1、數列的小結與復習2.本章重點及難點教學目標(一) 知識點 數列，等差數列，等差數列前n項的和，等比數列，等比數列前n項的和,研究性課題(分期付款中的有關計算).(二) 能力訓練要求1. 理解數列的概念，能用函數的觀點認識數列，了解數列的通項公式和遞推公式的意義，會根據數列的通項公式寫出數列的任意一項，會根據數列的遞推公式寫出數列的前幾項.2. 理解等差數列的概念，掌握等差數列的通項公式和前n項的和公式，并能運用公式解決一些問題.3. 理解等比數列的概念，掌握等比數列的通項公式和前n項的和公式，并能運用公式解決一些問題.(三) 德育滲透目標1提高學生的邏輯推理能力.2增強學生的應用意識.3提高分

2、析問題、解決問題的能力.教學重點 突出本章重、難點內容教學難點 通過例題分析突出等差數列與等比數列的區別與聯系教學方法自學輔導法在給出本章的知識網絡結構后，列出復習提綱，弓I導學生補充相關內容，同時加強學生 對基本概念、公式的熟悉程度 .教學過程【復習回顧】前面一段時間，我們一起學習了數列的有關知識，并掌握了一定的分析問題解決問題的 方法這一節我們對本章進行小結與復習.首先我們來看數列知識的網絡結構數列的概念數列就是按一定的次序排列著的一列數，從函數觀點來看，數列是定義在N*或其子集(n N* )上的函數f(n),當自變量從1開始依次取正整數時 f(n)所對應的一列函數值：f (1), f(2

3、) , f(3)，f(n)，按照一定標準，可對數列進行適當的分類. 數列可用三種方法來表示：列表法、解析法、圖象法 通項公式和遞推公式是給出一個數列的兩種重要方法數列的前n項和a1 a2 a3 L an , Sn與an的關系可表示為1.本章知識網絡結構S1(n 1)Sn Sn 1 (n 2)等差數列定義：從第二項起，每一項與它的前一項的差等于同一個常數，則這個數列叫做等差數列，這個常數叫做公差，用d表示.用數學式子表示就是 an an 1 d ( n 2) 通項公式：an a1 (n 1)d . 前n項和公式：Sn n(a1 an)n 衛衛®d.2 2等比數列定義：如果一個數列從第二

4、項起，每一項與它的前一項的比值都等于同一個常數，就稱這個數列為等比數列，這個常數叫做公比，用q表示.用數學式子表示就是an-qan 1na(q 1)通項公式an a1qn1.前n項和公式：&印(1 qn)1 q(q1)思想方法本章涉及到的主要思想方法有：函數與方程的思想、轉化與化歸的思想、邏輯劃分的思想、數形結合的思想即整體思想 【例題分析】下面我們通過對例題的分析來進一步熟悉數列知識的應用例1 求證：在Rt中，三條邊的長成等差數列的充要條件是它們的比為：3 : 4 : 5.證明：必要性假定直角三角形三條邊的長成等差數列，將這三條邊的長從小到大排列，則可表示為k 2 2k kk22lg

5、(a1q ) 21q)kk1例3已知數列an中，Sn是它的前n項和，并且Sn 1 4a. 2, 1(1)設bn an 1 2an，求證數列bn是等比數列;2 2 2ad，a，a d，這里 a d 0, d 0.由勾股定理得(a d) a (ad). a 4d，從而知三邊長依次為 3d , 4d , 5d .因此這三條邊的長的比是 3 : 4 : 5.(2)充分性(2)設 Cnan2n，求證數列Cn：是等差數列.證明:(1)-a11 a1a2S2 4a 1a2 5 ，a22a3V Sn 14an 2Sn 24 an1 2兩式相減得：an 2 4an 1an即: an 22an 12(an 12a

6、n) bnan 12an- bn 1 2bn即bn是公比為2的等比數列 0 3 2“ 1如果直角三角形三條邊的長a, b, c 的比為 3 : 4 : 5,那么可設 a 3k,b 4k,c 5k ( k 0),因為b a k , c b k , b a c b，即a , b, c成等差數列 綜上所述,命題得證.例2 已知數列an是由正數組成的等比數列，k N* ,求證：(2)Cna n a n 1 2a nnn 12 2bn將bn3 2n 1 代入：Cn 1設數列an滿足a1Cnan 1 Cn成等差數列.can 1 c ,( n N)，其中a、c為實數，且c 0.lg a2 lg a4LIga

7、2k klg ak 1.證法一設an的公比為q，貝ylg a2 lg a4Llga2k ©(a? a° L a?"lg(aQ ag3L ag2klg(a1kq1 3 L(2k1)lg(寸q") lg(aiqk)kklg(討)klga.2k 1證法二設an的公比為q，貝y lga2k lga2k 2©旦 lg印兀3 lgq2,a2k 2ag(1) 求數列an的通項公式；、 1 *(2) 設 a c , bn n(1 an) ( n N ),求數列bn的前 n 項和 Sn.2解：(1)法一：/ an 11 c(an 1)，當a 1時，數列c“1是首

8、項為a 1,公n 1比為c的等比數列， an (a 1)c1 .當 a 1時，a.1也滿足上式，數列a.的通項公式是 an(a 1)cn 1 1 ( n N* )lgq2是一個與k無關的常數，數列lg a2, lg a4，lg a2k是等差數列, lg a2lg a4lg a2kk(lg a? lg a?k)2嚴a2k法二：由題設得：當n22時，an 1 c(an 1 1) c (an 2 1)cn1(a1 1)，二數列an的通項公式是an(a 1)cn 11(n*N ).(2)由(1 )得 bnn(1an)n(1 a)cn 1n歹，于是123n1 nSn2n1n222221123n 1nSn

9、23nn 12222221 c11111n尹2222n12*2“ 12 nSn22n例5某魚塘養魚，由于改進了飼養技術,，兩式相減得到11 1 (2)nn, 1n2 丄 2n1 2n 2n21.設數列an為等差數列，且a5a8厲3a162000，試求20 解：5 16 8 13 1 2021a5a16a8a13a1a20，由已知，a5a8 a13 a2000 , a1a201000 , S2020 (a1 a20) 100002說明：本題只給了一個條件，無法同時求出a1和d ,從而數列不能完全確定因此不能通【課堂練習】年的增長率為 200%,以后每年的增長率是前一年的一半，設此池塘里原來的魚儲

10、存量為a.20( a a )過一般的先求出 Sn再求S20，但根據目標S201 型,并由項的序號的特殊性聯想到2等差數列的性質：如果 m, n,p,q N ,且m n p q，那么am a* ap aq，則可以(1)寫出改進飼養技術后的第一年、第二年、第三年、第四年的產量，并寫出第n年與從整體上得到a1 a20的值，這樣S20就變得可求了 .所以，等差數列或等比數列中，一方面要第n 1年(n 2， n N*)的產量之間的關系式(不要求證明)注意抓好基本量a1, d或a1, q，另一方面還要注意方程思想的運用，同時整體代入的思想(2)由于存在池塘老化及環境污染因素，估計每年將損失年產量的10%。

11、照這樣下去,以后每年的產量是否始終是逐年提高的？若是請給出證明；若不是，請說明從第幾年起，產量將不如上年？(參考數據：lg2 = 0.3010,lg3 = 0.4771)解：(1)不妨設改進技術后第 n年的產量為an ,則a1 a(1 200%) 3a ,a2 a1(1 100%) 6a , a3 a2 (1 50%) 9a, a4 a3(1 25%) 11.25a.1 1 * 以此 an an 1(1 -vr 200%) an 1(1 p) (n 2, n N ).2 2(2)設遭損失后第n年的產量為bn ,則b1 a1(1 10%),11b2 b1(1200%)(1 10%) , b3 b

12、2(12 200%)(1 10%)，221bn bn 1(1 盯 200%)(1 10%) ( n 2).12lg 3令即 bn bn 1bn1(1 p)(1 10%) 0 1，即 2n 2 9 ,n 2，即 n 5.172n 2lg2也應重視.2設數列an為等比數列，印 8 , bn log 2 an ( n N ),數列bn的前n項和為Sn,且S7 S，又S7最大，求數列an的公比q的取值范圍n 1*解：在等比數列an中，a1 8, an 8q ，又 bn log 2 an ( n N ),n 1*d 3, bn Iog28q 3 (n 1)log2q (n N ),即an是個以3為首項，

13、logzq為公比的等比數列，又S7S , S7最大. n N* , n 6 從第6年起，產量將不如上一年byb8說明：0，即03 6log2q 0，解之得3 7log 2 q 0log2q(1)等差數列和等比數列是緊密聯系的，而且也是可以相互轉化的化為等差數列，又進一步討論等差數列的前n項和的最值，把 S7討論數列各項本身的正負問題.本題由等比數列轉S8且S7最大的意義化為(2)求參數的值，就需要解方程；求參數的取值范圍，往往要解不等式3已知等比數列an和等差數列bn中，b1 0;數列cn滿足cn an bn，且它的前四項依次為1, a ,2a，2，求數列cn的前n項和Sn.分析：由于cn a

14、n bn，即cn由an和bn構成，因此，考慮通過an及bn的前項和來求cn前n項和Sn.1111 1 111- S(1-)(-)(-)122 3n(n 1)223nn 111nn1 n 1(4)解:設數列9,99, 999，為an，則 an10n1.Sn(101) (1021) (103 1)(10 10210310n)n(10n 1)Q 5 anbn , 00,cl1, a11,得 Cnqn(n 1)d，又由條件有a2b2aqd aq2a3b32a2q2d 2aa0，ann 12, bn2(1 n).a4b423q3d 2d2Sn2n1n02(1 n)n22 nn 1.212說明：在研究數列

15、問題時，應注意它們之間的關系鏈的分析,抓好這個關鍵，突出轉化解：設等比數列an的首項是ai，公比為q，等差數列bn的公差為d.的思想，化陌生為熟悉，使問題的轉化朝著有利的方面進行10(1 10n)10n 9八n (10 n 1).1 10910說明：對于數列的求和問題，應掌握的常用方法有如下三種：(1) 公式法：對于等差數列和等比數列的求和可運用其前n項和公式.(2) 轉化法：有的數列既不是等差數列也不是等比數列，但通過適當的變換可以化成等差數列或等比數列的求和問題來求解“拆項分解法”、“錯位相減法”等.(3)裂項法：通過把通項分裂成兩項之差，從而造成很多項相消的局面【課后作業】4求和：(1)

16、22 23242n3；(2)12213i(n 右)；1.數列an的前n項和Sn解：當n 2時，anSnSn 11n(n2-an ( n32an)3(1解：(1)這是個以4為首項,4(1 2n 2)2n44.(2)(112)(2N )，問an是什么數列？并說明理由2(1 3an1)，即 5an 2an1，(1n)(1(3). ann(n 1);(4)求數列9, 99 , 999，的前n項和. 1)2為公比的等比數列的求和問題，其項數為(nn(nn2 n 2212n a1 S 1 -a1,32.在數列an中，a1都有根,且滿足32解：.an 1x由韋達定理可知3()anX355，若以a1, a2,

17、 a3，a“為系數的二次方程 a“6 a1數列Cn是等比數列，且an31. (1)求證：an是等比數列;0是二次方程， an 0.anan 1an 1，代入an an 1 an 11an 2冷121X(2)1得到扣1anx 10求通項an.i)15 11c1y 2 6 2 3 °an 20，于是3.設Sn是數列an的前n項和，且Sn(n N ) . (1)求數列an的通項公式;anan332*2，(2)將數列12 1131 2數列bn的通項公式為bn 4n 3an與bn的公共項，按它們在原數列中的先后順序排成一個新數列cn求數列cn的通項公式b2 4 ,C26 , 3 a 5 62

18、4a2 ,即 a22 ,于是 p a2于是 q 2 , b3 8, a3 4, C3 2 8 4 12 .數列Cn成等比數列Cn 12 bn 1an 12bnqanPan(q p)cCn2bnan2bnanq2bnanp q.3333解:( “ 當 n2 時，anSnSn 1(二 an3)("3 %13)，即3an1 22 2233 a1 S1 -a1 ,即 a 3 0,.數列an是等比數列，且 a. 3n.22(2)經計算得到，兩數列的第一個公共項是33 27,即G 27.設 Cn ambk,即3m4k 3，于是33(4k 3)4(3k2)1，顯然3m 1不在數列bn中，二m 1m

19、 23，又 39(4k3)4(9k 6)3,而 3m2顯然是兩個數列的公共項，cn 13m9 ,數列心是等比數列，且Cn32n14.已知數列an、bn、Cn,其中a.、bn是等比數列，ak , bk , Ck成等差數列,(k N ),且 q 0.(1)假設cn也是等比數列，且a516,b24 ,c26,求a1,d ,c3 ；(2)證明：數列an、bn的公比相等是數列Cn成等比數列的充要條件解: (1)設數列an、bn的公比分別為p , q.2因為ak, bk, Ck成等差數列，所以Ck 2bk ak,又因為Cn是等比數列，所以C2 C1C32222即(2b2a?)(2b1aj(2b3a3),(

20、2bgp) (2dajbqa),即p q.數列的小結與復習(二)【例題精講】例1選擇題(1)已知等比數列an中a2 1，則其前3項的和S3的取值范圍是(D )A. (, 1 B. (,0)U(1,) c .3,)D. (, 1U3,)(2)設an是公比為正數的等比數列,若a1=1, a5 16,則數列an前7項的和為(C )A.63B.64a5-，則4a a28283a.an 1 =:(C)32(1 4n32一小nc.)D.(1 2)33C.127D.128(3)已知an是等比數列，a22,A.16 ( 1 4 n)B.16(12 n )2，前n項和為()Ca2Sn，則魚(4)設等比數列an的

21、公比qA. 2B. 4D.172設數列an的前n項和為Sn .已知a1 a ,anSn(1 )設bn Sn 3n，求數列bn的通項公式;(2)若an 1 an, n N*，求a的取值范圍.an 1an 4 3n1 (a3)2n 22n 212(叨2 a3,3當 n2時，an 1an12 ()n 2 a30 a 9 又 a2a13 a1.2綜上，所求的a的取值范圍是9,).例3 設數列an的前n項和為Sn，已知ban 2n (b 1)Sn(1) 證明：當b 2時，an n 2n 1是等比數列；(2) 求an的通項公式解：由題意知 a12，且 ban2n (b1)Sn, ban12n 1 (b 1

22、)Sn1兩式相減得 b(an 1an)2n(b 1)an1即 an 1 ban 2n(1) 當b 2時，由知an 1 2an 2n于是 an1 (n 1) 2n 2an 2n (n 1) 2n 2(an n 2n 1)又a1 1 2n 1 1 0，所以an n 2n 1是首項為1,公比為2的等比數列.(2) 當 b 2 時，由(1 )知 an n 2n 1 2n 1，即 an (n 1)2n 1解：(1)依題意，Sn 1 Sn an 1 Sn 3n，即 Sn 1 2Sh 3n , 由此得 Sn 1 3n 1 2(Sn 3n).因此，所求通項公式為bnSn 3n(a 3)2n1，n N* (2)

23、由知Sn 3n(a3)2n 1，*n N，于是，當n 2時，anSnSn 13(a3) 2n 13n 1 (a 3)2n 22 3n 1 (a 3)2n 2，an 112n '1 ban2n -12* 1banb 2nb(an12n)2 b2b2 b2 b因此an 112n1b(an12n)2(1b)屮 b2b2b2b2,(n1)得an1b2nn1, “2)'2(22b)b,(n例4在數列an 中,a11 ,a22，且 an 1(1 q)anqan 1(n 2 , q 0)當b 2時，由得(1)設bn an 1 an ( n N*),證明bn是等比數列;(3)若a3是a6與a9

24、的等差中項，求q的值，并證明：對任意的n N* , an是an 3與an 6 的等差中項.解：(1)證明：由題設 an i (1 q)an qan 1 ( n 2)，得an 1 an q(an a. i)，即 bn qg i，n 2 .又d a? a1 1 , q 0，所以bn是首項為1,公比為q的等比數列.a7 , a8 , a9 , a10記表中的第一列數 a1, a2, a4, a? 構成的數列為g, D1 .&為數列bn的前n項和，且滿足 竺1 ( n 2).bnSN S n(2 )由(1) a2a11, a3a2q,an2an 1 q ,( n 2)將以上各式相加，得ana1

25、1 qn 2/q ( n2).n 11 1 q ,q1所以當n 2時，an1 qn,q1上式對n 1顯然成立.1(1)證明數列丄成等差數列，并求數列bn的通項公式;Sn(2)上表中，若從第三行起，每一行中的數按從左到右的順序均構成等比數列，且公比為同一個正數.當a81時，求上表中第91k( k 3)行所有項和的和.解：(1):由已知 組2bnSn Sn1,又 Snb1 b2bn ,由 a3a6a95a3可得q2q q2q8，由 q0得q1 1q6 ,整理得(q3)2q3 20,解得q32 或 q31(舍去).于是q 逅.另一方面，n2n 1n 1n 1n 5n 1anan 3qq(q31)，a

26、n 6anqq(1 q6)1 q1q1q1 q(3 )由(2)，當q 1時，顯然a3不是a6與a?的等差中項，故q 1 .所以2(Sn Sn1) 2(& Sn 1)Sn S n又 S b1 a11所以數列丄是首項為Sn1,公差為S當1，1-的等差數列.2所以Sn1Sn由可得 an an 3 an 6 a. , n N .所以對任意的n N* , an是an 3與an 6的等差中項.例5將數列an中的所有項按每一行比上一行多一項的規則排成如下數表:11由上可知 =1+ (nSn2所以，當n 2時，bn1)a1，即Sn2n(n 1).1,n(n 1),n 2(2)解：設上表中從第三行起，每

27、行的公比都為q,且q 0.12 1378 ,當n 6時，不存在這樣的等差數列事實上，數列a2, a3，a* 2， a* 1，中,所以表中第1行至第12行共含有數列an的前78項,491k2 (1 2 )k(k 1)1 2-(1 2k)( k 3) k(k 1)故a82在表中第13行第三列，因此a82 bja q2又b13，所以q 2 .13 14記表中第k( k 3)行所有項的和為 S，k則S勲1 q)1 q例6設a1, a2，an是各項均不為零的等差數列(n 4),且公差d 0 ,若將此數列刪去某一項得到的數列(按原來的順序)是等比數列：當n 4時，求邑的數值；求dn的所有可能值；解：當n

28、4時，a , a2, a3,中不可能刪去首項或末項，否則等差數列中連續由于不能刪去首項或末項，若刪去 a2，則必有a1 an a3 an 2，這與d 0矛盾；同樣若刪去an 2也有a1 an a3 an 2，這與d 0矛盾；若刪去a3，an 2中任意一個，則 必有a1 an a2 an 1，這與d 0矛盾.綜上所述，n 4或n 5 2例 7 已知數列an和bn滿足：a1, an 1an n 4 ,3bn ( 1)n(an 3n 21)，其中 為實數，n為正整數.(1) 對任意實數，證明數列an不是等比數列；(2) 試判斷數列bn是否為等比數列，并證明你的結論；三項成等比數列，則推出d0.右刪去

29、a2，則有a3a1a4，即(a12d)2a1 (a13d)化簡得a1d 4d20，因為d 0,所以a1d4 ；右刪去a3，則有aa1a4，即(印d)2印佝3d)，故得a11 .d綜上11或一 4.d當n 5時，a1 ,a2 ,a3, a4,a5中冋樣不可能刪去首項或末項.若刪去a2，則有a1a5a3 a4，即a1 (a14d)(印 2d)佝 3d) 故得 a1=6 ；d(3)設0 a b, Sn為數列bn的前n項和.是否存在實數都有a Sn b?若存在，求的取值范圍；若不存在，說明理由，使得對任意正整數n,若刪去 a3，則a1a5a2a4，即 6 佝 4d)(a1d)(a13d) 化簡得3d2

30、0，因為d 0 ,所以也不能刪去 a3 ；若刪去 a4，則有 a1a5a2a3，即 a?(印4d) =(a1 +d)?(a12d).故得 色=2d2(1)證明：假設存在一個實數，使an是等比數列，則有a2a1a3,即2 244 24 2(3)(4)49490，矛盾.3 999所以an不是等比數列. 解：因為bn1(1)n1an13(n 1) 21(1)nJa.2n 14)32 n2=(1) (an 3n 21) b.3 3又b118,所以當 18 , bn 0( n N )，此時bn不是等比數列：當 18時，b1180,由上可知bn0,.仏 2(門 ).bn3故當18時，數列bn是以(18)為

31、首項，一-為公比的等比數列32.設an是等差數列，bn是正項等比數列，且a1 bi 1 , a3 b521 , a5b313由(2)知，當18,bn0, Sn0,不滿足題目要求18，故知bn(18)要使a Sn b對任意正整數得3(18)1( |)n52 32(汀1，于是可得 Sn -(18) 1 ( -)n3 532 n*18) 1 ( -) b(n N ) (自a(1)求an , bn的通項公式；(2)求數列二的前n項和Sn bnn成立，即a35(解：(1)設an的公差為d , bn的公比為q，則依題意有q2d4d4 q2 q2113當n為正奇數時，1 f(n)七，令1 (孑5；當n為正偶

32、數時,3f(n)，則所以an1 (n 1)d2nbnqn 12nf(n)(2)an 2n 1nbn5 f (n)的最大值為f-353于是，由式得5a3(95,f( n)的最小值為f (2)18) -b5b 18Sn3a182Sn52252當a b 3a時，由 b 18 3a 18，不存在實數滿足題目要求；當b 3a存在實數，使得對任意正整數n,都有a & b,且 的取值范圍是一得Sn2n 3尹2n 32“ 32 22222n 1 - n 1，22n 1 2，2 :2n 22n 12“ 1(b 18, 3a 18).【隨堂練習】1.設 an 、1 22 33 4 皿1),3.已知(112

33、22n 12“ 1an是等差數列,bn是公比為數列bn的前n項和,1尹 2n2q的等比數列,12“ 1b1,a2b22n2“ 1a1，記Sn為2求證：吐an血丄2 2(1)若bk am(m, k是大于2的正整數)，求證：Sk 1 (m證：. n(n 1). n22n 12i2n 1n -.：'n(n 1)213(2n1)12 3n an2n(n 1)(n 1)2an22n,. n(n 1)(2) 若b3 ai(i是某一正整數)，求證：q是整數，且數列bn中每一項都是數列an 中的項；(3) 是否存在這樣的正數 q，使等比數列bn中有三項成等差數列？若存在，寫出一個q的值，并加以說明；若不存在，請說明理由解：設an的公差為 d，由 a1 bi,a2 d a1，知 d 0, q 1, d aq 1)(印 0)k 1(1)因為 bk am，所以 a