1、非均勻采樣的理論基礎非均勻采樣有很多種，一般來說只要采樣間隔不是恒定的，就可以認為是非均勻采樣，但是對于大多數非均勻采樣其并不具有特別的性能。本案例研究的非均勻采樣特指兩種情況：隨機采樣和偽隨機采樣。隨機采樣中每個采樣點的選擇是完全隨機的，是理想化的非均勻采樣；偽隨機采樣中每個采樣點的選擇是經過挑選的偽隨機數。非均勻采樣的一個很大的優點就是它具有抗頻率混疊的性能，從而可以突破奈奎斯特頻率的限制，實現以比較低的采樣頻率檢測到很高頻率的信號。采樣時刻的選擇無疑是非常重要的，它決定了采樣后得到的信號的性質。時鐘抖動的均勻采樣在工程實踐中是普遍存在的，并且是不可避免的，例如AD時鐘頻率存在一定偏差。有

2、抖動的均勻采樣時刻tk,其數學表達式為：tk=kT+rk.T>0其中，T表示均勻采樣的采樣周期，Tk為服從同分布的一組隨機變量，其均值是0。設Tk的概率密度函數為p(Tk),則采樣時刻tk的概率密度函數為p(t(tk-to)。時鐘抖動的均勻采樣明顯存在很大的缺點。如果Tk在區間kT-0.5t,kT+0.5T上不是均勻分布，則顯然，在kT點附近采樣點數很多，其他地方采樣點很少。如果Tk在區間kT-0.5t,kT+0.5T上滿足均勻分布，則會發生某些相鄰采樣點間距很小的情況。對第一種情況，它和均勻采樣區別很小，無法利用非均勻采樣的優點；對第二種情況，在實際實現中會非常困難，以致無法實現，因為

3、采樣間距過小對AD的要求很高。顯然，這兩種情況都不是本案例所希望的。在加性非均勻采樣中，當前采樣時刻是根據前一個采樣時刻來選擇的，其數學表達式為：“+1其中，Tk為服從同分布的一組隨機變量，其值恒為正。設Tk的概率密度函數為PT(Tk)其均值為u,由于tk=t0+Ti+T2+Tk,故Pk(t)=pk-i(t)*Pt(T)。根據中心極限定理，對于一組相互獨立隨機變量，當隨機變量的個數大到一定程度的時候，它們的總和服從正態分布，因此當K-8時，Pk(t)將趨向于正態分布。當t增加時，加性非均勻采樣點的概率分布P(t)將趨向于平坦，其數值大小為l/臼如圖1所示。圖1加性非均勻采樣點的概率分布非均勻采

4、樣具有一個非常重要由于采樣時刻的分布與均勻采樣中采樣時刻的分布不同，的特點就是可以消除頻率混疊現象，下例可以形象化地闡述這個問題。假設給出一組采樣數據，它代表了一個正弦信號（加粗的黑色）的均勻采樣值，如圖2所示。圖2混疊的產生觀察圖2,就會清楚發現其他的頻率的正弦信號和原始信號同一個采樣點處的采樣值相等（曲線交點處）。因此，如果要用這組采樣值進行重建原始信號，顯然得到的信號不是惟一的。也就是說，用小于奈奎斯特頻率的采樣頻率進行采樣，得到的采樣值是無法恢復出原始信號，這與Shann如采樣定理是相一致的。這種現象反映到頻域上就是頻率混疊。頻率混疊現象就會引起信號的不確定，仔細看這些不同頻率的正弦波

5、，到底哪個才是真的需要的信號昵？在沒有其他先驗知識的情況下，如何消除頻率混疊現象是信號處理理論的一個重要研究課題。均勻采樣理論中，在進行信號采樣前，信號先通過一個低通濾波器以便把信號的頻譜限制在一個特定的范圍內，然后用高于信號最高頻率兩倍的采樣頻率進行采樣，從而消除了頻率混疊。雖然這種解決混疊問題的方法能夠滿足要求，但是這種方法濾掉了信號組成成分中超過某一頻率的頻率成分，很容易造成失真，同時由于采樣頻率要高于信號最高頻率的兩倍，極大限制了數字信號處理理論使用的范圍。如果能突破這個限制，將為數字信號處理理論開辟更為廣泛的應用領域。所以擺在面前的問題就是在較低樣頻率的情況下，消除頻率混疊是否可能？

6、非均勻采樣給出了肯定的回答。圖3直觀地說明了非均勻采樣如何具有消除混疊的性能。圖3消除混疊圖3中對原始的低頻正弦信號進行了重新采樣，采樣點的個數保持不變，所不同的地方是采樣點的間隔不再是相等的了。很容易從圖3中看出，由于采樣點不再是均勻的，只有原始的低頻正弦波可以通過采樣點，可以被擬合出來，從而也就消除了頻率混疊。非均勻采樣信號的傅立葉變換和均勻采樣信號的傅立葉變換的區別主要在于積分時間上的不同。以下均勻采樣信號的傅立葉變換(DFT,Discrete_FourierTransform)以DFT表示，非均勻采樣信號的傅立葉變換(NDFT,NonuniformDiscreteFourierTran

7、sform)以NDFT表示。假設x(t)為有限帶通信號，Xc(f)為x(t)的連續信號傅立葉變換結果，T為采樣時間間隔，N為總的采樣點數，NT為總的采樣時間，x(n)和x(tn)(n=1,2,3,8)分別為均勻采樣和非均勻采樣信號，Xd(f)為非均勻采樣信號的傅立葉變換結果，則連續時間的傅立葉變換如下：NTXc(/)=Jx(/)exp(-j2n/r)dro均勻采樣信號的離散傅立葉變換就是將上式的積分換成求和累加的形式，均勻采樣情況下采樣時間間隔相等，也就是每個采樣時間段的寬度相等，均勻采樣信號的離散傅立葉的數學表達式如下。N足=匯5)yxp(-j2植n)n=類似，非均勻采樣的離散傅立葉變換的數

8、學表達式如下：jV-IXd(/)=Zx5)exp(-j2，X%-。)n1NDFT和DFT的區別在于NDFT每個采樣時間段的積分區間的寬度不等。均勻采樣中，求和區間為等間隔T,所以均勻采樣的采樣信號各個頻譜的大小和T成比例關系，在計算頻譜時是否引人常數T都不影響頻譜的檢測。而在非均勻采樣中，求和區間為不等間隔(g+1-tn),所以必須引入采樣間隔這個變量，如上式中的(tn+1-tn)。均勻采樣信號的傅立葉變換算法根據傅立葉變換因子的對稱性，可以實現快速傅立葉變換。非均勻采樣的傅立葉變換由于采樣時間間隔的不等，使得非均勻快速傅立葉變換很難旱接實現。如果信號f(t)滿足下列條件：(1)f(t)絕對可

9、積，即。(2)在任何有限區間內，f(t)只存在有限個數目的最大值和最小值。(3)在任何有限區間內，f(t)有有限個數目的不連續點，并且在每個不連續點都必須是有限值；則f(t)的傅立葉變換存在，即存在下面關系式：+CO。/(“山<8。-0Q當f(t)經過均勻采樣后，得到離散序列f(nT),其中T為采樣周期。用f(n)代表f(nT),則序列f(n)的離散時間傅立葉變換表示如下：九可=；1戶太池慎加也和產(V)二八加一加根據香農采樣定理，時域上的采樣，將使信號頻譜在頻域上發生搬移，若采樣頻率大于奈奎斯特頻率，則不會發生頻譜重疊。從而，t+84®卬)=ZFG3-癡s)/4二70其中，F

10、P(ej，為采樣后得到的離散序列的頻譜，T為采樣周期，心為采樣頻率(角頻率)。當采用非均勻采樣時，得到的離散序列為f(t其中tk表示采樣時刻。直接套用均勻采樣的離散時間傅立葉變換，可以得到以下公式：p(t),假設非均勻采樣的各個采樣點是隨機的，且相互獨立，其概率密度分布函數為采樣點數為N,則£=»伙3叼4J/k尸叫p仇必l*=1*1*三1m，如果p(t)在信號持續時間上服從均勻分布，即代或聞則有W+®1NZf/(rk)e-p(/k)A=Z伙一叫如*1_匹，dA=1o=5加山=F(ja)=lF(j)1口'dN其中"=§,為平均采樣時間.N

11、從而得到：11E產(eW)=-F(j0)即非均勻離散傅立葉變換公式計算結果的期望是原始信號頻譜。定義被測信號由3個正弦信號組成，其數學表達式如下。y(t)=sin(2啖。+§in(2訪f)+sin(2次)式中，f0=200Hz,fi=700Hz,f2=1100Hz,t是采樣時間。在均勻采樣下，若采樣頻率為1000Hz,采樣點數為1024,對采樣后的信號做傅立葉變換得到信號頻譜，如圖4所示。圖中f。、f1以及f2都有對應的混疊信號f0(800和1200Hz)、f1(300和1300flz)以及f2(100和900Hz),與采樣定理的描述相一致。設置非均勻采樣的采樣時間函數如下。時+rand式中，rand是均勻分布在(1ms,3ms)之間的隨機數。也可以設置采樣時間，如函數tnonunif.m定義的時間。根據所設置的時間函數進行非均勻采樣，兩個采樣時刻的最小間隔為1ms,對應最大采樣頻率為1000Hz,平均采樣間隔為2ms,對應平均采樣頻率為500Hz。以最大采樣頻率計算,其中fi和f2都超過采樣定理的限制。對以上信號利用非均勻采樣1024點，并使用傅立葉變換得到信號頻譜，如圖5所示。圖中對應信號頻率分別為200Hz700Hz以及1100Hz。1.00.8徵0.40500頓率(Hz)圖4均勻采樣的信號頻譜圖5非均勻采樣的信號頻譜比較圖4和圖5可見,圖4中的混