1、 任何具有質量和彈性的系統都能產生振動，若不外加激勵的作用，振動系統對初始激勵的響應，通常稱為自由振動。 保守系統在自由振動過程中，由于總機械能守恒，動能和勢能相互轉換而維持等幅振動，稱為無阻尼自由振動。 實際系統不可避免存在阻尼因素，由于機械能的耗散，使自由振動不能維持等幅而趨于衰減，稱為阻尼自由振動。第二章第二章 單自由度系統的自由振動單自由度系統的自由振動 最簡單的單自由度振動系統就是一個彈簧連接一個質量的系統，如圖2.1-1所示的彈簧-質量系統。 彈簧-質量系統有一個共同的特點：當受擾動離開平衡位置后，在恢復力作用下系統趨于回到平衡位置，但是由慣性它們會超越平衡點。超越后，恢復力再次作

2、用使系統回到平衡位置。結果系統就來回振動起來。2.1 簡諧振動簡諧振動 圖 2.1-1 (2.1-1)kxxm 設在某一瞬時t，物體的位移為x，則彈簧作用于物體的力為-kx，以 和 分別表示物體的速度與加速度。由牛頓定律，有x x 0kxxm 0 xmkx 根據常微分方程理論，式(2.1-3)的解具有下面的一般形式式中A1和A2是取決于初始條件 t=0, , 的積分常數。)0(0 xx )0(0 xx tAtAtxnnsincos)(21(2.1-4)這里 為系統的固有頻率。mkn令mkn(2.1-2)02xxn (2.1-3)這是二階常系數線性齊次常微分方程。 方程(2.1-1)改寫為sin

3、 ,cos21AAAAcos ,sin21AAAA設 或 (2.1-5)(2.1-6)2221AAA121tanAA2221AAA211tanAA得 或 式中常數A和(=/2-)分別稱為振幅和相角。方程(2.1-7)說明該系統以固有頻率n作簡諧振動。tAtAtxnnsincos)(21解為 )cos()(tAtxn )sin()(tAtxn(2.1-7)或 凡是系統響應可以用時間的正弦函數(或余弦函數)表示的振動。簡諧振動： 矢量A與垂直軸x的夾角為nt-，A在x軸上的投影就表示解x(t)=Acos(nt-) 。當nt-角隨時間增大時，意味著矢量A以角速度n按逆時針方向轉動，其投影成諧波變化。

4、 圖 2.1-2 振動重復一次所需要的時間間隔。振動周期T： 在簡諧振動的情況下，每經過一個周期，相位就增加2，因此n(t+T)+-(nt+)=2故有nT2(2.1-9) 實際上T代表發生一次完整運動所需要的時間，周期通常以秒(s)計。 在單位秒時間內振動重復的次數。振動頻率f：mkTfn2121(2.1-10)頻率的單位為次/秒，稱為赫茲(Hz)。tAtAtxnnsincos)(2101xA 設在初瞬時t=0，物體有初位移 與初速度 ，則代入式(2.1-4)及其一階導數，振動系統對初始條件 的響應為0 xx 0 xx 00 , xxtAtAtxnnnncossin)(21nxA02txtxt

5、xnnnsincos)(00(2.1-10)2020nxxA 比較方程(2.1-4)和(2.1-10)，并利用方程(2.1-6)可以得到振幅A和相角的值。(2.1-11)001tanxxn或001tanxxn 現在來看由彈簧懸掛的物體(圖2.1-3)沿鉛直方向的振動。 當振動系統為靜平衡時彈簧在重力mg的作用下將有靜伸長kmgs(2.1-12) 在重力與彈簧力的作用下，物體的運動微分方程為)(xkmgxms (2.1-13)因為mg=ks，上式仍可簡化為kxxm 圖 2.1-3 從彈簧的靜變形可以方便的計算出振動系統的固有頻率。sgmk(2.1-14)sngkmgs 例例2.1-1 均勻懸臂梁

6、長為l，彎曲剛度為EJ，重量不計，自由端附有重為P=mg的物體，如圖2.1-4所示。試寫出物體的振動微分方程，并求出頻率。 解：解：由材料力學知，在物體重力作用下，梁的自由端將有靜撓度EJPls33則頻率為33mlEJgsn圖 2.1-4 這里，懸臂梁起著彈簧的作用，自由端產生單位靜變形所需要的力就是梁的彈簧系數33lEJPks 物體梁端的振動微分方程為ylEJym33 033ymlEJy 即則頻率為3321mlEJfsin2mglml 例例2.1-2 可繞水平軸轉動的細長桿，下端附有重錘(直桿的重量和錘的體積都可以不計)，組成單擺，亦稱數學擺。桿長為l，錘重為P=mg，試求擺的運動微分方程及

7、周期。 假定角不大，可令sin，則上式簡化為0lg 解：解：取偏角為坐標。從平衡位置出發，以逆時針方向為正，錘的切向加速度為 ，故有運動微分方程為 l圖 2.1-5glTn22lgn2故則振動周期為 例例2.1-3 可繞水平軸擺動的物體，稱為復擺(亦成為物理擺)。設物體的質量為m，對軸O的轉動慣量為I，重心G至軸O的距離為s，如圖2.1-6所示，求復擺微幅振動的微分方程及振動周期。 解：解：取偏角為坐標，以逆時針方向為正，復擺繞定軸轉動的微分方程可列為 sinmgsI 假定角不大，可令sin，則上式簡化為0Imgs 這就是振動微分方程。圖 2.1-6故固有頻率為ImgsnmgsITn22則振動

8、周期為 解：解：設為圓盤相對于靜平衡位置的角坐標。微分方程為 例例2.1-4 鉛垂圓軸，上端固定，下端裝有水平圓盤，組成扭擺，如圖2.1-7所示。設有力矩圓盤及圓軸下端繞有轉過某一角度后突然釋放，則圓盤將在水平面內進行扭轉振動。已知圓軸的扭轉彈簧系數(使軸的下端產生單位所需的扭矩)為k(Nm/rad)，質量不計，圓盤對轉軸的轉動慣量為I，求扭擺的振動微分方程及周期與頻率。kI 圖 2.1-7kITn22Ikfn212 可見扭擺的自由振動也是簡諧振動，其周期與頻率為故Ikn0Ik 或 對于能量無耗散的振動系統，在自由振動時系統的機械能守恒。常數UT(2.2-1)0)(ddUTt(2.2-2)ma

9、xmaxUT(2.2-3)對時間求導，得 如果取平衡位置為勢能零點，由機械能守恒定律，有2.2 能量法能量法 例例2.2-1 有一個重量為W，半徑為r的實心圓柱體，在半徑為R的圓柱形面上無滑動地滾動，如圖2.2-1所示。假設該滾動的圓柱體進行簡諧運動，試求它繞平衡位置作微小擺動時的固有頻率n。 解：解：圓柱體在擺動時有兩種運動：移動和滾動。設坐標如圖2.2-1所示。rrRrRvc,)(擺動時圓柱體中心C點的速度及圓柱體的角速度分別為圖 2.2-1系統的動能T為2sin)(2)cos1)(2rRWrRWU 若選圓柱體中心C在運動過程中的最低點為零勢能點，則系統的勢能為22222222243212

10、1212121rRgWrrRrgWrRgWImvTcc圓柱體的勢能為相對于最低位置O的重力勢能。2)(21rRWU0)()(23)(21)(43dd)(dd2222 rRWrRgWrRWrRgWtUTt0)(32rRg 由式(2.2-2)，有上式可以簡化為 當圓柱體作微擺動時， ，因此系統的勢能為22sin)(32rRgn)sin(tAn222max)(43ArRgWTn故系統固有頻率為 系統的固有頻率也可以用Tmax=Umax來計算，設系統作自由振動時的變化規律為則系統的最大動能為 系統的最大勢能為2max)(21ArRWU則得固有頻率n同前。 解：解：在桿有微小偏角時，彈簧的伸長及錘的位移

11、與速度可以近似的表示為a，l與 。故振動系統的動能與勢能可以表示為l 例例2.2-2 細桿OA可繞水平軸O轉動，如圖2.2-2所示，在靜平衡時成水平。桿端錘的質量為m，桿與彈簧的質量均可略去不計，求自由振動的微分方程及周期。 2221,)(21akUlmT圖 2.2-20)(2121dd222akmlt02lamk 代入方程(2.2-2)有由此可得固有頻率為mklan周期為kmalT2，平衡時 。)mglaksssa21,（平衡位置為零勢能點, ,212221mglkU 在前面的討論中，都忽略了彈簧的質量。這樣的簡化，已經足夠滿足許多工程實際問題的需要了。 在一些工程實際問題中彈簧本身的質量可

12、能占系統總質量的一定比例，而不能被忽略。 如何考慮彈簧本身的質量，以確定其對振動頻率的影響，瑞利(Rayleigh)提出的一種近似方法。 如果忽略這部分彈簧的質量，將會導致計算出來的固有頻率偏高。 2.3 瑞利法瑞利法 現以圖2.3-1所示的彈簧質量系統為例說明瑞利法的應用。 設為彈簧單位長度的質量，則彈簧微段du的動能為ulxud212 設彈簧在振動過程中變形是均勻的，即彈簧在聯結質量塊的一端位移為x，彈簧(處于平衡位置時)軸向長度為l，則距固定端u處的位移為 。因此，當質量塊m在某一瞬時的速度為 時，彈簧在u處的微段du的相應速為 。 x xluxlu圖 2.3-1整個彈簧的動能為2 0

13、2321d21xlulxuTl(2.3-1) 整個系統的總動能為質量塊m的動能和彈簧質量的動能之和。在質量塊經過靜平衡位置時，系統最大動能為2max2max2maxmax32132121xlmxlxmT(2.3-2)系統的勢能將仍和忽略彈簧質量時一樣為2maxmax21kxU(2.3-3)AxAxtAxnnmaxmax,),sin(由Tmax=Umax可得2max2max21321kxxlm(2.3-3)對于簡諧振動代入得3lmkn(2.3-4)式中l為彈簧的總質量。可見彈簧質量對于頻率的影響相當于在質量m上在加上1/3彈簧質量的等值質量，這樣就可以把彈簧質量對系統的固有頻率的影響考慮進去。

14、例例2.3-1 設一均質等截面簡支梁，如圖2.3-2所示，在中間有一集中質量m，如把梁本身質量考慮在內，試計算此系統的固有頻率和梁的等效質量。 解：解：假定梁在自由振動時動撓度曲線和簡支梁中間有集中靜載荷mg作用下的靜撓度曲線一樣。圖 2.3-233232434348lxxlyxxlEJmgym式中ym為中點撓度。EJmglym483222 0 332351721d43212mlmylxlxxlyT根據材料力學有設為梁單位長度的質量，整個梁的動能為可見梁的等效質量為lmeq3517)sin(tAynm因為是簡諧振動，設33243)cos(lxxlyytAymnnm則222maxmax35172

15、1351721nAlmyplmT系統的最大總動能為22maxmax2121kAkyU梁的最大彈性勢能仍為22221351721kAAlmn由Tmax=Umax，得得lmkn3517下面證明一個等截面懸臂梁(見圖2.3-3)在自由端的等效質量為 。假定梁自由振動時的振動形式和懸臂梁在自由端加一集中靜載荷時的靜撓度曲線一樣。 l14033由材料力學知，在梁端靜載荷P的作用下，懸臂梁自由端的撓度為 ，截面x處的撓度為 。EJPl3333223lxlx圖 2.3-3假定在自由振動中，梁各點的振幅仍近似的按比例，即設 033223)(ylxlxxy其中y0為梁自由端的振幅。設質量m的自由振動可表示為 ；

16、而梁的振動可表示為 tynsin0txytxynsin)(),(全梁動能的最大值為 202 0 2322302022max1403321d3221d)(21ylxxlxlyxxyTnlnln故整個系統動能的最大值為 202max1403321ylmTn而系統勢能的最大值為 20320max32121ylEJkyUlmlEJn14033332由 可得 maxmaxUT 彈簧剛度系數就是使彈簧產生單位變形所需要的力或力矩。xFk (2.4-1) 同一彈性元件，根據所要研究振動方向不同，彈簧剛度系數亦不同。 以一端固定的等直圓桿為例加以說明，如圖2.4-1所示。2.4 等效剛度系數等效剛度系數圖 2

17、.4-1EAFlxB 確定沿x方向的剛度時，在B處沿x方向加一垂直力F。B點在x方向的剛度系數為lEAxFkBx 根據材料力學知，B點在x方向的位移為圖 2.4-1EJPlyB33 確定沿y方向的剛度時，在B點沿y方向加一橫向力P。 桿作彎曲變形，根據材料力學知，B點沿y方向的位移B點沿y方向的剛度系數為33lEJyPkyB 桿件作轉扭，產生扭角，根據材料力學知，B點沿x軸的扭角為GJMlBlGJMkB 確定繞x軸的轉動方向的剛度，需要在B端繞x軸轉動方向加一扭矩M。B點繞x軸轉動方向的剛度系數為 對于螺旋彈簧，在承受軸向拉伸或壓縮、扭轉與彎曲變形時，剛度系數分別為 44431,8643212

18、GdEdEdkkknDnDnDEG式中E為彈性模量，G為剪切模量，d、D分別 為簧絲、簧圈直徑，n為彈簧有效圈數。 工程中用到的彈簧類型很多，計算時需要其剛度系數，一般可以根據等效剛度系數的推證方法加以推導。 圖2.4-2(a)是兩個串聯彈簧，剛度系數分別為k1和k2。B點的位移及等效剛度系數為2121kkkkxFkB21kFkFxB 串、并聯彈簧的等效剛度的計算。串聯彈簧的作用使系統中的彈簧剛度降低。 如果有n個彈簧串聯，剛度系數分別為k1, k2, , kn，則等效剛度系數k應滿足關系式niinkkkkk12111111(2.4-2)圖 2.4-2 圖2.4-2(b)是兩個并聯彈簧，剛度系數分別為k1和k2。兩個彈簧所受的力分別為k1xB、k2xB 并聯彈簧的系統剛度是原來的彈簧剛度的總和，比原來各彈簧的剛度都要大。 如果有n個彈簧并聯，其彈簧剛度系數分別為k1, k2, , kn， 則等效剛度系數為niinkkkkk121(2.4-3)21kkxFkBB點的等效剛度：BBxkxkF21根據靜力平衡條件得：圖 2.4-2 彈簧的并聯與串聯，不能