1、一元二次方程的根與系數的關系（課時7）教學目標(一)通過觀察、歸納，猜想根與系數的關系，并證明此關系成立，使學生理解其理論根據；(二)使學生會運用根與系數關系解題教學重點和難點重點：根與系數關系的推導難點：根與系數關系的運用教學過程設計(一)引言我們知道，方程的根的值是由一元二次方程ax2bxc0(a0)的各項系數a，b，c決定的我們還知道根的性質(有、無實數根及實數根的個數)由b24ac決定今天我們來研究方程的兩根之和及兩根之積與a，b，c有什么關系？先填表，歸納出規律，然后給予嚴密的證明(二)新課從表格中找出兩根之和x1x2與兩根之積x1·x2和a，b，c的關系：1先從前面三個方

2、程(二次項系數是1)觀察x1x2，x1x2的值與一次項系數及常數項的關系(兩根和等于一次項系數的相反數，兩根積等于常數項)2再看后面三個方程(二次項系數不是1)，觀察x1x2，x1x2的值與系數的關系(在把方程的二次項系數化為1后，仍符合上述規律)3猜想ax2bxc0(a0)的x1x2，x1x2與a，b，c的關系(引導學4怎樣證明上面的結論啟發學生：求根公式是具有一般性的，我們用求根公式來證明就可以了證明：設ax2bxc0(a0)的兩根為x1，x2，5讀課文相關的黑體字，要求把這段黑體字(實際上就是定理)讀出來，以強化印象6為了使這個定理易于記憶，我們把二次項系數是1的方程叫做“簡化的一元二次

3、方程”讀課本相關的文字如果方程x2pxq0的兩根是x1，x2，那么x1x2p，x1x2q教師必須要求學生能用語言表達上述定理“對于簡化的二次方程，兩根之和等于一次項系數的相反數，兩根之積等于常數項”(這個定理又叫做韋達定理)7再要求讀課本(也要求學生用語言表達此定理)“對于簡化的二次方程，一次項的系數等于兩根之和的相反數，常數項等于兩根之積”(這是韋達定理的逆定理)例題講解例1 已知方程5x2kx60的一個根是2，求它的另一個根及k的值另解：因為2是原方程的根，所以5(2)2k×260，2k14，k例2 利用根與系數的關系，求一元二次方程2x23x10兩根的(1)平方和；(2)倒數和

4、分析：根與系數關系告訴我們，不必解出方程，可以直接用方程的系數來表示兩根之和與兩根之積如果我們所求的式子可以轉化成用兩根之和及兩根之積表示，也就可以直接把方程的系數代入，算出結果了分析：先讓學生用語言表達P31倒數第3行第1行的黑體字：“對于簡化的一元二次方程，一次項的系數等于兩根之和的相反數，常數項等于兩根之積”例4 已知兩數的和等于8，積等于9，求：這兩個數分析：我們可以用多種方法來解決這個問題解法1：設兩個數中的一個為x，因為兩數之和為8，所以另一個數為8x再根據“兩數之積為9”，可列出方程x(8x)9們將在課本P61學到解法3：因為兩根和與兩根積都已知，我們可以直接造出一個簡化二次方程x28x90這就是方法1得到的方程(三)課堂練習1已知方程x212xm0的一個根是另一個根的2倍，則m_2已知關于x的一元二次方程(k21)x2(k1)x10的兩根互為倒數，則k的取值是 3已知方程x23xk0的兩根之差為5，則k_(四)小結1應用一元二次方程的根與系數關系時，首先要把已知方程化成一般形式2應用一元二次方程的根與系數關系時，要特別注意，方程有實數的條件，即在初中代數里，當且僅當b24ac0時，才能應用根與系數關系