1、第一講不規那么圖形面積的計算一我們曾經學過的三角形、長方形、正方形、平行四邊形、梯形、菱形、圓和扇形等圖形,股稱為根本圖形或規那么圖形.我們的面積及周長都有相應的公式直接計算.如下表：名稱圖形周長公式面枳公式員方形周K=2(a+b)面積b正方形口,周長=4a面積二a'三瑋形冏長=a+b+c面積.ah平行四邊形Zar周艮=a+h面枳二ah佛形必bh、a_周氏=a+b+c+d面積=+(a+b)Th羞形周長=4a面積二十AC,BD圓周長面積二屋口JtdJoU扇形3弧長=第周長=2計瓠長面積=嗡/實際問題中,有些圖形不是以根本圖形的形狀出現,而是由一些根本圖形組合、拼湊成的,它們的面積及周長無

2、法應用公式直接計算.一般我們稱這樣的圖形為不規那么圖形.那么,不規那么圖形的面積及周長怎樣去計算呢我們可以針對這些圖形通過實施割補、剪拼等方法將它們轉化為根本圖形的和、差關系,問題就能解決了.例1如右圖,甲、乙兩圖形都是正方形,它們的邊長分別是10厘米和12厘米.求陰影局部的面積.解：陰影局部的面積等于甲、乙兩個正方形面積之和減去三個“空白三角形ABGBDEAEFC5的面積之和.10+X12=132；么由=；12.10X12-12e又由于S甲+S乙=12X12+10X10=244,所以陰影局部面積=244-50+132+12=50平方厘米.例2如右圖,正方形ABCD勺邊長為6厘米,AABE4A

3、DF與四邊形AECF勺面積彼此相等,求三角形AEF的面積.解：由于4人3£4人口5與四邊形AECF勺面積彼此相等,所以四邊形AECF勺面積與ABEADF勺面積都等于正方形ABCD面積的三分之一也就是1s咖J&w=SAADF=|x6X6=12e在ABE中,由于AB=6所以BE=4同理DF=4因止匕CE=CF=2.ECF勺面積為2X2+2=2.所以SAAEF=SH邊形AECF-至ECF=12-2=10平方厘米.例3兩塊等腰直角三角形的三角板,直角邊分別是10厘米和6厘米.如右圖那樣重合.求重合局部陰影局部的面積.解：在等腰直角三角形ABC中vAB=10.相麗=2x10X10=50

4、.又7$小題=5$匚=5乂50=25,mfarEF=BF=AB-AF=10-6=4陰影局部面積=$ABG-SXBEF=25-8=17平方厘米.例4如右圖,A為CDE勺DE邊上中點,BC=CD假設ABC陰影局部面積為5平方厘米.求ABDRACE的面積.解：取BD中點F,連結AF.由于AADF4ABF和4ABC等底、等高,所以它們的面積相等,都等于5平方厘米.所以ACD勺面積等于15平方厘米,ABD的面積等于10平方厘米.又由于4ACE與AC*底、等高,所以ACE的面積是15平方厘米.例5如下頁右上圖,在正方形ABCm,三角形ABE的面積是8平方厘米,它是三角形DEC的面積的才求正方形ABCD的面

5、積.解：過E作BC的垂線交AD于F.在矩形ABEF中AE是對角線,所以$ABE=8AEF=8.在矩形CDFEDE是對角線,所以$ECD=SEDF因此,正方形面積=8X2+8+gx2=36平方厘米.例6如右圖,：SAABC=1AE=ED,BD=jBC,求陰影局部的面積.解：連結DEAE=EDAEF=SDEFSJAABE=SBEQ2=VBD=-BC,S&KFD=耳11"53必¥)*22,*iJ«I=(1E&ABF)*.-S座卜二百2,陰影局部面積為京例7如下頁右上圖,正方形ABCD勺邊長是4厘米,CG=3E米,矩形DEFG勺長DG為5厘米,求它的寬DE

6、等于多少厘米解：連結AG自A作AH垂直于DGTH,在ADGt,AD=4DC=4AD上的高.Sag=4X4+2=8,又DG=5.SaghAHXDG2,.AH=8<2+5=3.2厘米,DE=3.2厘米.例8如右圖,梯形ABCD勺面積是45平方米,高6米,4AED的面積是5平方米,BC=1冰,求陰影局部面積.解：.梯形面積=上底+下底X高+2即45=AD+BCX6+2,45=AD+10X6+2,AD=45<2+6-10=5米.又*§父、圖*即5=5、5局,.AD曲勺高是2米.EBC勺高等于梯形的高減去ADE的高,即6-2=4米,SBEc=1XEGX4=1X10X4=20平方米,

7、例9如右圖,四邊形ABCtjnDEFGTB是平行四邊形,證實它們的面積相等證實：連結CEOABCD勺面積等于CDEB積的2倍,而ODEFG勺面積也是CDE面積的2倍.二ABCD勺面積與：DEFG勺面積相等.習題一二、解做題：1.如右圖,ABC防長方形,AB=10厘米,BC=6厘米,E、F分別為ABAD中點,且FG=2GE.求陰影局部面積.2.如右圖,正方形ABCDf正方形DEFG勺邊長分別為12厘米和6厘米.求四邊形CMG泗影局部的面積.3 .如右圖,正方形ABCD勺邊長為5厘米,CEF勺面積比ADF的面積大5平方厘米.求CE的長.4 .如右圖,CF=2DFDE=EA三角形BCF的面積為2,四

8、邊形BEDF勺面積為4.求三角形ABE的面積.5 .如右圖,直角梯形ABCD勺上底BC=10厘米,下底AD=14厘米,高C55厘米.又三角形ABF三角形BCEft四邊形BEDF勺面積相等.求三角形DEF勺面積.6 .如右圖,四個一樣大的長方形和一個小的正方形拼成一個大正方形,其中大、小正方形的面積分別是64平方米和9平方米.求長方形的長、寬各是多少7 .如右圖,有一三角形紙片沿虛線折疊得到右下列圖,它的面積與原三角形面積之比為2:3,陰影局部的面積為5平方厘米.求原三角形面積.8 .如右圖,OABCD勺邊長BC=10直角三角形BCE勺直角邊EC長8,陰影局部的面積比EFG勺面積大10.求CF的

9、長.習題一解答、填空題:850；4g44©14k83；g4©9.6；®1.、解做題:1. 75平方厘米,連結OF,可知,Sa皿=：S&叩如右圖,由于*&CEF1士祇方度AECD-S&AEF&&ECEiCDF=60-375=22.5平方厘米,所以S=|sACZF=1x22.5=75平方厘米2. 72平方厘米如右圖,在ABCG中,56麗=$蓼5-3方5二,X12+6*12-<X12X12=108-72=36平方厘米.U占在ACTG中,SdCW0=SiCFa-SdMFa=54-18=36平方厘米,S四期博CMGN=Sacng

10、+S&CMG=36+36=72平方厘米.3. CE=7厘米.提示ZUBE的面積等于5X5+5=30也等于:5XBE.可求出BE=12所以CE=BE-5=7®米.4. 3.提示：加輔助線BD5. 3平方厘米.如右圖,$姬曜=；梯形面積=；然Q0+14*5-2X60:20,S61CE=|bCXCE.J6FCE=4DE=CD-CE=5-4=1同理AF=8,DF=AD-AF=14-8=6,Sg亞二4DFMDE=；X5X1=3平方厘米.J心6 .如右圖,大正方形邊長等于長方形的長與寬的和.中間小正方形的邊長等于長方形的長與寬的差.而大、小正方形的邊長分別是8米和3米,所以長方形的寬為8

11、-3+2=2.5米,長方形的長為8-2.5=5.5米.H7 .15平方厘米.解：如右圖,設折疊后重合局部的面積為x平方厘米,那么：原三角形面積為2x+5平方厘米,依題意工/蕓=£,解得2K+33x=5.所以原三角形的面積為2X5+5=15平方厘米.8.如右圖,解設CF=漉米那么S口岫6=1.芯,又國二;*10X8fai=40,陰影局部面積是：10X-40+$GEF由題意：SAGE斗10=陰影局部面積,.10x-40=10,x=5厘米.第五講同余的概念和性質你會解答下面的問題嗎?問題1:今天是星期日,再過15天就是“六一兒童節了,問“六一兒童節是星期幾這個問題并不難答.由于,一個星期有

12、7天,而15+7=21,即15=7X2+1,所以“六一兒童節是星期一.問題2:1993年的元旦是星期五,1994年的元旦是星期幾這個問題也難不倒我們.由于,1993年有365天,而365=7X52+1,所以1994年的元旦應該是星期六.問題1、2的實質是求用7去除某一總的天數后所得的余數.在日常生活中,時常要注意兩個整數用某一固定的自然數去除,所得的余數問題.這樣就產生了“同余的概念.如問題1、2中的15與365除以7后,余數都是1,那么我們就說15與365對于模7同余.同余定義：假設兩個整數a、b被自然數m除有相同的余數,那么稱a、b對于模m同余,用式子表示為：a=b(modm.(*)上式可

13、讀作：a同余于b,模nr同余式(*)意味著(我們假設a>b)：a-b=mk,k是整數,即m|(a-b).例如：15三365(mod7,由于365-15=350=7X50.56三20(mod9,由于56-20=36=9X4.90m0(mod10,由于90-0=90=10X9.由例我們得到啟發,a可被m整除,可用同余式表示為：a三0(modm.例如,表示a是一個偶數,可以寫am0(mod2)表示b是一個奇數,可以寫bm1(mod2)補充定義：假設m*(a-b),就說a、b對模m不同余,用式子表示是:a盧b(modm我們書寫同余式的方式,使我們想起等式,而事實上,同余式與等式在其性質上相似.同

14、余式有如下一些性質(其中a、b、c、d是整數,而m是自然數).性質1：a三a(modm,(反身性)這個性質很顯然.由于a-a=0=m-0.性質2：假設amb(modm,那么b=a(modm,(對稱性).性質3:假設a=b(modm,b=c(modm,那么a=c(modm,(傳遞性).性質4：假設a=b(modm,c=d(modm,那么a±c=b±d(modm,(可加減性).性質5:假設a=b(modm,c=d(modm,那么ac=bd(modm(可乘性).性質6:假設ab(modm,那么an=bn(modm,(其中n為自然數).性質7：假設ac=bc(modm,(c,nj)

15、=1,那么a=b(modn),(記號(c,nj)表示c與m的最大公約數).注意同余式性質7的條件(c,M=1,否那么像普通等式一樣,兩邊約去,就是錯的.例如6三10(mod4),而3卉5(mod4),由于(2,4)w1.請你自己舉些例子驗證上面的性質.同余是研究自然數的性質的根本概念,是可除性的符號語言.例1判定288和214對于模37是否同余,74與20呢解：v288-214=74=37X2.288三214(mod37.v74-20=54,而37154,74-20(mod37.例2求乘積418X814X1616除以13所得的余數.分析假設先求乘積,再求余數,計算量太大.利用同余的性質可以使“

16、大數化小,減少計算量.解：418三2(mod13,814三8(mod13,1616三4(mod13,.二根據同余的性質5可得：418X814X1616m2X8X4三64三12(mod13.答：乘積418X814X1616除以13余數是12.例3求14389除以7的余數.分析同余的性質能使“大數化小,凡求大數的余數問題首先考慮用同余的性質化大為小.這道題先把底數在同余意義下變小,然后從低次幕入手,重復平方,找找有什么規律.解法1:143三3(mod7.14389三389(mod7)89=64+16+8+1而32=2(mod7),34=4(mod7,38m16=2(mod7),316=4(mod7

17、),332三16三2(mod7),364三4(mod7).389三36431638-3m4X4X2X3三5(mod7),14389=5(mod7).答：14389除以7的余數是5.解法2:證得14389三389(mod7)后,36m32X34m2X4三1(mod7),.314三1(mod7).389三384.34-3m1X4X3三5(mod7).14389m5(mod7).例4四盞燈如下圖組成舞臺彩燈,且每30秒鐘燈的顏色改變一次,第一次上下兩燈互換顏色,第二次左右兩燈互換顏色,第三次又上下兩燈互換顏色,這樣一直進行下去.請問開燈1小時四盞燈的顏色如何排列CT+*一W1一固百1匆秒回黃0秒熊1

18、開始第一改第二次分析與解答經觀察試驗我們可以發現,每經過4次互換,四盞燈的顏色排列重復一次,而1小時=60分鐘=120X30秒,所以這道題實質是求120除以4的余數,由于120m0(mod4),所以開燈1小時四盞燈的顏色排列剛好同一開始一樣.例5設自然數N:心即刖,其中即、句.,琳分別是個位,十位,上的數碼,再設M=a*a1+an,求證：N=M(mod9).分析首先把整數N改寫成關于10的幕的形式,然后利用10m1(mod9).證實:N=a1Ax-電即=%乂1叔.計.1xlOOO+xib+ao二、X1.,*x10x1+%*1.+%又.1三1(mod9),10=1(mod9),102=1(mod

19、9),10nm1(mod9),上面這些同余式兩邊分別同乘以a.、a1、a2、an,再相加得：a$10+aX102+-+anX10n=a0+a+a2+&(mod9),即N=M(mod9).這道例題證實了十進制數的一個特有的性質：任何一個整數模9同余于它的各數位上數字之和.以后我們求一個整數被9除的余數,只要先計算這個整數各數位上數字之和,再求這個和被9除的余數即可.例如,求1827496被9除的余數,只要先求(1+8+2+7+4+9+6),再求和被9除的余數.再觀察一下上面求和式.我們可以發現,和不一定要求出.由于和式中1+8,2+7,9被9除都余0,求余數時可不予考慮.這樣只需求4+6

20、被9除的余數.因此,1827496被9除余數是1.有人時常利用十進制數的這個特性檢驗幾個數相加、相減、相乘的結果對不對,這種檢查方法叫：棄九法.棄九法最經常地是用于乘法.我們來看一個例子.用棄九法檢驗乘式5483X9117三49888511是否正確由于5483m5+4+8+3三11三2(mod9),9117m9+1+1+7三0(mod9),所以5483X9117m2X00(mod9).但是49888511m4+9+8+8+8+5+1+1=8(mod9,所以5483X9117*49888511,即乘積不正確.要注意的是棄九法只能知道原題錯誤或有可能正確,但不能保證一定正確.例如,9875m9+8

21、+7+A2(mod9),4873m4+8+7+3三4(mod9),3247568A3+2+4+7+5+6+8+9=8(mod9),這時,9875X4873m2X4m32475689(mod9).但觀察個位數字馬上可以判定9875X487332475689.由于末位數字5和3相乘不可能等于9.棄九法也可以用來檢驗除法和乘方的結果.例6用棄九法檢驗下面的計算是否正確:23372458+7312=3544.解：把除式轉化為：3544X7312=23372458.V35443+5+4+47(mod9),7312三7+3+1+2三4(mod9),3544X73127X41(mod9),但23372458

22、2+3+3+8m7(mod9).而1港7(mod9).3544X7312w23372458,即233724587312*3544.例7求自然數2100+3101+4102的個位數字.分析求自然數的個位數字即是求這個自然數除以10的余數問題.解：2100三2425三625三6(mod10),3101三3425.31三125.31三3(mod10),4102=(22)10042=6,6=6(mod10),.2100+3101+4102m6+3+6m5(mod10),即自然數210°+3101+4102的個位數字是5.習題五1 .驗證對于任意整數a、b,式子a=b(mod1)成立,并說出它

23、的含義.2 .自然數a、b、c,其中c>3,a除以c余1,b除以c余2,那么ab除以c余多少?3 .1993年的六月一日是星期二,這一年的十月一日是星期幾4 .求33335555+55553333被7除的余數.5 .所有自然數如下列圖排列.問300位于哪個字母下面?ABCDEFG12347 658 910H14131215161934-1A.6 .111數,被13除余多少(提示：先試除,可知13|111111,而1993m1(mod6)7 .用棄九法檢驗下面運算是否正確： 845X372=315340 12345X67891=83811438a 114419261328997=39459

24、.8 .求1993100的個位數字.習題五解答1 .例：.1|a-b,2=3(mod1),7=15(mod1),式子a=b(mod1)的含義是：任意整數a、b對模1同余.整數是模1的同余類.2 .解：a=1(modc),b=2(modc),ab=2(modc)即ab除以c余2.3 .1993年的十月一日是星期五.4 .解：:3333m1(mod7),.33335555m1(mod7).又5555=4(mod7),55553333=43333(mod7).而43三1(mod7),.43333=443)1111=1(mod7),.二33335555+5556333三1+1三2(mod7),即333

25、35555+55553333被7除余25 .解：:300三6(mod7).300與6在同一列,在D下面.6 .答：余1.7 .不正確；不正確；不正確.7.1.第四講最大公約數和最小公倍數本講重點解決與最大公約數和最小公倍數有關的另一類問題一一有關兩個自然數.它們的最大公約數、最小公倍數之間的相互關系的問題.定理1兩個自然數分別除以它們的最大公約數,所得的商互質.即如果a,b=d,那么a+d,b+d=1.證實：設a+d=a,b+d=b,那么a=ad,b=bd.假設a%bw1,可設a,b=mm>1,于是有a=a2mb=b2m.a2,b是整數所以a=ad=a2md,b=bd=b2md那么md是

26、a、b的公約數.又;m>1,<md>do這就與d是a、b的最大公約數相矛盾.因此,a,b*1的假設是不正確的.所以只能是a、b.=1,也就是a+d,b+d=1.定理2兩個數的最小公倍數與最大公約數的乘積等于這兩個數的乘積.證實略定理3兩個數的公約數一定是這兩個數的最大公約數的約數.證實略下面我們就應用這些知識來解決一些具體的問題.例1甲數是36,甲、乙兩數的最大公約數是4,最小公倍數是288,求乙數.解法1:由甲數X乙數二甲、乙兩數的最大公約數X兩數的最小公倍數,可得36X乙數=4X288,乙數=4X288+36,解出乙數二32.答：乙數是32.解法2:由于甲、乙兩數的最大公

27、約數為4,那么甲數=4X9,設乙數=4Xb,且b,9=10由于甲、乙兩數的最小公倍數是288,那么288=4X9Xbi,b=288+36,解出b=8.所以,乙數=4X8=32.答：乙數是32.例2兩數的最大公約數是21,最小公倍數是126,求這兩個數的和是多少?解：要求這兩個數的和,我們可先求出這兩個數各是多少.設這兩個數為a、b,a<b.由于這兩個數的最大公約數是21,故設a=21a,b=21b,且a,b=1.由于這兩個數的最小公倍數是126,所以126=21XaXbi,于是a1Xb1=6,解出bL=6,%=2瓦=3.自=21然1=21,1=21X2=42那么?卜=21乂6=126,|

28、b=21X3=63.因此,這兩個數的和為21+126=147,或42+63=105.答：這兩個數的和為147或105.例3兩個自然數的和是50,它們的最大公約數是5,求這兩個自然數5,故設a=5a,解：設這兩個自然數分別為a與b,a<b.由于這兩個自然數的最大公約數是b=5b,且a1b=1,avb.由于a+b=50,所以有5ai+5b=50,ai+bi=10o滿足ai,bi=1,avbi的解有：a!=Lbl=9,'a1=3bl=7.所以卜=5X1=5卜二5父9:457=5X3=15'b=5X7=35,L答：這兩個數為5與45或i5與35.例4兩個自然數的積為240,最小公

29、倍數為60,求這兩個數.解：設這兩個數為a與b,a<b,且設a,b=d,a=da,b=db,其中由于兩個自然數的積=兩數的最大公約數x兩數的最小公倍數,所以240=dX60,解出d=4,所以a=4ai,b=4b.由于a與b的最小公倍數為60,所以4XaiXbi=60,于是有aiXbi=i5.qISi=1ai=3解出卜_乃,J-I-1JIUJ-3©所以a=4X1=4b=4、15=60a=4X3=12b=4X5=20答：這兩個數為4與60或i2與20.例5兩個自然數的和為54,它們的最小公倍數與最大公約數的差為114,求這兩個自然數.解：設這兩個自然數分別為a與b,a<b,(

30、a,b)=d,a=da,b=db,其中(a1b)=1.由于a+b=54,所以dai+db=54.于是有dx(ai+bi)=54,因此,d是54的約數.又由于這兩個數的最小公倍數與最大公約數的差為114,所以dab1-d=114,于是有dx(ab-1)=114,因此,d是114的約數.故d為54與114的公約數.由于(54,114)=6,6的約數有：1、2、3、6,根據定理3,d可能取1、2、3、6這四個值.如果d=1,由dx(a-b)=54,有adb=54；又由dx(ab-1)=114,有8卜=115.115=1X115=5X23,但是1+115=11654,5+23=2*54,所以d*1.如

31、果d=2,由dx(a1+bO=54,有&+>=27;又由dx(ab-1)=114,有ab=58.58=1X58=2X29,但是1+58=59*27,2+29=31*27,所以d*2.如果d=3,由dx(adb)=54,有a+b=18;又由dx(ab-1)=114,有ab=39.39=1X39=3X13,但是1+39=4018,3+13=16*18,所以d*3.如果d=6,由dx(adb)=54,有a+b1=9;又由dx(ab1-1)=114,有ab1=20.20表示成兩個互質數的乘積有兩種形式：20=1X20=4X5,雖然1+20=2什9,但是有4+5=9,所以取d=6是適宜的,

32、并有a1=4,b1=5.a=6X4=24,b=6X5=30.答：這兩個數為24和30.例6兩個自然數的差為4,它們的最大公約數與最小公倍數的積為252,求這兩個自然數.解：設這兩個自然數分別為a與b,且a>b,a=dasb=db,(abb)=1.由于a-b=4,所以dai-dbi=4,于是有dx(a-bi)=4,因此d為4的約數.由于這兩個自然數的最大公約數與最小公倍數的積為252,所以dXdaib=252,于是有d2x&bi=(2X3)2X7,因止匕d為2X3的約數.故d為4與2X3的公約數.由于(4,2X3)=2,2的約數有i和2兩個,所以d可能取i、2這兩個值.如果d=i,

33、由dx(ai-bi)=4,有ai-bi=4;又由d2xabi=252,有ab=252.252表示成兩個互質數的乘積有4種形式：252=iX252=4X63=7X36=9X28,但是252-i=25iw4,63-4=59*4,36-7=29*4,28-9=i9*4,所以dwi.如果d=2,由dx(ai-bi)=4,有abi=2;又由d2xabi=252,有&bi=63.63表示為兩個互質數的乘積有兩種形式：63=iX63=7X9,但63-i=62w2,而9-7=2,且(9,7)=i,所以d=2,并且a=9,bi=7.因止匕a=2X9=i8,b=2X7=i4.答：這兩個數為i8和i40在例

34、2例5的解答中之所以可以在假設中排除a=b這種情形(在各例中都只假設了a<b),分別是由于：例2和例5,假設a=b,那么(a,b)=a,b=a,與條件(a,b)wa,b矛盾；例3,假設a=b,貝Ua=b=(a,b)=5,因此a+b=i0*50,與條件矛盾；例4,axb=240不是平方數.從例題的解答中可以看出,在處理涉及兩數的最大公約數或者最小公倍數的很多問題中,經常用到的根本關系是：假設兩數為a、b,那么a=aid,b=bd,其中d=(a,b),(a,bi)=i,因此a,b=dab,有時為了確定起見,可設a&b.對于很多情形,可以排除a=b的情形(如上述所示),而只假設a<

35、;b.習題四1 .某數與24的最大公約數為4,最小公倍數為i68,求此數.2 .兩個自然數的最大公約數為4,最小公倍數為i20,求這兩個數.3 .兩個自然數的和為i65,它們的最大公約數為i5,求這兩個數.4 .兩個自然數的差為48,它們的最小公倍數為60,求這兩個數.5 .兩個自然數的差為30,它們的最小公倍數與最大公約數的差為450,求這兩個自然數.6 .兩個自然數的平方和為900,它們的最大公約數與最小公倍數的乘積為432,求這兩個自然數.習題四解答1 .此數為28.2 .這兩個數為4與120,或8與60,或12與40,或20與24.75與90.avb.3 .所求的兩個數為15與150,

36、或30與135,或45與120,或60與105,或4 .所求的兩個數為60與12.5 .所求的兩個數為41與11,或65與35.6 .解：設所求的兩個自然數為a、b,且a<b,a=da,b=db,a1b=1,由所給的條件得到d2Xaj+bp=900,自也二432.兩式相除得吊+b；_90025=432=122所以12Xa；+b1=25aibr由于12,25=1,所以*+£I253I12.因止匕a1=3,b=4.代入d,Xaj+b；=900,得d=6.所以a=18,b=24o經檢驗,18、24為所求.答：這兩個自然數為18與24.第八講時鐘問題時鐘問題是研究鐘面上時針和分針關系的

37、問題.鐘面的一周分為60w當分針走60格時,時針正好走游一所以時針的速度是分針的5+60=分格.針每走60*1占=654分,與時針重合一次時鐘問題變化多端,6口n也存在著不少的學問.這里列出一個根本公式：在初始時刻需追趕的格數Q=追及時間分鐘,其中,1事為分針每分鐘比時針多走的+格數.例1現在是3點,什么時候時針與分針第一次重合分析3點時分針指12,時針指3.分針在時針后5X3=15個每分鐘分針比時針多走格裹使分針與時針重合,即使分針比時針格.'多走15格,需要15-1.5=16分鐘一所以,所求的時刻應為3點分0解士15+1-=16萬分鐘答工所求的時刻應為3點15*分.例2在10點與1

38、1點之間,鐘面上時針和分針在什么時刻垂直分析分兩種情況進行討論.在順時針方向上分針與時針成270°角：7在順時針方向上當分針與時針成270°時,分針落后時針60X270+360=45個格,而在10點整時分針落后時針5X10=50個格.因此,在這段時間內,分針要比時針多走50-45=5個格,而每分鐘分針比時針多走Q-白個格,因此由根本公式,到達這一時刻所用的時間為：5+二/分鐘.在順時針方向上分針與時針成90.角：在順時針方向上當分針與時針成90°角時,分針落后時針60X90+360=15個格,而在10點整時分針落后時針5X10=50個格,因此在這段時間內,分針要比

39、時針多走50-15=35個格,所以到達這一時19刻所用的時間為135-1-=38百分鐘,解：在順時針方向上當分針與時針成2700角時：5X10-60X270+360廣Q-=5-分鐘口在順時針方向上當分針與時針成90.角時：125X10-60乂90*360廣1-=充石分鐘口答工所求時刻為10點片分和10點3吟分心例3在9點與10點之間的什么時刻,分針與時針在一條直線上分析分兩種情況進行討論.分針與時針的夾角為180°角：當分針與時針的夾角為180°角時,分車+落后時針60X180+360=30個格,而在9點整時,分針落后時針5X9=45個格.因此,在這段時間內分針要比時針多走

40、45-30=15個格,而每分鐘分針比時針多走1小個格,因此,到達這一時刻所用的時間為5+1/=16分鐘.分針與時針的夾角為0.,即分針與時針重合：9點整時,分針落后時針5X9=45個格,而當分針與時針重合時,分針要比時針多走45個格,因此到達這一時刻所用的時間為：45+1-仁二49上分鐘解：當分針與時針的夾角為180°角時：5X9-60X1*0+360十1-書=16言分鐘當分針與時針的夾角為0.即分針與時針重合時：5X9+.-5=49分鐘0答:所求時刻為9點16：分和9點491分.例4小明在7點與8點之間解了一道題,開始時分針與時針正好成一條直線,解完題時兩針正好重合,小明解題的起始

41、時間小明解題共用了多少時間分析要求小明解題共用了多少時間,必須先求出小明解題開始時是什么時刻,解完題時是什么時刻.小明開始解題時的時刻：由于小明開始解題時,分針與時針正好成一條直線,也就是分針與時針的夾角為180.,此時分針落后時針60X180+360=30個格,而7點整時分針落后時針5X7=35個格,因此在這段時間內分針要比時針多走3540=5:個格,那么這一段時間為15+1/=5言分fQ所.以小明開始解題時是7點4分,小明解題結束時的時刻：由于小明解題結束時,兩針正好重合,那么從7點整到這一時刻分針要比時針多走5X7=35個格,因此這一段時間如35-1-*=384分鐘一所以小明解題結束時是

42、7點38旨分,這樣小明解題所用的時間就可以求出來了.解：先求小明開始解題的時刻：5X0X180+360+1-=5-分鐘,所以小明開始解題時是,點5得分.再求小明結束解題的時刻：I225X7+1自=38卜分鐘,所以小明結束解題時是7點38分一最后求小明解題所用的時間：7點34分T點片分=32.分鐘答工小明解題共用了32彳分鐘.例5一只鐘的時針與分針均指在4與6之間,且鐘面上的“5字恰好在時針與分針的正中央,問這時是什么時刻分析由于現在可以是4點多,也可以是5點多,所以分兩種情況進行討論：先設此時是4點多：4點整時,時針指4,分針指12.從4點整到現在“5在時針與分針的正中央,分針走的格數多于25

43、,少于30,時針走缺乏5格.由于5到分針的格數等于5至U時針的格數,所以時針與分針在這段時間內共走30格.又由于時針的速度是分針的白,所以從4點整到上圖G鐘面上這種狀態共用了工30+Q+.=27分鐘,1farJ-JQ所以這時是4點27看分.再設此時是5點多：5點整時,時針指5,分針指12.從5點整到現在“5在時針與分針的正中央,分針走的格數多于20格少于25格,時針走白格數缺乏5格,由于5到分針的格數等于5到時針的格數,所以時針與分針在這段時間內共走25格.因此,從5點整到上頁圖b鐘面上1Q這種狀態共用了25+1+2=23白分鐘.Q所以此時是5點23百分白解：如果此時是4點多,那么從4點整到上

44、頁圖a鐘面上這種狀態共用工30+1+卷=27卷分鐘°如果此時是5點多,那么從5點整到上頁圖b鐘面上這種狀態共用：2A1+.=235分鐘.Q1因此,這時可以是4點27p分,也可以是5點23點分.例6一只舊鐘的分鐘和時針每65分鐘標準時間的65分鐘重合一次.問這只舊鐘一天標準時間24小時慢或快幾分鐘分析前面己知標準鐘每65亮標準分鐘時針.分針重合一次一舊鐘每65分鐘重合一次,顯然舊鐘快.此題的難點在于從舊鐘兩針的重合所耗用的65標準分鐘推算出舊鐘時針或分針的旋轉速度每標準分鐘旋轉多少格,進而推算出舊鐘的針24標準小時旋轉多少格,它與標準鐘的針用24標準小時所走的格數的差就是舊鐘鐘面上顯示

45、的比標準鐘快的時間讀數.設舊鐘分針每標準分鐘走格一那么,每走1格用工標準分鐘.如用復合X單位表示：舊鐘分針速度為x格/標準分.舊鐘分針走60格時車+走5格,時針速度總是分針的白,所以舊鐘時針速度為格/標準分.每次重合耗用65標準分鐘,而且兩次重合之間分針趕超了時針60格,列方程60x-=65.I/解此方程,需=.-±演得*=曷1標準時間一天有60X24=1440標準分,一天內舊鐘分針走的格數為：1V1OX60X24但是我們只須求出舊鐘分針比標準鐘分針多走了多少格,即11ioX17減去1440個標準鐘的格,所以有三77X60X24-60X24p2X12113x11x60x24144-1

46、4313x11x60x246024.1.舊鐘格O=013x11143但讀者一定明白,這10白只是舊鐘上顯示的多走的格數,也是舊鐘的非標準分鐘數.并非標準的分鐘數.解：設這只舊鐘的分針用標準時間1分鐘走x格,那么舊鐘的時針速度為春X格/標準分W根據舊鐘的時針與分針每重合一次耗用65標準分鐘,列方程得：60+3-春:65,標準時間一天有60X24標準分,標準時間一天內舊鐘分針走的格數為:14413X11X60X24格口這只舊鐘的分針標準時間一天所走的格數與標準鐘分針一天走的格數差為:14410x60X24-60X24=10-舊鐘格答工這只舊鐘在標準時間一天內快10弓分鐘按舊鐘上的時間習題八1 .在

47、6點和7點之間,兩針什么時刻重合2 .現在是2點15分,再過幾分鐘,時針和分針第一次重合3 .2點鐘以后,什么時刻分針與時針第一次成直角4 .在7點與8點之間包含7點與8點的什么時刻,兩針之間的夾角為120°?5 .在10點與11點之間,兩針在什么時刻成一條直線6 .一舊鐘鐘面上的兩針每66分鐘重合一次,這只舊鐘在標準時間的一天中快或慢幾分鐘7 .李叔叔下午要到工廠上3點的班.他估計快到上班時間了,到屋里看鐘,可是鐘早在12點10分就停了.他上足發條后忘了撥針,匆匆離家,到工廠一看離上班時間還有10分鐘.8小時工作后夜里11點下班,李叔叔回到家里,一看鐘才9點整.假定他上班和下班在路

48、上用的時間相同,那么他家的鐘停了多長時間習題八解答1 .解：在6點整時,分針落后時針5X6=30個格,到分針與時針重合時,分鐘要比時針多走30個格,而每分鐘分針比時針多走Q-春個格,所以到達這一時刻所用的時間為工30-1$=322分鐘.因此所求的時刻為6點32得分.答.在6點32告分時分針與時針重合.2 .解：在2點整時,分針落后時針5X2=10個格,到分針與時針重合時,分針要比時針多走10個格,所以到達這一時刻所用的時間為：+1金=10分鐘J由于10整均所以2點1口詈分不是所求的10時刻.現在看3點整時,分針落后時針5X3=15個格,到分針與時針重合針時,分針要比時針多走15個格,這樣到達這

49、一時刻所用的時間為：15-1-=16分鐘一所以在3點162分時兩針第一次重合.所用44i-X1I的時間為：443點16土分-2點1汾=61.分鐘口書再過61分鐘,分針與時針第一次重合,3.解：在2點整時,分針落后時針5X2=10個格,當分針與時針第一次成直角時,分針超過時針60X90+360=15個格,因此在這段時間內分針要比時針多走10+15=25個格,所以到達這一時刻所用的時間為：25-14=27-分鐘,所求的時刻為2點2嬉分.書在2點27五分時,分針與時針第一次成直角.4.解：當分針落后時針而與時針成1200角時：當分針落后時針而與時針成120°角時,分車+落后時針60X120+360=20個格,而7點整時分針落后時針5X7=35個格