1、第一章集合與常用邏輯用語§ 1.1 集合的概念與運(yùn)算一、知識導(dǎo)學(xué)1 .集合：一般地,一定范圍內(nèi)某些確定的、不同的對象的全體構(gòu)成一個(gè)集合2 .元素：集合中的每一個(gè)對象稱為該集合的元素,簡稱元3 .子集：如果集合A的任意一個(gè)元素都是集合B的元素假設(shè)a皂A那么awB,那么稱集合A為集合B的子集,記為AJB或B3A;如果AEB,并且A/B,這時(shí)集合A稱為集合B的真子集,記為A建B或B#A.4 .集合的相等：如果集合A、B同時(shí)滿足A三B、B=A,那么A=B.5 .補(bǔ)集：設(shè)ACS,由S中不屬于A的所有元素組成的集合稱為S的子集A的補(bǔ)集,記為CsA.6 .全集：如果集合S包含所要研究的各個(gè)集合,這

2、時(shí)S可以看做一個(gè)全集,全集通常記作U.7 .交集：一般地,由所有屬于集合A且屬于B的元素構(gòu)成的集合,稱為A與B的交集,記作A-B.8 .并集：一般地,由所有屬于集合A或者屬于B的元素構(gòu)成的集合,稱為A與B的并集,記作A一B.9 .空集：不含任何元素的集合稱為空集,記作中.10 .有限集：含有有限個(gè)元素的集合稱為有限集.11 .無限集：含有無限個(gè)元素的集合稱為無限集.12 .集合的常用表示方法：列舉法、描述法、圖示法Venn圖.13 .常用數(shù)集的記法：自然數(shù)集記作N,正整數(shù)集記作N+或N*,整數(shù)集記作Z,有理數(shù)集記作Q實(shí)數(shù)集記作R二、疑難知識導(dǎo)析1 .符號三,6,=,*,=,表示集合與集合之間的

3、關(guān)系,其中“三包括“箓和“=兩種情況,同樣“二包括“節(jié)和“=兩種情況.符號三,更表示元素與集合之間的關(guān)系.要注意兩類不同符號的區(qū)別.2 .在判斷給定對象能否構(gòu)成集合時(shí),特別要注意它的“確定性,在表示一個(gè)集合時(shí),要特別注意它的“互異性、“無序性3 .在集合運(yùn)算中必須注意組成集合的元素應(yīng)具備的性質(zhì)4 .對由條件給出的集合要明白它所表示的意義,即元素指什么,是什么范圍.用集合表示不等式組的解集時(shí),要注意分辨是交集還是并集,結(jié)合數(shù)軸或文氏圖的直觀性幫助思維判斷.空集是任何集合的子集,但由于不好用文氏圖形表示,容易被無視,如在關(guān)系式6U刃中,B=G易漏掉的情況5 .假設(shè)集合中的元素是用坐標(biāo)形式表示的,要

4、注意滿足條件的點(diǎn)構(gòu)成的圖形是什么,用數(shù)形結(jié)合法解之.6 .假設(shè)集合中含有參數(shù),須對參數(shù)進(jìn)行分類討論,討論時(shí)既不重復(fù)又不遺漏7.在集合運(yùn)算過程中要借助數(shù)軸、直角坐標(biāo)平面、Venn圖等將有關(guān)集合直觀地表示出來.8 .要注意集合與方程、函數(shù)、不等式、三角、幾何等知識的密切聯(lián)系與綜合使用9 .含有n個(gè)元素的集合的所有子集個(gè)數(shù)為：2n,所有真子集個(gè)數(shù)為：2n-1三、經(jīng)典例題導(dǎo)講例1集合M=y|y=x2+1,xF,N=y|y=x+1,xCF,那么MAN=()A.(0,1),(1,2)B.(0,1),(1,2)C.y|y=1,或y=2D.y|y>1-V=x2+1/n'x=0x=1錯(cuò)解：求MAN

5、及解方程組,得,或,.選By=x+1y=1y=2錯(cuò)因：在集合概念的理解上,僅注意了構(gòu)成集合元素的共同屬性,而無視了集合的元素是什么.事實(shí)上MN的元素是數(shù)而不是實(shí)數(shù)對(x,y),因此MN是數(shù)集而不是點(diǎn)集,MN分別表示函數(shù)y=x2+1(xCR),y=x+1(xCF)的值域,求MAN即求兩函數(shù)值域的交集.正解：M=y|y=x2+1,xCR=y|y>1,N=y|y=x+1,xCF=y|y6R.MnN=y|y>1ny|(yR)=y|y>1,.應(yīng)選D.注：集合是由元素構(gòu)成的,熟悉集合要從熟悉元素開始,要注意區(qū)分x|y=x2+1、y|y=x2+1,xCR、(x,y)|y=x2+1,xR,這

6、三個(gè)集合是不同的.例2A=x|x23x+2=0,B=x|ax2=0且AUB=A求實(shí)數(shù)a組成的集合C.錯(cuò)解：由x23x+2=0得x=1或2.當(dāng)x=1時(shí),a=2,當(dāng)x=2時(shí),a=1.錯(cuò)因：上述解答只注意了B為非空集合,實(shí)際上,B$時(shí),仍滿足AUB=A當(dāng)a=0時(shí),B=4),符合題設(shè),應(yīng)補(bǔ)上,故正確答案為C=0,1,2.正解：AUB=A,BUA又A=x|x23x+2=0=1,2B=力或(址2)/.C=0,1,2例3mA,nB,且集合A=(x|x=2a,awZ),Byx|x=2a+1,awZ),又C=1x|x=4a+1,awZ,那么有：()A.mm三AB.mmwbC.n+n=CD.n+n不屬于A,B,C

7、中任意一個(gè)錯(cuò)解：.mA,n=2a,awZ,同理n=2a+1,awZ,n+n=4a+1,應(yīng)選C錯(cuò)因是上述解法縮小了n+n的取值范圍.正解：/mA,.設(shè)m=2a1,a1wZ,又nB,.n=2a2+1,a?wZ,n+n=2(a1+a2)+1,而21+22Z,n+neB,應(yīng)選B.例4集合A=x|x23x-10<0,集合B=x|p+1<x<2p-1,假設(shè)聲A,求實(shí)數(shù)p的取值范圍.錯(cuò)解：由x23x10WO得一2WxW5.,-2<p+1欲使B=A,只須333-3<p<32p-1<5p的取值范圍是一3<p<3.錯(cuò)因：上述解答忽略了"空集是任何集合

8、的子集這一結(jié)論,即BR時(shí),符合題設(shè).正解：當(dāng)Bw中時(shí),即p+1W2p1=p>2.由B=A得：2Wp+1且2p1W5.由一3wpW3.2<p<3當(dāng)B=中時(shí),即p+1>2p1=pv2.由、得：p<3.點(diǎn)評：從以上解容許看到：解決有關(guān)AAB=*、AUB=*,A三B等集合問題易無視空集的情況而出現(xiàn)漏解,這需要在解題過程中要全方位、多角度審視問題.例5集合A=a,a+b,a+2b,B=a,ac,ac2.假設(shè)A=B,求c的值.分析：要解決c的求值問題,關(guān)鍵是要有方程的數(shù)學(xué)思想,此題應(yīng)根據(jù)相等的兩個(gè)集合元素完全相同及集合中元素確實(shí)定性、互異性,無序性建立關(guān)系式.解：分兩種情況進(jìn)

9、行討論.(1)假設(shè)a+b=ac且a+2b=ac：消去b得：a+ac22ac=0,a=0時(shí),集合B中的三元素均為零,和元素的互異性相矛盾,故aw0.c22c+1=0,即c=1,但c=1時(shí),B中的三元素又相同,此時(shí)無解.(2)假設(shè)a+b=ac2且a+2b=ac,消去b得：2ac2aca=0,aw0,2cc1=0,1即(c1)(2c+1)=0,又cw1,故c=.2點(diǎn)評：解決集合相等的問題易產(chǎn)生與互異性相矛盾的增解,這需要解題后進(jìn)行檢驗(yàn).例6設(shè)A是實(shí)數(shù)集,滿足假設(shè)aCA,那么1WA,a=1且1".1-a假設(shè)2CA,那么A中至少還有幾個(gè)元素求出這幾個(gè)元素.A能否為單元素集合請說明理由.假設(shè)aC

10、A,證實(shí)：11CA.a求證：集合A中至少含有三個(gè)不同的元素.解：2CA3一1CAnCA32CA21A中至少還有兩個(gè)兀素：一1和一2,E,、,一+1如果A為單兀素集合,那么a=1 -a即a2-a1=0該方程無實(shí)數(shù)解,故在實(shí)數(shù)范圍內(nèi),A不可能是單元素集(3)aCA=A=CA=匚A,即1CA1-a.11-a-1a1由知aCA時(shí),1SA,11CA.現(xiàn)在證實(shí)a,1-1,1三數(shù)互不相等1 -aaa1-a假設(shè)a=-,即a2-a+1=0,方程無解,.aw-1-a1-a假設(shè)a=1,即a2-a+1=0,方程無解,a51aa假設(shè)11=-,即a2-a+1=0,方程無解,1二w.a1-aa1-a綜上所述,集合A中至少有

11、三個(gè)不同的元素.點(diǎn)評：的證實(shí)中要說明三個(gè)數(shù)互不相等,否那么證實(shí)欠嚴(yán)謹(jǐn)例7設(shè)集合A=a|a=n2+1,ncn+,集合B=b|b=k2-4k+5,kcn+,試證:9B.證實(shí)：任設(shè)aea,2 +.那么a=n2+1=(n+2)4(n+2)+5(nen),nCN*,n+2cN*aCB故啟三E顯然,1wA=g|a=n2+1,nWN),而由B=b|b=k2-4k+5,kcn+=b|b=(k-2)2+1,kcn+知1eB,于是awb由、得庶B.點(diǎn)評：1判定集合間的關(guān)系,其根本方法是歸結(jié)為判定元素與集合之間關(guān)系.2判定兩集合相等,主要是根據(jù)集合相等的定義.四、典型習(xí)題導(dǎo)練1 .集合A=x|x2-3x-10<

12、;0,xCZ,B=x|2x2x6>0,xCZ,貝UAAB的非空真子集的個(gè)數(shù)為A.16B.14C.15D.322 .數(shù)集1,2,x23中的x不能取的數(shù)值的集合是A.2,-2B.-2,-$5c±2,±V5D."5,3 .假設(shè)P=y|y=x2,x6R,Q=y|y=x2+1,xCR,貝UPAQ等于()A.PB.QC.*D.不知道4 .假設(shè)P=y|y=x2,x£R,Q=(x,y)|y=x2,x£R,那么必有()A.PAQ=*B.p£QC.P=QD.pMQ1.25 .右集合Mkx|<1,N=x|xWx,那么MN=()xAx|-1<

13、;x：1Bx|0<x<1C.x|-1:二x:二0D.06 .集合A=x|x2+(m+2)x+1=0,x£R,假設(shè)A<nR+=4>,那么實(shí)數(shù)m的取值范圍是7 .設(shè)awR,函數(shù)f(x)=ax22x2a.假設(shè)f(x)>0的解集為a,B=x|1<x<3,AnB#e,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.8 .集合A=&|x2+ax+12b=0和b=&|x2一ax+b=01滿足CiAnB=fc,AnCiB=U,I=R,求實(shí)數(shù)a,b的值.1 1.2.常用邏輯用語一、知識導(dǎo)學(xué)1 .邏輯聯(lián)結(jié)詞：“且、“或、“非分別用符號“A“V“表示.2 .命題：能夠判斷真假

14、的陳述句.3 .簡單命題：不含邏輯聯(lián)結(jié)詞的命題4 .復(fù)合命題：由簡單命題和邏輯聯(lián)結(jié)詞構(gòu)成的命題,復(fù)合命題的根本形式：p或q；p且q；非p5 .四種命題的構(gòu)成：原命題：假設(shè)p那么q；逆命題：假設(shè)q那么p；否命題：假設(shè)p那么rq;逆否命題：假設(shè)"iq那么-Ip.6 .原命題與逆否命題同真同假,是等價(jià)命題,即“假設(shè)p那么q"Q"假設(shè)q那么p.7 .反證法：欲證“假設(shè)p那么q,從“非q出發(fā),導(dǎo)出矛盾,從而知“假設(shè)p那么非q為假,即“假設(shè)p那么q為真.8 .充分條件與必要條件：p=q:p是q的充分條件；q是p的必要條件；p臺q:p是q的充要條件.9 .常用的全稱量詞：“對所

15、有的、“對任意一個(gè)“對一切“對每一個(gè)“任給等；并用符號“V表示.含有全稱量詞的命題叫做全稱命題.10 .常用的存在量詞：“存在一個(gè)、“至少有一個(gè)、“有些、“有一個(gè)、“有的、“對某個(gè)；并用符號“三表示.含有存在量詞的命題叫做特稱命題.二、疑難知識導(dǎo)析2 .基此題型及其方法(1)由給定的復(fù)合命題指出它的形式及其構(gòu)成；(2)給定兩個(gè)簡單命題能寫出它們構(gòu)成的復(fù)合命題,并能利用真值表判斷復(fù)合命題的真假；(3)給定命題,能寫出它的逆命題、否命題、逆否命題,并能運(yùn)用四種命題的相互關(guān)系,特別是互為逆否命題的等價(jià)性判斷命題的真假.注意：否命題與命題的否認(rèn)是不同的.(4)判斷兩個(gè)命題之間的充分、必要、充要關(guān)系；方

16、法：利用定義(5)證實(shí)p的充要條件是q;方法：分別證實(shí)充分性和必要性(6)反證法證題的方法及步驟：反設(shè)、歸謬、結(jié)論.反證法是通過證實(shí)命題的結(jié)論的反面不成立而肯定命題的一種數(shù)學(xué)證實(shí)方法,是間接證法之一注：常見關(guān)鍵詞的否認(rèn)：關(guān)鍵詞是都是(全是)>(<)至少有一個(gè)至多什-個(gè)任意存在否認(rèn)不是不都是(全是)<(之)一個(gè)也沒有至少有兩個(gè)存在任意2.全稱命題與特稱命題的關(guān)系:全稱命題p:vxM,p(x),它的否認(rèn)p:mxwM,->p(x);特稱命題p：三xwM,p(x),它的否認(rèn)p:vxwM,-1P(x)；即全稱命題的否認(rèn)是特稱命題,特稱命題的否認(rèn)是全稱命題.否認(rèn)一個(gè)全稱命題可以通過

17、“舉反例來說明三、經(jīng)典例題導(dǎo)講例1把命題“全等三角形一定相似寫成“假設(shè)p那么q的形式,并寫出它的逆命題、否命題與逆否命題.錯(cuò)解：原命題可改寫成：假設(shè)兩個(gè)三角形全等,那么它們一定相似逆命題：假設(shè)兩個(gè)三角形相似,那么它們?nèi)?否命題：假設(shè)兩個(gè)三角形不一定全等,那么它們不一定相似逆否命題：假設(shè)兩個(gè)三角形不一定相似,那么它們不一定全等錯(cuò)因：對“一定的否認(rèn)把握不準(zhǔn),“一定的否認(rèn)“一定不,在邏輯知識中求否認(rèn)相當(dāng)于求補(bǔ)集,而“不一定含有“一定的意思.對這些內(nèi)容的學(xué)習(xí)要多與日常生活中的例子作比擬,注意結(jié)合集合知識.因而否命題與逆否命題錯(cuò)了.正解：否命題：假設(shè)兩個(gè)三角形不全等,那么它們不相似逆否命題：假設(shè)兩個(gè)三

18、角形不相似,那么它們不全等例2將以下命題改寫成“假設(shè)p那么q的形式,并寫出否命題.a>o時(shí),函數(shù)y=ax+b的值隨x值的增加而增加.錯(cuò)解：原命題改為：假設(shè)a>o時(shí),x的值增加,那么函數(shù)y=ax+b的值也隨著增加.錯(cuò)因：如果從字面上分析最簡單的方法是將a>o看作條件,將“隨著看作結(jié)論,而x的值增加,y的值也增加看作研究的對象,那么原命題改為假設(shè)a>o時(shí),那么函數(shù)y=ax+b的值隨著x的值增加而增加,其否命題為假設(shè)aEo時(shí),那么函數(shù)y=ax+b的值不隨x值的增加而增加.此題錯(cuò)解在注意力集中在“增加兩個(gè)字上,將x值的增加當(dāng)做條件,又不把a(bǔ)>o看作前提,就變成兩個(gè)條件的命

19、題,但寫否命題時(shí)又沒按兩個(gè)條件的規(guī)那么寫,所以就錯(cuò)了正解：原命題改為：a>o時(shí),假設(shè)x的值增加,那么函數(shù)y=ax+b的值也隨著增加.否命題為：a>o時(shí),假設(shè)x的值不增加,那么函數(shù)y=ax+b的值也不增加.原命題也可改為：當(dāng)x的值增加時(shí),假設(shè)a>o,那么函數(shù)y=ax+b的值也隨著增加.否命題為：當(dāng)x增加時(shí),假設(shè)a<o,那么函數(shù)y=ax+b的值不增加.例3h>0,設(shè)命題甲為：兩個(gè)實(shí)數(shù)a、b滿足a-b<2h,命題乙為：兩個(gè)實(shí)數(shù)a、b滿足a1|<h且b1|<h,那么A.甲是乙的充分但不必要條件B.甲是乙的必要但不充分條件C.甲是乙的充要條件D.甲是乙的既

20、不充分也不必要條件錯(cuò)解：a-b<2h=(a1)(b-1)<2h=h+h=|a1|<h,|b11<h故此題應(yīng)選C.錯(cuò)因：1對充分、必要、充要條件的概念分不清,無從判斷,憑猜想產(chǎn)生錯(cuò)誤;2不能運(yùn)用絕對值不等式性質(zhì)作正確推理而產(chǎn)生錯(cuò)誤"0a-1<hf_h<a_1<h正解：由于|,所以,|b-1<h-h<b-1<h兩式相減得-2h；ab：二2h故ab<2h即由命題甲成立推出命題乙成立,所以甲是乙的必要條件由于(|a-2<h|b-2<h同理也可得a-b<2h因此,命題甲成立不能確定命題乙一定成立,所以甲不是乙的

21、充分條件,故應(yīng)選B.例4命題甲：a+b¥4,命題乙：a#1且b#3,那么命題甲是命題乙的.錯(cuò)解：由逆否命題與原命題同真同假知,假設(shè)a=1且b=3那么a+b=4成立,所以命題甲是命題乙的充分不必要條件.錯(cuò)因：對命題的否認(rèn)不正確.a01且b#3的否認(rèn)是a=1或b=3.正解：當(dāng)a+b¥4時(shí),可選取a=1,b=5,故此時(shí)a#1且b*3不成立丫a=1.同樣,a#1,且b03時(shí),可選取a=2,b=2,a+b=4,故此時(shí)a+b=4.因此,甲是乙的既不充分也不必要條件.注：a#1且b#3為真時(shí),必須a#1,b#3同時(shí)成立.例5p是r的充分不必要條件,s是r的必要條件,q是s的必要條件,那么

22、p是q成立的A.充分不必'要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件分析：此題考查簡易邏輯知識.由于p=r=s=q但r成立不能推出p成立,所以p=q,但q成立不能推出p成立,所以選A解：選A例6關(guān)于x的一元二次方程mCZ222mx-4x+4=0x4m肝4m4m-5=0求方程和都有整數(shù)解的充要條件.解：方程有實(shí)根的充要條件是=164M4xm之0,解得m<1.5萬程有實(shí)根的充要條件是A=16m2-44m2-4m-5>0,解得m215.-WmW1.而m=Z,故m=-1或m=0或m=1.4當(dāng)m=1時(shí),方程無整數(shù)解.當(dāng)m=0時(shí),無整數(shù)解；當(dāng)m=1時(shí),都有整數(shù).從而都

23、有整數(shù)解m=1.反之,m=1都有整數(shù)解.,都有整數(shù)解的充要條件是m=1.例7用反證法證實(shí)：假設(shè)a、b、cR,且x=a22b+1,y=b22c+1,2z=c2a+1,那么x、y、z中至少有一個(gè)不小于0.證實(shí)：假設(shè)x、y、z均小于0,即：2x=a-2b+1<0-；一2y=b-2c+1<0；2z=c-2a+1<0；+得x+y+z=(a-1)2+(b-1)2+(c-1)2<0,這與(a1)2+(b1)2+(c-1)2之0矛盾,那么假設(shè)不成立,x>y、z中至少有一個(gè)不小于0.例8命題p:方程x2+m桿1=0有兩個(gè)不等的負(fù)根；命題q:方程4x2+4(m-2)x+1=0無實(shí)根.

24、假設(shè)"p或q為真,“p且q為假,求m的取值范圍.分析：“p或q為真,那么命題p、q至少有一個(gè)為真,“p且q為假,那么命題p、q至少有一為假,因此,兩命題p、q應(yīng)一真一假,即命題p為真,命題q為假或命題p為假,命題q為真.解：假設(shè)方程x2+m桿1=0有兩不等的負(fù)根,那么-4.一,r解得m>2,即命題p：2假設(shè)方程4x2+4(mr2)x+1=0無實(shí)根,那么A=16(mr2)216=16(n24m3)<0解得：1VRK3.即q：1<m<3.因“p或q為真,所以p、q至少有一為真,又“p且q為假,所以命題p、q至少有一為假,或;m'21<m<3因此,命題p、q應(yīng)一真一假,即命題p為真,命題