1、高等數(shù)學(xué)下冊知識點(diǎn)第八章空間解析幾何與向量代數(shù)(一)向量及其線性運(yùn)算1、向量，向量相等，單位向量，零向量，向量平行、共線、共面;2、線性運(yùn)算：加減法、數(shù)乘；3、空間直角坐標(biāo)系：坐標(biāo)軸、坐標(biāo)面、卦限，向量的坐標(biāo)分解式;4、利用坐標(biāo)做向量的運(yùn)算：設(shè)a(ax,ay,az),b(bx,by,bz),則ab(axbx,ayby,azbz),a(a*,ay,az)；5、向量的模、方向角、投影：r2221） 向量的模：r，xyz；2)兩點(diǎn)間的距離公式：AB|J(x2xi)2(y2yi)2%乙)23)方向角：非零向量與三個坐標(biāo)軸的正向的夾角,4)方向余弦：c0sx一，cosry,cosrcos2cos2cos

2、215）投影：Prjuaacos,其中為向量a與u的夾角。（二）數(shù)量積，向量積1、數(shù)量積：ab|a|bcos2Daaa2） abab0abaxbxaybyazbz2、向量積：cab大小：|a|b|sin，方向：a,b,c符合右手規(guī)則1)aa02) a/bab01 jkabaxayazbxbybz運(yùn)算律：反交換律baab(三)曲面及其方程1、曲面方程的概念：S:f(x,y,z)02、旋轉(zhuǎn)曲面：yoz面上曲線C:f(y,z)0,繞y軸旋轉(zhuǎn)一周：f(y,Jx2z2)022繞z軸旋轉(zhuǎn)一周：f(Vxy,z)03、柱面：的柱面F(x,y)0F(x,y)0表示母線平行于z軸，準(zhǔn)線為z04、二次曲面22xy2

3、1)橢圓錐面：a2b2z2）橢球面:2x2a2yb2旋轉(zhuǎn)橢球面:2x2a2y2a2z-23)單葉雙曲面:2x-2a4)雙葉雙曲面:2x2a5)橢圓拋物面:2x2a6)雙曲拋物面（馬鞍面）7)橢圓柱面:2x-2a8)雙曲柱面:9)拋物柱面:2x2a2x（四）空間曲線及其方程1、般方程:2、參數(shù)方程:2yb22yb22yb22yb22yb2ay2z-2c2z2c2x2a2yb2F(x,y,z)G(x,y,z)xx(t)acosty(t),如螺旋線:z(t)asintbt3、空間曲線在坐標(biāo)面上的投影F(x,y,z)G(x,y,z)0H（x,y）0c,消去z,得到曲線在面xoy上的投影0z0（五）平面

4、及其方程1、點(diǎn)法式方程：A（xxo）B（yyo）C（zz。）0法向量：n(A,B,C),過點(diǎn)(x0,y0,z°)2、一般式方程：AxByCzD0x截距式方程：一a3、兩平面的夾角:ni(A，Bi,Ci),n；AB©),cosAA2B1B2C1c2Bi2Ci2、b；C；A1A2B1B2C1C21A且_C±a2b2c24、點(diǎn)P0(x0,y°,z°)到平面AxByCzD0的距離:Ax°By°Cz0D（六）空間直線及其方程i、一般式方程:A1xB1yC1zD10A2xB2yC2zD202、對稱式（點(diǎn)向式）方程:xx°yy&

5、#176;zz°mnp方向向量：S(m,n,p),過點(diǎn)(x。，y0,Zo)xx0mt3、參數(shù)式方程：yyontZZopt4、兩直線的夾角:Si(。，必向，S2(m2,n2,p2),cosmim2nin2P1P222,mini222pi,m2n22p2mm2nQpip2O叫凡rm2n2p25、直線與平面的夾角：直線與它在平面上的投影的夾角,sinL/L第九章AmBnCp|.'A2B2C2,m2n2p2AmBnCp0ABCmnp多元函數(shù)微分法及其應(yīng)用(一)基本概念I(lǐng)、距離，鄰域，點(diǎn)，外點(diǎn)，邊界點(diǎn)，聚點(diǎn)，開集，閉集，連通集，區(qū)域，閉區(qū)域,有界集，無界集。2、多元函數(shù)：zf(x,y)

6、,圖形：3、極限：lim、f(x,y)A(x,y)(xo,y。)4、連續(xù)：，lim、f(x,y)f(xo，y。)(x,y)(xo，y。)5、偏導(dǎo)數(shù)：fX(Xo，yo)明f(X0x,yo)f(Xo,yo)fy(Xo，yo)lymf(Xo,y。oXy)f(Xo,yo)y6、方向?qū)?shù):ffcoslXf一cos苴中y為l的方向角。7、梯度：zf(x,y),則gradf(Xo，y0)fx(Xo，yo)ify(Xo，yo)j。8、全微分：設(shè)zf(X,y),則dzdXdy（二）性質(zhì)1、函數(shù)可微，偏導(dǎo)連續(xù)，偏導(dǎo)存在，函數(shù)連續(xù)等概念之間的關(guān)系:12、閉區(qū)域上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)（有界性定理，最大最小值定理，介值定理）

7、3、微分法1)定義:2)復(fù)合函數(shù)求導(dǎo):鏈?zhǔn)椒▌tzf(u,v),uu(x,y),vv(x,y),則3）隱函數(shù)求導(dǎo)：兩邊求偏導(dǎo),然后解方程（組）（三）應(yīng)用1、極值1）無條件極值:求函數(shù)zf(x,y)的極值fx解方程組ffy求出所有駐點(diǎn)，對于每一個駐點(diǎn)（xo,y。），令A(yù)fxx(x0,y。)，fxy(x0,yo),Cfyy(xo,y。),若ACB20,A0,函數(shù)有極小值,若ACB20,A0,函數(shù)有極大值;若ACB20,函數(shù)沒有極值;若ACB20,不定。2）條件極值:求函數(shù)zf（x,y）在條件（x,y）0下的極值令：L(x,y)f(x,y)(x,y)Lagrange函數(shù)Lx解方程組Ly(x,y)02、

8、幾何應(yīng)用1）曲線的切線與法平面xx（t）由線：yy，則上一點(diǎn)M（Xo，yo，Zo）（對應(yīng)參數(shù)為to）處的ZZ（t）xXoyyozZo切線方程為：而m而法平面方程為：x(to)(xXo)y(to)(yyo)z(t°)(zz°)2)曲面的切平面與法線曲面：F(x,y,z)o,則上一點(diǎn)M(x°,y°,zo)處的切平面方程為：Fx(xo,yo,zo)(xxo)Fy(xo,yo,zo)(yy。)Fz(x。,yo,zJ(zzo)oxxoyyozz0法線方程為：匚人、,二匚(、,7匚(、,二Fx(xO,yO,zO)Fy(xO,yO,zO)Fz(xo,yo,zo)第十章

9、重積分（一）二重積分n1、定義：f(x,y)dlimf(k,k)kDOk12、性質(zhì)：(6條)3、幾何意義：曲頂柱體的體積4、計算：1) 直角坐標(biāo)(x,y)i(x)y2(x)xbf(x,y)dxdyDbdxa2(x)i(x)f(x,y)dyc/、i(y)x2(y)D(X，y)cydd2(y)f(x,y)dxdydyf(x,y)dxci(y)D2)極坐標(biāo)i(2()2()f(x,y)dxdydf(cos,sin)di()D(二)三重積分n1、定義：f(x,y,z)dvlim0f(k,k,k)vkuk12、性質(zhì)：3、計算：1)直角坐標(biāo)f(x,y,z)dvdxdyDz2(x,y)zi(x,y)f(X,y

10、,Z)dZ二”f(x,y,z)dvAbdzf(x,y,z)dxdyaDZ先二后2) 柱面坐標(biāo)xcosf(cos,sin,z)dddzysin,f(x,y,z)dvzz3) 球面坐標(biāo)xrsincosyrsinsinzrcosf(x,y,z)dvf(rsincos,rsinsin,rcos)r2sindrdd(三)應(yīng)用曲面S:zf(x,y),(x,y)D的面積：IA,1(z)2(z)2dxdyDxy第十一章曲線積分與曲面積分(一)對弧長的曲線積分n1、定義：Lf(x,y)ds叫f(i,i)4Ui12、性質(zhì)：1) Lf(x,y)(x,y)dsLf(x,y)dsLg(x,y)ds2) Lf(x,y)d

11、sLf(x,y)dsLf(x,y)ds.(LL1L2).LL1L23)在L上，若f(x,y)g(x,y),則Lf(x,y)dsLg(x,y)ds.4)Ldsl(l為曲線弧L的長度)3、計算：x(t),設(shè)f(x,y)在曲線弧L上有定義且連續(xù)，L的參數(shù)方程為y(t),(t),其中(t),在,上具有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且2(t)2(t)0,則Lf(x,y)dsf(t),(t)；(t)2(t)dt,()(二)對坐標(biāo)的曲線積分1、定義：設(shè)L為xoy面從A到B的一條有向光滑弧，函數(shù)P(x,y),Q(x,y)n在L上有界，定義LP(x,y)dxlim0P(k,k)xk5k1nLQ(x,y)dylim0Q(k,k)

12、Nk.Uk1向量形式：LFdrLP(x,y)dxQ(x,y)dy2、性質(zhì)：用L表示L的反向弧，則LF(x,y)drLF(x,y)dr3、計算：設(shè)P(x,y),Q(x,y)在有向光滑弧L上有定義且連續(xù)，L的參數(shù)方程為x(t),(t:),其中(t),。)在,上具有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且y(t),LP(x,y)dxQ(x,y)dy2(t)2(t)0,則P(t),(t)(t)Q(t),(t)(t)dt(t)(t)'L上點(diǎn)(x,y)處的切向量的方向角為:4、兩類曲線積分之間的關(guān)系:x設(shè)平面有向曲線弧為L：ycos/cos,2(t)2(t)'(t)J2(t)2(t)'貝UlPdxQdyL

13、(PcosQcos)ds.(三)格林公式1、格林公式：設(shè)區(qū)域D是由分段光滑正向曲線L圍成，函數(shù)P(x,y),Q(x,y)在QP,D上具有連續(xù)一階偏導(dǎo)數(shù)，則有二二；dxdy°PdxQdyDXyL2、G為一個單連通區(qū)域，函數(shù)P(x,y),Q(x,y)在G上具有連續(xù)一階偏導(dǎo)數(shù)，則Q_Pxy曲線積分PdxQdy在g與路徑無關(guān)L曲線積分？PdxQdy0LP(x,y)dxQ(x,y)dy在G為某一個函數(shù)u(x,y)的全微分(四)對面積的曲面積分1、定義:設(shè)為光滑曲面，函數(shù)f(x,y,z)是定義在上的一個有界函數(shù),n定義f(x,y,z)dSlimf(i,i,i)Si0i12、計算：“一單二投三代入

14、”:zz(x,y),(x,y)Dxy,則f(x,y,z)dSfx,y,z(x,y)、1zx2(x,y)zy2(x,y)dxdyDxy(五)對坐標(biāo)的曲面積分1、預(yù)備知識：曲面的側(cè)，曲面在平面上的投影，流量2、定義：設(shè)為有向光滑曲面，函數(shù)P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)是定義在上的有界函數(shù),n定義R(x,y,z)dxdylim。R(i,i,i)(Sy0i1同理，P(x,y,z)dydzlimP(i，i)(Si)yz0i1nQ(x,y,z)dzdxlimR(i,i,i)(S'0ii3、性質(zhì)：1) 12,則PdydzQdzdxRdxdyPdydzQdzdxRdxdyPdyd

15、zQdzdxRdxdy122) 表示與取相反側(cè)的有向曲面，則RdxdyRdxdy4、計算：一一“一投二代三定號”：zz(x,y),(x,y)D*y,zz(x,y)在Dxy上具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，R(x,y,z)在上連續(xù)，則R(x,y,z)dxdyRx,y,z(x,y)dxdy,為上側(cè)取“+”，Dxy為下側(cè)取“-”.5、兩類曲面積分之間的關(guān)系：PdydzQdzdxRdxdyPcosQcosRcosdS其中,為有向曲面在點(diǎn)(x,y,z)處的法向量的方向角。(六)高斯公式1、高斯公式：設(shè)空間閉區(qū)域由分片光滑的閉曲面所圍成，的方向取外側(cè)函數(shù)P,Q,R在上有連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù)，則有PQR八dxdydzPdy

16、dzQdzdxRdxdydxdydzPcosQcosRcosdS2、通量與散度通量：向量場A(P,Q,R)通過曲面指定側(cè)的通量為：PdydzQdzdxRdxdy散度：divA(七)斯托克斯公式1、斯托克斯公式：設(shè)光滑曲面的邊界是分段光滑曲線，的側(cè)與的正向符合右手法則，P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)在包含在的一個空間域具有連續(xù)一階Qdydzz偏導(dǎo)數(shù)，則有RQP-dzdxdxdy:PdxQdyRdzxxy為便于記憶，斯托克斯公式還可寫作dydzdzdxdxdyoPdxQdyRdzxyzPQR2、環(huán)流量與旋度環(huán)流量：向量場A(P,Q,R)沿著有向閉曲線的環(huán)流量為“PdxQdyR

17、dz旋度：rotARQPRQP,yzzxxy第十二章無窮級數(shù)（一）常數(shù)項級數(shù)1、定義：1）無窮級數(shù)：UnU1U2U3Unn1n部分和：SnUkU1U2U3k1正項級數(shù)：Un0n1交錯級數(shù)：（1）%n,Un0n12）級數(shù)收斂：若limSnS存在，則稱級數(shù)Un收斂，否則稱級數(shù)Un發(fā)散nn1n13）條件收斂：Un收斂，而MJ發(fā)散；n1n1絕對收斂：Un|收斂。n12、性質(zhì)：1）改變有限項不影響級數(shù)的收斂性；2）級數(shù)an,bn收斂，則（anbrJ收斂；n1n1n13）級數(shù)an收斂，則任意加括號后仍然收斂；n14）必要條件：級數(shù)Un收斂limUn0.（注意：不是充分條件！）n1n3、審斂法正項級數(shù)：4，

18、Un0n11）定義：limSnS存在；n2) Un收斂Sn有界；n13)比較審斂法：Un,Vn為正項級數(shù)，且UnVn(n1,2,3,)n1n1若Vn收斂，則un收斂；若Un發(fā)散，則Vn發(fā)散.n1n1n1n14)比較法的推論：Un,Vn為正項級數(shù)，若存在正整數(shù)m,當(dāng)nm時，n1n1UnkVn,而Vn收斂，則Un收斂；若存在正整數(shù)m,當(dāng)nm時，UnkVn,n1n1而Vn發(fā)散，則Un發(fā)散.n1n15)比較法的極限形式：Un,Vn為正項級數(shù)，若啊/I(°I)n1n1nVn，而收斂，則Un收斂；若啊30或啊匕，而發(fā)散，則Un發(fā)n1n1nVnnVn'n1n1散.6)比值法：Un為正項級數(shù)

19、，設(shè)nim3L則當(dāng)I1時，級數(shù)Un收斂；則n1Unn1當(dāng)I1時，級數(shù)Un發(fā)散；當(dāng)I1時，級數(shù)Un可能收斂也可能發(fā)散.n1n17)根值法：4為正項級數(shù)，設(shè)Iim瘋I,則當(dāng)I1時，級數(shù)Un收斂；則n1nn1當(dāng)I1時，級數(shù)Un發(fā)散；當(dāng)I1時，級數(shù)Un可能收斂也可能發(fā)散.n1n18)極限審斂法：4為正項級數(shù)，若nimnUn0或”mnUn，則級數(shù)Un),則級數(shù)Un收斂.n1n1n1發(fā)散；若存在p1,使得IimnpUnI(0In交錯級數(shù):萊布尼茨審斂法：交錯級數(shù):(1)n1Un,Un。滿足：Un1Un(n1,2,3,),且limun0,則級數(shù)nn(1Un收斂1收斂，|q|1發(fā)散，|q|1收斂，p1發(fā)散，p1任意項級數(shù):Un絕對收斂，則Un收斂。n1n1常見典型級數(shù)：幾何級數(shù)：aqnn01p-級數(shù)：Tpn1n(二)函數(shù)項級數(shù)1、定義：函數(shù)項級數(shù)Un(x),收斂域，收斂半徑，和函數(shù);n1n2、哥級數(shù)：anxn0收斂半徑的求法:limnan1an3、泰勒級數(shù)一、f(n)(x。),、f(x)一(xX0)n0n!,則收斂半徑limRn(x)nlimn0,f(n1)(n1)!(