1、XOc2y。2x02xcy。2y又點M（x。，y。）在橢圓2x2a2紜1(ab0)上b2專題：圓錐曲線之軌跡問題一、臨陣磨槍1 .直接法（五部法）：如果動點滿足的幾何條件本身就是一些幾何量的等量關系，或這些幾何條件簡單明了且易于表達，我們只須把這種關系“翻譯”成含x,y的等式就得到曲線的軌跡方程。這種求軌跡的方法稱之為直接法。2 .定義法：若動點軌跡的條件符合某一基本軌跡的定義（如圓、橢圓、雙曲線、拋物線的定義），則可根據(jù)定義直接求出動點的軌跡方程。3 .坐標轉移法（代入法）：有些問題中，其動點滿足的條件不便于等式列出，但動點是隨著另一動點（稱之為相關點）而運動的，如果相關點所滿足的條件是明顯

2、的，或是可分析的,這時我們可以用動點坐標表示相關點坐標，根據(jù)相關點所滿足的方程即可求得動點的軌跡方程，這種求軌跡的方法坐標轉移法，也稱相關點法或代入法。4 .參數(shù)法：有時求動點應滿足的幾何條件不易求出，也無明顯的相關點，但卻較易發(fā)現(xiàn)（或經(jīng)分析可發(fā)現(xiàn)）這個動點的運動常常受到另一個變量（角度、斜率、比值、截距或時間等）的制約，即動點坐標（x,y）中的x,y分別隨另一變量的變化而變化，我們可以把這個變量設為參數(shù)，建立軌跡的參數(shù)方程，這種方法叫做參數(shù)法，如果需要得到軌跡的普通方程，只要消去參變量即可。5.交軌法：在求動點軌跡時，有時會出現(xiàn)要求兩動曲線交點的軌跡問題，這類問題常可通過解方程組得出交點含參

3、數(shù)的坐標，再消去參數(shù)得出所求軌跡方程，此種方法稱為交軌法。二、小試牛刀1.已知 M（-3,0）,N（3,0）PMPN6,則動點 P 的軌跡方程為析：QMNPMPN.點 P 的軌跡一定是線段 MN 的延長線。故所求軌跡方程是y0（x3）22222.已知圓 O 的萬程為xy2,圓O的萬程為xy8x100,由動點 P 向兩圓所引的切線長相等，則動點 P 的軌跡方程為析：圓 O 與圓O外切于點 M（2,0）一兩圓的內(nèi)公切線上的點向兩圓所引的切線長都相等，故動點 P 的軌跡就是兩圓的內(nèi)公切線，其方程為x222xy3.已知橢圓二、1（ab0）,M 是橢圓上一動點，F(xiàn)i為橢圓的左焦點，則線段MFiab的中點

4、 P 的軌跡方程為析：設 P（x,y）M（x0,y）又F（c,0）由中點坐標公式可得:例 1、設過點 P(x,y)的直線分別與 x 軸的正半軸和與點 P 關于 y 軸對稱，若BP2PA,且OQAB1,則 P 點的軌跡方程為uuur.點Q的坐標為(x,y)即OQ(f322,又OQAB1所以2乂3y1這個方程即為所求軌跡方程。變式 1、已知兩點 M(-2,0),N(2,0),點 P 滿足MNMPMNNP0,動點 P 的軌跡方程為又MN|MPMNNP04j(x2)2y24(x2)0化簡得所求軌跡方程為：y28x2x0-2a241(ab0)因此中點 P 的軌跡方程為b2_22(2xc)4yb24.已知

5、 A、B、C 是不在同一直線上的三點,P 是動點，若OPOA(AB則點 P 的軌跡一定過三角形 ABC析：設點 D 為 BC 的中點，顯然有的uuuO 是平面1BC),2ouuuuuuOPOAAPABC 內(nèi)的0,uuu1uunuunuurumrABBCABBDAD2uurunrAPAD,0,故點 P 的軌跡是射線 AD,所以，軌跡一定過三角形的重心。三、大顯身手1、直接法y 軸的正半軸交于 A、B 兩點，點 Q解：設A(a,0),B(0,b)又P(x,y)unruuu所以BP(x,yb),PA(ax,y)又BP2PA,所以2(abx)2y3-x23yA(|x,0),B(0,3y)uuuAB(|

6、x,3y)而Q點與P點關于y軸對稱,x,y)解:設P(x,y)則：MN4,MP|J(uuurx2)2y2,MNuur(4,0),NP(x2,y).1即點 M 到定點 O、定點F1的距離和為定值a,故動點 M 的軌跡是以 O、F1為焦點,4(x|)22a3、坐標轉移法(代入法)22例 3、從雙曲線xy1上一點 Q 引直線 x+y=2 的垂線，垂足為 N,求線段 QN 的中點 P 的軌跡方程。2、定義法例 2、已知圓 A 的方程為22(x3)y100，點 B(-3,0),M 為圓 O 上任意一點，BM 的中垂線交 AM 于點 P,求點 P 的軌跡方程。解：由題意知：MPBPPBPAMPPAAM又圓

7、 A 的半徑為 10,所以|AM10PAPB10即點 P 的軌跡是以定點 A(3,0)B(-3,0)為焦點，10 為長軸的橢圓(橢圓與長軸所在的對稱軸的兩交點除外)其軌跡方程為22士L1(x25165)22變式 2、已知橢圓二冬1(ab0)的焦點為a2b2F1,F2,P 是橢圓上的任意一點，如果 M 是線段F1P的中點，則動點 M 的軌跡方程是解：因為 M 是線段F1P的中點，連接 OM,則11|OM|#F2|MQ|PF1由橢圓的定義知：|PF1|PF22a1MFJ|MOa(PE|IPF2)a(說明：此題也可以用代入法解決)以a為長軸的橢圓，其方程為解：設 Q(x0,y0)則由x0y00可得

8、N 點坐標V20 xxVo22xV。22設P(x,y)由中點坐標公式可得:2x2y3xy022x03y0222x02y03xy3y22又點 Q(x0,y0)在雙曲線xy1上,所以4x24y2代入得(3x2)2(x3y2)212化簡得(x)22/12(y2)1八、一即為所求軌跡方程。2變式 3、自拋物線y22x上任意一點 p 向其準線I引垂線,的直線和連接焦點 F 與 Q 的直線交于 R,求點 R 的軌跡方程。解：設R(x,y),P(x0,y0)二拋物線的方程是y22x_1-1、F(2，0),Q(2，y0)所以直線 OP 的方程是y0 xx0 x0直線 QF 的方程是yoxyxO聯(lián)立兩方程得:y

9、。2x2x12y2x1所以導)24、參數(shù)法2(一2x2x化簡彳導:2x2例 4、設橢圓方程為x1,過點 M于 A、B,點 P 滿足OP1一(OA2M 旋轉時，求:(1)動點 P 的軌跡方程;(2)垂足為 Q,連接頂點 O 與 Px0即為所求軌跡方程。11.OB),點N(-),當直線l繞點Np的最大、最小值。(0,1)的直線l交橢圓解：(1)設直線l的方程為ykx1代入橢圓方程得(4k2)x22kx302故動點 P 的軌跡方程為4x(2)P點的軌跡方程可以化為16x24(yJ211所以可設點 P 的坐標為(一cos,422變式 4、過拋物線y2x的頂點作互相垂直的兩弦(1)求弦 AB 的中點的軌

10、跡方程；(2)證明： 直線 AB 與 x 軸的交點為定點。解：(1)由題意知 OA 的斜率存在且不為零，設為k則直線OA的方程為ykx與拋物線y22x聯(lián)立可得點 A 的坐標為(-2,2)同理可得點 B 的坐標為k2k(2k2,2k)設弦 AB 的中點為 M(x,y)則PN2J(-cos43/(cos1612/12)(2sin27_12所以當cosPNmax)232cos1621r當cos61一cos41時PNmin設A(x1,y1),B(x2,y2)則Xi乂22kyiy2k(xiX2)22k2k2設動點 P 的坐標為(x,y),由OP1(OAOB)可得2x1x2yy22k4,k2消去參數(shù)44k

11、2k即得所求軌跡方程為:4x2y2y0當斜率k不存在時，點 P 的坐標為(0,0)顯然在軌跡上,sin)則OA、OB.消去k得弦AB的中點的軌跡方程為xk2y2x2（2）直線 AB 的斜率為kABAB所以，其方程為y2k-ik1k2k,c,2、八(x2k2)令y0得x2k2故直線 AB 與 x 軸的焦點為定點（5、交軌法2,0)例 5、垂直于 x 軸的直線交雙曲線2y1于 M、N 兩點,b2A,A2為雙曲線的頂點，求直線AM與A2N的交點 P 的軌跡方程,并指出軌跡的形狀。解：.解：（1）設M點的坐標為（xi,yi）,則N點坐標為（xi,yi),又有AJa,0),A2(a,0)則AiM的方程為

12、：y=yi/(xxiaa)口A2N的方程為：y=匚（xxiaX得：y2=2yi2xia2)又因點M在雙曲線上,2xi2a2冬i,即yi2b2(x：aa2).2代入并整理得 ja2t=i.此即為P的軌跡方程.b22變式 5、設點 A、B 為拋物線y2px（p0）上除原點以外的兩個動點，已知 OALOB,OM_AB 于 M 求點 M 的軌跡方程，并說明它表示什么曲線。解：設OA=y=kx,則OB:ykx2px得A(2p2p)同理B(2pk2,-2pk)(1)X(2)消去k,y2=-(x-2p)x,x2+y2-2Px=0(xw0)即為所求.四、享受戰(zhàn)果2、經(jīng)過拋物線y22Px焦點的弦的中點的軌跡方程

13、為析：設過焦點的弦 AB 所在的直線方程為yk(x衛(wèi))代入拋物線方程消去y的22212,p、222八2kpk(x)2pxkxp(k2)x0設A(x1,y。B(x2,y2)AB的中點為M(x,y)2x1x2p(k2)x2-2k消去參數(shù)k得yy2k、2p-二(x1x2)p22ky2p(xR)這就是所求軌跡方程。2.一223、與圓xy4x0外切，又與 y 軸相切的圓的圓心的軌跡萬程為析：若與圓x2y24x0外切，又與 y 軸相切的圓在y軸的左側,kAB2Pk2pk22pkAB:y而op:2pk2k2pkrv(xk22pk2)2x2pk2pk31k21_丁kk2x1kk2x1k2pk31k22pk1k

14、2kjx2p).k2k2xk為ABWOM的交點，聯(lián)立2(x2p).(1)1k2xk1、已知M(2,0),N(2,0),PMPN4,則動點P 的軌跡方程為析：滿足條件的點在線段MN上，故軌跡方程是y0(2x2)則所求軌跡方程為y0(x0)若與圓x2y24x0外切，又與 y 軸相切的圓在y軸的右側則動圓圓心到定圓圓心地距離減去定圓半徑2等于動圓圓心到y(tǒng)軸的距離,故所求軌跡方程為2y8x.2x4、設A,A2是橢圓一92i的左右頂點，Pi,P2是垂直于長軸的弦的端點，則直線AiPi4與A2P2的交點的軌跡方程為解析:設交點P(x,y),Ai(3,0),A2(3,0),Pi(x0,y0),P2(x0,一

15、y0).Ai、Pi、P共線，yVQX0P2、P共線，.V。解彳導xo=9x,y02,代入得x2x。92y。42i,即上92.一x5、已知橢圓42i的焦點為Fi,F2,A 是橢圓上任意一點，過點E向/FiAF2的外3角平分線作垂線于D,則點 D 的軌跡方程為解：設FiD的延長線交直線F2A于P,D(x,y),P(xi,yi)由橢圓的定義知:PF2二(xiAFj|AFi)22yi2a=8xi2yi2xi2x1代入得yi2yy22(y0)即為點D的軌跡方程。6、過原點的雙曲線以 F(4,0)為一個焦點，且實軸長為程為2,則此雙曲線的中心的軌跡方212xx32但此時上8析：設雙曲線的中心為P(x,y)

16、,則雙曲線的另一個焦點為F(2x4,2y)又雙曲線過原點，且實軸長為2,所以|OF|OF|4即47(2x4)24y24化簡得：(x2)2y216(x6).又BHAC9y故上工1,x3x3x3x132即上91(y0),此即點H的軌跡方程.x再將yXI8代入上式，得9y164故點A的軌跡方程為2XI81y11,82y811(y即田”y；9810).1,(2)由(1)可知，P,Q分別為橢圓的左右焦點，設H(x,y),且11HPPQ1QH能成等差數(shù)列，則211|PQ|HP|HQ八1八PQ2,HP3-x,HQ31一3x,故3HPPQQH不可能成等差數(shù)列7、在ABC中,已知 B(-3,0),C(3,0),

17、ADBC 于 D,ABC的垂心 H 分AD所成的比為y1y1p,化簡得x227x3228、已知直線 l 與橢圓二。i(ab0)有且僅有一個交點 Q,且與 x 軸、y 軸分別ab交于 R、S,求以線段 SR 為對角線的矩形 ORPS 的一個頂點 P 的軌跡方程.解：由已知，直線 l 不過橢圓的四個頂點，所以設直線 l 的方程為ykxm(k0).代入橢圓方程b2x2a2y2a2b2,得b2x2a2(k2x22kmxm2)a2b2.化簡后，得關于的一元二次方程(a2k2b2)x22ka2mxa2m2a2b20.(2ka2m)24(a2k2b2)(a2m2a2b2)4a2b2(a2k2b2m2).由已

18、知，得=0.即a2k2b2m2.在直線方程 y=kx+m 中，分別令 y=0,x=0,求得令頂點 P 的坐標為(x,y),由已知，得解得即為所求頂點P的軌跡方程.9、動點 P 到直線 x=1 的距離與它到點 A(4,0)的距離之比為 2,則點 P 的軌跡方程是一1略解：由題意知：點 P 到點 A(4,0)與它到直線 x=1 的距離之比為一2化簡彳導:3x24y230 x63010、已知 A(0,7),B(0,-7)C(12,2),以 C 為一個焦點作過 A、B 的橢圓，求橢圓的另一焦點 F 的軌跡方程。解：由題意得：ACAFBCBF而AC13,BC152故動點 F 的軌跡是分別以 A、B 為焦

19、點，實軸為 2 的雙曲線的下半2支，其方程是y21(y1)484,若拋物線過點 A(0,-1),B(0,1),且以圓的切線為準線,求拋物線的焦點的軌跡方程。于是其判別式R(m,0),S(0,m).ym.代入式并整理，得my.b2-2y1,所以AFBF11、已知圓 O 的方程設 P(x,y)則解：首先設焦點為 F(x,y),準線(即圓的切線)為 LA 到 L 的距離為 a,B 至 ijL 的距離為 b那么根據(jù)拋物線的性質有 a=|AF|b=|BF|于是|AF|+|BF|=a+b而 a+b 恰是圓的直徑(畫個示意圖想想為什么)既有|AF|+|BF|=4故動焦點 F 的軌跡是分別以 A,B 為焦點的

20、橢圓， 而且半長軸是 222故所求軌跡方程是-y-1O43解:設由動點 P 向圓 O 和圓O所引的的切線的切點分別為PA|PB,即PO2|OA2PO|2OB2設P(x,y)22223則xy2(x4)y6x萬即為動點 P 的軌跡萬程。213、已知拋物線y2px,過頂點的兩弦 OA、OB 互相垂直，以 OA、OB 為直徑的兩圓的另一交點 Q 的軌跡方程。22解：設A(-y-,y1)，B(y)y2).由 OAOB 可得2p2p,I2P2P/,2kcAkcB1,yy24p.yy2可以求得，以 OA 為直徑的圓的方程為：x(xx1)y(yy1)0.2即x(x為y(yy1)0.2p2同理，以 OB 為直徑

21、的圓的方程為x(x-y2)y(yy2)0.2p設P(x0,yO),點P為兩圓交點，則22,y1y2、x0(x0)y0(y0y1)0,x0(x0丁)y0(y0y2)0.2p2p212、已知圓 O 的萬程X22,圓O的方程x22y8x100,由動點 P 向圓 O和圓O所引的切線長相等，求動點P 的軌跡方程。A、B,則由題意有:(另法)；解：設A(x1,y1),B(x2,y2),直線 AB 的方程為ykxb(顯然b0)ykx.2ykx2221貝Uy2px12pxby2pxy2pkx(兩邊同時除以x)bbbd)22P(丫)2pk0-.OAOB 貝Uxx辿1b2pk.x1x2b1,.OPXAB，OP 的

22、萬程為：yxk、式聯(lián)立消去k,得到 P 的軌跡方程y2x(x2p),(x0)當 AB，x 軸時，斜率k不存在，此時 P 點為 AB 中點，且在x軸上，坐標為(2p,0)滿足上面的方程，因此 P 點的軌跡方程為y2x(x2p),(x0).2a),p(t,2a),F(0,a),其中a0,動點M滿足NPPM且PMMF2.(1)求動點 M 的軌跡方程;(2)過點 F 作直線與動點 M 的軌跡交于 A、B 兩點，求解：(1).動點M滿足NPPM0,且PMMF2.動點 M 的軌跡是以F(0,a)為焦點，以ya為準線的拋物線。2所以，yi,y2可以看作是關于z的方程xo(xo)y0(y0z)0的兩根2p一2

23、一一一22一一整理得xoz2pyoz2p(xoyo)0.由根與系數(shù)的關系，可知VlV222、2P%兒)xo結合式，有22222xoyo2px0即(xop)yop所以 P 的軌跡方程為(xp)2y2p2(x0).故點 P 的軌跡是以(p,0)為圓心,p為半徑的圓(去掉原點)代入直線 AB 的方程：yk(x2p).14、已知三點 N(0,AOB的面積的最小值。所以點 M 的軌跡方程是x24ay.(2)顯然直線 AB 的斜率存在設為 k,則直線 AB 的方程為ykxa與拋物線方程聯(lián)立消r,，2貝Uxix24ak,xx24a2所以當k0時，AOB面積的最小值為2a.uuuuuu由EPAB0可知 EPX

24、AB去 y 得：x24akx4a20設A(xi,yi),B(x2,y2)而SAOB1-ax1x22：a、(xix2)24x1x22a2,k2115、已知點 Q 位于直線x3右側，且到點(1)求動點 Q 的軌跡 C 的方程；(2)直線l過點 M(1,0)且交曲線 C 于 A、F(-1,0)與直線x3的距離之和為 4.1B 兩點，點 P 滿足FP-(FAFB),且EPAB0,求點 E(x0,0)的橫坐標x0的取值范圍。解：(1)設Q(x,y)(x3)由題意有x3,(x1)2y24y24x,x3,0動點 Q 的軌跡 C 為以F(1,0)為焦點，坐標原點為頂點的拋物線在直線x3右側的部分.(2)由題意

25、可設直線l的方程為yk(x1)設A(xy1)，Bd,y2)由y24x)可得yk(x1)22_22kx(42k)xk0,x1x22k24一,XIX2k1._224(42k)4k0由題意(x13)(x23)0解之得(x13)(x23)0k21.uuu由FP1uuuuuu-(FAFB)可知：點 P 為線段 AB 的中點,P(kk2,也21整理得Xok16、設雙曲線 C1的方程為0、1(a0,b0),abA、B 為其左、右兩個頂點，P 是雙曲線 C1上的任意一點，弓 IQBXPB,QAXPA,AQ 與 BQ 交于點 Q.(I)求 Q 點的軌跡方程；(n)設(I)中所求軌跡為 C2,C1、C2的離心率分

26、別為 e1、e2,當e1J2 時，e2的取值范圍.(I)解法一：設 P(xo,yo),Q(x,y)A(a,0),B(a,0),QBPB,QAPAy0-1(1)x0axa代入(3)得b2y2x2a2a4即a2x2b2y2經(jīng)檢驗點(a,0),(a,0)不合因此 Q 點的軌跡方程為 a2x2b2y2=a4(除點(一 a,0),(a,0)外)(I)解法二：設 P(x0,y0),Q(x,y),(a,0),B(a,0),QBPB,QAPAXo的取值范圍是11(不，3)3y。x0(2)由得:2y2x02y2x2x0a2b21,2y022x0ab22k2kk22Xk1.V。x0aV。x0a(x(xa)xa)x

27、NV。VV0axax2a2a(1)由(1)(2)得 2ax。2ax把(3)代入(2)解得：Vox0(x0a)(xa)(x2把(3)(4)代入a2y01 得： 二y/222(xa)a)(xya)a 時,不合題意,2.2yb0Q 點軌跡方程為4a22ax,22bya4(除點(a,0),(a,0)外)(I)解法三：設 P(xo,y。)，Q(x,y),PAXQAV0(1)xaxa連接 PQ,取 PQ 中點 R八八1八1八PAQA,QBPB,|RA|PQ|,|RB|PQ|22|RA|RB|,R點在y軸上x。x0,即x。x2方程表示的曲線類型與a值的關系.依題意，記B(-1,b)(bCR),則直線OA和OB的方程分別為y=0和y=-bx.設點C(x,y),則有0&