1、大一上學(xué)期高數(shù)復(fù)習(xí)要點同志們,馬上就要測試了,考慮到這是你們上大學(xué)后的第一個春節(jié),為了不影響闔家團圓的氣氛,營造以人文本,積極向上,相互理解的師生關(guān)系,減輕大家學(xué)習(xí)負(fù)擔(dān),以下幫大家梳理本學(xué)期知識脈絡(luò),抓住復(fù)習(xí)重點；1 .主要以教材為主,看教材時,先把教材看完一節(jié)就做一節(jié)的練習(xí),看完一章后,通過看小結(jié)對整一章的內(nèi)容進行總復(fù)習(xí).2 .掌握重點的知識,對于沒有要求的局部可以少花時間或放棄,重點掌握要求的內(nèi)容,大膽放棄老師不做要求的內(nèi)容.3 .復(fù)習(xí)自然離不開大量的練習(xí),熟悉公式然后才能熟練任用.結(jié)合課后習(xí)題要清楚每一道題用了哪些公式.沒有用到公式的要死抓定義定理！1 .函數(shù)與極限二.導(dǎo)數(shù)與微分三.微分

2、中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用四.不定積分瀏覽目錄了解真正不熟悉的章節(jié)然后有針對的復(fù)習(xí).一函數(shù)與極限熟悉差集對偶律(最好掌握證實過程)鄰域(去心鄰域)函數(shù)有界性的表示方法數(shù)列極限與函數(shù)極限的區(qū)別收斂與函數(shù)存在極限等價無窮小與無窮大的轉(zhuǎn)換夾逼準(zhǔn)那么(重新推導(dǎo)證實過程)熟練運用兩個重要極限第二準(zhǔn)那么會運用等價無窮小快速化簡計算了解間斷點的分類零點定理本章公式：兩個重要極限：兩個重要極限：常用的8個等價無窮4公式：當(dāng)X一09寸,sinxxtanxxarcsinxxarctanxxl-cosxl/2(xA2)(eAx)-lxln(l+x)x(l+xjl/nj-l(1/n)*x_ii.iaiuii2 .導(dǎo)數(shù)與微分

3、熟悉函數(shù)的可導(dǎo)性與連續(xù)性的關(guān)系求高階導(dǎo)數(shù)會運用兩邊同取對數(shù)隱函數(shù)的顯化會求由參數(shù)方程確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)(密y=(ctgx)=-csc"*(5-ec=secxrgx(C5CX)R=-CCXCtgX(*F=/加日rlua(arcminx)'=.VI-V(arecasxV=-./vi(曲-ugxj一=l+.r*=j空熱尸-InkomH+.ja然去=E局x|-i-C|sccxa5c=ki|ste*j網(wǎng)+C卜5U犬去=hi|cscH-e*一CI=I量代加rg肝CJCOJVrdK*:,sinvea>tg就x=s比m+C|csffctgxx-cscv+DJ,堂SQX-+.JIm|e=二

4、nji+±#)+U;*:_/一|siifc口gxdx=1.-:nj+,+Intr42十或十C三.微分中值定理與導(dǎo)致的應(yīng)用:拉格朗H中值定理；AA-共向=F；b-占柯西中值定理:Kb-As)Kb-As)土)777)當(dāng)FG=時,柯西中值定理就是拉格朗日中值定理.洛必達(dá)法那么：利用洛必達(dá)法那么求未定式的極限是微分學(xué)中的重點之一,在解題中應(yīng)注意：在著手求極限以前,首先要檢查是否滿足或型,否那么濫用洛必達(dá)法那么會出錯.當(dāng)不存在時不包括8情形,就不能用洛必達(dá)法那么,這時稱洛必達(dá)法那么失效,應(yīng)從另外途徑求極限.洛必達(dá)法那么可連續(xù)屢次使用,直到求出極限為止洛必達(dá)法那么是求未定式極限的有效工具,但是如

5、果僅用洛必達(dá)法那么,往往計算會十分繁瑣,因此一定要與其他方法相結(jié)合,比方及時將非零極限的乘積因子別離出來以簡化計算、乘積因子用等價量替換等等.曲線的凹凸性與拐點：注意：首先看定義域然后判斷函數(shù)的單調(diào)區(qū)間求極值和最值利用公式判斷在指定區(qū)間內(nèi)的凹凸性或者用函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)判斷注意二階導(dǎo)數(shù)的符號四.不定積分：要求：將例題重新做一遍對原函數(shù)的理解原函數(shù)與不定積分1根本積分表根本積分表共24個根本積分公式不定積分的性質(zhì)f工士營區(qū)=I/去±1£工出I=上|力公kH02第一類換元法揍截分法2第二類換元法三角代換無理代換倒代換3分部枳分法LT+-L'TfUVfdx=dx-fUVdy：

6、f=二丁一U'WUf切中含有可考慮用代換產(chǎn)二.sinf-x=atanrx=asecr極限和中值定理的證實,最后到達(dá)的效果是會三算兩證求極限,求導(dǎo)數(shù),求積分定會取得滿意的成績！高數(shù)高頻易錯點1 .求極限請注意自變量趨向什么.我們知道：lim(x趨向0)sinx/x=1,但是當(dāng)x趨向無窮limsinx/x=0,原因：無窮小量x有界函數(shù)=無窮小量.這里：|sinx|<=1,1/x是無窮小量.再次重申：請注意x趨向什么.2 .關(guān)于極限的保號性.假設(shè)limf(x)=A,A>0或(A<0),那么存在8>0,當(dāng)x取x0的6去心x->x0鄰域時,f(x)>0(或f(

7、x)<0).這是最原始結(jié)論：如果結(jié)論中不取去心鄰域,那么結(jié)論是錯的.比方舉例分段函數(shù)：當(dāng)x=0時,f(x)=-1,當(dāng)x不為0時,f(x)=xA2+1,顯然lim(x趨向0)f(x)=1>0,然而并不滿足f(x)>0(在x=0處).介紹這個定理的作用：解一類題.請看：f(x)可導(dǎo),且當(dāng)x趨向0,limf(x)/|x|=1,判斷f(x)是否存在極值點.由于f(x)可導(dǎo),那么f(x)必連續(xù),由于lim(x趨向0)f(x)/|x|=1這個極限存在且為1,那么我們得到結(jié)論：lim(x趨向0)f(x)=0,否那么不會存在極限的,又由于f(x)連續(xù),那么f(0)=0,令f(x)/|x|=g

8、(x),根據(jù)保號性,由于limg(x)=1>0,那么：g(x)>0,那么由于|x|在x趨向0時>0,所以f(x)>0,而0=f(0),所以f(x)>f(0),根據(jù)極小值的定義,x=0為f(x)的極小值點.綜上：limg(x)=a,a的正負(fù),可以使用保號性.3 .請注意當(dāng)題目說：x趨向無窮時,那么題目包含兩個意思：x趨向正無窮和x趨向負(fù)無窮.在含有eAx,arctanx,等等類的題目時,請看清楚x趨向無窮還是趨向正無窮或者是負(fù)無窮.補充：在含有絕對值的題目時,這點尤其重要,如果說x趨向無窮,那么在去|時,必須考慮|x|中x是趨向正無窮還是負(fù)無窮,當(dāng)然題目不一定非要以

9、絕對值出現(xiàn),有些題會以V(xA2)出現(xiàn).4 .關(guān)于和差化積積化和差公式的記憶.8字口訣：同c異s,s異c同.前者用來記住積化和差,后者用來記住和差化積.舉例：sinacosb=?由于它們的三角函數(shù)名異名,那么使用s,sinacosb=(1/2)(sin(a+b)+sin(a-b),說明：1,純粹個人記憶方法,接受不了也正常；2,這個口訣的使用基于你知道=右邊的根底輪廓,比方所有的積化和差,右邊是1/2()+(或者-)();3,實在不會,死記硬背吧,或者請教別的大神.5 .關(guān)于極值點的3種判別法：法一：定義法；法二：假設(shè)f(x)可導(dǎo),f(xo)=0,且f''(x)不為0,那么f(

10、x)在xo處取得極值,假設(shè)二階導(dǎo)<0,取得極大；>0,極小.法三：(n階判別法):假設(shè)f(xo)=二階導(dǎo)(xo)=勺-1階導(dǎo)(xo)=0,且n階導(dǎo)不為0,假設(shè)n為偶數(shù),且n階導(dǎo)>0,極小,反之,極大；假設(shè)n為奇數(shù),n階導(dǎo)不等于0,那么(xo,f(xo)為拐點,xo不是極值點.證明：略6 .參數(shù)方程二階導(dǎo)問題(無數(shù)不懂事的孩子搞不清楚),我們說一般地,y表示對x的二階導(dǎo)數(shù),不是對參數(shù)t的二階導(dǎo)數(shù).y''=dA2y/dxA2=d(dy/dx)/dx,對于求dy/dx,我們采用求關(guān)于t的y'(t),和關(guān)于t的x'(t),由于dy/dx=(dy/dt)

11、x(dt/dx)=y'(t)/x'(t).舉例：y=cost,x=tA2,那么求dy/dx,dA2y/dxA2.標(biāo)準(zhǔn)解答：1:y'(t)=-sint,x'(t)=2t,所以dy/dx=-sint/2t;2:dA2y/dxA2=d(dy/dx)/dx=d(-sint)/2t/dt*(dt/dx)=(-tcost+sint)/(4tA3)綜上：二階導(dǎo)是一個整體記號,不是簡單的除法.7 .等價無窮小只能使用于乘除(題外：其實它可以使用于加減的,這里不說,以防混淆).比如：初學(xué)者可能會認(rèn)為這個極限為0,lim(x趨向0)(tanx-sinx)/xA3=0計算思路：(x-

12、x)/xA3=0,事實上它等于1/2.原因：提取tanx后等價無窮小.等價無窮小必須自己去背的,沒有人可以幫你.8 .對隱函數(shù)求導(dǎo)的問題很多同學(xué)搞不清楚.錯誤一：把變量當(dāng)做常量.比方：y=xAx,標(biāo)準(zhǔn)解答lny=xlnx,兩邊對x求導(dǎo),y'/y=1+lnx,所以y'=(xAx)(1+lnx).錯誤做法：y=xAx,y'=x(xA(x-1)=xAx.(但愿你們找到了錯誤在哪),錯誤二：搞不清楚對x求導(dǎo)是什么意思.當(dāng)然：y=xA2求導(dǎo)大家都會吧,y'=2x,當(dāng)出現(xiàn)對§2X2,很多同學(xué)就迷茫了,我們說y是x的函數(shù),所以最后必須乘y',對丫A2=*人2

13、求導(dǎo),得到：2yy'=2x.再那么：對隱函數(shù)求導(dǎo)我們把其中一個看成常量,比方y(tǒng)=yx+xA2,那么求導(dǎo)：y'=y+y'x+2x.綜上：對隱函數(shù)求導(dǎo),假設(shè)是單獨y,求導(dǎo)為y',一切關(guān)于y的函數(shù)(比方丫人2,lny,aAy等),先對這個函數(shù)求導(dǎo)再乘y'.9 .函數(shù)在某點可導(dǎo)的本質(zhì)僅僅是該點的問題,與它的鄰域無關(guān),也就是說點可導(dǎo),在中央點的去心鄰域內(nèi)的點未必可導(dǎo).比方函數(shù)f(x)=0當(dāng)x是有理數(shù).f(x)=xA2當(dāng)x是無理數(shù).只在x=0處點連續(xù),并可導(dǎo).按定義可驗證在x=0處導(dǎo)數(shù)為0.10 .無窮小x有界=無窮小,但是：無窮大x有界未必等于無窮大.正確結(jié)論：無

14、窮大x有界=未知,比方：當(dāng)x趨向正無窮,x,xA2始終為無窮大,而1/x,1/xA2為有界量.注意到：x*(1/xA2)=1/x就是一個無窮小,而xA2*(1/x)=x卻是無窮大,而x*(1/x)=1卻是有限的.11 .可導(dǎo)與連續(xù)是完全不一樣的.有些同學(xué)看到題目說某個分段函數(shù)在某點xo連續(xù),特別開心,他說易得：左導(dǎo)=右導(dǎo)=f(xo),你太天真了.其實：連續(xù)是說左極限=右極限=f(xo),可導(dǎo)是：lim(x->xo)f(x)=f(xo),且左導(dǎo)=右導(dǎo).請搞清楚你要處理的問題.不要學(xué)了一個學(xué)期都是云里霧里,當(dāng)然一學(xué)期沒上過一節(jié)課的同學(xué),除外.補充：在一元函數(shù)微分學(xué)中,可導(dǎo)必然連續(xù),連續(xù)未必可

15、導(dǎo)(這個顯然嘛,y=|x|在x=0處連續(xù)但是不可導(dǎo)).12 .很多初學(xué)者認(rèn)為：/(a到x)f(t)dt中,變量是t,這是錯的,你忽略了變限積分的來歷,自己去回憶一下變限積分的來歷是大有裨益的.記住：這里x是變量,它求導(dǎo)=f(x).13 .還有人問為什么高等數(shù)學(xué)中分母可以為0,他說比方0/0不是以0為分母,他的錯誤在于沒有搞清楚我們所說的0不是真正的初等數(shù)學(xué)中的數(shù)字0,它表示極限0,由于極限等于0,我們習(xí)慣稱為0/0形式.也就是說：假設(shè)沒有l(wèi)im這個符號,0/0沒有意義.事實上：再比方：貨真價實的數(shù)字1,1人無窮=1,假設(shè)是(極限1)人無窮,那么結(jié)果待定.高等數(shù)學(xué)中由于極限的四那么運算包括哥指數(shù)

16、運算無法解決形如：0/0,1人無窮,無窮/無窮,等等7類運算.為此,產(chǎn)生了7種特殊的式子：不定式.由于結(jié)果不確定,所以稱之為不定式.綜上：我們現(xiàn)在學(xué)的是高等數(shù)學(xué),幾乎所有問題都是放在極限這個概念下討論,但是你不能拋棄原有的初等數(shù)學(xué)知識理論,并且注意區(qū)分.14 .求數(shù)列極限不可直接使用洛必達(dá),數(shù)列是整標(biāo)函數(shù),每個孤立點不連續(xù),不可導(dǎo),故不符合洛必達(dá)的條件1,為此：正確做法：先令n為x,再使用洛必達(dá),最后換為n.15 .無窮大的倒數(shù)是無窮小,無窮小的倒數(shù)是無窮大但是請注意：這里的無窮小除去了0.16 .x趨向0,limsinx/x=1不可以使用洛必達(dá)法那么證實,原因：(sinx)'=cos

17、x這個公式的證明使用了limsinx/x=1,所以犯了循環(huán)論證的錯誤17 .關(guān)于洛必達(dá)法那么的運用條件絕非0/0,無窮/無窮那么簡單.洛必達(dá)的3個條件：x-a時,limf(x)=0,limF(x)=0;在點a的某去心鄰域內(nèi)f(x)與F(x)都可導(dǎo),且F(x)的導(dǎo)數(shù)不等于0;x-a時,lim(f(x)/F'(x)存在或為無窮大那么xfa時,lim(f(x)/F(x)=lim(f(x)/F'(x),請注意：1,第三點很容易被忽略,一般地：含有l(wèi)im(x趨向無窮)sinx,或者cosx,是不會采用洛必達(dá)的；2,在解含有抽象函數(shù)f(x)時尤其注意第二點,在求最后一步導(dǎo)時我們使用的是導(dǎo)數(shù)

18、定義,也就是你不能不停地洛必達(dá)直到把它洛出來,由于你不確定它最后一步時是否滿足第二個條件,所3,單側(cè)極限對于第二點以每次做含有抽象函數(shù)的題使用洛必達(dá)+最后一步使用導(dǎo)數(shù)定義!的要求只是去心鄰域內(nèi)單側(cè)可導(dǎo).(如果你不注意以上這些,雖然在平常測試時有些老師不在意,但是如果你考研的話是會扣一半分以上的)18 .一般地：我們有以下結(jié)論：lim(x趨向xo)f(x)=a,那么必然有l(wèi)im(x趨向xo)|f(x)|=|a|.注意：假設(shè)a不為0,上述結(jié)論的逆命題未必成立大多是不成立的,假設(shè)a=0,上述結(jié)論逆命題仍然成立！19 .并不是所有二元函數(shù)極限都可以使用極坐標(biāo)求解盡管極坐標(biāo)是一個好方法.在使用極坐標(biāo)時,

19、應(yīng)該同時注意到：.和p的任意性.比方：(x,y)趨向(0,0),求lim(xy)/(xy),容易證實該極限不存在(一條路徑：y=x,另一條：y=xA2-x),倘假設(shè)使用極坐標(biāo),那么得：limp(cos0sin0)/(cos0+sin0),此時有分母出現(xiàn)0的可能(取0=45度),因此不確定該極限是否存在,本法失效,或者說：你無法證實(cos0sin0)/(cos0+sin0)有界.綜上：倘假設(shè)使用極坐標(biāo),須同時考慮0,p的任意性,不可盲目使用.20 .注意僅當(dāng)y=f(x)時有：y'=f(x).假設(shè)y=f(),不等于x時,y'不等于f().比如：y=f(xA2),y'=f(

20、xA2)2x,而不是等于改人2).下面說明f(可和網(wǎng))'的區(qū)別：f()表示f(x)的表達(dá)式,并且把當(dāng)做x代入,這個過程是代值過程；而f()'的意思是求導(dǎo),至于對誰求導(dǎo),那么根據(jù)確定.注意：僅當(dāng)=x時,f(尸f()',即：f(x)=f(x),其他情況沒有這個式子.綜上：f()'=f'()'.21 .一元函數(shù)中說f(x)連續(xù)可導(dǎo)不是指f(x)既連續(xù)又可導(dǎo),“連續(xù)可導(dǎo)意思是說f(x)的導(dǎo)函數(shù)連續(xù).ps：f(x)的導(dǎo)函數(shù)連續(xù)當(dāng)然有f(x)既可導(dǎo)又連續(xù),反之不然.22 .還有多少人不會三角函數(shù)中輔助角的兩個公式：asinx+bcosx=,(aA2+bA2)

21、sin(x+u),其中u=arctan(b/a),強制要求a>0;asinx+bcosx=V(aA2+bA2)cos(x+u),其中u=arctan(-a/b),強制要求b>0.ps：為什么要強制要求？以第一個為例,第二個同理原因在于：我們既然采用了用u=arctanb/a來確定u的值,好處在于u在-派/2,派/2上是一一對應(yīng)的(由于y=tanx在該范圍內(nèi)單調(diào)),事實上,u的范圍就是-派/2,派/2,由此我們再來看給出的公式：asinx+bcosx=A/(aA2+bA2)sin(x+u),將右邊展開得：V(aA2+bA2)cosusinx+V(aA2+bA2)sinucosx,根據(jù)

22、待定系數(shù)原那么可得：cosu=a/V(aA2+bA2),倘假設(shè)我們不限制a>0,比方取a<0的話,那么cosu<0,顯然u的范圍已經(jīng)落在二三象限中去了,而我們規(guī)定u在-派/2,派/2,即一四象限,由此出現(xiàn)矛盾,所以a必須大于0,u的范圍才吻合公式左右.23 .有誰考慮過為什么要強制要求重積分中上限不小于下限？其實,原因很簡單.在于：dj,d0,dp,dx,dy,dz,dr都是正數(shù).24 .一個關(guān)于三角換元小疑問的研究與解答.我相信不止一個人考慮過這個問題.請看：求定積分I=/0,aVaA2-xA2dx,當(dāng)然可以用面積來做,這里為了說明疑問,不用面積做,而用三角換元做.書上對定

23、積分換元法的說明是這樣的：設(shè)f(x)在a,b上連續(xù),【當(dāng)t從a變到3時,x=(j)(t)要從()(a)=a(單調(diào)地)變到(f)(3)=b,這里不必要求()(t)單調(diào),即不必要求x=()(t)有反函數(shù)存在,但不允許x=()(t)的取值變到區(qū)間a,b之外.此外,還要求.(t)在a,3上具有連續(xù)的導(dǎo)數(shù).(t),這時,定積分的換元公式才成立.:簡單說就是滿足兩個條件,單值加連續(xù)導(dǎo)數(shù).下面來做此題：令x=asint,那么dx=acostdt,【當(dāng)x=0時,t取0,x=a時,t取：派/2】,對于這個“里面的過程有些同學(xué)無法接受,問題1憑什么x=0,t要取0,為什么不可以取派或者別的使得式子成立的t?問題2

24、憑什么一定要上限>下限.解答問題1:首先為了滿足單值,不可以取一個形如派,5派/2的區(qū)間去對應(yīng)原來的0,a盡管相對于x盡管相對x=asint來說不存在任何問題,但是你忽略了定積分換元的條件單值,在此區(qū)間派,5派/2內(nèi)x=asint不是單值的意思是：令x=k,解得t不唯一.所以不能取一個區(qū)間不滿足單值的.比方：你取一個0,派/2這樣的就是適宜的,當(dāng)然你取派,派/2這個也是對的,為什么請看證實？我們無疑地知道I=/0,aVaA2-xA2dx=派a2/4用面積顯然,下面通過計算來說明為什么取t屬于派,派/2也是正確的.I=/0,aA/aA2-xA2dx=/派到派/2a|cost|costdt.

25、說明：這里開根號注意是絕對值,由于此時t的范圍是派,派/2,所以cost<0,去絕對值時請注意這點,下面再用降哥公式易證答案正確.ps：你取任何一個單值區(qū)間滿足題意都是正確的.只不過計算過程的問題.解答問題2：事實問題1證實在換元時可以上限<下限.:綜上：三角換元可以取你想取的值,但是請注意使用條件以及計算的簡便化.末了附注：此題中a>025 .收斂級數(shù)加括號仍然收斂,發(fā)散級數(shù)加括號未知；正項級數(shù)斂散形不受加括號的影響.求極限的計算方法總結(jié)轉(zhuǎn)一、極限定義、運算法那么和一些結(jié)果1.定義：各種類型的極限的嚴(yán)格定義參見?高等數(shù)學(xué)?函授教材,這里不一一表達(dá)八一說明：“一些最簡單的數(shù)列

26、或函數(shù)的極限極限值可以觀察得到都可以.用上面的,極限嚴(yán)格定義證實,例如二Hm士=0a力為常數(shù)且.工0,lim3x-1=5汗4姓X-frln.當(dāng)|釗1時二1不存在,當(dāng)21時等小2在后面求極限時,1中提到的簡單極限作為結(jié)果直接運用,而不需再用極限嚴(yán)格定義證實.2,極限運算法那么定理1的了£,fang都存在,極限值分別為B,那么下面極限都存在,且有(1)=(2) Em/(x)-(x)=A-(3) lim./匕時需Bh.畸)山SWB說明:根限號下面的極限過程是一致的j同時注意法那么成立的條件,當(dāng)條件不滿足時,不能用3.兩個重要極限1 sinx,(1) hm=1x1lim(1+x)x=eHT.

27、說明:不僅要能夠運用這兩個重要極限本身,還應(yīng)能夠熟練運用它們蹣形形式L等價無窮在定理2無完小與有界函數(shù)的乘積仍然是無窮小即極限是0%定理3當(dāng)工TO時,以下的敦都是無窮小即極限是以且才晅等價,即有:Xsinxtanxarcsin工arctanxInl+Ke1一】"/說明：當(dāng)上面每他肺中的自變量丫換成雙外時式力T0,仍有上面的等價關(guān)系成立,例如當(dāng)mt0時,？“一】3xtlnl-x2-Xt定理4如果函數(shù)/工道外下為oo,&a都是kt%時的無窮小,且“工fxfxZW,雙幻處?幻,那么當(dāng)存在時'1而也存在且等于1汕軍,即lim/jim軍一3工fg工gix5.洛比達(dá)法那么定?一片

28、設(shè)當(dāng)目變量r趨近干某一定值或無窮大時,函數(shù)和冢外高足：CD00和設(shè)外的極限都是.成都是無窮大,2八丁和聯(lián)幻都可導(dǎo),目gG的導(dǎo)數(shù)不為0J13存在?或是無窮大?一gM碘限1血緇也一胡在,且等于.雋'即lim鬻4m偌說明；定理5稱為洛比達(dá)法那么,用該頌悚極限時,應(yīng)注意條件是否滿足,只要有一?不濟足,洛比達(dá)法典Jilt不能應(yīng)用*特別要注意條件口是否滿足,民唯證所求極限08是否為"型式“一"型;條件"一般?茜足.而條件3那么在求導(dǎo)完畢0x后可以知道是否滿足.另?卜洛比達(dá)法那么可以連續(xù)使用,但好次使用之前都需要注意條件.¥h連續(xù)性,定理6一切連續(xù)困數(shù)在其定義

29、去間內(nèi)的點處都連續(xù),即如果是函數(shù)的定義去間內(nèi)的一點,那么有Hm/x=/x0o卞XT飛7.極限存在準(zhǔn)那么定理7準(zhǔn)那么1單調(diào)有界數(shù)列必有極限.一定理S準(zhǔn)那么2九.y',為三個數(shù)列,目滿足：+人工34胃=L23Ak2limvp=aflimzM=JW®JW®那么極限lim%一定存在,目極限值也是,即lim陽二.用一33及fR二.求極防法舉例】用初等方通費做后,商科用極限運靜法那么求19眼如我-3注：本品也可說用海比達(dá)法那么.帙2liniV(J,t2-J,j1)1Rs.訴配原式wg+g-32J(F-3陽場HF工.利用函赦疑集性(B<)和附例limx:e"斛；四

30、工0口是碘/(<)=#*"的一4"連碗,1斫以原式"力二/3利用兩個重要極限求極限I-cosx,二工-L2*2sm2sm-1».2-2I弱;K7F*hm.mn.一X#f2亨6注二本做也可由治比原那么I-CitJirEMg能原式=Hm(l-3向工)壬曰1T'=lim(l-3與in-0K-=E*ETQETV,q_qft+l-3*t熊原式二螞八忌產(chǎn)前二場"凸尸嚴(yán)4利用定理:求極限i.1例Enmxsm.Y解：原式二.定理工的結(jié)果H5 .利用等價無窮小代操定理4求極限口.xln(l-3x)例9hmpi、arctan(工)解：®工->C0寸一3或3工,arcianCv：工.原式嗯i-3x-=JOX_itEX91io吧：fx*sm