1、全等三角形單元復習練習（Word版含答案）一、八年級數(shù)學軸對稱三角形填空題（難）1.在R0ABC中，NABC=90°,AB=3,BC=4,點E,F分別在邊AB,AC上，將ZkAEF沿直線EF翻折，點A落在點P處，且點P在直線BC上.則線段CP長的取值范圍是.【答案】1<CP<5【解析】【分析】根據(jù)點E、F在邊AB、AC上，可知當點E與點B重合時，CP有最小值，當點F與點C重合時CP有最大值，根據(jù)分析畫出符合條件的圖形即可得.【詳解】如圖，當點E與點B重合時，CP的值最小，A此時BP=AB=3,所以PC=BC-BP=4-3=1,如圖，當點F與點C重合時，CP的值最大,A此時

2、CP=AC,RUABC中，ZABC=90°,AB=3,BC=4,根據(jù)勾股定理可得AC=5,所以CP的最大值為5,所以線段CP長的取值范圍是1<CP<5,故答案為1<CP<5.【點睛本題考查了折疊問題，能根據(jù)點E、F分別在線段AB、AC±,點P在直線BC上確定出點E、F位于什么位置時PC有最大（小）值是解題的關鍵.2. 如圖，在四邊形ABCD中，BC=CD,對角線平分匕4OC，連接AC,ZACB=2ADBC,若AB=4,BD=10,則SABC=.【答案】10【解析】【分析】由等腰三角形的性質和角平分線的性質可推出AD/BC,然后根據(jù)平行線的性質和已知條

3、件可推出CA=CD9可得CB=CA=CD9過點C作CEA.BD于點E,CF±AB于點F,如圖，根據(jù)等腰三角形的性質和已知條件可得DE的長和ZBCF=ZCDE,然后即可根據(jù)AAS證明BCFMDE,可得CF=DE,再根據(jù)三角形的面積公式計算即得結果.【詳解】解：BC=CD,:.ZCBD=ZCDB.V 平分ZADC,ZADBNCD8,:.zcbd=zadb9:.ad/bc9:.zcad=zacb,/ZACB=2ZDBC,ZADC=2ZBDC,/cbd=zcdb,ZACB=ZAOC，.ACAD=ZADC,:.CA=CD.:.CB=CA=CD9過點C作CE±BD于點E,CFLAB于點

4、F,如圖，則DE=：BD=5,2zbcf=Lzacb,2V ZBDC=-ZADC.ZACB=ZADC,nBCFdCDE,2在4BCF和ZkCDE中，；ZBCF=ZCDE，ZBfC=ZCED=90%CB二CD,:.BCFWCDE(AAS),:CF=DE=5,S=AB-CF=x4x5=10.wc22故答案為：10.【點睛】本題考查了等腰三角形的判定和性質、平行線的判定和性質、角平分線的定義以及全等三角形的判定和性質等知識，涉及的知識點多、綜合性強、具有一定的難度，正確添加輔助線、熟練掌握上述知識是解題的關鍵.3. 我們知道，經(jīng)過三角形一頂點和此頂點所對邊上的任意一點的直線，均能把三角形分割成兩個三

5、角形(1) 如圖，在AABC中，匕4=25。,匕ABC=105。，過8作一直線交AC于£),若BD把M8C分割成兩個等腰三角形，則的度數(shù)是.(2) 已知在AA8C中，AB=AC,過頂點和頂點對邊上一點的直線，把AA8C分割成兩個等腰三角形，則匕4的最小度數(shù)為.。(180Y【答案】130|j【解析】【分析】(1) 由題意得：DA=DB,結合ZA=25°,即可得到答案：(2) 根據(jù)題意，分4種情況討論，當BD=AD,CD=AD,當AD=BD,AC=CD,AB=AC,當AD=BD=BC,當AD=BD,CD=BC,分別求出£4的度數(shù)，即可得到答案.【詳解】(1) 由題意得

6、：當DA=BA,BD=BA時，不符合題意，當DA=DB時，貝IZABD=ZA=25°,.ZBDA=180°-25°x2=130°.故答案為：130。：(2) 如圖1,.AB=AC,當BD=AD,CD=AD,.ZB=ZC=ZBAD=ZCAD,VZBAC+ZB+ZC=180°,A4ZB=180°,ZBAC=90°. 如圖2,VAB=ACt當AD=BD,AC=CD,AZB=ZC=ZBAD.ZCAD=ZCDA.:ZCDA=ZB+ZBAD=2ZB,AZBAC=3ZB,VZBAC+ZB+ZC=180°,A5ZB=180

7、6;,AZB=36°,:.ZBAC=108°. 如圖3,VAB=AC,當AD=BD=BC,AZABC=ZC.ZBAC=ZABD,ZBDC=ZC,.:ZBDC=ZA+ZABD=2ZBAC,ZABC=ZC=2ZBAC,ZBAC+ZABC+ZC=180°.A5ZBAC=180°,ZBAC=36°. 如圖4,.AB=AC,當AD=BD,CD=BC,AZABC=ZC>ZBAC=ZABD,ZCDB=ZCBD,.:ZBDC=ZBAC+ZABD=2ZBAC,:.ZABC=ZC=3ZBACtZBAC+ZABC+ZC=180°,A7ZBAC=180

8、°,180oAZBAC=()°1QA綜上所述，NA的最小度數(shù)為：（號）。.圖1AD圖2DB圖35圖4【點睛】本題主要考查等腰三角形的性質定理以及三角形內角和定理與外角的性質，根據(jù)等腰三角形的性質，分類討論，是解題的關鍵.4.如圖，P為NAOB內一定點，M,N分別是射線OA,OB上一點，當PMN周長最小時，ZOPM=50%貝IJZAOB=【答案】40°【解析】【分析】作P關于OA,OB的對稱點Pi,P2.連接OPi,OP2.則當M,N是P1P2與OA,OB的交點時，APMN的周長最短，根據(jù)對稱的性質可以證得：ZOPiM=NOPM=50。，OPOP2=OP，根據(jù)等腰三

9、角形的性質即可求解.【詳解】如圖：作P關于OAfOB的對稱點Pi,P2.連接OPi,0P2.則當MfN是PR與OA、0B的交點時，APIVIN的周長最短，連接PO、P2。，PPi關于OA對稱，AZPiOP=2ZMOPrOP1=OP,PiM二PM,ZOP1M=ZOPM=50°同理，ZP2OP=2ZNOP,OP二OP2,AZPiOP2=ZPiOP+ZP2OP=2(ZMOP+ZNOP)=2ZAOB,OPi=OP2=OP,.P1OP2是等腰三角形.ZOP2N=ZOPiM=50°,AZPiOP2=180o-2x50°=80<,f/.NAOB=40°,故答案為

10、：40°【點睛】本題考查了對稱的性質，正確作出圖形，證得左?】。?是等腰三角形是解題的關鍵.5.如圖，在ABC中，AB的中垂線交BC于D,AC的中垂線交BC于E,若ZBAC=126°,則匕EAD=°.【答案】72°【解析】【分析】根據(jù)AB的中垂線可得匕。4£),再根據(jù)AC的中垂線可得ZE4C,再結合ZBAC=126°即可計算出匕EAD.【詳解】根據(jù)AB的中垂線可得ZBAD=XB根據(jù)AC的中垂線可得ZE4C=ZCZB+ZC=180°-126°=54°又.ZBAD+ZDAE+ZEAC=ZBAC=126

11、6;ZB+ZC+ZDAE=126°ZDAE=72°【點睛】本題主要考查中垂線的性質，重點在于等量替換表示角度.6. 如圖，在四邊形ABCD中，AB=AD,BC=DC,匕4=60。，點EJAD邊上一點，連接BD.CE,CE與BD交于點、F,且CE/AB.若AB=8,CE=6,則8C的長為.【答案】2J7【解析】【分析】由AB=AD,BC=DC知點A,C都在BD的垂直平分線上，因此，可連接AC交于點。，易證是等邊三角形，£©尸是等邊三角形，根據(jù)等邊三角形的性質對三角形中的線段進行等量轉換即可求出OB,0C的長度，應用勾股定理可求解.【詳解】解：如圖，連接AC

12、交于點。VAB=AD,BC=DC,ZA=60°,AAC垂直平分BD，8切是等邊三角形AZBAO=ZDAO=30°,AB=AD=BD=8,BO=OD=4CE/AB.ZBAO=ZACE=30°,ZCED=ABAD=60°ZDAO=ZACE=3(TAE=CE=6:.DE=AD-AE=2ZCED=ZADB=60°.EDP是等邊三角形:DE=EF=DF=2：.CF=CEEF=4,OF=ODDF=2OC=>CF2-OF2=2占BC=yjBO2+0C2=27【點睛】本題主要考查了等邊三角形的判定與性質、勾股定理，綜合運用等邊三角形的判定與性質進行線段間

13、等量關系的轉換是解題的關鍵.7. 如圖，已知每個小方格的邊長為L月、8兩點都在小方格的格點（頂點）上，請在圖中找一個格點C,使ABC是等腰三角形，這樣的格點C有個。AB【答案】8【解析】【分析】分別以A、B點為圓心，AB為半徑作圓，找到格點即可（A、B、C共線除外）：此外加上在AB的垂直平分線上有兩個格點，即可得到答案.【詳解】解：以A點為圓心，AB為半徑作圓，找到格點即可，（A、B、C共線除外）：以B點為圓心，AB為半徑作圓，在OB±的格點為C點；在AB的垂直平分線上有兩個格點.故使AABC是等腰三角形的格點C有8個.,4A/t1.,11,ii.1i11【點睛】本題考查了等腰三角形

14、的判定，解題的關鍵是畫出圖形，利用數(shù)形結合解決問題.8. 已知如圖，每個小正方形的邊長都是1，4，總，4.都在格點上，都是斜邊在工軸上，且斜邊長分別為2,4,6,.的等腰直角三角形.若A/q的三個頂點坐標為4(2,0),&(1,-1),人(0,0)測依圖中規(guī)律，則的坐【答案】(-8,0)【解析】【分析】根據(jù)相鄰的兩個三角形有一個公共點，列出與三角形的個數(shù)與頂點的個數(shù)的關系式,再求出A】9所在的三角形，并求出斜邊長.然后根據(jù)第奇數(shù)個三角形，關于直線x=i對稱，第偶數(shù)個三角形關于直線x=2對稱，求出oa】9,寫出坐標即可.【詳解】解：設到第n個三角形頂點的個數(shù)為y則y=2n+l,當2n+l

15、=19時,n=9,.A”是第9個三角形的最后一個頂點，.等腰直角三角形的斜邊長分別為2,4,6.第9個等腰直角三角形的斜邊長為2X9=18,由圖可知，第奇數(shù)個三角形在x軸下方，關于直線x二1對稱，AOA13=9-1=8,.的坐標為(8,0)故答案是(-8,0)【點睛】本題考查點的坐標變化規(guī)律，根據(jù)頂點個數(shù)與三角形的關系，判斷出點A19所在的三角形是解題關鍵9.如圖，在AABC中，AB=BC=8,AO=BO,點M是射線CO上的一個動點，ZAOC=60。，則當ABM為直角三角形時，AM的長為.【答案】4。或4后或4【解析】【分析】分三種情況討論：當M在AB下方且ZAMB=90°時，當M在

16、AB上方且ZAMB=90°時，當ZABM=90。時，分別根據(jù)含30。直角三角形的性質、直角三角形斜邊的中線的性質或勾股定理，進行計算求解即可.【詳解】如圖1,當ZAMB=90°時,.O是期的中點，AB=8,OM=08=4,又ZAOC=ZBOM=60°f.80M是等邊三角形，:.BM=B0=,:.RtABM枷二Jab】-bm'=4;如圖2,當ZAMB=90°時,.O是A8的中點，AB=8,：.0M=0A=n,又ZAOC=60°,.AOM是等邊三角形，:.AM=A0=4；如圖3,當ZABM=90°時，9：ZBOM=ZAOC=60&

17、lt;>f:.ZBMO=30°rAMO=28O=2x4=8,商BOM中，BM二MO匚OB?,:,RtABM中，NM=Jab，+BM，=綜上所述，當M8M為直角三角形時，AM的長為4JT或4J7或4.故答案為4JJ或47或410.如圖，中，AB=AC=12厘米，8C=9厘米，點D為AB的中點，如果點P在線段8C上以"厘米/秒的速度由8點向C點運動，同時點Q在線段朗上由C點向A點運動。若點Q的運動速度為3厘米/秒，則當ABPD與ZiCQP全等時，v的值為【答案】2.25或3【解析】【分析】分兩種情況討論：若BPDACPQ,根據(jù)全等三角形的性質，則BD=CQ=6厘米,BP=

18、CP=1bC=Ix9=4.5（厘米），根據(jù)速度、路程、時間的關系即可求得；若229V/6BPD竺CQP,貝iJCP=BD=6厘米，BP=CQ,得出，解得：v=3.vt=3t【詳解】解：ABC中，AB=AC=12厘米，點D為AB的中點，BD=6厘米，若左BPDACPQ,則需BD=CQ=6厘米，BP=CP=|bC=|X9=4.5（厘米），.點Q的運動速度為3厘米/秒，點Q的運動時間為：64-3=2（s）,Av=4.52=2.25（厘米/秒）:若左BPD竺CQP,則需CP=BD=6厘米，BP=CQ,。一W=6則有c，vt=3t解得：v=3.v的值為：2.25或3厘米/秒故答案為：2.25或3.【點睛

19、】本題考查了全等三角形的判定和線段垂直平分線的性質.注意垂直平分線上任意一點，到線段兩端點的距離相等.二、八年級數(shù)學軸對稱三角形選擇題（難）11.如圖所示，0P平分匕PA1OA,PBLOB,垂足分別為4、B.下列結論中不一定成立的是（）.APBA.PA=PBc.0A=OBB.P0平分NAPBD.A8垂直平分0P【答案】D【解析】【分析】根據(jù)角平分線上的點到角的兩邊距離相等可得出PA=PB,再利用“HL”證明AAOP和ABOP全等，可得出ZAPO=ABPO,OA=OB,即可得出答案.【詳解】解：.0P平分匕PAVOA,PBLOBPA=PB,選項A正確：在AOP和ABOP中，PO=POpa=pb&

20、#39;：.AOP=BOP:.ZAPO=ZBPO,OA=OB,選項B,C正確：由等腰三角形三線合一的性質，0P垂直平分AB,AB不一定垂直平分0P,選項D錯誤.故選：D.【點睛】本題考查的知識點是角平分線的性質以及垂直平分線的性質，熟記性質定理是解此題的關鍵.12.已知ZMQV=40°,P'為ZMON內一定點，上有一點A，ON上有一點B，當A.40°B.50°C.100°D.140°【答案】c【解析】【分析】設點P關于OM、QV對稱點分別為點、,當點A、在上時，唯周長為PA+AB+BP=PP，,此時周長最小.根據(jù)軸對稱的性質，可求出匕4

21、所的度數(shù).【詳解】分別作點P關于QM、ON的對稱點P，、產(chǎn),連接OP'、OP”、PP交OM、QN于點A、B,連接24、PB,此時周長的最小值等于叩.由軸對稱性質可得，OP=OP”=OP,zp,oa=zpoa9ob=ob,/./TOPf=2ZMON=2x40°=80°,.*OP，P”=ZOP'P'=（180。一80°）+2=50。，又.DR?=Z"'g=50°,ZAPO=ZAPO=.:./APB=ZAPO+ABPO=100°.故選：C.【點睛】此題考查軸對稱作圖，最短路徑問題，將三角形周長最小轉化為最短路

22、徑問題，根據(jù)軸對稱作圖是解題的關鍵.13.如圖，AAOB=a,點P是匕4OB內的一定點，點分別在04、彼上移動,當AF"的周長最小時，ZMPN的值為（）QMAA.90+aB.90+-aC.180-aD.180一2a2【答案】D【解析】【分析】過P點作角的兩邊的對稱點，在連接兩個對稱點，此時線段與角兩邊的交點，構成的三角形周長最小.再根據(jù)角的關系求解.【詳解】解：過P點作OB的對稱點4,過P作OA的對稱點4,連接£4,交點為M,N,則此時PMN的周長最小，且八4人/和八PMR為等腰三角形.此時ZPP>=180°-a；設ZNPM=x°,則180

23、6;-x°=2(ZP/-xo)所以x°=180°-2a【點睛】求出M.N在什么位子PMN周長最小是解此題的關鍵.14.如圖，匕403=60'，OC平分匕4QB，如果射線Q4上的點E滿足/XOCf是等腰三角形，那么ZOEC的度數(shù)不可能為()A.120°B.75°C.60°D.30°【答案】C【解析】【分析】分別以每個點為頂角的頂點，根據(jù)等腰三角形的定義確定NOEC是度數(shù)即可得到答案.【詳解】£408=60°，0C平分匕4QB，ZAOC=30°,當0C=CE時，ZOEC=ZAOC=30

24、76;,當oe=ce時，Noec=180°-NOCENCOE=120。，當0C=0E時，Z0EC=-(180°-NCOE)=75。，2.Z0EC的度數(shù)不能是60°,故選：C.【點睛】此題考查等腰三角形的定義，角平分線的定義，根據(jù)題意正確畫出符合題意的圖形是解題的關健.15.在一個3x3的正方形網(wǎng)格中，A，是如圖所示的兩個格點，如果C也是格點，且ABC是等腰三角形，則符合條件的C點的個數(shù)是()【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題意、結合圖形，畫出圖形即可確定答案.【詳解】解：根據(jù)題意，畫出圖形如圖：共8個.故答案為C.【點睛】本題主要考查了等腰三角形的判定，根據(jù)題意、畫

25、出符合實際條件的圖形是解答本題的關鍵.16.如圖，在銳角ZVIBC中，AC=10.Sw=25,ZBAC的平分線交8C于點D,點M,N分別是AD和A8上的動點，貝IBM+MN的最小值是（）24A.4B.C.5D.65【答案】C【解析】試題解析：如圖,AD是ZBAC的平分線，點B關于AD的對稱點B，在AC上，過點B，作B#N±AB于N交AD于M.由軸對稱確定最短路線問題，點M即為使BM+MN最小的點，B/N=BM+MN,過點B作BE±AC于E,VAC=10rSaabc=25,IA-xlO>BE=25,2解得BE=5,AD是ZBAC的平分線，B，與B關于AD對稱，AB二AB

26、',ABB，是等腰三角形，ABZN=BE=5,即BM+MN的最小值是5故選C17.如圖，R摩BC中，ZACB=90tAC=3,8C=4,AB=59將邊AC沿CE翻折，使點A落在ABh的點D處：再將邊8C沿CP翻折，使點8落在CD的延長線上的點&處，兩條折痕與斜邊A8分別交于點£、F,則線段EF的長為（）【答案】B【解析】【分析】先利用折疊的性質證明出AECF是一個等腰直角三角形，因此EF=CE,然后再根據(jù)文中條件綜合得出Smbc=：ACBC=!aBCE,求出CE進而得出答案即可.22【詳解】根據(jù)折疊性質可知：CD=AC=3,BC=g'C=4,ZACE=ZDCE

27、,ZBCF=ZBrCF,CE_LAB,AZDCE+ZBrCF=ZACE+ZBCFtVZACB=90°,AZECF=45°,XVCE1AB,.ECF是等腰直角三角形，AEF=CE,又Saabc=-AC-BC=LABCE,22AACBC=ABCE,VAC=3.BC=4,AB=5t:,CE=t512AEF=.5所以答案為B選項.【點睛】本題主要考查了直角三角形與等腰三角形性質的綜合運用，熟練掌握相關概念是解題關鍵.18.如圖，在ABC中，ZS=2ZC,AH±BC,AE平分至AC,M是8C中點,則下列結論正確的個數(shù)為（）（1）AB+BE=AC（2）AB+2BH=BC（3）AB=2HM（4）CH+EH=ACA.1B.2C.3D.4【答案】D【解析】【分析】（1）延長AB取BD=BE,連接DE,由ZD=ZBED,ZABC=2ZC得到ZD=ZC,在ADE和八ACE中，利用AAS證明ADE竺ACE,可得AOAD=AB+BE：（2）在HC上截取HF=BH,連接AF,可知AABF為等腰三角形，再根據(jù)ZABC=ZAFB=2ZC,可得出afc為等腰三角形，所以fc+bh+hf=ab+2BH=bc：（3）所以2HM=2BM-2BH=BC-2BH,再結合（2）中結論，可得AB=2HM（4）結合（1）（2）的結論，AC=A3+8E=BC2BH+BE=BCBH+BEBH=CH+E