1、系數的擴充和復數的導入知識導圖一、概念1、虛數單位引入一個新數i,i叫作虛數單位，并規定：a>i2=-lb、實數可以與它進行四則運算，進行四則運算時，原有的加、減運算律仍然成立。典例：i是虛數單位，計算i+i2+i3=()A、-1B、1C、-iD、i注意：1=1,1=-l;1=1,1=-l.變式訓練：i是虛數單位，假設集合s=(-l,o,l),則()A、iesB、i2esC、i3esD、2/ies2、復數和復數集我們把C=(a+bi|a,bGR中的數，即形如a+bi(a,beR)的數叫復數。全體復數所形成的集合C叫作復數集。注意：(1) 當且僅當b=0時，a+bi是實數。(2) 當且僅當

2、a=b=O時，a+bi是實數0<>當屏0時,a+bi是虛數。(3) 當a=0且時，叫作純虛數。典例：以下命題中：a、假設aeR,則a+l)i是純虛數；b、假設a,b£R且a>b,則a+i3>b+i2.C、假設(x2-1)+(x2+3x+2)i是純虛數，則實數x=±l.d、兩個虛數不能比較大小。其中，正確命題的個數為)A、1B、2C、3D、4變式訓練：對于復數a+bi(a,beR)，以下結論正確的選項是(A、a=OUa+bi為純虛數B、b=OUa+bi為實數C、a+(b-l)i=3+2iUa=3,b=-3D、-1的平方等于i.3、復數的表示復數通常用字

3、母z表示，即z=a+bi(a,b£R),這一表示形式叫作復數的代數形式。其中a與b分別叫作復數z的實部與虛部。典例：設a,beR.a=0是復數a+bi是純虛數的()A、充分而不必備條件B、必要而不充分條件C、充分必要條件D、既不充分也不必要條件4、復數相等在復數集C=(a+bi|a,beR)中任取兩個數a+bi,c+dia,b,c,dR),我們規定：a+bi與c+di相等的充要條件是a=c且b=d.典例：假設xGR,試確定實數a的值，使等式3x2-a/2x+(2x2+x)i=l+10i成立。變式訓練：已知Zi=(cosa-4/5)+i(sina-3/5),z2=cosb+isinb,

4、且Zi=z2求cos(a-b)的值。5、復數的分類實數集R是復數集C的真子集，即R1C。這樣，復數z=a+bi可以分類如下：f實數(b=0)復數虛數"0)(當a=0時為純虛數)典例：己知復數z/+(己5奸6)禎?R).實數a取什么值時，z是(1)實數？cr-1(2)虛數？(3)純虛數？6、復數的幾何意義1、根據復數相等的定義，任何一個復數z=a+bi,都可以由一個有序實數對a,b)唯一確定。因為有序實數對a,b)與平面直角坐標系中的點一一對應，所以復數集與平面直角坐標系中的點集可以建立一一對應。bZ=a+biOaX如上圖所示，點Z的橫坐標是a,縱坐標是b,復數z=a+bi可用點z(a

5、,b)表示，這個建立了直角坐標系來表示復數的平面叫作復平面，x軸叫作實軸，y軸叫作虛軸。顯然實軸上的點都表示實數，虛軸上的點都表示純虛數。復數z=a+bi一復平面點z(a,b)成一一對應的關系。復平面上的點都可以表示復數，復數都可以在復平面上表示，且唯一確定。2、在平面直角坐標系中，每一個平面向量都可以用一個有序實數對來表示，而有序實數對與復數是一一對應的，這樣，我們還可以用平面向量來表示復數。bZ=a+bix如下圖，設復平面內一點Z表康復數z=a+bi,連接O乙顯然向量OZ由點Z唯一確定；反過來，點Z相對于原點來說)也可以由向量OZ唯一確定。因此，復數集C與復平面內的向量所成的集合也是一一對

6、應的實數。與零向量一一對應)。復數z=a+bi平面向量OZ成對應關系.7、復數的模1、復數的模向量0Z的模r叫作復數z=a+bi的模，記作|z|或|a+bi|.如果b=0,那么z=a+bi是一個實數a,它的模等于|a|(就是a的絕對值)。由模的定義有：IzI=Ia+bi|=r=a2+b2(rO,rR)2、模的幾何意義|z|=|0Z|,即點z(a,b)到原點。的距離。一般地,IzlzJ即為復平面內點小到Z2的距離。典例：己知復數z的模為2,求|z-l|的最大值。變式訓練：如果|z-43i|冬3,求|z|的取值范圍。易錯題己知x滿足x2+(x+2)i=2i,求x的值。知識導圖二、四則運算1、復數加

7、法法則Z1Z2EC)1、設zi=a+bi,Z2=c+di是任意兩個復數，則zi+Z2=(a+c)+(b+d)i.2、運算率：Zl+Z2=Z2+Zl(Zl+Z2)+Z3=Zl+(Z2+Z3)3、幾何意義設向量ozi與向量0Z2分別與復數a+bi,c+di對應，則向量ozi=(a,b),向量0Z2=(c,d),由平面向量的坐標運算，得ozi+oz2=(a+c,b+d).2、復數的減法運算(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i,減法運算是加法的逆運算，滿足加法的運算準則。典例：(-2+3i)+(5-i)(a+bi)-(2a-3bi)-3i(a,bR)3、復數的乘法1、乘法法則設zi=a

8、+bi,Z2=c+di是任意兩個復數，那么它們的積(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i2、運算律Zl.Z2=Z2.Zl(Z1.Z2).Z3=Zi(Z2.Z3)Z1.(Z2+Z3)=ZiZ2+ZiZa注意：zR時,|z2|=|z|2=z2；zC時,|z|2R而/C,所以z2#|z|zR時，Z12+Z22=O*->Z1=O且Z2=o；zC時，假設Z12+Z22=O則Z12=-Z22,所以Z1=+/-z2i.典例：假設(1+i)(2+i)=a+bi,其中a,bR,i為虛數單位，則a+b=.4、共藐復數一般地，當兩個復數的實部相等，虛部互為相反數時，這兩個復數叫作互為共新復

9、數。虛部不等于0的兩個共帆復數也叫作互為共軸虛數。通常記復數為z的共輾復數為乙注意：互為共鈕復數對應的點在復平面上關于實軸對稱。 實數的共扼復數是它本身。 假設zHO且z+z=0,則z為純虛數。典例：假設復數z=1+i(i是虛數單位)，z是z的共軸復數，則z2+z2虛部為)A、0B、-1C、1D、-25、復數的除法(a+bi)-?(c+di)=(ac+bd)/c2+d2+(bc-ad)/c2+d2i(c+di和).復數除法運算實際是乘法的逆運算。典例：已知i是虛數單位，則3+i/1-i=()A、1-2iB、2-iC、2+iD、1+2i復數的綜合運算1、假設復數z滿足z(2-i)=ll+7i(i

10、為虛數單位)，則z%()A、3+5iB、3-5iC、-3+5iD、-3-5i變式訓練：設i為虛數單位，則復數5-6i/i=()A、6+5iB、6-5iC、-6+5iD、-6-5i復數的方程問題假設l+、'2i是關于x的實系數方程x2+bx+c=0的一個復數根，則()A、b=2,c=3B、b=-2,c=3C、b=-2,c=-1D、b=2,c=-1變式訓練:方程x2+6x+13=0的一個根是(A、-3+2iB、3+2iC、-2+3iD、2+3i3、純虛數考察兩個共鈕復數的差是()D、零或純虛數D、零或純虛數A、實數B、純虛數C、零4、復數的幾何意義復平面內，滿足條件|z-2i|+|z+l|二姑的點的軌跡是()A、橢圓B、直線C、線段D、圓常用結論1