1、根本不等式專題輔導一、知識點總結1、根本不等式原始形式(1)假設a,beR,那么.之2ab(2)假設a,beR,那么"?心宜22、根本不等式一般形式(均值不等式)假設a,beR*,那么a+bN3、根本不等式的兩個重要變形<1)假設a,bwR6,那么竺2之2(2)假設a,bwR,那么ab<總結：當兩個正數的積為定植時,它們的和有最小值；當兩個正數的和為定植時,它們的積有最小值；特別說明：以上不等式中,當且僅當.=時取“=4、求最值的條件：“一正,二定,三相等5、常用結論(1)假設x>.,那么x(當且僅當x=l時取“二)x(2)假設xvO,那么工+1«2(當且

2、僅當太=一1時取“二)x(3席加>0,那么州+2之2(當且僅當時取“二)ba假設(啜?手(5)假設?bwR,那么二、題型分析題型一：利用根本不等式證實不等式1、設4,6均為正數,證實不等式:,記上了工了+-ab2、為兩兩不相等的實數,求證：a2+c2>ab+be+ca3、a+c=l,求證：a2+b2+c2>-34、a.b,ce/?+,且a+h+c=,求證：(1-6/)(1-/?)(l-c)>8«bc5、a,b,ceR+,且a+b+c=t求證：6、(2021年新課標U卷數學(理)選修4一5：不等式選,講設小4C均為正數,且a+C=1,證實：(I)ab+be+ca

3、<-;(II)+>1.3bca特別說明：以上不等式中,當且僅當.=時取"=6、柯西不等式(1)假設.也c,"eR,那么(/+b2)(c2+d2)>(ac+hd)27、(2021年江蘇卷(數學)選,修4-5：不等式選,講.之.>0,求證：2,廣一3(2)假設?,2必,4也也eR,那么有：(“J+«22+%2)(也2+h22+by2)>(q仿+/與十%&(3)設m"與瓦與,a是兩組實數,那么有+%-+q)(優+4-+：)之(.仇+a2b?+q"尸題型二：利用不等式求函數值域1、求以下函數的值域(1)y=3x2+

4、2x2(2)y=x(4-x)(3)y=x+-(X>0)X(4)y=x+-(x<0)x2、求函數v=4x-2+的最大值:44a-5題型三：利用不等式求最值一湊項41、己知x>2,求函數y=2x4+的最小值;2_x題型四：利用不等式求最值二湊系數1、當0XC4時,求,=x8-2x的最大值：變式1：當時,求y=4x82x的最大值:4變式1：x>2,求函數y=2x+的最小值:2x-44變式2：xv2,求函數y=2x+的最大值:2x43變式2：設Ovk<5,求函數,=4x32幻的最大值.2練習：1、求函數,=4.t-2+L-的最小值:44x-52、假設0<xv2,求y

5、=Jx(6-3x)的最大值:法二:變式：假設0<xv4,求丁=,«8-2<的最大值;3、求函數,=由+目；.高的最大值;提示：平方,利用根本不等式變式1：己知a,>0.+2/?=2,求/=!+的最小值:ab2Q變式2：演y>0,+=1,求W的最小值:xy變式：求函數,=«不二5+«TT=的最大值;44變式3：x,y>.,且,+'=9,求x+,的最小值.x'題型五：巧用“1的代換求最值問題1、小.>0,+2/?=1,求/='+!的最小值:ab法一：10變式4：x,y>0,且一+=4,求x+y的最小值:

6、丫,+X變式：求函數了=x>l的值域:X-1變式5：1假設>0且2x+y=1,求!+的最小值：xy2假設.,Z?,x,y£尺+且2+2=1,求x+y的最小值:2、求函數y的最大值；提示：換元法2x+5變式6：正項等比數列滿足：%=4+2%,假設存在兩項%,2,使得瘋=4q,求,+士的最小值:mn變式：求函數,=±1的最大值:4a+9題型六：別離換元法求最值了解r2+1x+101、求函數丁二:xw-l的值域;x+1題型七：根本不等式的綜合應用1、logzO+kjgzbNl,求3°+9的最小值2、2021天津./>0,求_1+«1+2而的最

7、小值;ah變式1：a,>0,滿足a=a+3,求ab范圍;變式1：2021四川如果.>.>0,求關于“次的表達式/+'+!一的最小值：abaa-b變式2：2021山東x,y>0,-2+x2+y3求外最大值；提示：通分或三角換元變式2：2021湖北武漢診斷,當>0,.工1時,函數y=log.a-1+1的圖像恒過定點A,假設點A在直線?x-y+=O上,求4'+2的最小值：變式3：2021浙江x,y>0,/+?+工,=1,求孫最大值：3、己知x,y>0,x+2y+2沖=8,求x+2y最小值;4、2021年山東理設正實數x,y,z滿足/一3與,+

8、4,2一2=0,那么當？取得最大值z212時,二+上一±的最大值為xyz9A.0B.1C.-D.34提示：代入換元,利用根本不等式以及函數求最值1.2021沈陽檢測x,yOC且.+y-+-9恒成立,求正實數4的最小值：2、x,z0且一+2/一恒成立,x-yy-zx-z如果wN+,求的最大值：參考：4提示：別離參數,換元法變式：設乂y,z是正數,滿足x2y+3z=O,求工的xz最小值：14變式：己知滿那么一+=2,假設.+之c恒成立,ab求c的取值范圍：題型八：利用根本不等式求參數范圍題型九：利用柯西不等式求最值1、二維柯西不等式(a,b,c,deR,當且僅當色=2；即4d=Z?c時等

9、號成立)cd假設a,b,c»deR,那么(a?+b2)(c2+d2)>(ac+bd)22、二維形式的柯西不等式的變式(1)yla1+b2-ylc2+cl>+(a,b,c,deR,當且僅當色=9；即ad=兒時等號成立)ca(2)Ja?+/-ylc2+d2>|r/c|+bd(a,b,c,deR,當且僅當3=2；即4d=Z?c時等號成立)cd(3)(a+)(c+d)>(Vnc+VM)2(a,b,c,dN.當且僅當2=4；即ad=兒時等號成立)ca3、二維形式的柯西不等式的向量形式.萬卜同同(當且僅當/=6,或存在實數口使三時,等號成立)4、三維柯西不等式假設火,%,

10、.3力1力2由3WR,那么有：(“J+%2)(e2+V+42)之(.14+a2b2+a3b3)2(q立6R,當且僅當*=詈=答時等號成立)仄瓦45、一般維柯西不等式設?與b也,也是兩組實數,那么有：(a；+.：+一.,：)(裙+42)2(他+<也+.也尸.也r,當且僅當斗=如寸等號成立)仄人bn題型分析題型一：利用柯西不等式一般形式求最值最小值為時,(x,y,z)=析：(x2y+2z><(x2+y2+2)12+(-2)2+22=4x9=36.X-2y+2z最小值為-6此時t=2=三=-±_=二1-2212+(-2)2+223.-24-4x=,y=,z=2、設2x-y-2z=6,求/的最小值7,并求此時x,y,z之值.Ans：4247=4；.,>)=(；,一三,一；)3、設x,y,z£R,2x-3y+z=3,求X：+(y-l)2+z2之最小值為,此時),=(析：2x-3y+z=3<=>2x-3(y-l)+z=0)4、(2021年湖南卷(理)a,6,ceM+2b+3c=6,1、設x,y,Z£R,假設12+)3+22=4,那么x-2y+2z