1、“三次函數的圖象和性質教學設計寧波東方外國語學校315500沈海敏1、設計意圖與學情分析三次函數是中學數學利用導數研究函數的一個重要載體，是應用二次函數圖象和性質的好素材。作為高三理科學生，已學完人教版?全日制普通高級中學教科書試驗修訂本，必 修數學?的全部內容，本節課是在復習“二次函數根底上的一節高三復習探究課，學生 已初步搭建起研究函數的根本平臺，借助導數的工具來研究三次函數的圖象和性質，符合學生的認知規律。通過本節內容的教學，既可以整合函數圖象和性質、不等式、方程、函數極 限、導數等相關知識，完善學生的知識結構，體會其中蘊涵的數學思想方法，同時也有利于擴展學生的數學視野，體驗再發現和再創

2、造的過程，開展學生獨立獲取數學知識的能力，提高學生應用所學知識解決問題的能力。另外，作為高三復習教學，力求想走出簡單重復與承襲過去的怪圈，三次函數在近幾年全國各地高考及模擬試題中頻繁出現，但教材和各種資料中往往只從求導、求極值、求單調區間等角度進行一些零碎的、淺表的探索，而很少對它作 出比擬系統地、實質性地闡述。2、教學目標與重點難點通過這節課的教學想到達以下三個目標：1知識目標：讓學生了解三次函數的概念、定義域、值域；能利用導數和二次函數等知識討論三次函數的單調性，發現三次函數圖象的對稱性，進一步理解函數的單調性、對稱性、極值，能利用圖象來討論三次方程實根的個數， 體會分類討論、數形結合、函

3、數方程的數學思想方法。2能力目標：培養學生識圖能力、探究能力和創新意識，提高運用所學知識解決問題的能力。3情感目標：讓學生經歷從特殊到一般的認識事物和發現規律的過程，鼓勵學生勇于探索、設法尋到解決問題的方案，體驗“再創造的樂趣。這節課的教學重點是討論三次函數的單調性和相應三次方程實根的個數，發現三次函數圖象的對稱性，其中發現并驗證三次函數圖象的對稱性是本節課的教學難點。3、設計思想與教學方法這節課的設計強調學生主動探究式的學習方式，強調學生探索新知識的經歷和獲得新 知識的體驗，注重培養學生的終生學習能力。按建構主義觀點，知識需要經過學習者自身體驗，才能被有效地同化和順應。自然，學生在探索的過程

4、中會遇到障礙，需要得到教師的適時引導和幫助，教師應該圍繞學生的“最近開展區做文章。本節課始終貫徹的教學方式是：問題情景啟迪思維探索研究解決問題理性歸納因此，不是簡單地給出三次函數的概念、單調性、對稱性，而是通過創設情境，搭設 臺階，類比二次函數，從特殊到一般，從具體到抽象，從感性到理性，利用多媒體呈現三次 函數的圖象，憑借圖象的直覺去發現、去探索，從直覺層面、幾何層面、代數層面、導函數 分析層面，數形結合層面進行思考逐步加深對三次函數圖象和性質的認識，最后，借助連續函數的零點存在定理來討論三次方程的實根的個數，作為對三次函數圖象和性質的應用。在整個教學過程中，學生的主體地位得到充分發揮，教師起

5、組織者、幫助者和促進者的作用， 利用情境、對話等學習環境充分發揮學生的主動性、積極性和創造精神，使數學教學成為數學活動的教學，享受探究帶來的成就感，激發學生學習數學的興趣，提高他們發現問題、分析問題、解決問題的能力，這正是新課程所倡導的教學理念。4、教學流程4. 1 三次函數概念T:類比二次函數，請同學們自己對三次函數下定義。板書形如y ax3 bx2 ex d(a 0)的函數叫做三次函數。定義域：R ；T：要求三次項的系數不為 o，那么三次項的系數 a與函數值變化有什么關系?S：當a 0時，讓x無限增大，對函數值y起決定地位的是ax3項，即x，y同樣地當x時，y讓學生體會極限的思想方法 板書

6、:值域為RT:下面我們從已搭建的研究函數的一般“平臺出發來探討三次函數的圖象和性質。4. 2 三次函數的圖象和性質4. 2. 1單調性:T:研究三次函數的單調性，常用什么工具?S:導數。T:下面我們一起先來做兩個題目：(多媒體演例如1、例2)例1、2004年全國卷文科19題f(x)32ax 3x x 1在R上是減函數，求a的取值范圍。x例2、試確定函數f (x) x3 3x的單調區間，并在同一坐 標系中畫出此函數與它的導函數圖象。以上兩題由同學們自己完成，然后交流。旨在復習導數、 極值二次不等式恒成立等相關知識，引導學生從特殊的簡單 的情形出發，先從圖象上直觀感知三次函數的單調性，并能 結合導

7、函數圖象如圖 1分析，為接下來得出一般性結論 作鋪墊T：要使函數y ax3 bx2 ex d(a 0)在R上是單調函數，系數應滿足什么條件？要使函數y ax3 bx2 ex d(a 0)圖1在R上不是單調函數，那么它在R上一定有幾個單調區間，系數又應滿足什么條件？通過學生自主探究，相互交流、討論，得出以下結論232板書一般地，當b 3ac 0時，三次函數 y ax bx ex d(a 0)在R上是單調函數；當b2 3ac 0時，三次函數y ax3 bx2 ex d(a 0)在R上有三個單調區間。根據a 0,a0兩種不同情況進行分類討論4. 2. 2對稱性：T:根據你的經驗，三次函數的圖象有何特

8、征？S:象“閃電 一樣。T:三次函數是否具有奇偶性？S:有些是奇函數，有些不是奇函數，但不可能是偶函數。T:奇函數的本質是什么？S:奇函數的圖象關于原點成中心對稱。T：下面我們一起來觀察幾個三次函數的圖象，表達式中的系數a,b,c,d請同學們提供。多媒體演示幾個三次函數的圖象T：三次函數圖象有什么共性？圖象有對稱中心嗎？學生的思維被激活，他們開始討論，有些說有對稱中心，有些說沒有對稱中心Si：三次函數圖象好象都是關于某個點成對稱，且對稱中心就在三次函數的圖象上。直覺是發現的前奏S2 :老師，因為三次函數f (x) ax3 bx2 cx d(a 0)的導函數是二次函數2f (x) 3ax 2bx

9、 c(a 0)，二次函數是軸對稱圖形，根據導數的幾何意義，說明三次函數的圖象上關于某個點對稱的兩點處的導數值始終相等，說明這兩點處切線的斜率相T: f (x) x3， f (x) Ax3Bx，它們都是奇函數，所以他們的對稱中心均為原點(0,0)。T：函數 f(x) A(x x0)3B(x x0)有對稱中心嗎?等。S3：是的，我猜測：三次函數f (x) ax3 bx2 cx d(a 0)對稱中心的橫坐標是其導函數的極值點的橫坐標 xb。3a教師鼓勵他們，繼續引導學生從感性向理性過渡S4：有，是點(xo,O).T:追問：函數 f(x) A(x Xo)3B(x Xo) yo有對稱中心嗎?S5：有，是

10、點(x, yo).S6：搶著說老師，我知道了，三次函數一定有對稱中心，你隨便給我一個三次函數，我總可以把它化為f (x) A(x xo)3 B(x xo) yo的形式。T ：為什么?S6：我象二次函數配方那樣，對三次函數“配三次方，一定可以把二次項“隱藏起來。T:精彩！二次函數經過“配方，“配出了一條對稱軸，三次函數經過“配三次方，“配出了一個對稱中心。請大家一起來試試。32板書例3、試求函數f(x) x 3x 6x 6圖象的對稱中心。S:找到了，點(1, 2)。用圖象來驗證T:板書/ f(x) (x 1)3 3(x 1) 2 函數f (x)的圖象關于點(1, 2)對稱。事實上這里的B,Xo,

11、y°被b,c,d所確定，任意一個三次函數 y ax3 bx2 cx d(a 0)一定能化為f (x) a(x x0)3 B(x x0) y0的形式。培養學生化歸意識，也表達了方程思想T：我們把它叫三次函數的“什么式？S7：聯想到二次函數的解析式有：一般式、頂點式、兩根式，把它叫“中心式。S8 :老師，我想用以前學過的一個結論函數f(x)，對于定義域內的任意x，都有f(a x) f (a x) 2b成立的充要條件是函數 f (x)的圖象關于點(a,b)對稱來證明？ 但感覺很麻煩。KkKT：想法很好，我們只需證明f(一 x) f( x) 2f ()，請同學們課后完成。3a3a3a教師歸納

12、總結，結合三次函數圖象及它的導函數圖象，根據導數的幾何意義來加以解釋：三次函數f(x) ax3 bx2 cx d(a 0)對稱中心的橫坐標是其導函數的極值點的橫坐標，并歸納證明三次函數對稱性的兩種方法方法一：任意一個三次函數都可化為f(x) A(x x0)3 B(x x0) y0的形式。方法二：用結論函數f (x),對于定義域內的任意 x ,都有f (a x) f (a x) 2b成立 的充要條件是函數 f (x)的圖象關于點(a,b)對稱來證明。32板書三次函數f (x) ax bx cx d(a 0)是關于點對稱，且對稱中心為點bb(,f ()，此點的橫坐標是其導函數極值點的橫坐標。3a3

13、a4. 4應用一一討論三次方程實根的個數32板書例4、討論方程ax bx cx d 0(a0)的實根的個數。分析：函數f(x) ax3 bx2 cx d(a 0)的圖象與x軸有幾個交點，方程便有幾個根。通過學生的自主探索，師生交流，共同完成以下結論21、當厶=4b 12ac 0時，由于不等式f (x)0恒成立，函數是單調遞增的，所以原方程僅有一個實根。22、當厶=4b 12ac 0時，由于方程f (x)0有兩個不同的實根 xX2，不妨設捲 x2 , 46 課外練習 5、課后反思與探討 在新課程理念的指導下， 我設計了這樣一節復習探究課。 總的看來，課堂氣氛民主、和 諧，學生普遍有濃厚的興趣，參

14、與度高，大多數同學既能自主探索，敢于發表自己的見解， 也能傾聽別人的想法，師生之間、學生之間的思想不斷碰撞， 教學資源不斷生成原先的教 案中沒有“配三次方 、“三次函數的中心式等內容 ，充分發揮多媒體的優勢，呈現各種 三次函數圖象這是以往教學難以實現的 ，給學生創設了廣闊的思維空間，既增強了學生 的感性認識，從變化中去尋找不變的東西，為發現三次函數的對稱中心提供了想象的根底， 又為探索贏得了時間。也讓我再次領略到學生無窮的潛能，教師要做的是努力去開發他們。由圖象可知，(xfdj)為函數的極大值點，(X2,f(X2)為極小值點，且函數y f (x)在點，所以原方程有且只有一個實根如圖2、3。2)

15、假設 f(xj f(X2)0，即函數y f(x)極大值點與極小值點在x軸異側，圖象與x軸必有三個交點，所以原方程有三個不等實根如圖4。3)假設 f(xj f(X2)0，即f (為)與f (X2 )中有且只有一個圖2圖3課堂教學永遠是門“遺憾的藝術 ，有許多問題值得探討。首先，教學目標是否適切， 是否有超出要求之嫌。 三次函數的對稱中心也稱奇異切點， 屬于高等數學研究范圍， 但理論 層面上講是極為初等的， 具有可操作性， 如果在電腦上用切線法模擬尋找該對稱點， 將非常 迅速，精度很高。 這一點是否有必要在課堂上進行演示， 以加深學生對三次函數對稱中心的 理解。另外，由于課堂上沒有嚴格證明“三次函數圖象的對稱性 ，是否會損害數學的嚴謹 性和教學的完整性。其次，課堂容量是否太大，在探索“對稱性過程中，由于教學時間的 局限性，有些環節“放的還不夠，個別新