1、例例；211121112A求下列矩陣的特征值與特征向量：求下列矩陣的特征值與特征向量：1)1)第一章第一章 矩陣的相似變換矩陣的相似變換 1 基本概念基本概念 解解 )det(AI 2111211123231rrr )2(r11341)3(2)3)(2)(1(A的特征值為的特征值為3, 2,2(302對于對于，11求解求解，0 xAI)(由于由于111111111AI020111000000010101同解方程組為同解方程組為，0231xxx基礎(chǔ)解系為基礎(chǔ)解系為T) 1, 0, 1(故對應(yīng)故對應(yīng)11的所有特征向量為的所有特征向量為T1) 1, 0, 1(k)0(1k對

2、于對于，22求解求解，0 xAI)2(由于由于0111011102AI000110101同解方程組為同解方程組為，3231xxxx 特征向量為特征向量為；T) 1, 1, 1( 對于對于，33求解求解，0 xAI)3(由于由于1111111113AI000100011同解方程組為同解方程組為，0321xxx 特征向量為特征向量為。T)0, 1, 1(2)2)；211011013A解解 )det(AI 2110110131113)2(A的特征值為的特征值為2321求解求解，0 xAI)2(由于由于3)2(基礎(chǔ)解系為基礎(chǔ)解系為TT) 1, 0, 0(,)0, 1, 1(對應(yīng)對應(yīng)2的所有特征向量為的

3、所有特征向量為T2T1) 1, 0, 0()0, 1, 1(kk21,(kk不全為不全為0) 0110110112AI同解方程組為同解方程組為3210 xxx0000000113)3)。1111111111111111A 解解 )det(AI 11111111111111114342rrrr11112200202011111131)2(23)2)(2(A的特征值為的特征值為2, 243213424cccc1111020000203111對于對于，21求解求解，0 xAI)2(由于由于31111311113111132AI同解方程組為同解方程組為 434241,xxxxxx基礎(chǔ)解系為基礎(chǔ)解系為T

4、) 1, 1, 1, 1(對應(yīng)對應(yīng)21的全部特征向量為的全部特征向量為T1) 1, 1, 1, 1(k)0(1k0000110010101001對于對于，2432求解求解0,xAI)2(由于由于11111111111111112AI同解方程組為同解方程組為 4321xxxx即對應(yīng)即對應(yīng)2有有3個線性無關(guān)的特征向量個線性無關(guān)的特征向量TTT) 1, 0, 0, 1 (,)0, 1, 0, 1 (,)0, 0, 1, 1 (0000000000001111全部特征向量為全部特征向量為T4T3T2) 1, 0, 0, 1 ()0, 1, 0, 1 ()0, 0, 1, 1 (kkk432,(kkk不

5、全為不全為0) 例例；211121112A下列矩陣是否可對角化？下列矩陣是否可對角化？若可以，試求出若可以，試求出相似變換矩陣和相應(yīng)的對角矩陣：相似變換矩陣和相應(yīng)的對角矩陣：1)1)解解)3)(2)(1()det(AIA的特征值為的特征值為, 11, 2233因為因為A的特征值互異，的特征值互異， 所以所以A可對角化。可對角化。又對應(yīng)的特征向量分別為又對應(yīng)的特征向量分別為可求得可求得2 相似對角化相似對角化 ，1011p，1112p0113p故相似變換陣故相似變換陣，011110111P使得使得3211APP2)2)；211011013A解解3)2()det(AI所以所以A的特征值為的特征值為

6、 2321對應(yīng)三重特征值對應(yīng)三重特征值2有兩個線性無關(guān)的特征向量有兩個線性無關(guān)的特征向量，T)0, 1, 1(T) 1, 0, 0(故故A不可對角化。不可對角化。可求得可求得3)3)。1111111111111111A解解3)2)(2()det(AI，232124對應(yīng)三重特征值對應(yīng)三重特征值2有三個線性無關(guān)的特征向量有三個線性無關(guān)的特征向量，T)0, 0, 1, 1 (，T)0, 1, 0, 1 (T) 1, 0, 0, 1 (故故A可對角化。可對角化。又對應(yīng)又對應(yīng)24的特征向量為的特征向量為，T) 1, 1, 1, 1(故相似變換陣故相似變換陣可求得可求得所以所以A的特征值為的特征值為 11

7、00101010011111P使得使得 22221APP例例，211121112A試求試求。100A解解， APP1其中其中，011110111P321 于是于是100A1001)(PP 1100PP 已知已知 可求得可求得)()(111PPPPPP 01111011110010010032110111101110010010010010010010010010010010010010022121322323221321例例3213dd3212dd3211dd222xxxxxxxxxxxxttt解解，321xxxx，3dd2dd1ddddxxxttttx211121112A求解一階線性常系數(shù)微

8、分方程組求解一階線性常系數(shù)微分方程組令令則微分方程組可寫成矩陣形式則微分方程組可寫成矩陣形式 Axxtdd可求得可求得，011110111P使得使得 3211APP令令，Pyx 其中其中 。T321),(yyyy注意到注意到 ，ttddd)d(yPPy代人前一式得代人前一式得，APyyPtdd即即 ，yy tdd寫成分量形式為寫成分量形式為，11ddyyt，22dd2yyt33dd3yyt解之得解之得 ,e11tcy ,e222tcy tcy333e故得故得321xxx321yyyPtttttttccccccc221332233221eeeeeee321,(ccc 任意任意) ) 例例；211

9、011013A解解3)2()det(AI所以所以A的特征值為的特征值為 2321 又對應(yīng)又對應(yīng)2有有2個線性無關(guān)的特征向量個線性無關(guān)的特征向量TT) 1, 0, 0(,)0, 1, 1(求下列矩陣的求下列矩陣的Jordan標(biāo)準(zhǔn)形：標(biāo)準(zhǔn)形：1) 1) 可求得可求得3 Jordan 標(biāo)準(zhǔn)形介紹標(biāo)準(zhǔn)形介紹 故故A的的Jordan標(biāo)準(zhǔn)形為標(biāo)準(zhǔn)形為2122J( (或或)2212J 2) 2) 3000212111221112A解解)3() 1()det(3AI所以所以A的特征值為的特征值為 , 1321可求得可求得34故故A的的Jordan標(biāo)準(zhǔn)形為標(biāo)準(zhǔn)形為311111J( (或或 )111113J又對應(yīng)

10、又對應(yīng)1只有一個線性無關(guān)的特征向量只有一個線性無關(guān)的特征向量T)0, 1, 1, 0(上述方法的缺點是，上述方法的缺點是，當(dāng)當(dāng)A的某個特征值的重數(shù)為的某個特征值的重數(shù)為4或大于或大于4時，時， 其對應(yīng)的其對應(yīng)的Jordan塊可能無法確定。塊可能無法確定。 例例 1200001000001000001000201A解解 求求 的的Jordan標(biāo)準(zhǔn)形。標(biāo)準(zhǔn)形。 注注5) 1()det(AI可求得可求得且且 ，2)rank( AI此時此時A對應(yīng)對應(yīng)5重特征值重特征值1有有3個線性無關(guān)的特征向量，個線性無關(guān)的特征向量，直接按特征向量法無法確定直接按特征向量法無法確定A的的Jordan標(biāo)準(zhǔn)形。標(biāo)準(zhǔn)形。設(shè)

11、設(shè)，1000102011A，12012A則則。21AOOAA31) 1()det(AI可求得可求得且且 ，1)rank(1 AI所以所以A1和和A2的的Jordan標(biāo)準(zhǔn)形分別為標(biāo)準(zhǔn)形分別為22) 1()det(AI且且 ，1)rank(2 AI，11111J1112J故故A的的Jordan標(biāo)準(zhǔn)形為標(biāo)準(zhǔn)形為21JJJ11111111439)(23468f)(f求用求用)(g所得的商式和余式。所得的商式和余式。375)(23g除除例例 已知多項式已知多項式)()23181395()(2345gf70107322解解 可求得可求得故以故以 g ()除除 f () 所得的所得的商式為商式為)23181

12、395()(2345q余余式為式為7010732)(2r例例；211011013A解解AI 用初等變換化為用初等變換化為Smith求下列矩陣的求下列矩陣的Jordan標(biāo)準(zhǔn)形：標(biāo)準(zhǔn)形：1)1)第一步：第一步：對對標(biāo)準(zhǔn)形：標(biāo)準(zhǔn)形：AI 21101101312c) 1(c221001044322321rrr )3(r2200010)2(02) 1(rcc1322000010)2(0221rr2000)2(000123232ccrr2)2(00020001從而從而A的不變因子為的不變因子為, 1)(1d, 2)(2d23)2()(d第二步：第二步：( (此處是此處是)(2d和和)(3d分解成關(guān)于分解成

13、關(guān)于 的不同的的不同的一次因式方冪的乘積，一次因式方冪的乘積，本題中本題中A的初等因子為的初等因子為 2和和2)2(再把再把A的每個次數(shù)大于零的不變因子的每個次數(shù)大于零的不變因子并分別寫出這些方冪并分別寫出這些方冪( (相同的按出現(xiàn)的次數(shù)計數(shù)相同的按出現(xiàn)的次數(shù)計數(shù)) )， 稱之為稱之為A的的初等因子，初等因子，第三步：第三步：iri)(作出作出irJordan塊塊 對每個初等因子對每個初等因子階階iirriii11所有初等因子對應(yīng)的所有初等因子對應(yīng)的Jordan塊構(gòu)成的塊構(gòu)成的Jordan矩陣矩陣 J即是即是A的的Jordan標(biāo)準(zhǔn)形。標(biāo)準(zhǔn)形。 本題中本題中A的的Jordan標(biāo)準(zhǔn)形為標(biāo)準(zhǔn)形為21

14、22J2) 2) 。422633211A解解 AI 4226332112223)2(01021312ccr2rr )3(r202)2(00012321c2cc) 1(c32c2c002200012) 1(rr2r232000)2(0001 )2(0000001A的不變因子為的不變因子為, 1)(1d,)(2d)2()(3dA的初等因子為的初等因子為 ,2A的的Jordan標(biāo)準(zhǔn)形為標(biāo)準(zhǔn)形為 200J3332ccrr例例 已知一個已知一個12階矩陣的不變因子是階矩陣的不變因子是， 91, 1, 1，2) 1(，)2() 1(2222)3)(2() 1(求求A的的Jordan標(biāo)準(zhǔn)形。標(biāo)準(zhǔn)形。解解 A

15、的初等因子為的初等因子為 ，2) 1(，2) 1(，)2(，2) 1()2(，2i)3(2i)3(故故A的的Jordan標(biāo)準(zhǔn)形為：標(biāo)準(zhǔn)形為：i31i3i31i321112111111J例例；211011013A解解 211011013AI求下列矩陣的求下列矩陣的Jordan標(biāo)準(zhǔn)形：標(biāo)準(zhǔn)形：1)1) 一階子式共有一階子式共有9個，個，；1)(1D顯然顯然二階子式共有二階子式共有9CC2323個：個： ，2)2(1113，00103，00101，21113，)2)(3(2103，)2(2101，)2(1111，22101)2)(1(2101所以所以 2)(2D又又，3)2()det(AI 故故 3

16、3)2()(D從而從而A的不變因子為的不變因子為 ，1)()(11Dd，2)()()(122DDd2233)2()()()(DDdA的初等因子為的初等因子為 ，22)2(A的的Jordan標(biāo)準(zhǔn)形為標(biāo)準(zhǔn)形為 2122J2) 2) ；3000212111221112A解解 3000212111221112AI其中三階子式其中三階子式，3) 1(121122112)52)(3(221122112故故 ，1)(3D從而從而 。1)()(21DD又有又有)3() 1()det(3AI所以所以 ) 3() 1()(34DA的不變因子為的不變因子為，1)()()(321ddd) 3() 1()(34dA的初

17、等因子為的初等因子為 ,) 1(33A的的Jordan標(biāo)準(zhǔn)形為標(biāo)準(zhǔn)形為 311111J3)3)306332100000010000001000000100000010A解解 AI3063321000001000001000001000001中有一個中有一個5階子式階子式 5) 1(11111所以所以1)()(51DD又又)(6D)det(AI 23) 1)(2() 1(A的不變因子為的不變因子為 ，1)()(51dd236) 1)(2() 1()(dA的初等因子為的初等因子為 23) 1(),2(,) 1(A的的Jordan標(biāo)準(zhǔn)形為標(biāo)準(zhǔn)形為111211111J例例100021003210432

18、1A 解解 AI100021003210432144) 1()det()(AIDAI 中中3階子式階子式求矩陣求矩陣的的Jordan標(biāo)準(zhǔn)形。標(biāo)準(zhǔn)形。) 1(4210321432因為因為)(3D整除所有整除所有3階子式，且階子式，且，)()(43DD所以所以1)()()(321DDDA的不變因子為的不變因子為44) 1()(d故故A的的Jordan標(biāo)準(zhǔn)形為標(biāo)準(zhǔn)形為 1111111J，1)()()(321ddd例例3000212111221112A的的Jordan標(biāo)準(zhǔn)形標(biāo)準(zhǔn)形 J 及所用的相似變換陣及所用的相似變換陣 P。解解311111J求矩陣求矩陣已求得已求得A的的Jordan標(biāo)準(zhǔn)形為標(biāo)準(zhǔn)形為

19、設(shè)設(shè) ，),(4321ppppP 即按列分塊，即按列分塊，則由則由JAPP1 即即PJAP 得得)3,(),(4322114321ppppppApApApAp即即 44323212113pApppApppAppAp也即也即 0)3()()()(323121pAIppAIppAIpAI0由上式可見，由上式可見，41, pp分別是特征值分別是特征值1和和3對應(yīng)的對應(yīng)的2p可利用已求出的可利用已求出的1p求解非齊次方程組求解非齊次方程組1)(pxAI而而3p特征向量，特征向量， 而而作為右端項，作為右端項，得到，得到，又可又可由求解非齊次方程組由求解非齊次方程組2)(pxAI得到。得到。可求得特征值

20、可求得特征值1對應(yīng)的特征向量為對應(yīng)的特征向量為T)0, 1, 1, 0(取取，T1)0, 1, 1, 0(p求解求解 ，1)(pxAI由于由于),(1pAI020001222111112011110100013330113300111101000011001100011131310000001000011000013131同解方程組為同解方程組為 ，043312311xxxx令令03x得得T31312)0, 0,(p再求解再求解，2)(pxAI由于由于 ),(2pAI02000022211112111131310000001000011000019192同解方程組為同解方程組為 ，043912

21、921xxxx 令令03x 得得T91923)0, 0,(p取取4p為對應(yīng)特征值為對應(yīng)特征值3的特征向量的特征向量T4) 1, 0, 1, 0(p故相似變換陣故相似變換陣10000001110091319231P使得使得。JAPP1是特征值是特征值1的廣義特征向量。的廣義特征向量。注注 稱稱它們不是唯一的。它們不是唯一的。32pp，例例411301621A的的Jordan標(biāo)準(zhǔn)形和所用的相似變換陣。標(biāo)準(zhǔn)形和所用的相似變換陣。解解 )det(AI 41131621411110)2)(1(1032) 1(11)2(1) 1(求矩陣求矩陣A的特征值為的特征值為1321求解求解 ，0 xAI)(由于由于

22、311311622AI000000311同解方程組為同解方程組為3213xxx基礎(chǔ)解系為基礎(chǔ)解系為TT) 1 , 0 , 3(,)0 , 1 , 1(從而從而A的的Jordan標(biāo)準(zhǔn)形為標(biāo)準(zhǔn)形為 1111J若設(shè)若設(shè) ，),(321pppP 使得使得，JAPP1則有則有3232211,ppAppAppAp可見可見21, pp應(yīng)取對應(yīng)特征值應(yīng)取對應(yīng)特征值1的兩個線性無關(guān)的兩個線性無關(guān)的特征向量。的特征向量。( (注注,)0, 1, 1(T1pT2) 1, 0, 3(p為得到為得到，3p求解方程組求解方程組，2)(pxAI即即 13033622321321321xxxxxxxxx這是矛盾方程組。這是矛

23、盾方程組。) ) 若取若取處理方法如下：處理方法如下： 取定取定 ，T1)0, 1, 1(p又令又令T2T12) 1, 0, 3()0, 1, 1(kkpT2121),3(kkkk只要只要，02p則則2p也是對應(yīng)也是對應(yīng)1選擇其中的系數(shù)選擇其中的系數(shù)21kk，使使2p的特征向量，的特征向量，滿足兩點滿足兩點:（1 1）與）與1p（2 2）使方程組）使方程組2)(pxAI由于由于 線性無關(guān)；線性無關(guān)；有解。有解。),(2pAI21213113113622kkkk2112100031133000kkkkk0000000311211kkk可見，可見，21kk 方程組有解。方程組有解。則則2pTT)

24、1, 0, 3()0, 1, 1(T) 1, 1, 2(它與它與1p又同解方程組為又同解方程組為32131xxx時，時，取取，121 kk線性無關(guān)。線性無關(guān)。當(dāng)當(dāng)令令 032 xx得得T3)0, 0, 1(p故相似變換陣故相似變換陣010011121P使使 11111APP當(dāng)一個重特征值對應(yīng)當(dāng)一個重特征值對應(yīng)2個及個及2個以上的個以上的Jordan注注塊時，塊時，經(jīng)常要作這樣的處理，經(jīng)常要作這樣的處理，應(yīng)加以注意。應(yīng)加以注意。例例nnCA的的n個特征值為個特征值為，n,21證明證明Adet21n 證證n*211APP取行列式即得。取行列式即得。 設(shè)設(shè)根據(jù)根據(jù)Jordan標(biāo)準(zhǔn)形理論，標(biāo)準(zhǔn)形理論，

25、 存在存在n階可逆陣階可逆陣P使使( (其中其中*代表代表0或或1) )例例，3000212111221112A求求。100A已知已知解解，JAPP1其中其中，311111J10000001110091319231P可求得可求得故故 100A1100PPJ1000000111009131923110029910031100110011000133322210100100100300014650140511405014950147493147501474915050100100100101例例3213dd312dd3211dd4362xxxxxxxxxxxttt解解，Axxtdd其中其中，321

26、xxxx411301621A求解微分方程組求解微分方程組首先化為矩陣形式首先化為矩陣形式可求得可求得，JAPP11111J其中其中，010011121P令令，Pyx 其中其中，T321),(yyyy代入方程得代入方程得，APyyPtdd即即Jyytdd寫成分量形式為寫成分量形式為,11ddyyt,322ddyyyt33ddyyt由第由第1,3個方程解得個方程解得 ，tcye11tcye33這是一階線性微分方程，這是一階線性微分方程，ttccye)(322故故 321xxxtttctcccee)(e0100111213321ttttcctccctcccce)(e)(e)22(3232133213

27、21,(ccc任意任意) ) 代入第代入第2個方程得個方程得 ttcyye322dd其解為其解為例例，100221212A求求；IAAAAA234684392 2) )。100A已知已知1)1)解解1)1) 用帶余除法用帶余除法4 Hamilton-Cayley定理定理 )det()(AI )3() 1(2設(shè)設(shè) 1439)(23468g)(g用用)(可得可得 )()23181395()(2345g68107322由于由于，OA )(所以所以)(AgIAA6810732270042142142211437523除除IAAAAAA23468439)(g其中其中A的特征多項式為的特征多項式為2)2)

28、0122100)()(bbbq需求出需求出。012,bbb注意注意)3() 1()(2滿足滿足0)3() 1 () 1 (又對又對( (* *) )式求導(dǎo)得式求導(dǎo)得 12992)()()()(100bbqq1201201210021001393bbbbbbbb解得解得 )2013()3401()5973(100412100211100410bbb用待定系數(shù)法用待定系數(shù)法設(shè)設(shè)( (* *) )( (* * *) )將將13和和代入代入( (* *) )式和上式并利用式和上式并利用( (* * *) )式得式得故故 100AIAA0122bbb10013) 13() 13() 13() 13()

29、13(10010021100211001002110021例例試將試將n2A表為表為A的二次多項式。的二次多項式。解解 A的特征多項式為的特征多項式為)det()(AI )2)(1)(1(令令 01222)()(bbbqn設(shè)設(shè)3階方陣階方陣A的特征值為的特征值為1，1，2， 將將 依次代入上式得依次代入上式得2, 1, 1012201201224211bbbbbbbbbn解得解得 ) 12(0)24(231212310nnbbb因此因此 n2AIA)24() 12(2312231nnIAAAA0122)()(bbbq例例；031251233A解解 A的特征多項式為的特征多項式為)det()(A

30、I )4()2(2)(的因式有的因式有 ，2，4，2)2(，)4)(2()4()2(2由性質(zhì)由性質(zhì)2，試求下列矩陣的最小多項式試求下列矩陣的最小多項式1 1）只需驗證第只需驗證第4個因式。個因式。 可知可知OIAIA)4)(2(故故 )4)(2()(Am2 2） 。nn0000100001000010B 解解 B的特征多項式為的特征多項式為n)det()(BI所以所以)(的因式為的因式為nn12因為因為 ，) 1, 2 , 1(niiOBOB n故故B的最小多項式為的最小多項式為nm)()(B例例313321212212A解解 23) 3(2()(）Am求下列矩陣的最小多項式求下列矩陣的最小多

31、項式1)1)2 2） 。031251233A解解)4()2()det(2AI所以所以A的特征值為的特征值為4, 2321對應(yīng)對應(yīng)2有兩個線性無關(guān)的特征向量有兩個線性無關(guān)的特征向量，T)0, 1, 3(T) 1, 0, 2(從而從而A的的Jordan標(biāo)準(zhǔn)形為標(biāo)準(zhǔn)形為422J故故)4)(2()(Am因為因為例例；nn0000100001000010A求下列矩陣的最小多項式求下列矩陣的最小多項式1 1） 解解 n)det()(AI但但11AI中右上角的中右上角的1n階子式階子式0) 1(111n故故，1)(1nD從而從而nnDm)()()()(1A 2 2） 。201034011A解解 )det()

32、(AI 2) 1)(2(但在但在 201034011AI中中1，3行、行、1，2列的二階子式列的二階子式10111所以所以 ，1)(2D從而從而 。)()(Am 這一方法的缺點是，這一方法的缺點是，)(1nD可能比較麻煩。可能比較麻煩。 求求i65例例，Ti)5, 4, 3(x，Ti), 0i,2(y求求),(yx和和。),(xx解解 ),(yxi)(i504i)2(3),(xxi)5(i54433已知已知505 酉酉( (正交正交) )相似下的標(biāo)準(zhǔn)形相似下的標(biāo)準(zhǔn)形 例例，Ti)1, 2i,i,3(x 解解17i12ii322222x所以所以 T2)17i1,172,17i,17i3(xx已知向量已知向量試將其單位化。試將其單位化。因為因為例例，0i11x，i012x1