1、22春“數學與應用數學”專業常微分方程在線作業答案參考1. 設總體XN(8，22)，抽取樣本X1，X2，X10求下列概率設總體XN(8，22)，抽取樣本X1，X2，X10求下列概率$2. 仿射變換把圓變成_。仿射變換把圓變成_。參考答案：橢圓3. 若f(x)dx=F(x)+C，則f(ax+b)dx=_若f(x)dx=F(x)+C，則f(ax+b)dx=_F(ax+b)+C4. 在編制統計表時，若某項指標數據不詳，用_表示。在編制統計表時，若某項指標數據不詳，用_表示?？崭?. y=cos(1/x)在定義域內是( )。A.周期函數B.單調函數C.有界函數D.無界函數參考答案：C6. 求方程(ex

2、+3y2)dx+2xydy=0的通解求方程(ex+3y2)dx+2xydy=0的通解將原方程化為    exdx+3y2dx+2xydy=0    x2exdx+d(x3y2)=0    故    x3y2+x2ex-2xex+2ex=C以x2  乘上3y2dz+2xydy即得d(x3y2)，  而x2exdx總是個微分項 7. 設f(x)=lnx，給出如下數據，求f(0.6)的近似值。 xi 0.4 0.5 0.7 0.8 f(xi) -0.91629設f(x)=lnx，給出如下數據，求f(0

3、.6)的近似值。  xi0.40.50.70.8f(xi)-0.916291-0.693147-0.356675-0.223144    同理可計算,        準確值ln0.6=-0.5108256    余項   0.4,0.8     8. (哈達瑪不等式)設A=detaik為n級行列式，其中之元素均為實數而合條件ak12+ak22+akn2=1，(k=1，2，n). 則(哈達瑪不等式)設A=detaik為n級行列式，其中之元素均為實數而合條件ak12+a

4、k22+akn2=1，(k=1，2，n).  則必|A|1證明要應用拉格朗日乘數法來證顯然本題中的輔助方程(條件方程)為    k=ak12+ak22+akn2-1=0，(k=1，2，n)    以k表乘數，置        于是從方程        得等式Ajk+jajk=0其中Ajk為A中之ajk元素所對應的子行列式    于等式兩端乘以ajk并對k=1，2，n而求和，則得    A+j=0，(j=1，2，n)因

5、之，j=-A亦即Ajk=Aajk，(j，k=1，2，n)故得出    ，亦即An-1=An+1由于A的極大極小值必須合于上列方程，故不難推知A的極大值為+1，極小值為-1因此|A|1 9. a是a與0的一個最大公因數。( )a是a與0的一個最大公因數。( )正確答案：10. 證明：對任一多項式p(x)，一定存在x1與x2，使p(x)在(-，x1)與(x2，+)上分別嚴格單調。證明：對任一多項式p(x)，一定存在x1與x2，使p(x)在(-，x1)與(x2，+)上分別嚴格單調。正確答案：11. R為含幺環，a，bR，且a-1，b-1R，證明：(ab)-1=b-1a-1R為含幺

6、環，a，bR，且a-1，b-1R，證明：(ab)-1=b-1a-1(ab)(b-1a-1)=a(bb-1)a-1=aa-1=1    (b-1a-1)(ab)=b-1(a-1a)b=b-1b=1    于是b-1a-1是ab的逆元，即(ab)-1=b-1a-1 12. 試證明： 設f:RnRn，且滿足 (i)若是緊集，則f(K)是緊集； (ii)若Ki是Rn中遞減緊集列，則，則fC(Rn)試證明：  設f:RnRn，且滿足  (i)若是緊集，則f(K)是緊集；  (ii)若Ki是Rn中遞減緊集列

7、，則，則fC(Rn)證明 對x0Rn，0，令B0=B(f(x0)，)以及      (mN)，    則由(ii)知又由(i)知Fm=(RnB0)(Km)是緊集，且Fm是遞減列，交集是空集，從而存在m0，使得，即    |f(x)-f(x0)，|x-x0|1/m0.    這說明x0是f(x)的連續點，證畢 13. 設en是內積空間X中的標準正交系，x，yX，證明設en是內積空間X中的標準正交系，x，yX，證明  利用Cauchy-Schwarz即Bessel不等式可知  

8、  14. 若函數在區間上有原函數，這函數是否在該區間上一定可積？若函數在區間上有原函數，這函數是否在該區間上一定可積？不一定例如函數容易知道F(x)在(-，+)上可導，且即函數f(x)在(-，+)上有原函數F(x)，但由于函數f(x)在x=0的任一鄰域內無界，故函數f(x)在包含x=0的區間上不可積15. 設,點到集合E的距離定義為 . 證明：(1) 若E是閉集，,則(x,E)0; (2) 若是E連同其全體取點所組成的集合(稱  設,點到集合E的距離定義為  .  證明：(1) 若E是閉集，,則(x,E)0; &

9、#160;(2) 若是E連同其全體取點所組成的集合(稱為E的閉包)，則  .16. 下列哪個函數的導數為零( )。A.cos3xB.sineC.sinxD.tan2參考答案：BD17. 二階無零元素的行列式等于零的充要條件是其兩行對應元素成比例( )二階無零元素的行列式等于零的充要條件是其兩行對應元素成比例(  )正確18. 設有n元二次型f(x1，x2，xn)=(x1+x1x2)2+(x2+a2x3)2+(xn-1+an-1xn)2+(xn+anx1)2，其中ai(i=1，2，n)為實數設有n元二次型f(x1，x2，xn)=(x1+x1x2)2+(x2

10、+a2x3)2+(xn-1+an-1xn)2+(xn+anx1)2，其中ai(i=1，2，n)為實數.試問：當a1，a2，an滿足何種條件時，二次型f為正定二次型?解法1 由f的定義知，對任意的x1，x2，xn，有f(x1，x2，xn)0，其中等號成立當且僅當        齊次線性方程組(5-20)僅有零解的充分必要條件是其系數行列式不為零，即        所以當1+(-1)n+1a1a2an0時，對于任意不全為零的x1，x2，xn，都有f(x1，x2，xn)0，即當1+(-1)n+1a1a2an0時，二次型f

11、為正定二次型.    解法2 令矩陣        當|C|=1+(-1)n+1a1a2an0時，C為滿秩矩陣，因此通過滿秩線性變換        即        就可將f化成規范形        可見f的正慣性指數為n，故f為正定的.所以當1+(-1)n+1a1a2an0時，f為正定二次型.讀者試利用反證法說明：1+(-1)n+1a1a2an0也是二次型f正定的必要條件. 19. 已知基金F以利息力函數(t0)累積，基金G以利息力函數(t0)累積若分別用aF(t)和aG(t)表示兩個基金在t(t0)時已知基金F以利息力函數(t0)累積，基金G以利息力函數(t0)累積若分別用aF(t)和aG(t)表示兩個基金在t(t0)時刻的累積函數，并令h(t)=aF(t)-aG(t