1、-第42課 三角形中的最值問題考點提要1掌握三角形的概念與根本性質2能運用正弦定理、余弦定理建立目標函數，解決三角形中的最值問題根底自測11ABC中，則A的值為30°或90°；2ABC中，當A=時，取得最大值2在ABC中，則的取值圍是解由， 令，由，得3銳角三角形ABC中，假設A=2B，則B的取值圍是 30ºB45º 4設R，r分別為直角三角形的外接圓半徑和切圓半徑，則的最大值為5在ABC中，角A，B，C所對邊的邊長分別是，假設，則B的取值圍是0°B120° 6在ABC中，假設A>B，則以下不等式中，正確的為 >；<

2、； >；<解A>B>>>，故正確；<<A>B，故正確或由余弦函數在上的單調性知正確；由<<>A>B，故正確知識梳理1直角ABC中，角A，B，C所對邊的邊長分別是，C=90°，假設切圓的半徑為r，則2在三角形中，勾股定理、正弦定理、余弦定理是根底，起到工具性的作用它們在處理三角形中的三角函數的求值、化簡、證明、判定三角形的形狀及解三角形等問題中有著廣泛的應用例題解析例1直角三角形的周長為1，求其面積的最大值點評例2ABC中，1求最小角的最大值； 2假設ABC是銳角三角形，求第三邊c的取值圍解1由三角形三邊關系

3、得第三邊c滿足解得，故最小角為A又當且僅當時等號成立，所以A30°，即最小角的最大值為30°2因為ABC是銳角三角形，即A，B，C三個角均為銳角，又因為ab，所以AB，故只需說明B，C為銳角即可由B，C為銳角得 即解得點評在銳角三角形中研究問題的時候，一定要注意其三個角都為銳角這個條件另外要注意變形的等價性，如"角A為銳角例32021求滿足條件的ABC的面積的最大值解設BC，則AC根據面積公式得=，根據余弦定理得，代入上式得=，由三角形三邊關系有解得，故當時取最大值點評例4如圖，A=30°，P，Q分別在A的兩邊上，PQ=2當P，Q處于什么位置時，APQ的

4、面積最大.并求出APQ的最大面積點評表示三角形的面積可采用兩邊及夾角的表示法，此題解法一運用了余弦定理和根本不等式，解法二運用了正弦定理和根本不等式建立目標函數例5ABC的周長為6，成等比數列，求：1ABC的面積S的最大值； 2的取值圍解設依次為a，b，c，則a+b+c=6，b 2 =ac由得當且僅當a=c時，等號成立，又由余弦定理得當且僅當a=c時，等號成立，故有， 1，即當且僅當a=b= c時，等號成立； 2點評 此題運用均值定理進展放縮，再運用不等式的性質求解1為不等式問題，2為函數問題方法總結1三角形中角的最值圍問題，一般運用余弦定理，通過求該角余弦的圍，根據余弦函數的單調性處理要注意

5、三角形三邊關系和角圍的隱含條件，尤其要注意銳角三角形的角的關系2三角形中邊的最值圍問題，主要由有三角形三邊關系決定3三角形中面積的最值圍問題，可以角為自變量，也可以邊為自變量建立目標函數，要注意自變量的圍練習42三角形的最值問題班級*1假設直角三角形斜邊的長m定值，則它的周長的最大值是2在銳角ABC中，假設，則的取值圍是，解，而，3在ABC中，假設，則A的取值圍是 0ºB45º 4假設2、3、*分別是銳角三角形的三邊長，則*的取值圍是5假設三角形兩邊之和為16 cm，其夾角為60º，則該三角形面積的最大值是，周長的最小值是 24 6ABC中，A = 60°

6、;，BC = 4，則AB + AC的最大值為_7鈍角三角形的三邊為，其中最大角不超過120°，則的取值圍是解 由題意鈍角三角形中，為最大邊且最大角不超過120°，因此得，由得，得，得或，故8四邊形ABCD的對角線AC與BD相交于點O，假設SAOB=9，SCOD=16，則四邊形面積的最小值是 49 92006全國用長度分別為2、3、4、5、6單位：cm的5根細木棒圍成一個三角形允許連接，但不允許折斷，能夠得到的三角形的最大面積為cm2解由題意可圍成以下幾種三角形圖1中，；圖2中，；圖3中，比擬上述幾種情況可知，能夠得到三角形的最大面積為cm2點評當周長一定時，三邊越是接近，其

7、面積越大這是等周問題中的一個根本結論可見，面積最大的三角形應該這樣構成：2+5，3+4，610在ABC中，1求證：a、b、c成等差數列； 2求角B的取值圍解11如圖，正方形ABCD的邊長為a，E、F分別是邊BC、CD上的動點，EAF=30°，求AEF面積的最小值解設AEF的面積為S，BAE=15º45º，則由EAF=30°得DAF=正方形ABCD的邊長為a，在RtBAE中，；在RtDAF中，122021延考在ABC中，角A，B，C對邊的邊長分別是，1假設，且A為鈍角，求角A與C的大小；2假設，求ABC面積的最大值解1由題設及正弦定理，有故因A為鈍角，所以

8、由，可得，C=，A=2由余弦定理及條件，有，故由于ABC面積，又，當時，兩個不等式中等號同時成立，所以ABC面積的最大值為備用題1直角ABC的斜邊AB=2，切圓的半徑為r，則r的最大值為2在ABC中，sin2A + sin2B = 5sin2C，求證：解 等式sin2A + sin2B = 5sin2C立即聯想正弦定理，有a2+b2=5c2 而a2+b2=5c2與余弦定理連起來也無可非議c2= a2+b22abcosC，5c2= c2+2abcosC，4c2=2abcosC 于是可知cosC0，C為銳角，而5c2= a2+b22ab， 故4c2=2abcosC5c2cosC cosC，sinC點評從外形的聯想，到方法的選擇，這樣的直覺思維隨時隨地都會出現在解題過程中3ABC的角滿足1求A； 2假設ABC的面積為4，求ABC周長的最小值4如圖