1、返回返回上頁上頁下頁下頁目錄目錄2022-3-141第四節第四節 隨機變量函數的分布隨機變量函數的分布已知隨機變量的分布已知隨機變量的分布隨機變量函數的分布隨機變量函數的分布返回返回上頁上頁下頁下頁目錄目錄2022-3-142例：例：若隨機變量X的分布律為101211112488kXp求： 和 的分布律。21YX2ZX1135kYp12141818解：解：014kZp14112818 離散型隨機變量函數的分布注意注意合并合并返回返回上頁上頁下頁下頁目錄目錄2022-3-143 連續型隨機變量函數的分布連續型隨機變量函數的分布 設設 連續型隨機變量連續型隨機變量X 的概率密度為的概率密度為 f

2、(x)。y = g(x)為一個連續函數，求隨機變量為一個連續函數，求隨機變量Y=g(X)的概率密度。的概率密度。(1) 求求Y的分布函數的分布函數 FY(y)( )YFy根據分布函數的定義根據分布函數的定義()P Yy( ()P g Xy(2) 對對FY(y) 求導，得到求導，得到 fY(y)一般方法：( )( )YYfyFy( )P Xx g xy解不等式轉化解不等式轉化為求關于為求關于X X的概率的概率返回返回上頁上頁下頁下頁目錄目錄2022-3-144例：例：若XU(0,1)，求Y=2X+1的概率密度。解：解：由題意可知， X的概率密度為1,01,( )0,xf x其它.分別記X，Y的分

3、布函數為FX(x) ， FY(y)。( ) YFyP Yy21 PXy12yP X1()2XyF將 FY(y)關于y求導：( )Yfy1122 Xyyf111,01,220,y 其它.1,13,20,y其它.返回返回上頁上頁下頁下頁目錄目錄2022-3-145例：例：若連續型隨機變量X的概率密度為fX(x) 。求 的概率密度 。2YX解：解：當 y0時，2( )0YFyP YyP Xy( )( )0YYfyFy所以當 y0時，( ) YFyP Yy2P XyPyXy()()XXFyFy將 FY(y)關于y求導：1( )()()2YXXfyfyfyy1()() ,0,2( )0,0.XXYfyf

4、yyyfyy綜上返回返回上頁上頁下頁下頁目錄目錄2022-3-146 例：例： 設正方形邊長 X 的概率密度為 求它的面積 Y 的分布密度。 2 ,010,Xxxfx其它 YFyP Yy2P Xy120,021,yyy其它1,010,y其它解：解：當 y0時，0( )( )0YYfyFy當 y0時，2( ) YFyP Xy()()XXFyFy 1122YXXfyfyfyyy返回返回上頁上頁下頁下頁目錄目錄2022-3-147例：例：若連續型隨機變量X的概率密度為fX(x) 。求 的概率密度 。YX解：解：當 y0時，( )0YFyP YyPXy( )( )0YYfyFy所以當 y0時，( )

5、YFyP YyPXyPyXy( )()XXFyFy將 FY(y)關于y求導：( )( )()YXXfyfyfy( )(),0,( )0,0.XXYfyfyyfyy綜上返回返回上頁上頁下頁下頁目錄目錄2022-3-148例：例： 設圓面積 求圓半徑 Y 的概率密度. 0,XU解：解：由題設， 1,0,0,XxXYfx其它所以 22YXfyfyy YFyP YyXPy 0Yfy2XFy212,00,yy其它2 ,010,yy其它當 y0時， 2YFyP Xy當 y0時， 0YFy返回返回上頁上頁下頁下頁目錄目錄2022-3-149( )( )( ( )YXfyfGG yy定理：定理： 若隨機變量若

6、隨機變量X和隨機變量和隨機變量Y=g(X)的密度函數分的密度函數分別為別為 f X (x), f Y (y), 當當 g(x) 是嚴格單調函數，則是嚴格單調函數，則( )( )xG yyg x其中 為的反函數返回返回上頁上頁下頁下頁目錄目錄2022-3-1410例：例：若 ，求Y=aX+b(a0)的概率密度 。2( ,) XN解：解： 隨機變量X的概率密度為22()21( )e,2xf xx 由( )yg xaxb( )ybxG ya可得：由定理可得Y=aX+b(a0)的概率密度為1( ), YXybfyfyaa即22()211( )e2y baYfya22()2()1e,2 yb aaya即2(, () )YN aba返回返回上頁上頁下頁下頁目錄目錄2022-3-141122( ,), (0), (, () )XYN aNYaXbbaa 設則2( ,),(0,1)XXNN 若則推論推論: :定理：定理： 正態分布的線性函數仍服從正態分布