1、地板磚的鋪設問題的探究謝欽 徐寶玉 沈燕摘要房屋地板磚的鋪設將一種固定形狀的材料鋪設到某種物體表面的問題。在地板磚的鋪設問題中，需要考慮地板磚的成本、鋪設人工費用以及地板磚破損成本等方面，目標是為了使成本最小化，并達到美觀的效果在問題1中，由于整個建筑的平面圖較復雜，我們把整個圖進行分割簡化為14個矩形區域。首先我們采用高斯函數求未被切割的地板磚的塊數，利用自定義的向上取整公式得到所需總的地板磚的塊數，然后根據01規劃算出被切割的長度，加上安裝工人的費用則得到總費用的表達式；在問題2中，首先我們利用問題1中的向上取整算出各種規格的地板磚所需要的總塊數分別是800*800需要260塊 ，600*

2、600需要421塊，600*300需要804塊，400*400需要934塊，300*300需要1509塊，然后再用計算所需每種規格地板磚的總面積與被鋪設的區域的總面積得的利用率分別是800*800利用率0.78 ，600*600利用率0.85 ，600*300利用率0,89，400*400利用率0.87，300*300利用率0.95。在用01規劃算和高斯函數計算出各個規格地板磚的切割總長度，再分別乘于切割單價，由于鋪設的面積大小相同所以安裝費用相同，因此我們暫時不考慮，只計算各個規格地板磚的切割費與購買費用之和分別是800*800費用是 47207元，600*600費用是55131元，600*

3、300費用是64714.5元，400*400費用是67648.25元，300*300費用是68300元，經過比較可以知道800*800規格的費用最低在問題3中，在問題3中，先考慮使用整塊鋪設，且整塊鋪設優先選用邊長的，我們只考慮四種變長情況，即800*800，600*600，400*400和300*300最后不能被整塊鋪設的地方用300*300鋪設，因為剩下的面積往往很小（且靠矩形總面積的邊界），用大磚切割不經濟。最后每個區域300*300的塊數>=2時，我們同樣把2塊300*300換成1塊300*600的。在這個問題的考慮中我們使用了多元目標的線性規劃，在考慮區域的邊長被組合鋪設后是否

4、有剩余，采用了01規劃。利用了C語音編程求解 在問題4中，則是對模型改進的建議，我們認為要考慮墻體的厚度及余料的利用，這樣我們就能更節省關鍵詞 高斯函數 01規劃 向上取整 多目標線性規劃問題的重述假定工程中能購買到的地板磚的尺寸、價格、安裝費用、破損概率等參數如表1所示的5種類型的地板磚。根據需要鋪設的房屋地面結構用地板磚進行鋪設。假設每塊地板磚只能沿著平行于邊的方向切割，最多只能切割一次，且切割所用人工費跟切割長度成正比。1) 綜合考慮影響地板磚鋪設成本的因素，并建立計算地板磚鋪設總成本的模型。2) 假如只使用一種尺寸的地板磚進行鋪設，設計一種算法進行地板磚的自動鋪設，同時計算出鋪設地板磚

5、的塊數、利用率和總費用，綜合比較分析哪種尺寸的地板磚鋪設成本最低。3) 若允許使用多種尺寸的地板磚進行混合鋪設，設計一種算法是的實現地板磚的自動鋪設，并且計算鋪設各種尺寸地板磚的塊數、利用率和總費用。4) 根據以上3問得出的模型、算法及計算結果，為地板磚鋪設提出一些意見和建議。問題的分析由于本題中，用地板磚對房屋的鋪設需要考慮的因素有：購買地板磚的費用，安裝工人的工資，切割工人的工資，美觀程度地板磚的規格參數以及切割方式的限制，我們對題目的分析如下：1對于問題一的分析首先要得出在鋪設地板磚中未被切割的塊數以及總需要的塊數（已把損耗考慮進去），則被切割的地板磚的塊數就是兩者之差，然后算出美觀的程

6、度，利用總數得出所需要的地板磚的總成本，再加上安裝工人的安裝費，所有之和就是總費用2對于問題2的分析利用每種規格的地板磚自分別計算出所需的總的地板磚的塊數（已把損耗考慮進去）和不需要被切割的地板磚的塊數，用鋪設的面積除于所購瓷磚的總面積則計算出利用率，3對于第3問的分析 用多種地板磚進行鋪設，要考慮其規格對矩形區域的限制，因此可以進行多目標線性規劃，對各種規格的地板磚進行逐一考慮，在計算美觀度，利用率，總費用與第二問中的數據進行對比，體現多種地板磚進行混鋪時的優缺點。4對于問題4的分析由于以上的問題沒有將余料的考慮進行利用，則需要進行余料重新利用的考慮問題的假設1假設在鋪設地板磚的過程中，進過

7、切割后的剩余的的余料不再利用。2假設在進行對鋪設的區域的面積時，忽略墻體的厚度。3假設地板磚在切割的過程中，不會產生損耗。符號說明鋪設第個矩形地板磚的安裝費用 第種地板磚的長 第種地板磚的破損概率。 第種地板磚的寬 切割單位長度的地板磚所需費用 地板磚類型 （i=1,2,3,4,5） 被鋪設的矩形區域（編號為k=1,2,3。14） 鋪設第個矩形所需的第種地板磚的塊數。 鋪設第個矩形購買地板磚的費用 第個矩形的長 第塊區域切割長度 被切割的塊數 所需型地板磚的數量 第種地板磚的單價 鋪設第個矩形地板磚的切割費用。 戶型面積 所需地板磚的面積 第塊區域的面積 第個矩形的寬 房屋地板磚鋪設總花費 鋪

8、設第個矩形地板磚所需總費用。 單位面積的安裝費用 Z利用率 美觀度 模型的建立與求解問題1首先由于鋪設的平面比較復雜，我們把平面分為如圖1.1所示，圖1.1建立模型一房屋地板磚鋪設總花費計算公式為： (1)其中鋪設第個矩形區域地板磚所需總費用計算公式： (2)則鋪設第個矩形購買地板磚的費用計算公式： (3)定義為向上取整公式，即不小于的最小整數 (4)其中不需要被切割的地板磚的塊數： (5)鋪設第個矩形地板磚的安裝費用計算公式： (6)鋪設第個矩形地板磚的切割費用計算公式： (7)而對于切割費用的的計算，運用01規劃，令 (8) (9) 則切割長度的數學表達為： (10) 美觀度計算公式 (1

9、1)問題2模型二對于用同一種尺寸的地板磚進行鋪設，先利用模型一中的以下公式： (12)可求的所需的第種地板磚的總塊數則利用率的可表示為: （13）總費用可表示為 （14）經過計算的到的數據如圖2.1所示地板磚的規格所需塊數(塊)地板磚購買費用切割費用（元）總費用利用率800*80026046800407472070.777284600*60042154730401551310.853391600*30080464320396.564716.50.893726400*40093467248400.2567648.250.865498300*300150967905395683000.95236圖

10、2.1問題3準別條件：優先使用整塊鋪設，且整塊鋪設優先選用邊長的，五中磚的規格中，4種是正方形，剩下的 300*600，可以切分為2塊300*300，在考慮問題的時候，因為任何一種長寬不同矩形都會有兩種鋪法，而對與正方形來就沒有這種考慮我們只考慮四種變長情況，即800*800，600*600，400*400和300*300，而當整塊300*300的塊數出現>=2時，我們把兩塊300*300的合并成一塊300*600，根據單位面積的價格，大磚更加經濟。最后不能被整塊鋪設的地方用300*300鋪設，因為剩下的面積往往很小（且靠矩形總面積的邊界），用大磚切割不經濟。當計算所用300*300的塊

11、數>=2時，我們同樣把2塊300*300換成1塊300*600的。首先，根據盡量鋪大塊的磚，（且在考慮中只有涉及4種規格的正方形磚），從矩形的長和寬分別進行考慮。長（length）的考慮使得四種規格組合的邊長相加最大程度達到到區域邊長，且限制條件1：邊長越長的磚塊越優先。限制條件2區域總變長-組合邊長<300,同理從寬（weith）的角度使得四種規格組合的邊長相加最大程度達到到區域寬長，限制條件1：邊長越長的磚塊越優先。限制條件2區域寬長-組合寬長<300。數學公式 區域長的角度 設需要邊長800的數量i1,邊長是600的數量為i2，邊長為400的數量為i3,邊長為300的數

12、量是i4 區域寬的角度 設需要邊長800的數量j1,邊長是600的數量為j2，邊長為400的數量為j3,邊長為300的數量是j4數學模型3根據題目的要求，我們得到以下的限制條件: Length-(800*i1+600*i2+400*i3+300i4)<300 （15） Wdith-(800*i1+600*i2+400*i3+300i4)<300 （16） (17) (18) (19) (20) (21) (22) (23) (24)運用C語言編程序求解代碼見附錄 結果每個區域有兩組數據i1 i2 i3 i4 j1,j2,j3,j4 如圖3.1所示圖3.1具體的得到的最佳組合數據如表

13、3.2所示區域號碼ij 12,0,1,00,0,1,022,0,1,01,0,0,032,0,1,01,0,0,044,0,0,01,0,0,153,0,0,01,0,1,062,0,1,01,1,0,075,0,1,04,0,0,084,0,0,02,1,0,094,0,0,14,0,0,0104,1,0,03,0,0,0112,0,1,03,0,0,0123,0,0,03,0,0,0136,1,0,03,1,0,01412,0,0,05,0,1,0表3.2磚塊計算公式某個區域需要的磚塊數量 (25) (26) (27) (28)進過C語言計算得到每個區域的各種規格的地板磚的最佳結果，如表3

14、.3所示區域號碼800的整塊數600的整塊數400的整塊數300的整塊數100502202032020440011530606233072008088500916001110124001160601290001318130014600240表3.3再考慮剩下剩下來的面積用300*300的鋪設。我們考慮到如果區域的長被組合完全鋪滿，那么最后不能被整塊鋪余下的面積，會是不到300mm的寬乘以區域的長，最后鋪設的要切割的300*300的塊數，就是區域的長除以300mm向上取整。按照這個思路。我們可以建立模型 （29） （30）有四種情況，記作（x,y）1、 長有剩余，寬有剩余。記作(x,y)=（1，

15、1）2、 2、長有剩余，寬沒有剩余。記作（x,y）=（0，1）3、長沒有剩余，寬有剩余。記作（x,y）=（1，0）4、長沒有剩余，寬沒有剩余。記作（x,y）=（0，0）最后補的300*300的塊數為 將所有300mm*300mm換成300mm*600mm最終用混合鋪設的磚塊數分別為如表3.4所示區域號碼800*600600*600400*400600*300300*30010055022026032022044007153061062336172008131885091916001111012407011606401290001131813001146002480表3.4最終我們得到混合鋪法所

16、需要的各尺寸地板磚的塊數及總費用和利用率，見表3.5所示地板磚的規格所需塊數(塊)地板磚購買費用切割費用（元）總費用利用率800*80018433120407464580.870332600*600273510600*300927360400*400282016300*300145表3.5問題4模型的評價與改進模型的優點： 1. 結合數學期望的概念對地磚切割單后單價做了合適的處理，使得求解方便準確，與實際的結合性強。 2. 模型求解中運用了攤還算法的思想， 3. 在混合地板鋪設的求解中運用了窮舉算法，在求解小規模問題時，算法簡單，可靠性高。 5. 應用了較為嚴謹的數學知識進行計算及求解 模型的

17、缺點： 1.采取線性整數規劃求解問題時,模型較為理想化，現實存在的一些問題不能充分考慮。 2.對于一些結構復雜及形狀不規則的戶型，區域劃分較為困難，應用此模型求解時較復雜。 3.未考慮實際情況下多種類型地板磚混合鋪設對美觀效果的影響。參考文獻1 薛定宇 陳陽泉，高等應用數學問題的MATLAB求解（第二版），北京：清華大學出版社，2008年。2 同濟大學數學系，工程數學-線性代數（第五版），北京：高等教育出版社，2007年3 鄧君智，關于高斯函數在建筑學中的一個應用方地磚最少塊數估計，數學的實踐與認識，第34 卷第2 期：P111-P114，2004 年。4 俱鵬岳，鋪設矩形地面所需矩形地磚的最

18、優估計，西北師范大學學報(自然科學版)，第45卷2009年第 2 期：P17-P20，2009年。5 張偉，地板磚鋪設問題 /view/7cfe3d91680 203d8ce2f2434. html?qq-pf-to=pcqq.c2c，2013年8月25日。附錄1、C源程序一/*名稱長度寬度b12150500b22100900b32000900c133001150c224001200c321001500r145003450r233002300r335003450r439002400r521002400r624002400r754003000r896004500*/#include<std

19、io.h>long fun(double length ,double width,long s1,long s2);int main()/long length , width;long b1,b2,b3,c1, c2,c3,r1,r2,r3,r4,r5,r6,r7,r8;long s1,s2;long sum;int i=0;for(i=1;i<=5;i+)sum=0;scanf("%d*%d",&s1,&s2);b1=fun(2150,500,s1,s2);/printf("%dn",b1);b2=fun(2100,90

20、0,s1,s2);b3=fun(2000,900,s1,s2);c1=fun(3300,1150,s1,s2);c2=fun(2400,1200,s1,s2);c3=fun(2100,1500,s1,s2);r1=fun(4500,3450,s1,s2);r2=fun(3300,2300,s1,s2);r3=fun(3500,3450,s1,s2);r4=fun(3900,2400,s1,s2);r5=fun(2100,2400,s1,s2);r6=fun(2400,2400,s1,s2);r7=fun(5400,3000,s1,s2);r8=fun(9600,4500,s1,s2);sum=

21、b1+b2+b3+c1+c2+c3+r1+r2+r3+r4+r5+r6+r7+r8;printf(":%dn",sum);system("pause"); long fun(double length ,double width,long s1,long s2) long L;L=ceil(length/s1)*ceil(width/s2);return L;C源程序二#include<stdio.h>int main()/long s1,s2,s3,s4,s5; /地磚塊的面積 int i1=0,i2=0,i3=0,i4=0; /行 int

22、 j1=0,j2=0,j3=0,j4=0;/ int an1,an2,an3,an4; /地磚塊的邊長種類 /long sk14;int length,width;int n=0;int b=0;length=9600;width=4500;an1=800;an2=600;an3=400;an4=300;/s1=an12;/s2=an22;/s3=an2*an4;/s4=an32;/s5=an42; /sk14=length*width;for(i1=length/an1,j1=width/an1;i1>=0,j1>=0;i1-,j1-) /printf("%dn&quo

23、t;,i1); for(i2=(length-i1*an1)/an2,j2=(width-j1*an1)/an2;i2>=0,j2>=0;i2-,j2-) for(i3=(length-i1*an1-i2*an2)/an3,j3=(width-j1*an1-j2*an2)/an3;i3>=0,j3>=0;i3-,j3-) for(i4=(length-i1*an1-i2*an2-i3*an3)/an4,j4=(width-j1*an1-j2*an2-j3*an3)/an4;i4>=0,j4>=0;i4-,j4-) /if(length-(i1*an1+i2*

24、an2+i3*an3+i4*an4)<300&&(width-(j1*an1+j2*an2+j3*an3+j4*an4)=0) /printf("%d %d %d %d %d %d %d %d n",i1,i2,i3,i4,j1,j2,j3,j4); /n+; if(length-(i1*an1+i2*an2+i3*an3+i4*an4)=0) printf("%d %d %d %d n",i1,i2,i3,i4); n+; printf("nn");if(width-(j1*an1+j2*an2+j3*an3+

25、j4*an4)=0) printf("%d %d %d %d n",j1,j2,j3,j4); printf("%d",n); system("pause"); C源程序三#include <stdio.h>int main()int l4=800,600,400,300;int w4=800,600,400,300;int L14=2150,2100,2000,3300,2400,2100,4500,3300,3500,3900,2100,2400,5400,9600;int W14=500,900,900,1150,1

26、200,1500,3450,2300,3450,2400,2400,2400,3000,4500;int i144=2,0,1,0,2,0,1,0,2,0,1,0,4,0,0,0,3,0,0,0,2,0,1,0,5,0,1,0,4,0,0,0,4,0,0,1,4,1,0,0,2,0,1,0,3,0,0,0,6,1,0,0,12,0,0,0;int j144=0,0,1,0,1,0,0,0,1,0,0,0,1,0,0,1,1,0,1,0,1,1,0,0,4,0,0,0,2,1,0,0,4,0,0,0,3,0,0,0,3,0,0,0,3,0,0,0,3,1,0,0,5,0,1,0;int k,m;int kuai800;int kuai600;int kuai400;int kuai300;int kuai4;int n=0;for(k=0;k<14;k+) n+; printf("%d &quo