1、立體幾何中與球有關的“內切”與“外接”問題的研究1.2 球與長方體縱觀近幾年高考對于組合體的考查，重點放在與球相關的外接與內切問題上.要求學生有較強的空間想象能力和準確的計算能力，才能順利解答.從實際教學來看，這部分知識是學生掌握最為模糊，看到就頭疼的題目.分析原因，除了這類題目的入手確實不易之外，主要是學生沒有形成解題的模式和套路，以至于遇到類似的題目便產生畏懼心理 .本文就高中階段出現這類問題加以類型的總結和方法的探討1球與柱體規則的柱體，如正方體、長方體、正棱柱等能夠和球進行充分的組合，以外接和內切兩種形態進行結合，通過球的半徑和棱柱的棱產生聯系，然后考查幾何體的體積或者表面積等相關問題

2、1.1 球與正方體如圖1所不，正方體在cd設正方體的棱長為口，區四用,仃為棱的中點，。為球的球心,常見組合方式有三類：一是球為正方體的內切球，截面圖為正方形和其內切圓，則OJ = r = -i二是與正方體各棱相切的球，截面圖為正方形E尸整和1 12其外接層1,則|g| 二 K=理4工三是球為正方體的外接球，截面圖為1 12長方形力C瑪G和其外接國，則= *二4。,通過這三種類型可以2發現，解決正方體與球的組合問題，常用工具是截面圖，即根據組合的形式找到兩個幾何體的軸截面，通過兩個截面圖的位置關系，確定好正方體的棱與球的半徑的關系，進而將空間問題轉化為平面問題例1 棱長為1的正方體ABCD -

3、A1B1clD1的8個頂點都在球。的表面上，E, F分別是棱AA1 , DD1的中點，則直線EF被王O截得的線段長為（）A . 2B. 1 C. 1 十9 D.我解，由題意可知，球為正方體的外接球.平面外叫截面所得圓面的半徑字號呼C面抽。%:直線EF被球。截得的線段為球的截面圓的直徑肉艮長方體各頂點可在一個球面上，故長方體存在外切球.但是不一定存在內切球.設長方體的棱長為a,b,c,其體對角線為l .當球為長方體的外接球時，截面圖為長方體的對角面和其外接圓，和正方體的外接球的道理是一樣的，故球的半徑R =-2,a2 b2 c2例2在長、寬、高分別為2, 2, 4的長方體內有一個半徑為 1的球，

4、任意擺動此長方體，則球經過的空間部分的體積為（A.等 B.4兀3八8兀C."73解：利用運動的現點分析在小球移動的過程中，進過部分的幾何體.因半徑為1的d周t恰好為槌長為2的正方體的內切球，故小球經過空間由上往下看為：半個小球、高為2的扇柱和半個小球，三部分的體積為:4 k i3 1113 f 1°-xr m-x2+jtx r x2=一升3231.3 球與正棱柱球與一般的正棱柱的組合體，常以外接形態居多.下面以正三棱柱為例，介紹本類題目的解法構造直角三角形法.設正三棱柱MC-的高為也底面邊長為小,如圖2所示，和2分別為上下底面的.中心.根據幾何體的特點，球心必落在高口4的中

5、點J0D = -tA0=凡=走魚借助直角三龜形A0D的勾股定理，可 23求衣二:4斤=2d則正匹棱柱的側面積:.值,例3正四棱柱 ABCD - A1B1C1D1的各頂點都在半徑為 R的球面上，則正四棱柱的側面積有最解：如圖3,截面圖為長方形為和其外接圓.球心為月耳的中點0, 則衣二Q4.設正匹棱柱的側棱長為白，底面邊長為。，則AC = 8,AE = 徨qQE上,* 二龍門大也火 2222S = 4她=透- 2/揚=道3" + 2） = 40必，故惻面積有最大值，為4盤，當且僅當口二J*時等號成立.2球與錐體規則的錐體，如正四面體、正棱錐、特殊的一些棱錐等能夠和球進行充分的組合，以外接

6、和內切兩種 形態進行結合，通過球的半徑和棱錐的棱和高產生聯系，然后考查幾何體的體積或者表面積等相關問題 2.1球與正四面體正四面體作為一個規則的幾何體，它既存在外接球，也存在內切球，并且兩心合一，利用這點可頓利解決球的半徑與正四面體的棱長的關系.如圖4,設正四面體S-5SC的棱長為Q,內切球半徑/ _、為外接球的半徑為五，取金£的中點為0, 9為在底面的射/ r影，連接CD,陽為正四面體的高.在截面三角形赳，作 T 養三與邊M和。C相切周心在高甑上的胤即為內切球的截面.因為正匹面體本身的對稱性可知，外接球和內切球的球心伺為。.此時，凰囹4C0=0S = &0£ =

7、f SE =&:則 有22.2 22 aV6V6R+r=Ja, R2r2=CE=一，解得：R = J a, r =工a.這個解法是通過利用兩心合一的思路，建 333412立含有兩個球的半徑的等量關系進行求解.同時我們可以發現，球心。為正四面體高的四等分點.如果我們牢記這些數量關系，可為解題帶來極大的方便例4將半徑都為1的四個鋼球完全裝入形狀為正四面體的容器里，這個正四面體的高的最小值為 （）. 3 2、.62、，62、，64 一3 2、63. + 3. + 3.3解】容器四面體，中的這四個小球，以四個小球為球心為頂點構成了T棱長為2的父球心正四面體”,這個四面體的高是“單位正四面體”高

8、（也）的2倍即為紐L “球心正四面體制的底面到“容器正四 33面體”的地面為小球半徑b而府球心正四面體"頂點到"容器正四面體”的頂點的距離為3 M謖半徑的3倍），于是“容器正四面體"的高為¥ +3 + 1,選擇C,電個“小球半徑的3倍吊是這樣想的工做一個小球的外切正四面體，這個小球球心與外切正四面體的中心重合，而正四面體的中心到頂點的距離是中心到地面距離的3倍.2.2 球與三條側棱互相垂直的三棱錐球與三條側棱互相垂直的三棱錐組合問題，主要是體現在球為三棱錐的外接球 法，即把三棱錐補形成正方體或者長方體.常見兩種形式：一是三棱錐.的三條側棱互相垂直并且相等

9、，則可以補形為一個正方體，它的 外接球的球心就是三棱錐的外接球的球心.如圖5,三棱傕4-皿馬的外 接球的球心和正方體ABCD-AC的外接球的球心重合.設加產s， 則及二必】.二是如果三棱錐的三條側棱互相垂直并且不相等，則可以補形 2為一個長方體，它的外接球的球心就是三棱錐的外接球的球.解決的基本方法是補形2 I12心.正二-（為長方體的體對角繞長）. 44例5在正三棱錐S-ABC中，M、N分別是棱SG BC的中點，且AM _L MN，若側棱SA= 2J3則正三棱錐工BC外接球的表面積是.解I如圖6,正三棱錐對棱相互垂直，即應又SB# 血M二肱MLR。,又間MM,平面&4C.衣=3, .

10、 £ = 4開&=36開于是用_1平面用CiSB上SA,SBLSC,以而出_LSC, 此時正三棱錐s-c的三條側犢互相垂直并且相等，故將 正三棱錐補形為正方體.球 的半徑2.3 球與正棱錐球與正棱錐的組合，常見的有兩類，一是球為三棱錐的外接球，此時三棱錐的各個頂點在球面上，根據截面圖的特點，可以構造直角三角形進行求解.二是球為正棱錐的內切球，例如正三棱錐的內切球，球與正三棱錐四個面相切，球心到四個面的距離相等，都為球半徑R .這樣求球的半徑可轉化為球球心到三棱錐面的距離，故可采用等體積法解決，即四個小三棱錐的體積和為正三棱錐的體積例6在三錐P ABC中，PA=PB=PC= J

11、3,側棱PA與底面ABC所成的角為60° ,則該三棱錐外接球的體積為（）4 二A.n B. C. 4 n D.-解：如圖7所示，過尸點.作底面期C的垂線，垂足為設H為外接球的球心，連接刃發,且0,因/F月0 = 60，取二#,故 月。=史 ，PO=-,又 AHQ 為直角 三角形 22圖AH 二 PH =. AH2 =B圖82.4球與特殊的棱像球與一些特殊的棱錐進行組合，一定要抓住棱錐的幾何性質，可綜合 淞JH截面法、補形法等進行求解.例如，四個面都是直角三角形的三棱傕, 可利用直角三角形斜邊中點,幾何特征，巧定球心位置.如圖4三棱錐 S - ABC,滿足$4 _L面/3c四_L 取S

12、C的中點為O,由直角三角形的性質可得；OA = OS=OB = 0 c所以。點為三棱錐S-ABC的外SC接球的球心，則R=SC.2例7矩形ABCD中，AB =4, BC = 3,沿AC將矩形ABCD折成一個直二面角 B - AC - D ,則四面體ABCD的外接球的體積是（）A. 125 二 B. 125 二 C. 125 二 D. 125 二12解！由題意分析可知，四面體A3C3的外接球的球心落在e的中點，此時滿足=AC 5T2j125刀 63球與球對個多個小球結合在一起，組合成復雜的幾何體問題，要求有豐富的空間想象能力，解決本類問題需 掌握恰當的處理手段，如準確確定各個小球的球心的位置關系

13、，或者巧借截面圖等方法，將空間問題轉化 平面問題求解.例7在半徑為R的球內放入大d沖目等的4個小球，則小球半徑尸的最大值為()A(小7)RB 一C"D.豪解：要便各小球的半徑最大，需庾得4個小球的球心為一個正四面體的匹個頂點，如圖9所示，此時正四面體的外接球的球心為。，即為半徑為R的球的球心，則工0 =衣-幾又因。為金口的四分點，故 4工q = (&-r),在 RtLABOx 中 ，AB = 2r/Q = |j5r： (R-r) x|f = (2r)3 - g技尸，r = (76-2)7?.4球與幾何體的各條棱相切球與幾何體的各條棱相切問題，關鍵要抓住棱與球相切的幾何性質，達

14、到明確球心的位置為目的，然后通過構造直角三角形進行轉換和求解.如與正四面體各棱都相切的球的半徑為相對棱的一 半：r ="a4例8把一個皮球放入如圖 10所示的由8根長均為20 cm的鐵絲接成的四圖10棱錐形骨架內，使皮球的表面與8根鐵絲都有接觸點，則皮球的半徑為)A. IcVcniB. 10 mC. 10 V2 cmD. 30cm解;如圖11所示，由題意球心在AP上，球心為0，過。作BP的垂線ON垂足為N, OM=R, 0M=R,因為各個棱都為20，所以AH=1O, BP=20,BM= 10, AB= 10及，設= Q，在RtL HPM中，B戶=BM2 +尸腹之，所以尸舷二103.在此A PAM中，PM2 = AM2 +"所以24 = 10 M在處Aabp中,也加理."走="在立心溺 中，鼻：=空=2-,所以 BP 202OP OP三二嚴，所以O尸二 血心在史小0AM中,04"二月"十月”"所以，斜二。00-每），3解得，立二10或3。（舍）,所以，立=1