1、課題：數(shù)列求和課型：習(xí)題講練課整理人：王仁杰 讓帆課時安排：3-4課時 整理時間：2013年3月25日說明：本專題主要針對實驗班使用，請其他班級選擇部分類型和題目講解?！緦W(xué)習(xí)目標(biāo)】熟練掌握等差數(shù)列、 等比數(shù)列的求和公式及其應(yīng)用，這是數(shù)列求和的基礎(chǔ)； 掌握好分組、裂項、錯位相減、倒序相加法這幾種重要的求和方法； 掌握一些與數(shù)列求和有關(guān)的綜合問題的解決方法，如求數(shù)列前n項和的最值，研究前n項和所滿足的不等式等.【學(xué)習(xí)重點】裂項相消與錯位相減求和；【學(xué)習(xí)難點】錯位相減求和方法。【學(xué)習(xí)過程】一、利用常用求和公式求和1、等差數(shù)列求和公式：Sn= nd= na1 nd2、等比數(shù)列求和公式： &na

2、6(1-qn)(q胡)例1已知log 3 x-1log2 3解：由log 3 xlog 2 3由等比數(shù)列求和公式得：Sn例 2設(shè) Sn= 1+2+3+ +n ,解：由等差數(shù)列求和公式得1 -qa _anq1 -q，求 x x2-log 3 2 =23 ， n=X X XXSnn項和.x(1 xn)丄(11)2( 2n)1 -x1-1(n 32)Sn !的最大值.1S2n(n 1)，f(n)_(n 32)1 _ n2 34n 64n 34 64n-8 2(n -)508.8即n= 8時,f (n) max50二、錯位相減法求和這種方法是在推導(dǎo)等比數(shù)列的前n項和公式時所用的方法， 這種方法主要用于

3、求數(shù)列an bn的前n項和，其中 an卜 bn 分別是等差數(shù)列和等比數(shù)列.例 3求和：Sn = 1 3x 5x2 7x3 亠 亠(2n _ 1)xn A解：由題可知， （2n - 1）xn J 的通項是等差數(shù)列2n - 1的通項與等比數(shù)列 xnJ的通項之積：設(shè)xSn 1x 3x2 5x3 7x4 n叫2n -1） xn（設(shè)制錯位）-得（1 -x）Sn =1 2x 2x2 2x3 2x42xnJ -（2n - 1）xn1_Xn（錯位相減）再利用等比數(shù)列的求和公式得:(1 - x)Sn=1 2x(2n - 1)xn。1 - x(2n_ 1)xn 1 _(2 n 1)xn (1 x)(1-x)224

4、6例4求數(shù)列，2,3222231與等比數(shù)列的通項之積2n2 22242 n；2n，前n項的和解由題可知,2n歹的通項是等差數(shù)列2n的通項色空236222 32 4丄2 22 22 23n + 2設(shè)Sn2Sn1(匕)s2n.2L2門12 . . 242 42 n2門 12£2“計Sn = 4 - 2n4三、倒序相加法求和，再把它與原這是推導(dǎo)等差數(shù)列的前 n項和公式時所用的方法，就是將一個數(shù)列倒過來排列（反序）數(shù)列相加，就可以得到n個（Q an）.2 0 2。 2 0 2。 2 °例 6求 sin 1 sin 2 sin 3飛in 88 sin 89 的值22°2 Q

5、2°2。解：設(shè) S = sin 1 sin 2 sin 3sin 88 sin 89 將式右邊反序得：S=s in2 89 sin2 88、小 sin2 3sin2 2 sin21又 因 為sirx=cos（3-x）sinx cosx=1，+ 得2。 2。 2。 2。 2 0 2 02S=（sir1 cosjsin 叱0仝）+珥$吒9叱0$9=89 /. s= 44.5四、分組法求和有一類數(shù)列，既不是等差數(shù)列，也不是等比數(shù)列，若將這類數(shù)列適當(dāng)拆開，可分為幾個等差、等比 或常見的數(shù)列，然后分別求和，再將其合并即可.1 1 1例7求數(shù)列的前n項和：1 1,4,一2，7,；- 3n2，aa

6、a解：設(shè)Sn1 1=(1 1) (4) ( 217)( nd3n - 2)aaa將其每一項拆開再重新組合得1 1 1Sn =(12(1 4 3n -2)(分組)a aa1當(dāng)a= 1時，Sn沙 邑gn二衛(wèi)(分組求和)當(dāng)a"時，Sn01.(3d)n22-丄 2a1 _na -a(3n-1)n=a -12例8求數(shù)列n(n+1)(2n+1)的前n項和.n解：設(shè) ak =k(k 1)(2k 1) =2k3 3k2 k ；.S k(k 1)(2k 1)=k=1n(2k3 3k2 k)k珀nnn將其每一項拆開再重新組合得：Sn = 2k3k2 7 k =kdkdk d2(13 23m3)時 Fn2

7、) (1 2f)2 2 2 _ n (n +1)丄n(n +1)(2n +1)丄 n(n +1) = n(n +1) (n + 2) = 2 2 2 2五、裂項法求和這是分解與組合思想在數(shù)列求和中的具體應(yīng)用.裂項法的實質(zhì)是將數(shù)列中的每項(通項)分解，然sinl(2)后重新組合，使之能消去一些項，最終達到求和的目的.通項分解（裂項）如：（1 ）an = f （n 1） - f（n）tan(n 1)' -tanncosn cos(n 1)(3)(5)ann(n1)nn 111n(n-1)(1n 2)-221_2(n1)i 1)2nn(:n 1111111n(n 1)nanan-n 12n(

8、4)(2n)2K _ (2n-1)(2n 1)(n 1)(n 2)n _1n2 (n 1)2例9求數(shù)列_-1+12 <2+yj3Jn+Jn+1=1 1 J2 2n-11，則 Sn的前n項和.=1 -(n 1)2n解：設(shè) an 二二. n 1 - , n，則Jn + Jn +1Sn1.223(2 - 1) ( .3 - 2)( n 1 - 一 n) = n 1-1例 10在數(shù)列an中，an 口，又 bn，求數(shù)列bn的前an解:an1 1=8( ) n數(shù)列bn的前n項和:1 11 11 1S呵匕)丁 3)(3V飛-)8(18n例11求證：一cos0 cos1 cos1 cos 2cos12c

9、os88 cos89 sin 1解：設(shè)Scos0 cos1 cos1 cos2cos88 cos89sin1a7 T a8 = 3,a2,印。-1an 二-3, a 二-2,tan(n 1)、-ta nncos n cos(n 1)cos0 cos1 cos1 cos 2cos88 cos891(tan 1 - tan 0 ) (tan 2 - tan1 ) (tan3 - tan2 ) tan 89 - tan88 sin 11.：.：1cos 1(tan89 -tanO ) =cot1 =2原等式成立sin 1sin 1sin 11 1 1 1 -+ + +例計算：一一 _1 v 一；:1

10、1 .六、合并法求和針對一些特殊的數(shù)列，將某些項合并在一起就具有某種特殊的性質(zhì)，因此，在求數(shù)列的和時，可將這些項放在一起先求和，然后再求Sn.例 12 求 cos1° + cos2° + cos3° + + cos 178° + cos 179° 的值.解：設(shè) Sn= cos1° + cos2° + cos3° + + cos仃8° + cos179°v COSn = _COS(180 n )(找特殊性質(zhì)項)/ Sn= (cos1° + cos仃9°) + ( cos2 +

11、cos178°) + (cos3° + cos仃7°) + + ( cos89° + cos91°)+ cos90°= 0 (合并求和)例 13數(shù)列an: a1 = 1, a2 = 3, a3 = 2, an 2 = an 4 - an，求 S2002.解:設(shè) S2002=a1a2'a '£2002，由 d = 1,a=3,a= 2, a* 忽二 a* 計-a*可得a T, a -3, a -2, a5k+=1 a6k£=3, a6k于=2 %七=一1 鬼5 = -3 鬼)七=-2a6k 1'

12、; 36k 2' a6k 3' a6k 4' a6k 5' a6k 6 0S2002= a1a2a3a2002 =(aia2aa6)7a- ai2):;-(a6k1 a6k2a6k6) + +1993 * ai994 * ' ' '+ai998 ) * ai999 * a2000 + a2001 * a2002= 99a?00a200a?002a6k +36kH2 +a6kqg *a6k* = 5例14在各項均為正數(shù)的等比數(shù)列中，若a5a = 9,求log3a1 log3 a log3 a10的值。解：設(shè) Sn =log3aiIog3a2

13、Iog3do由等比數(shù)列的性質(zhì) m n = p q= aman = apaq和對數(shù)的運算性質(zhì)loga M loga N =logaM N 得:Sn (log3 a1log3do) (log3a2gag)氣log3a5 log3a6)=(log3 a! aio) (logsa? a?)(log3 a5 a6)= log3 9 Iog3 9Jog39 = 10七、利用數(shù)列的通項求和先根據(jù)數(shù)列的結(jié)構(gòu)及特征進行分析，找岀數(shù)列的通項及其特征，然后再利用數(shù)列的通項揭示的規(guī)律來求數(shù)列的前n項和，是一個重要的方法.1 1 k例佝 求1 11 11111之和.解：由于11119999(10 1)n 個1k個 19k個 191 11 111 111 1n個1111 1-(101 一1)-(102 -1) -(103 -1) (101)丄 10(10n _1) n910 -199999(101 102 103 川:川10")-丄(1 1 1 士 審1)99n 個 11Jj(10n 1 -10 -9n)81