shè)0,a 則則|xa ;axa |xa xa 或或.xa 完完其他分段函數(shù)舉例其他分段函數(shù)舉例)1(符號函數(shù)符號函數(shù) , 1, 0, 1sgn xy當當當當當當0 x, 0 x0 x)2(取整函數(shù)取整函數(shù),xy x表示不超過表示不超過 的最大整數(shù)的最大整數(shù).x)3(狄利克

14、雷函數(shù)狄利克雷函數(shù) , 0, 1)(xDy當當 是有理數(shù)時是有理數(shù)時x當當 是無理數(shù)時是無理數(shù)時x四、函數(shù)的特性四、函數(shù)的特性設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù))(xf的定義域為的定義域為,D數(shù)集數(shù)集,DX 若若,1K 使得使得Xx 恒有恒有1)(Kxf 成立成立, 則稱則稱函數(shù)函數(shù))(xf在在 上有上有上界上界X;1K若若,2K 使得使得Xx 恒有恒有2)(Kxf 成立成立, 則稱則稱函數(shù)函數(shù))(xf在在 上有上有下界下界X;2K4.1 函數(shù)的有界性函數(shù)的有界性由上述定義易見有下列結(jié)論由上述定義易見有下列結(jié)論:有下界有下界.)(xf在在 上有界上有界X)(xf在在 上既有上界又上既有上界又X若若, 0 M使得使得

15、Xx 恒有恒有Mxf | )(|成立成立,則稱則稱函數(shù)函數(shù))(xf在在 上上有界有界,X否則稱為否則稱為無界無界.例例4 證明證明(1)函數(shù)函數(shù)21xyx 在在(,) 上是有界的上是有界的; ;(2)函數(shù)函數(shù)21yx 在在(0,1)上是無界的上是無界的. .證證(1)所以所以2|1| 2|,xx故故222|1|( )| |212|1|xxf xxx對一切對一切(,)x 都成立都成立. .由上可知題設(shè)函數(shù)在由上可知題設(shè)函數(shù)在(,) 上是有界函數(shù)上是有界函數(shù). .因為因為, 0)1(2 x例例證明證明(2)函數(shù)函數(shù)21yx 在在(0,1)上是無界的上是無界的. .證證(2)對于無論怎樣大的對于無論

16、怎樣大的0,M 總可在總可在(0,1)內(nèi)找到相應(yīng)的內(nèi)找到相應(yīng)的.x例如取例如取01(0,1),1xM 使得使得022011|()|11()1f xMMxM 所以所以21( )f xx 在在(0,1)上是無界函數(shù)上是無界函數(shù). .完完函數(shù)的單調(diào)性函數(shù)的單調(diào)性設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) 的定義域為的定義域為)(xf,D區(qū)間區(qū)間.DI 如果對于區(qū)間如果對于區(qū)間 上任意兩點上任意兩點 及及 I1x,2x當當21xx 時時,恒有恒有),()(21xfxf 則稱函數(shù)則稱函數(shù))(xf在區(qū)間在區(qū)間I上是上是單調(diào)增加函數(shù)單調(diào)增加函數(shù);如果對于區(qū)間如果對于區(qū)間 上任意兩點上任意兩點 及及 I1x,2x當當21xx 時時,恒有恒

17、有),()(21xfxf 則稱函數(shù)則稱函數(shù))(xf在區(qū)間在區(qū)間I上是上是單調(diào)減少函數(shù)單調(diào)減少函數(shù);函數(shù)的單調(diào)性函數(shù)的單調(diào)性例題分析例題分析:2xy 在在), 0 內(nèi)是單調(diào)增加的內(nèi)是單調(diào)增加的,在在0 ,(內(nèi)是內(nèi)是單調(diào)減少的單調(diào)減少的, 在在),(內(nèi)不是單調(diào)的內(nèi)不是單調(diào)的.3xy 在在),(內(nèi)是單調(diào)增加的內(nèi)是單調(diào)增加的.完完例例5 證明函數(shù)證明函數(shù)1xyx 在在( 1,)內(nèi)是單調(diào)增加內(nèi)是單調(diào)增加的函數(shù)的函數(shù). .證證 在在( 1,)內(nèi)任取兩點內(nèi)任取兩點12,x x且且12,xx 則則1212121212()()11(1)(1)xxxxf xf xxxxx 因為因為12,x x是是( 1,)內(nèi)任意

18、兩點內(nèi)任意兩點, ,所以所以1210,10,xx又因為又因為120,xx故故12()()0f xf x所以所以( )1xf xx 在在( 1,)內(nèi)是單調(diào)增加的內(nèi)是單調(diào)增加的. .函數(shù)的奇偶性函數(shù)的奇偶性設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù))(xf的定義域的定義域 關(guān)于原點對稱。關(guān)于原點對稱。D若若,Dx 有有),()(xfxf 則稱則稱)(xf為為偶函數(shù)偶函數(shù)；例如，例如，函數(shù)函數(shù) 是奇函數(shù)；是奇函數(shù)；xysin 函數(shù)函數(shù) 是偶函數(shù)是偶函數(shù).xycos 若若,Dx 有有),()(xfxf 則稱則稱)(xf為為奇函數(shù)奇函數(shù).例例6判斷函數(shù)判斷函數(shù)2( )ln(1)f xxx的奇偶性的奇偶性.解解2()ln(1() )f

19、xxx 2ln(1)xx222(1)(1)ln1xxxxxx 21ln1xx 2ln(1)xx ( ).f x 由定義知由定義知( )f x為奇函數(shù)為奇函數(shù). .例例判斷函數(shù)判斷函數(shù)11( )ln11xxexf xxe ( 11)x 的奇偶性的奇偶性. .解解因為因為11()ln11xxexfxxe 11 ln11xxexxe 11ln11xxexxe ( ).f x 故由定義知故由定義知( )f x為偶函數(shù)為偶函數(shù). .函數(shù)的周期性函數(shù)的周期性設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù))(xf的定義域為的定義域為,D如果存在一個不為零如果存在一個不為零的數(shù)的數(shù), l使得使得,Dx 有有,)(Dlx 且且),()(xflx

20、f 則稱則稱)(xf為為周期函數(shù)周期函數(shù),l稱為稱為)(xf的的周期周期.通常說的周期函數(shù)的周期是指其通常說的周期函數(shù)的周期是指其最小正周期最小正周期.例如例如,xx cos,sin都是以都是以 為周期的周期函數(shù)為周期的周期函數(shù). 2例例7因為因為解解故按周期函數(shù)的定義故按周期函數(shù)的定義,設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù))(xf是周期是周期T的周期函數(shù)的周期函數(shù),數(shù)數(shù))(baxf 的周期的周期, 其中其中ba,為常數(shù)為常數(shù), 且且. 0 a baTxaf)(bTaxf )(Tbaxf ),(baxf 的周期為的周期為)(baxf .aT試求函試求函例例若若( )f x對其定義域上的一切對其定義域上的一切,x恒有恒

21、有( )(2),f xfax則稱則稱( )f x對稱于對稱于.xa 試證明試證明:則則( )f x是以是以2()Tba為周期的周期函數(shù)為周期的周期函數(shù). .( )f x對稱于對稱于xa 及及(),xb ab若若證證由由( )f x對稱于對稱于xa 及及,xb 則有則有( )(2),f xfax(1)( )(2).f xfbx(2)在式在式(2)中中, ,把把x換為換為2,ax 得得(2)2(2)2().faxfbaxf xba由式由式(1) ( )(2)2(),f xfaxf xba可見可見, ,( )f x以以2()Tba為周期為周期. .五、數(shù)學建模五、數(shù)學建模-函數(shù)關(guān)系的建立函數(shù)關(guān)系的建

22、立在解決實際應(yīng)用問題時在解決實際應(yīng)用問題時, 首先要將所要解決的問題首先要將所要解決的問題量化量化,從而建立起該問題的從而建立起該問題的數(shù)學模型數(shù)學模型, 即建立即建立函數(shù)函數(shù)關(guān)系關(guān)系. 要把實際問題中變量之間的函數(shù)關(guān)系正確抽要把實際問題中變量之間的函數(shù)關(guān)系正確抽象出來象出來, 首先應(yīng)分析哪些是常量首先應(yīng)分析哪些是常量, 哪些是變量哪些是變量, 然后然后確定選取哪個為自變量確定選取哪個為自變量, 哪個為因變量哪個為因變量, 最后根據(jù)最后根據(jù)題意建立它們之間的函數(shù)關(guān)系題意建立它們之間的函數(shù)關(guān)系, 同時給出函數(shù)的定同時給出函數(shù)的定義域義域.注注: 應(yīng)用問題的定義域應(yīng)用問題的定義域, 除考慮函數(shù)的表

23、達式外還除考慮函數(shù)的表達式外還要考慮變量在實際問題中的意義要考慮變量在實際問題中的意義.例例8 某工廠生產(chǎn)某型號車床某工廠生產(chǎn)某型號車床, , 年產(chǎn)量為年產(chǎn)量為a臺臺, ,干批進行生產(chǎn)干批進行生產(chǎn), ,每批生產(chǎn)準備費為每批生產(chǎn)準備費為b元元, , 設(shè)產(chǎn)品均勻設(shè)產(chǎn)品均勻投入市場投入市場, ,且上一批用完后立即生產(chǎn)下一批且上一批用完后立即生產(chǎn)下一批,庫存量為批量的一半庫存量為批量的一半. 設(shè)每年每臺庫存費為設(shè)每年每臺庫存費為c元元. .然然, ,生產(chǎn)批量大則庫存費高生產(chǎn)批量大則庫存費高; ;生產(chǎn)批量少則批數(shù)增多生產(chǎn)批量少則批數(shù)增多, ,因而生產(chǎn)準備費高因而生產(chǎn)準備費高. .年中庫存費與生產(chǎn)準備費的

24、和年中庫存費與生產(chǎn)準備費的和為了選擇最優(yōu)批量為了選擇最優(yōu)批量,與批量的函數(shù)關(guān)系與批量的函數(shù)關(guān)系.分若分若即平均即平均顯顯試求出一試求出一解解 設(shè)批量為設(shè)批量為,x庫存量與生產(chǎn)準備費的和為庫存量與生產(chǎn)準備費的和為( ).P x因年產(chǎn)量為因年產(chǎn)量為,a所以每年生產(chǎn)的批數(shù)為所以每年生產(chǎn)的批數(shù)為ax(設(shè)其為整設(shè)其為整數(shù)數(shù)). . 則生產(chǎn)準備費為則生產(chǎn)準備費為.abx 因庫存量為因庫存量為,2x故庫存費為故庫存費為.2xc 因此可得因此可得( ).22axabcxP xbcxx定義域為定義域為(0, ,ax(臺數(shù)臺數(shù))只取定義域中的正整數(shù)因只取定義域中的正整數(shù)因子子. .例例9某運輸公司規(guī)定貨物的噸公里

25、運價為某運輸公司規(guī)定貨物的噸公里運價為: : 在在a公里以內(nèi)公里以內(nèi), , 每公里每公里k元元, , 超過部分每公里為超過部分每公里為45k元元. .求運價求運價m和里程和里程s之間的函數(shù)關(guān)系之間的函數(shù)關(guān)系. .解解根據(jù)題意可列出函數(shù)關(guān)系如下根據(jù)題意可列出函數(shù)關(guān)系如下: :,4(),5ksmkak sa 0saas 這里運價這里運價m和里程和里程s的函數(shù)關(guān)系的函數(shù)關(guān)系示的示的, , 定義域為定義域為(0,).是用分段函數(shù)表是用分段函數(shù)表內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)1. 預(yù)備知識預(yù)備知識集合的概念，集合的運算，區(qū)間，鄰域集合的概念，集合的運算，區(qū)間，鄰域 .2.函數(shù)的概念函數(shù)的概念函數(shù)的定義，函數(shù)的運算，函

26、數(shù)的定義，函數(shù)的運算，求函數(shù)的定義域，求函數(shù)表達式等求函數(shù)的定義域，求函數(shù)表達式等 .3.函數(shù)的特性函數(shù)的特性有界性，單調(diào)性，奇偶性，周期性有界性，單調(diào)性，奇偶性，周期性 .1. 用分段函數(shù)表示函數(shù)用分段函數(shù)表示函數(shù). |1|3 xy2. 判別函數(shù)判別函數(shù) 0,0,)(22xxxxxxxf的奇偶性的奇偶性 .課堂練習課堂練習1.用分段函數(shù)表示函數(shù)用分段函數(shù)表示函數(shù). |1|3 xy解解根據(jù)絕對值定義可知根據(jù)絕對值定義可知當當, 01 x即即1 x時時,)1(|1| xx當當, 01 x即即1 x時時,1|1| xx因此有因此有 1),1(31),1(3xxxxy即即 1),1(31),1(3x

27、xxxy.2. 判別函數(shù)判別函數(shù) 0,0,)(22xxxxxxxf的奇偶性的奇偶性 .解解當當0 x時時, 0 x有有xxxxxf 22)()()().()(2xfxx 當當0 x時時, 0 x有有xxxxxf 22)()()().()(2xfxx 故故)(xf是奇函數(shù)是奇函數(shù).作業(yè)作業(yè)習題習題1-1 1-1 Ex.1 (1) (3) (5) Ex.1 (1) (3) (5) Ex.2 (2) (4) Ex.2 (2) (4) Ex.4 (2) Ex.4 (2) Ex.7(3) Ex.7(3) Ex.8(1)Ex.8(1)1.2 1.2 初等函數(shù)初等函數(shù) 一、反函數(shù)一、反函數(shù) 二、基本初等函數(shù)

28、二、基本初等函數(shù) 三、復合函數(shù)三、復合函數(shù) 四、初等函數(shù)四、初等函數(shù)一、反函數(shù)一、反函數(shù)設(shè)函數(shù))(xfy 的定義,D域為值域為.W一般地, 如果)(xfy 在上不僅單值,D調(diào), 則把 看作自變量,yx看新函數(shù))()(1yfyx 作因變量,稱為)(xfy 的反函反函數(shù)的定義域為,W值域為.D相對反函數(shù),原來的函數(shù))(xfy 稱為直接函數(shù).而且單得到的數(shù).注意 (1)習慣上仍將反函數(shù))(yx 記為);()(1xfxy (2)在同一個坐標平面內(nèi),直接函數(shù))(xfy 和反函數(shù))(xy 的圖形關(guān)于直線xy 是對稱的.例 111xye求函數(shù)的反函數(shù).例已知1,0sgn0,01,0 xxxx (符號函數(shù))求

29、2(1)sgnyxx的反函數(shù).解由題設(shè), 易得2221,(1)sgn0,(1),xyxxx 0 x 0 x 0 x 解2221,(1)sgn0,(1),xyxxx 0 x 0 x 0 x 1,0,(1),yxy 1y 0y 1y 故所求反函數(shù)為1,0,(1),xyx 1x 0 x 1x .二、基本初等函數(shù)1、冪函數(shù))( 是常數(shù)是常數(shù) xyoxy)1 , 1(112xy xy xy1 xy 2、指數(shù)函數(shù))1, 0( aaayxxay xay)1( )1( a)1 , 0( xey 3、對數(shù)函數(shù))1, 0(log aaxyaxyln xyalog xya1log )1( a)0 , 1( 4、三角

30、函數(shù)正弦函數(shù)xysin xysin xycos xycos 余弦函數(shù)正切函數(shù)xytan xytan xycot 余切函數(shù)xycot 5、反三角函數(shù)xyarcsin xyarcsin 反反正正弦弦函函數(shù)數(shù)xyarccos xyarccos 反反余余弦弦函函數(shù)數(shù)xyarctan xyarctan 反正切函數(shù)反正切函數(shù) 冪函數(shù),指數(shù)函數(shù),對數(shù)函數(shù),三角函數(shù)和反三角函數(shù)統(tǒng)稱為基本初等函數(shù).xycot 反余切函數(shù)反余切函數(shù)arcxycot arc三、復合函數(shù)引例設(shè),uy 21xu .12xy 定義設(shè)函數(shù)的定義域為)(ufy ,fD而函數(shù)的值域為)(xu , R若, RDfI則稱函數(shù)為的復合函數(shù).)(xf

31、y x注:， f(1) f函數(shù)與函數(shù)構(gòu)成的復合函數(shù)即).()(xfxf 通常記為(2) 不是任何兩個函數(shù)都可以復合成一個復合函例如,arcsinuy .22xu 數(shù)的.(3) 復合函數(shù)可以由兩個以上的函數(shù)經(jīng)過復合構(gòu)例如:2cotxy ,uy ,cot u.2x 成的.例2設(shè)解)(ufy )(xu 求).(xf )(xf usin ).1sin(2 x,sinu , 12 x例3設(shè)( )arctan ,yf uu1( ),utt 2( )1,txx 求 ( ).fx 解 ( )arctanfxu 21arctan.1x 1arctant 分段函數(shù)的復合運算例5設(shè),1( ),1xexf xx x

32、22,0( ),1,0 xxxxx 求 ( ).fx 解(), ( )1 ( )( ), ( )1xexfxxx 解(1)當( )1x 時,( )21xx 1,x 或0,x 2( )11xx 02;x或0,x (2)當( )1x 時,( )21xx 10,x 或0,x 2( )11xx 2.x 或0,x 所以10 x 02x2x 1x .)(xf ,2 xe, 2 x,12 xe, 12 x例4將下列函數(shù)分解成基本初等函數(shù)的復合:2(1)lnsin;yx 2arctan(2);xye 22(3)cos ln(21).yx解(1)2lnsinyx 是由,yu ln ,uv 2,vw sinwx

33、四個函數(shù)(2)2arctan xye 是由三個函數(shù)復合而成;復合而成;,ney ,arctanvu 2xv )3(是由)12ln(cos22xy 六個函數(shù)復合在而成.,2uy ,cosvu ,lnwv ,2tw ,ht 21xh 4. 4. 初等函數(shù)初等函數(shù)由常數(shù)及基本初等函數(shù)否則稱為非初等函數(shù) . 并可用一個式子表示的函數(shù) ,經(jīng)過有限次四則運算和復合步驟所構(gòu)成 ,稱為初等函數(shù) .分段函數(shù)一般不是初等函數(shù)，如符號函數(shù)，取整函數(shù).1. 反函數(shù)2. 復合函數(shù)3. 基本初等函數(shù)冪函數(shù)，指數(shù)函數(shù)，對數(shù)函數(shù)，三角函數(shù)，反三角函數(shù) .4. 函數(shù)的分類內(nèi)容小結(jié)1.下列函數(shù)能否復合為函數(shù)),(xgfy 若能,

34、寫出其解析式、定義域、值域 .;)(,)()1(2xxxguuufy . 1sin)(,ln)()2( xxguuufy課堂練習2.分析函數(shù)32cosarctanxey 的復合結(jié)構(gòu) .1.下列函數(shù)能否復合為函數(shù)),(xgfy 若能,寫出其解析式、定義域、值域 .;)(,)()1(2xxxguuufy . 1sin)(,ln)()2( xxguuufy解,)()1(2xxxgfy ,10| xxDx.21, 0)( Dgf)2(不能 ., 01sin)( xxg)(xg的值域與)(uf的定義域之交集是空集 .完2.分析函數(shù)32cosarctanxey 的復合結(jié)構(gòu) .解所給函數(shù)是由xsevvttu

35、uys2,cos,arctan,3 復合而成 .補充題求( ).f x解法1令1,txx則210,xtx24,2ttx 取24,2ttx 代入得2222(4)(4)44tttt)(1tfxxf 222224124 tttt設(shè),1122xxxxf 2222(4)(4)44tttt xxf1取242ttx 同樣可得2( )2.f tt2( )2.f xx22482.4tt 解法2因為222111()()2,f xxxxxx所以2( )2.f xx所以作業(yè)作業(yè)P26P26Ex.1 (2)Ex.1 (2)Ex.2, Ex.4, Ex.5, Ex.9Ex.2, Ex.4, Ex.5, Ex.91.3 常

36、用經(jīng)濟函數(shù)常用經(jīng)濟函數(shù) 單利復利單利復利 多次付息多次付息 貼現(xiàn)貼現(xiàn) 需求函數(shù)，供給函數(shù)需求函數(shù)，供給函數(shù)一、單利與復利一、單利與復利利息是指借款者向貨款者支付的報酬,它是根據(jù)本金的數(shù)額按一定比例計算出來的.單利計算公式 設(shè)初始本金為p(元),銀行年利率為. r則第一年末本利和為rppS 1)1(rp 則第二年末本利和為rprpS )1(2)21(rp 第n年末的本利和為)1(nrpSn 復利計算公式設(shè)初始本金為p(元), 銀行年利率為. r則第一年末本利和rppS 1)1(rp 則第二年末本利和)1()1(2rrprpS 本金利息2)1(rp 若n年末的本利和為nnrpS)1( 例1現(xiàn)有初始

37、本金100元,若銀行年儲蓄利率為7%,問:(1) 按單利計算,3年末的本利和為多少?(2) 按復利計算,3年末的本利和為多少?(3) 按復利計算,需多少年能使本利和超過初始本金解 (1) 已知,100 p,07. 0 r由單利計算公式得121)07. 031(100)31(3 rps(元)即3年末的本利和為121元.(2) 由復利計算公式得5 .122)07. 01(100)1(333 rps(元)的一倍?例1現(xiàn)有初始本金100元,若銀行年儲蓄利率為7%,問:(3) 按復利計算,需多少年能使本利和超過初始本金解的一倍?prpsnn2)1( 2)07. 1( n2ln07. 1ln n2 .10

38、07. 1ln/2ln n即需11年本利和可超過初始本金一倍.(3)07. 0 r若n年后的本利和超過初始本金的一倍,即要單利付息情況因每次的利息都不計入本金,故若一年分n次付息, 則年末的本利和為)1(nrnpS )1(rp 即年末的本利和與支付利息的次數(shù)無關(guān).二、多次付息設(shè)初始本金為p(元), 年利率為, r息.若一年分m次付復利付息情況一年末的本利和為mmrpS)1( 易見本利和是隨m的增大而增加的.本利和為而n年末的mnnmrpS)1( 三、貼 現(xiàn)票據(jù)的持有人, 為在票據(jù)到期以前獲得資金,從票面金額中扣除來到期期間的利息后,得到所余金額的現(xiàn)金稱為貼現(xiàn).貼 現(xiàn)考慮更一般的問題: 確定第n

39、年后價值為R元錢的現(xiàn)值.假設(shè)在這n年之間復利年利率r不變.利用復利計算公式有nrpR)1( 得到第n年后價值為R元錢的現(xiàn)值為nrRp)1( 式中R表示第n年后到期的票據(jù)金額,r表示貼現(xiàn)率,而p表示現(xiàn)在進行票據(jù)轉(zhuǎn)讓時銀行付給的貼現(xiàn)金額.例2 某人手中有三張票據(jù),其中一年后到期的票據(jù)金額是500元, 二年后到期的是800元,五年后到期的是2000元,已知銀行的貼現(xiàn)率6%,現(xiàn)在將三張票據(jù)向銀行做一次性轉(zhuǎn)讓,銀行的貼現(xiàn)金額是多少?解 由貼現(xiàn)計算公式,貼現(xiàn)金額為55221)1()1()1(rRrRrRp 其中,5001 R,8002 R,20005 R.06. 0 r故21.2678)06. 01(20

40、00)06. 01(800)06. 01(50052 p(元).四、需求函數(shù)需求函數(shù) 是指在某一特定時期內(nèi),市場上某種商品的各種可能的購買量間的數(shù)量關(guān)系.和決定這些購買量的諸因素之)(PfQ 其中,Q表示需求量,價格.需求函數(shù)的反函數(shù))(1QfP P表示習慣上將價格函數(shù)也統(tǒng)稱為需求函數(shù).稱為價格函數(shù),而減少, 因此,調(diào)減少函數(shù).例如, 函數(shù))0, 0( babaPQd稱為線性需求函數(shù)(如圖).一般地, 商品的需求量隨價格隨價格的上漲的下降而增加,需求函數(shù)是單OPQd五、供給函數(shù)供給函數(shù)是指在某一特定時期內(nèi),市場上某種商品的各種可能的供給量和諸因素之間的數(shù)量關(guān)系.)(PfS 其中 ,表示需求量,

41、SP表示價格. 供給函數(shù)以決定這些供給量的供給函數(shù)一般地, 商品的供給量隨價格的上漲而增加,隨價格的下降而減少,因此, 供給函數(shù)是單調(diào)增加函數(shù).例如, 函數(shù)(0,0)sQcPd cd稱為線性供給函數(shù)(如圖).OPQs六、市場均衡對一種商品而言,如果需求量等于供給量,則這種商品就達到了市場均衡.以線性需求函數(shù)和線性供給函數(shù)為例,令sdQQ dcPbaP 0PcabdP 這個價格0P稱為該商品的市場均衡價格.,0QQQsd 稱0Q為市場均當市場均衡時有衡數(shù)量.例3 某種商品的供給函數(shù)和需求函數(shù)分別為,1025 PQsPQd5200 求該商品的市場均衡價格和市場均衡數(shù)量.解 由均衡條件sdQQ 得1

42、0255200 PP21030 p70 P165102500 PQ即市場均衡價格為7,市場均衡數(shù)量為165.例4 某批發(fā)商每次以160元/臺的價格將500臺電扇批發(fā)給零售商,在這個基礎(chǔ)上零售商每次多進100臺電扇, 則批發(fā)價相應(yīng)降低2元,批發(fā)商最大批發(fā)量為每次1000臺, 試將電扇批發(fā)價格表示為批發(fā)量的函數(shù),并求出零售商每次進800臺電扇時的批發(fā)價格.解 由題意看出所求函數(shù)的定義域為500,1000.已知每次多進100臺, 價格減少2元, 設(shè)每次進電扇x臺, 則每次批發(fā)價減少)500(1002 x元/臺,數(shù)為即所求函)500(1002160 xP50170 x 10010002160 x當80

43、0 x時P(元/臺)七、成本函數(shù)產(chǎn)品成本是以貨幣形式表現(xiàn)的企業(yè)生產(chǎn)產(chǎn)品的全部費用支出, 成本函數(shù)表示費用總額與產(chǎn)量(或銷售量)之間的依賴關(guān)系,產(chǎn)品成本可分為固定成本和變動成本兩部分.一般地,數(shù),即)(xCC )0( x稱其為成本函數(shù).當產(chǎn)量0 x時, 對應(yīng)的成本函以貨幣計值的(總)成本C是產(chǎn)量x的函和銷售數(shù)值)0(C就是產(chǎn)品的固定成本值.設(shè))(xC為成本函數(shù),稱)0()()( xxxCxC為單位成本函數(shù)或平均成本函數(shù).成本函數(shù)是單調(diào)增加函數(shù),其圖像稱為成本曲線.八、收入函數(shù)與利潤函數(shù)銷售某種商品的收入,R等于商品的單位價格P乘以銷售量,x即,xPR 稱其為收入函數(shù).而

44、銷售利潤L等于收入R減去成本,C即當0 CRL時, 生產(chǎn)者盈利;當0 CRL時, 生產(chǎn)者虧損;當0 CRL時, 生產(chǎn)者盈虧平衡;使0)( xL的點0 x稱為盈虧平衡點(又稱為保本點).稱其為利潤函數(shù),CRL 1.(1) 設(shè)手表的價格為70元， 銷售量為10000只，若手表每只提高3元，需求量就減少3000只，求需求函數(shù).dQ(2) 設(shè)手表價格為70元， 手表廠可提供10000只手表，當價格每只增加3元時， 手表廠可多提供300只，求供應(yīng)函數(shù).sQ(3) 求市場均衡價格和市場均衡數(shù)量 .課堂練習內(nèi)容小結(jié)1. 利息的計算2. 貼現(xiàn)設(shè)在考察的n年間復利年利率r不變，則第n年后價值為R元錢的貼現(xiàn)金額為

45、nrRp)1( 3. 常用經(jīng)濟函數(shù)如需求函數(shù)、供給函數(shù)、成本函數(shù)、收入函數(shù)與利潤函數(shù)等 .作業(yè)作業(yè) 習題習題 1-3 Ex. 2, Ex. 5, Ex. 8, Ex. 91.4 數(shù)列的極限數(shù)列的極限 極限概念極限概念 數(shù)列的定義數(shù)列的定義 數(shù)列的極限數(shù)列的極限 收斂數(shù)列的性質(zhì)收斂數(shù)列的性質(zhì)一、極限概念的引入1、割圓術(shù):割之彌細, 所失彌少, 割之又割, 以至不可割, 則與圓周合體而無所失矣.劉徽2、截丈問題:一尺之棰, 日截其半,萬世不竭.二、數(shù)列的定義定義 按一定次序排列的無窮多個數(shù),21nxxx稱為無窮數(shù)列, 簡稱數(shù)列. 可簡記為.nx其中的每個數(shù)稱為數(shù)列的項,nx稱為通項(一般項).數(shù)列

46、舉例:;,2 , 8 , 4 , 2n.2n;,1,32,21, 0nn .1nn ;,)1( , 1 , 1, 11 n.)1(1 n;,)1(,34,21, 21nnn .)1(1nnn ;,)1( , 1 , 1, 11 n.)1(1 n;,)1(,34,21, 21nnn .)1(1nnn 注: 1.它在數(shù)軸上依次取值;,21nxxx2.).(nfxn ,333,33, 3 數(shù)列可看作數(shù)軸上一個動點,n的函數(shù):數(shù)列可看作自變量為正整數(shù).)1(11時的變化趨勢時的變化趨勢當當觀察數(shù)列觀察數(shù)列 nnn三、數(shù)列的極限1( 1)11.nnxn 例：的極限為111 1( 1)nnxnn 數(shù)列極限

47、的描述性定義：（柯西）如果當 趨于無窮大時， 無限接近一個確定的常數(shù) ，那么稱 為數(shù)列 的極限。nnnxaax,1001給定給定,10011 n由由,100時時只要只要 n,10011 nx有有,10001給定給定,1000時時只要只要 n,1000011 nx有有,100001給定給定,10000時時只要只要 n,100011 nx有有, 0 給定給定,)1(時時只要只要 Nn.1成立成立有有 nx定義定義（魏魏爾斯特拉斯爾斯特拉斯） 如果對于任意給定的正如果對于任意給定的正數(shù)數(shù) ( (不論它多么小不論它多么小),),總存在正數(shù)總存在正數(shù)N, ,使得對于使得對于Nn 時的一切時的一切nx,

48、,不等式不等式 axn都成立都成立, ,那那末就稱常數(shù)末就稱常數(shù)a是數(shù)列是數(shù)列nx的極限的極限, ,或者稱數(shù)列或者稱數(shù)列nx收收斂于斂于a, ,記為記為 ,limaxnn 或或).( naxn 如果數(shù)列沒有極限,就說數(shù)列是發(fā)散的.注意：;. 1的無限接近的無限接近與與刻劃了刻劃了不等式不等式axaxnn . 2有關(guān)有關(guān)與任意給定的正數(shù)與任意給定的正數(shù) Nx1x2x2 Nx1 Nx3x幾何解釋: 2 a aa.)(,),(,落在其外落在其外個個至多只有至多只有只有有限個只有有限個內(nèi)內(nèi)都落在都落在所有的點所有的點時時當當NaaxNnn :定義定義N 其中;:每一個或任給的每一個或任給的 .:至少有

49、一個或存在至少有一個或存在 ., 0, 0lim axNnNaxnnn恒有恒有時時使使例1 證明1( 1)lim1.nnnn 證故對任給0, 要使|1|,nx 只要1,n 即1.n 所以,則當nN 時, 就有即1( 1)lim1.nnnn 由nnnxnn11)1(|1|1 若取,1 N.1)1(1 nnn例證明lim0,nnq 其中| 1.q 證任給0, 若0,q 則limlim00;nnnq若0 | 1,q欲使|0| |,nnxq 必須ln| ln ,nq 即ln,ln|nq 故對任給0, 若取,|lnln qN 則當nN 時,就有|0|,nq 從而證得lim0.nnq 例3 用數(shù)列極限定義

50、證明222lim1.1nnnn 證 由于只要2,n 即2,n 因此, 對任給的0, 當nN 時 ,即222lim1.1nnnn 13112222 nnnnnnnnnn22 )3( n要使,11222 nnn取,2 N有成立 , 11222nnn四、收斂數(shù)列的有界性定義對數(shù)列,nx若存在正數(shù),M使對一切自然數(shù),n恒有,|Mxn 則稱數(shù)列nx有界, 否則, 稱為無界.例如, 數(shù)列1 nnxn有界; 數(shù)列nnx2 無界.幾何解釋: 存在, 0 M使得數(shù)軸上對應(yīng)于有界數(shù)列的點,nx都落在閉區(qū)間,MM 上.證設(shè),limaxnn 由定義, 若取, 1 則, 0 N使當Nn 時, 恒有, 1| axn即:n

51、xa 1. 1 a若記|,1| |,1| |,| ,|,max|1 aaxxMn則對一切自然數(shù),n皆有,|Mxn 故nx有界.注意: 有界性是數(shù)列收斂的必要條件.推論無界數(shù)列必定發(fā)散.定理1收斂的數(shù)列必定有界.五、極限的唯一性定理收斂數(shù)列的極限是唯一的.證用反證法, 設(shè),limaxnn ,limbxnn 由定義, 0 , 01 N, 02 N使得當1Nn 時,恒有;| axn當2Nn 時,恒有.| bxn取,max21NNN 則當Nn 時有| )()( |axbxbann |axbxnn .2 上式僅當ba 時才能成立. 證畢.例4 證明數(shù)列1( 1)nnx 是發(fā)散的.證設(shè)lim,nnxa 由

52、定義 , 對于1,2 0,N使得當nN 時 , 恒有1|,2nxa即當nN 時 ,區(qū)間長度為1.而nx無休止地反復取 1, -1兩個數(shù) ,不可能同時位于長度為 1 的區(qū)間內(nèi) .因此該數(shù)列是發(fā)散的 .證畢 .注: 此例同時也表明: 有界數(shù)列不一定收斂 .,21,21 aaxn定理3(收斂數(shù)列的保號性)若,limaxnn 且0 a(或0 a),則存在正整數(shù), 0 N當Nn 時, 都有0 nx(或0 nx).證 只證0 a的情形. 按定義, 對, 02 a 正整數(shù), 0 N當Nn 時,有2|aaxn . 022 aaaxn證畢.六、收斂數(shù)列的保號性推論若數(shù)列nx從某項起有0 nx(或),0 nx且,

53、limaxnn 則0 a(或).0 a證只證數(shù)列nx從第1N項起有0 nx情形.用反證法. 若, 0lim axnn則由定理3, 正整數(shù)2N, 0 有. 0 nx取,max21NNN 時,當Nn 按假定有, 0 nx但按定理3有, 0 nx矛盾.故必有. 0 a數(shù)列nx從某項起有0 nx的情形, 可以類似地證明.當2Nn 時,定義在數(shù)列nx中任意抽取無限多項項在原數(shù)列nx中的先后次序, 這樣得到的一個數(shù)列knx稱為原數(shù)列nx的子數(shù)列 (或子列).注:knx是knx中的第k項,是原數(shù)列nx中第kn項,.knk 定理(收斂數(shù)列與其子數(shù)列間的關(guān)系)如果數(shù)列nx收斂于,a那么它的任一子數(shù)列也收斂,且極

54、限也是.a并保持這些七、子數(shù)列的收斂性注:定理4的逆否命題知,若數(shù)列nx有兩個子數(shù)列收斂于不同的極限,則數(shù)列nx是發(fā)散的.例如, 考察數(shù)列,)1( , 1 , 1, 11 n其子數(shù)列12 kx收斂于1, 而子數(shù)列2kx收斂于-1, 因此數(shù)列1)1( nnx), 2 , 1( n是發(fā)散的.此例說明: 一個發(fā)散的數(shù)列也可能有收斂的子數(shù)列.內(nèi)容小結(jié)1. 數(shù)列極限的概念理解極限的定義與極限的思想 .axnn lim, 0, 0 N 當Nn 時，.| axn2.N 定義論證方法對, 0 找, 0 N使當Nn 時，總有.| axn具體運用時，常用分析法倒推 :具體運用時，常用分析法倒推 :即從 |axn出

55、發(fā)，將不等式左端變形解出),( n取),( N然后用 定義敘述和下結(jié)論 .3. 數(shù)列極限的主要性質(zhì)有界性，唯一性，保號性，子數(shù)列.2.N 定義論證方法再令其, 若干步后內(nèi)容小結(jié)作業(yè)作業(yè) P40 Ex. 1, Ex. 2 (2), Ex. 3, Ex. 41.5 函數(shù)的極限函數(shù)的極限 自變量趨向自變量趨向無窮大無窮大時函數(shù)的極限時函數(shù)的極限 自變量趨向自變量趨向有限值有限值時函數(shù)的極限時函數(shù)的極限 函數(shù)極限的性質(zhì)函數(shù)極限的性質(zhì)一、自變量趨向無窮大時函數(shù)的極限觀察函數(shù)xxsin當 x時的變化趨勢.問題: 如何用數(shù)學語言刻畫下述過程:定義: 設(shè)函數(shù))(xf當| x大于某一正數(shù)時有定義.如果對任意給定

56、的正數(shù) (不論它多么小), 總存在著正數(shù),X使得對于滿足不等式Xx |的一切,x函數(shù)“無限接近”確定值)(xfA.當時,x恒有,|)(| Axf那么常數(shù)A就叫函數(shù))(xf當 x時的極限,記作Axfx )(lim或Axf)(當). x注: 根據(jù)上述定義,可用Axfx )(limX 語言描述如下:, 0 “, 0 X使得Xx |時,恒有.|)(| Axf”定義的幾何解釋:單側(cè)極限:x)1(情形:,)(limAxfx 即, 0 , 0 X使當Xx 時,恒有.|)(| Axfx)2(情形:,)(limAxfx , 0 , 0 X使當Xx 時, 恒有.|)(| Axf定理1Axfx )(limAxfx

57、)(lim且.)(limAxfx 即例 1證明. 0sinlim xxx證因為0sin xxxxsin ,1x , 0 于是可取,1 X則當Xx 時,恒有,0sin xx故. 0sinlim xxx證畢.例 2用極限定義證明. 021lim xx證對于任意給定的, 0 要使021 xx 21 只要,12 x即2ln1ln x)1( 不妨設(shè)不妨設(shè)就可以了.因此，對于任意給定的, 0 取,2ln1ln X則當Xx 時， 021x恒成立.所以. 021lim xx注 ： 同理可證：. 0lim xxq而當1 q時，. 0lim xxq10 q時，當二、自變量趨向有限值時函數(shù)的極限問題: 如何用數(shù)學語

58、言描述下述過程:在0 xx 的過程中, 函數(shù))(xf無限趨近于確定值.A定義設(shè)函數(shù))(xf在點0 x的某一去心鄰域內(nèi)有定義. 若對任意給定的正數(shù) (不論它多么小), 總存在正數(shù), 使當 |00 xx時,函數(shù))(xf都滿足不等式,|)(| Axf則常數(shù)A就稱為函數(shù))(xf當0 xx 時的極限.記作Axfxx )(lim0或Axf)(當)0 xx 定義Axfxx )(lim0, 0 , 0 使當 |00 xx時, 恒有.|)(| Axf注意: 1.無關(guān);2. 與任意給定的正數(shù) 有關(guān).定義的幾何解釋:)(xf在點0 x處是否有定義函數(shù)極限與例 4 (1) 證明CCxx 0lim)( 為常數(shù)為常數(shù)C例

59、 4 (2)證明.lim00 xxxx 證,)(0 xxAxf 任給, 0 取, 當 00 xx時， 0)(xxAxf成立，.lim00 xxxx 例 5證明. 211lim21 xxx證函數(shù)在點1 x處沒有定義,Axf )(2112 xx,1 x任給, 0 要使,)( Axf只要取, 則當 10 x時,就有,2112 xx. 211lim21 xxx例 證明:當00 x時,.lim00 xxxx 證Axf )(0 xx 00 xxxx ,00 xxx 任給, 0 要使,)( Axf只要 00 xxx 且, 0 x則當 00 xx時,就有,0 xx.lim00 xxxx 取 00,minxx

60、,三、左右極限左極限, 0 , 0 使當00 xxx 時,恒有.|)(| Axf記作Axfxxxx )(lim)0(00或Axf )0(0右極限, 0 , 0 使當 00 xxx時,恒有.|)(| Axf記作Axfxxxx )(lim)0(00或Axf )0(0注意|0|0 xxx.0|0|00 xxxxxx 定理Axfxx )(lim0.)0()0(00Axfxf 例驗證xxx0lim不存在.證xxx 0lim)1(limlim00 xxxx; 1 xxx 0lim1limlim00 xxxx. 1 左右極限存在但不相等.)(lim0 xfx不存在.例 6 設(shè),0, 10,)( xxxxxf