1、例析排列組合中的重復計算的產生及對策無錫市洛社高級中學戎鋼學生在解排列組合的題目時，往往容易出現考慮不周全，漏解的情況。另外有些類型的排列組合題目較容易出現重復計算的問題，而且此類問題較隱蔽，學生不容易發現。在解題時，應做到既不重復遺漏，又能判斷解題的正誤，并能加以剖析。這樣對于學生解題能力的提高大有好處。一、分步引起的重復計算例 1:從 4 臺甲型機和 5 臺乙型電視機中任意取出 3 臺，其中至少有甲型和乙型機各 1 臺，則不同的取法有多少種？【錯解】 先保證各 1 臺，在從剩下的機子中任取一臺。即分三步：第一步從甲型機中取一臺，有 C41 種取法；第二步從乙型機中取一臺，有C51 種取法；

2、第三步從剩下的七臺機子中取一臺，有C17 種取法，根據乘法原理，共有C41C51C71140 種取法。【分析】設甲型機種有 a、b 兩臺機子 ，乙型機中有 A 、B 兩臺機子，根據上述選法，其中有一種取法可以是“先選 a，再選 A ，再選 b”,另外一種取法是“先選 b，再選 A ，再選 a”。而很明顯，上述兩種取法是同一種結果，出現重復。究其原因是本題使用的是分類計數原理（分步原理） 。而分步必然有先有后，也就有順序，跟排列有關。本題中無論是取兩臺甲型機還是兩臺乙型機，對于這兩臺機而言，只是一個組合，沒有先后，因此重復了兩遍。【正解】根據結果分類，第一類：兩臺甲型機，有C42 C51 種取法

3、；第二類：兩臺乙型機，有 C41 C52 種取法，根據分類計數原理，共有C42 C51C41 C5270 種取法。二、涉及到平均分組中的重復計算例 2: 袋中有紅、白、黃球各一個，每次任取一球，記下顏色后放回，當各種顏色均被取到時結束，則取球結束時，一共取了五次的不同取法有多少種？【錯解】由題意，第五次一定是第三種顏色的球。前四次取到其他兩種顏色的球。先分步，第五次有C31 種顏色的可能，再分類討論前四次的情況，第一類：剩下的兩種顏色的球，一種顏色的取到三次，另外一種取到一次。分步完成，先選出一種顏色，被取到三次，有 C21 種可能，然后這種顏色在前四次中被取到有C43 中情況，共有C21C4

4、3 種情況；第二類，類似第一類， 共有 C21 C42 種情況， 由分步原理共有 C31 (C21 C42C21C43 ) 60 種不同的取法。【剖析】本題中在分類時涉及到平均分組的問題。在第二類中兩種顏色各取到兩次的情況，計數重復。比如假設第五次取到白色，C21 選取的是紅色，在四次取球中，C42 中前兩次是紅色，后兩次是黃色，即紅紅黃黃白是其中一種情況；若C21 選取的是黃色，在四次取球中，后兩次是黃色，前兩次是黃色，對于該算法來講是不同的兩次，而結果是相同的，應是 C31 (C12 C43C42 )42。【正解】本題可以通過舉例探究，分類討論避開平均分組。不妨假設最后一次取的是白球（由分

5、步原理應是C13 種可能）則前四次應只有紅色和黃色。可進一步細分為三類：三紅一黃，兩紅兩黃，一紅三黃，各有C14 、 C42 、 C43 種可能。由等可能性，共有C13 (C14C42C43 )42種可能。平均分組高考沒有明確要求，但06 年江蘇最后一道選擇題卻又涉及到。學生對平均分組計數時么除以組數的全排列難以理解， 解題時也不容易想到。 本題通過特殊化的思想，通過舉例探究，找到相同點，弄清楚其中的關系，思路相對自然，容易接受和理解。三、分類不清引起的重復例 3：定義非空集合A 的真子集的真子集為A 的“孫集”，則集合 1 ，3，5，7 的孫集的個數為 _。【解析】本題源于課本，又高于課本。

6、根據真子集的定義，學生不難寫出集合1 ，3，5，7 的真子集，應有24 1 15 個，然后在找出每個真子集的真子集即可。由于四元子集的真子集可以分為三類即空集； 一元真子集； 二元真子集； 三元真子集。 空集沒有真子集，一元集合的真子集有 2 個，其中一個為空集； 二元集合的真子集有 3 個，其中一個為空集；三元集合的真子集有 7 個，其中一個為空集。除去空集重復，一共有C14 1C42 2C43 6141種。上述解法是錯的。仍以舉例分析。 一元真子集如1 或 3 等等，其真子集只能是空集，僅算一個；二元子集如 1,3 或1,5等等，其真子集為空集和一元集合 1,3,5，不難發現，一元真子集也

7、有重復，三元集合的真子集也也有類似的重復。因此上述解法由于分類后并不清楚，仍有重復計算。正確的解法：由分析不難看出，盡管每種分類都有重復，但可以發現，其孫集必為真子集，而且最多是二元真子集。 所以分三類： 空集；一元集合， 有 C41 個；二元集合， 有 C42個，共計 C40C41C4211個。對策： 此類重復計算問題往往比較隱蔽，學生易犯錯誤，而且不易察覺。但仔細回顧這三道例題，我們還是有規律可尋，有方法可依的。一、通過題組訓練，強化模式識別。對于易產生重復的題目有很多還是有相似之處的。可以通過題組的形式，讓學生強化對該類題目的辨析和認識。筆者列舉如下一組問題，請讀者仔細考慮。（ 1）袋中

8、裝有大小相同、編號各不相同的五個紅球、四個黑球，從中取出 5 個，紅球，黑球各至少有 2 個的不同取法有多少種？（ 2）某演出隊有 9 名歌舞演員，其中 7 人會表演唱歌節目， 5 人會表演舞蹈節目，今從 9 人中選 2 人， 1 人表演唱歌， 1 人表演舞蹈，則不同的選法有多少種？（ 3）有學生 10 人，其中團員4 人，現平均分成2 組，若每組都要分2 名團員，那么不同的分組方法有多少種？（ 4）某籃球隊有11 名隊員，其中5 人只能打前鋒，4 人只能打后衛，其余2 人可打前鋒可打后衛。現從中選5 人（ 3 前鋒 2 后衛）出場，有幾種選法？現從中選10 人組成 2 個隊對抗，每隊都是3

9、前鋒 2 后衛，有幾種選法？（ 5） A 的一邊有4 個點，另一邊有5 個點，連同頂點一共10 個點，可以作出多少個三角形？（ 6）有紅黃藍三種顏色卡片各5 張，每種卡片上分別寫有1，2，3， 4， 5 五個數字，如果每次提取4 張卡片，要求顏色齊全，數字不同，那么取法種數共有多少種？（ 7）從 1，2， 3， 10 這 10 個數字種有放回地抽取3 次，每次抽取1 個數字，3次抽取中最小數為3 的所有可能種數為多少？（提示： 1、 2 兩題參考例1； 3、 4 兩題參考例2； 5、6、 7 先考慮分組。）二、由小見大，以點帶面，逐步摸清規律，合理分解。在剖析重復計算產生的原因的過程當中，我們不難發現錯誤的想法源于對整體情況的把握不夠完整，問題考慮得不夠清晰。對于這樣的問題，學生的反映或者是無從下手，或者是惰于思考， 想不周全。 實際上以上三例的解析已經給出行之有效的一套方案。一方面，我們通過舉例發現重復計算的問題，而另一方面， 我們還是通過舉例，先列舉出一些特例，同時在舉例的過程中，尋找共同點，逐步發現