1、專業整理分享DSE金牌化學專題系列精典專題系列第 4講指數函數與對數函數一、導入：名叫拋棄的水池一個人得了難治之癥，終日為疾病所苦。為了能早日痊愈，他看過了不少醫生，都不見效果。他 又聽人說遠處有一個小鎮，鎮上有一種包治百病的水，于是就急急忙忙趕過去，跳到水里去洗澡。但洗過 澡后，他的病不但沒好，反而加重了。這使他更加困苦不堪。有一天晚上，他在夢里夢見一個精靈向他走來，很關切地詢問他：“所有的方法你都試過了嗎？”他答道：“試過了。”“不，”精靈搖頭說，“過來，我帶你去洗一種你從來沒有洗過的澡。”精靈將這個人帶到一個清澈的水池邊對他說：“進水里泡一泡，你很快就會康復。”說完，就不見了。這病人跳進

2、了水池，泡在水中。等他從水中出來時，所有的病痛竟然真地消失了。他欣喜若狂，猛地一抬 頭，發現水池旁的墻上寫著“拋棄”兩個字。這時他也醒了，夢中的情景讓他猛然醒悟：原來自己一直以來任意放縱，受害已深。于是他就此發誓，要 戒除一切惡習。他履行自己的誓言，先是苦惱從他的心中消失，沒過多久，他的身體也康復了。大道理：拋棄是治療百病的萬靈之藥，人之所以有很多難纏的情感，就是因為在大多數情況下，舍不得放 棄。把消極扔掉，讓積極代替，就沒有什么可抱怨的了。二、知識點回顧：1 .根式(1)根式的概念根式的概念付萬表/、備注如果,那么x叫做a的n次方根一一n> 1 且 nC N*當n是奇數時，正數的n次方

3、根是,個 ,負數的n次方根是一個Ta零的n次方根是零當n是偶數時，正數的 n次方根有 ,這兩個數互為 士 n/a(a>0)負數沒有偶次方根(2)兩個重要公式. n/an =(nfa)：(注意a必須使服有意義).2 .哥的有關概念正分數指數哥： =(a >0, mr nCN*, 且 n>1);負分數指數哥： = = (a >0, mr nCN*, 且 n>1).3 0的正分數指數哥等于 ,0的負分數指數哥.y = axa> 10 V a< 1圖象定義域R值域(0 , +°° )3 .指數函數的圖象與性質y= axa> 10 V

4、a< 1性質(1)過定點(2)當 x>0時，；XV0(2)當 x>0 時，_; x<0 時，時，(3)在R上是在R上是4.對數的概念(1)對數的定義如果,那么數x叫做以a為底N的對數,記作,其中 叫做對數的底數，叫做真數.(2)兩種常見對數對數形式特點記法常用對數底數為lgx自然對數底數為lnx5.對數的性質、換底公式與運算法則性質 loga1 =, logaa =, = O換底公式logab =(a, b, c均大于零且不等于1)運算法則如果a>0, loga(M且 aw1, M>0, N>Q 那么：N)=, loga= ,logaMn = nlog

5、aM(n C R).6.對數函數的定義、圖象與性質定義函數(a>0,且aw 1)叫做對數函數a>10<a<1圖象性質(1)定義域：(2)值域：(3)當x=1時，y=0,即過定點(4)當 0Vx<1 時， ;當x>1時，(4)當 0vx<1 時，當 x>1 時，ye ye ;在(0 , +8 )上為在(0 , +8 )上為7.反函數指數函數y=ax(a>0且a*)與對數函數(a>0且a木)互為反函數，它們的圖象關于直線對稱.考點一有理指數哥的化簡與求值三、專題訓練:計算下列各式(3)”-7)0+84 21(2)41a3 8a3b+ (1

6、 222a3 23 ab 4b3自主解答（i）原式=（2）1-3x1 +32x1124( 2百i*3萬)6-= 2 + 4X27= 110.(2)3 32 12_3 _25b15-10 = a411令 a3 = m, b3 = n, m4 8mn2n則原式=R+2mn+ 4n2+(1一三)/_ HI Iff- 8n3m2m2+2mn+ 4n2 mi 2nm3 IH- 2nm2 + 2mn+ 4n23=肝+2mn+ 4n2=m=a變式訓練：計算下列各式441(8)-；-(-8)0+( -2)3 3+16 3+|一焉產1125，(2) a27a- + V3aa3;21G3)( 33) 3+七)2

7、-10(V5-2) +(/2-V3)0.一一，、2 1431解：(1)原式=(二)-1+(-2) +2 + 51051 11 _ 1432 1+ 16+8+ 10= 80 .完美DOC格式93(2)原式=a6a_6 = a6a a9 7 3 13+6-6T = a0=1.7 13a 6a百221(3)原式=(1)3X(33)3+(上)28500101+ 152= (27)3 +(500) 2 10(那+2) + 14=-+ 10木10/5-20+19167考點二指數函數的引象* "畫出函數y=|3x 1的圖象，并利用圖象回答: 1| =k無解？有一解？有兩解？方程|3x 自主解答函數

8、y=|3x 1的圖象是T由函數y = 3x的圖象向下平移一個單位后，再把位于x軸下方的圖象沿x軸翻折到x軸上方得到的，函數圖象如圖所示.當k<0時，直線y=k與函數y=|3x 1的圖象無交點，即方程無解；當 k=0或k>1時，直線y=k與 函數y=|3x 1的圖象有唯一的交點，所以方程有一解；當0<k<1時，直線y=k與函數y=|3x 1的圖象有兩個不同交點，所以方程有兩解.思考:保持條件不變，討論函數y = |3x 1的單調性.解：由例2所作圖象可知，函數y=|3x1|在0 ,+8)上為增函數，在(8, 0)上為減函數.變式訓練:已知函數yig)"113(1

9、)作出函數的圖象(簡圖)；(2)由圖象指出其單調區間；(3)由圖象指出當x取什么值時有最值，并求出最值.解：(1)法一：由函數解析式可得/ 1 |x +1| y=(3)1 x+1, x>-133 1, x<-1.其圖象由兩部分組成：1向左平移 1、一 AT -1 X1 x+ 1一部分te： y = (3) (x >0) 1 個單位 y= (3) (x>D；X向左平移X+1另一部分是：y = 3 (x < 0) 1個單位 y = 3 (x < 1) .如圖所示:一1法二：由y = (1)1x1可知函數是偶函數，其圖象關于3y軸對稱，故先作出 y=(；)x的圖象

10、，保留x>O3的部分，當x<0時，其圖象是將y = (!) x(x >0)圖象關于y軸對折，從而得出 y=(；)岡的圖象.33將y = (1)1x1向左移動1個單位，即可得y=(1)1x+11的圖象，如圖所示. 33(2)由圖象知函數在(一8, 1上是增函數，在 1, +8)上是減函數.Rm(3)由圖象知當x= 1時，有最大值1,無最小值.考點三指數函數的性質已知函數 f(x) = z 1 xax24x3.(3)若a= 1,求f(x)的單調區間;(2)若f(x)有最大值3,求a的值;若f(x)的值域是(0, +8),求a的取值范圍.自主解答(1)當 a= 1 時，f(x)=(

11、1)x2Txy, 3令 g(x) = x 4x+ 3,由于g(x)在(°°, 2)上單調遞增，在(一2, + 00)上單調遞減，一 1 ,而y = (.)t在R上單倜遞減， 3所以f(x)在(°°, 2)上單調遞減，在(一2, + 00)上單調遞增，即函數f(x)的遞增區間是(一2, +°°),遞減區間是(一8, 2).(2)令h(x) =ax2-4x+3, y=(1)h(x),由于f(x)有最大值3,所以h(x)應有最小值一1,因此必有 3a>0112a16,解得 a= 1即當f(x)有最大值3時，a的值等于1.(3)由指數函

12、數的性質知，要使 y=(1)h(x)的值域為(0, +8).應使h(x) =ax2-4x+3的值域為R,因此 3只能有a=0.因為若aw0,則h(x)為二次函數，其值域不可能為R.故a的取值范圍是a=0.變式訓練： 已知g(x) =- (1)x+4(2)x+5,求該函數的定義域、值域和單調區間.1 x 1 x1 2x 1 x斛：由 g(x) =(4) +4(2) +5=(2) +4(2) +5. .1 v，函數的定義域為R,令t = (2)x(t>0).g(t) =- t2+4t +5=- (t -2)2+9.,- t>0 , g(t) =- (t -2)2 + 9<9,等號

13、成立條件是t=2,1 x即g(x) <9,等3成立條件是 (2) =2,即 x = - 1.1. g(x)的值域是(8, 9.由 g(t) =-(t -2)2+9(t>0),.1 一而t = (2)是減函數，要求g(x)的增區間實際上是求g(t)的減區間.求g(x)的減區間實際上是求 g(t)g(t)在(0,2上遞增，在2 , +8)上遞減，由 0<t =(；)&2,可得 x>- 1 ,由 t =(2)、>2,可得 x<- 1.1' g(x)在- 1 , 十°° )上遞減，在(oo, - 1上遞增.故g(X)的單調遞增區間

14、是(8, 1,單調遞減區間是1, +°°).考點四對數式的化簡與求值【例 4】計算：lg5(lg8 +lg1 000) +(lg2 3)2+lg：+lg0.06 ；(2)化簡:4/27210g210廠 2 -log72log 3-i3- log 51 4/-(3 V 3)3 - 7；x.,(3)已知：lgx +lgy =2lg(2x 3y),求一的值.1Og3 y2自主解答(1)原式=lg5(3lg 2 +3)+3(lg 2) 2-lg 6 + Ig 6 -2= 3lg 5 - Ig 2 + 3lg 5 +3(lg 2) 2-2= 3lg 2(lg 5+lg 2) +(3l

15、g 5) -2= 3(lg 2 +lg 5) -2=1.(2)原式=(log 34/27-1) - log 5(10 -3-2)=(L)l0g 55=-4.(3) - lgx +lgy = 2lg(2x -3y)1, xy = (2x 3y) 2= 4x2+ 9y2 12xy即 4x2-13xy+9y2=0 . (4x 9y)(x y)=0,即 4x = 9y, x = y(舍去)，xlog/291Og3 4=2.2變式訓練:計算：(1)(log32 + log 92) (log 43+log 83);1(2) 5(lg32 +log416 + 6lg11 12) + 51g 5.解：(1)原

16、式=(log 32 + 1log 32)( 110g 23+ 110g 23) 223=(log 32+ log 3 2)(1og 2 3+ log 2 3)一一.一3 _、=log 32斕 log 2(艱, -J3)35=log 3 22 log 2 36355=2 , log 32 6 Tog 23 = 4.(2)原式=1lg32 +2+lg( ；)6+lg 1 52511111= 52+lg(32x6?x 1:那 + 巧用= 5"T)=5.考點五對數值的大小比較【例5】比較下列各組數的大小.(1)log 32 與 10g 56； 35(2)log 1.10.7 與 log 1.

17、20.7 ;(3)已知logib<log尸10gle比較2b,2a,2c的大小關系.自主解答(1) log 3|<log 31 = 0,而 log 56>log 51 =0, 35log 32<log 56. 35(2)法一： 0<0.7<1,1.1<1.21. 0>log 0.7 1.1>log 0.7 1.2.-<, log 0.7 1.1 log 0.7 1.2由換底公式可得log 1.10.7<log 1.20.7.專業整理分享法二：作出y=log1.1x與y = log1.2x的圖象，如圖所示，兩圖象與 x= 0.7相

18、交可知 log1.10.7<log1.20.7.(3) - y= og x為減函數，2b< a< c,logi log logi222b>a>c.而y = 2x是增函數，2b>2a>2c.變式訓練:設a、b、c均為正數，且 2a= .a,logi2J、b(2) =1 cb, (-) =log 2c,則(logi 22A. a<b<cB. c<b<aC. c<a<b D . b<a<c解析：如圖：考點六對數函數圖象與性質的應用【例6】已知f(x) = log ax(a>0且aw1),如果對于任意的xC

19、：, 2都有|f(x)| <1成立，試求a的取3自王解答.f(x) =logax,則y=|f(x)|的圖象如右圖.由圖示，要使 xC1, 2時恒有|f(x)| <1,只需|f( 1)| <1,即一iwiog a 1 333<1,即 log aa 1 V log alog aa, 3亦當a>1時，得a 1< 1<a,即a>3; 3當 0<a<1 時，得 a 1 >->a,得 0<aw ；. 33綜上所述，a的取值范圍是(0 , 1 U 3 , +8). 3變式訓練： (2010 山東濰坊二模)已知函數f(x) =log

20、2(x +1),將y=f(x)的圖象向左平移 1個單位，再將圖象上所有點的橫坐標不變，縱坐標伸長到原來的2倍，得到函數y=g(x)的圖象.(1)求g(x)的定義域；(2)令 F(x) =f(x -1) -g(x),求 F(x)的最大值.向左平移1個單位縱坐標伸長解：(1)f(x)=log2(x + 1) > y = log 乂x +2)到原來的 2倍y=2log2(x + 2),即 g(x) = 2log 2(x +2) , x+2>0. ' x> 2.定義域為(2, 十°°).(2) F(x) =f(x 1) g(x) = log 2x 2log

21、 2(x + 2)xx二10g 2 X+2 2(x>0) = 10g 2x2+4x+41 1 c=log 24 w log 為=3,x + x+ 4當 x=2 時，F(x) max= 3.考點七完美DOC格式與對數函數有關的綜合問題【例71 (2011 成都模擬)設嶇)=|八_二x為奇函數，a<0.logi x12 求a的值;(2)若對于區間3,4上的每一個 1 V x的值，不等式f(x)>( 2)+ m恒成立，求頭數 m的取值氾圍.自主解答(1) r -x) =- f(x),1 + ax1 axx 1logi 10gl。log1 E2221 + ax-x- 1x- 11 a

22、x即(1 + ax)(1ax) = (x + 1)(x -1),a = - 1 或 a= 1(舍去).(1 +2-),、 x-12, 一，x+1(2)由(1)可知 f(x) = .-7= 1c-log1x1 log.22 f(x)>( ：x+m恒成立，x 3,4,3 m<f(x) -(2)x, xC 3,4.人1 x21 x 令 g(x) =f(x) -(2) = |og (1 +xn)-(2)，xC 3,4.2g(x)在3,4上為增函數,21 x.函數f(x) =.(1 +-)與y=(：)在x 3,4上均為增函數,log1 x1 22g(x) min = g(3) =-9,m&l

23、t;- 9.88思考： 若f(x)的值域為1 , +8 ),求x的取值范圍.解：由例題知，x+ 1f(x) = '；log1x12又 f(x)的值域為1 , +°0)專業整理分享x+1 1:0VrW xx 1 2 3 w x< 1.即x的取值范圍為3, 1).變式訓練：已知函數y=loga2(x2 - 2ax- 3)在(一°°, 2)上是增函數，求 a的取值范圍.解：因為(x) = x3. (2010 全國卷 I )設 a=log 32, b= ln2 , c= 5,貝(J ()A. avbvcB. bvcva C. cvavbD. cvbva -

24、2ax - 3在(一00, a上是減函數,在a , 十°°)上是增函數，要使 y= log a2(x2 2ax 3)在(°°, 2)上是增函數,首先必有0<a2<1,即 0<a<1 或1<a<0,且有 “1.綜上，得 y a<0或0<a<1. 4五、鞏固練習:、選擇題1. (2011濟南模擬a< bf(x) =1? 2x的圖象大致為(解析：由a? b= «a>b得 f (x) =1?,則函數2- x2 = *WO“0 ,完美DOC格式答案：A2. (2010遼寧高考)設 2a=5

25、b= m-11且一十 1 = 2,則 m=(a bA. , 10B.10C. 20D.100解析：a = log 2nl b= log 5nl 代入已知得 log m2+ log n5 = 2, 即 log m10 = 2,所以 m= yT0.答案：AIn 2i 11斛析：a = log 32 = -< In 2 = b,又 c= 5-2 = =<-,In 35 24 .若函數f (x) = log a(x+ b)的大致圖象如圖所示，其中1 ,a= log 32 > log 3 = 2，因此 cvavb.a, b(a>0且awl)為常數，貝U函數 g(x) = ax+

26、b的大致圖象是()解析：由圖可知，函數 f (x) = log a(x+b)是單調遞減函數，所以 0<a<1,又因為f (x) = log a(x+b)的 圖象與x軸的交點的橫坐標在(0,1)內，所以0<b<1,根據上述參數 a, b的特點，函數g(x)=ax+b的圖 象大致如B項所示.答案：B5 . (2011 石家莊模擬)已知函數f(x) = log 2(a-2x)+x-2,若f(x)=0有解，則實數 a的取值范圍 是()A. (8, 4 U 4 , +oo)B. 1 , +OO)C. 2 , +8)D. 4 , +oo).一一 一一V.一V 2-V V 4,V解析

27、：法一：f(x) = log2(a 2)+x 2=0,得 a 2=2 ,即 a2=愛，令 t=2(t >0),則 t2 at + 4 = 0 在 t e (0 , + 8)上有解，令g( t) = t2 - at + 4, g(0) = 4>0,故滿足聲, = a2-16>0,得 a>4.、，x一x jx 4法一：f(x)=log2(a2)+x2=0,得 a 2=2 , a=2+2x>4.二、填空題231 .6 . 273 2log2 Xlog 2g+2lg( 3+V5 +V3-V5)的結果為 .解析：原式=9-3X(- 3) +lg( 3 + 75 +3-V5)

28、2=18+lg 10 =19.答案：197 .函數y=ax(a>0,且a*1)在1,2上的最大值比最小值大 看 則a的值是.2 a 一 3 . v .解析：當a>1時，y= a在1,2上單倜遞增，故 a a=2,得a=2.當0<a<1時，y=a在1,2上單 2 a 一 1 .13倜遞減，故 a a = 2，得 a=2.故a = 2或2.8 .若曲線|y| =2x+1與直線y=b沒有公共點，則 b的取值范圍是 解析：分別作出兩個函數的圖象，通過圖象的交點個數來判斷參數的取值范圍.曲線|y|=2x + 1與直線y=b的圖象如圖所示，由圖象可得：如果|y| =2x+1與直線y

29、=b沒有公共點, 則b應滿足的條件是bC1,1.答案：1,1三、解答題9 .已知函數 f(x)=3x, f(a+2) = 18, g(x)=X Tax4x 的定義域為0,1.(1)求a的值；(2)若函數g(x)在區間0,1上是單調遞減函數，求實數 入的取值范圍.解：法一：(1)由已知得 3a+2= 18? 3a=2? a=log 32.(2)此時 g(x)=入- 2x-4x,設 0W x1<x2< 1,因為g( x)在區間0,1上是單調減函數，所以 g( x1) g(x2) = (2 x12x2)(入一2x2 2x1)>0 恒成立，即 入 <2x2+2x1 恒成立.由于

30、 2x2+2xi>2° + 2O=2,所以實數人的取值范圍是入W2.10 . (1)已知 log a2= m log a3 = n,求 a2江n 的值；一 一一 x y,、 僅(2)已知 2lg = lg x + lg y,求、Jy的值.解：(1)由 loga2=m loga3=n得am= 2, an= 3,. a2日 n=a2m. an = 22X3=12._, - x-y 2(2)由已知得 lg( -2上)=lg( xy),x-y 7門口 2 c ,2c. .(-) =xy,即 x6xy + y=0,(-)26 > + 1 = 0, y y- x = 3±2

31、 也 yx-y>0,IX>0, y>0,x . x y>1,從而廠3+2也,X=1+w.六、拓展訓練：1、(2010 安徽高考兒 3 22 -2 -)設2=(3)5, b=(2)5, c=(f)5,則 a, b, c 的大小關系是()555A. a>c>bB. a>b>cC. c>a>bD. b>c>a規范解答構造指數函數y=(2)X(x £ R),由該函數在定義域內單調遞減可得bvc;又y=(|)X(x R)553 x,3X2X, R_2O -與 y = (5) (X e R)N 間有如下結論：當 x>0

32、 時，有(5) >(5),故(3)5>(_)5 ,，a>c,故 a>c>b.552、(2010天津高考)設函數f(x)log 2 X，log 1 ( - X ),2x,0,若汽a),則實數a的取值范圍x 二 0.是()A. ( 1,0)U (0,1)(8, 1)u (1,+°0)C. ( -1,0)規范解答+ 0°)由題意可得.(8, 1) U(0,1)a 0log2 a或a 010g1a logi(-a) log2a，2.2解之得a>1或1<a<0.七、反思總結:專業整理分享當堂過手訓練(快練五分鐘，穩準建奇功！)1 . (2011 桐鄉模擬)函數y = ax+2012 + 2012(a>0 , awl)的圖象恒過定點 解析：令 x+2012=0,則 x= 2012,此時 y=a0+2012= 1 + 2012= 2013，恒過定點(-2012,2013).答案：(2012,2013)2 .若 a>0, aw1, x>y>0, n C N,則下列