1、“平面向量”誤區(qū)警示“平面向量”概念繁多容易混淆，對(duì)于初學(xué)者更是一頭霧水現(xiàn)將與平面向量基本概念相關(guān)的誤區(qū)整理如下.向量就是有向線段解析：向量常用一條有向線段來表示，有向線段的長度表示向量的大小，箭頭所指的方向表示向量的方向. 有向線段是向量的一種表示方法，不能說向量就是有向線段.若向量AB與cD相等，則有向線段AB與CD重合解析：長度相等且方向相同的向量叫做相等向量因此，若AB = CD，則有向線段AB與CD長度相等且方向相同，但它們可以不重合.只能得到線段AB與CD方向相同或相反,若向量AB / cD，則線段AB/ CD解析：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量.故由它們可能平行也可能共線.

2、若向量AB與cD共線，則線段AB與 CD共線解析：行向量也叫做共線向量，共線向量就是方向相同或相反的非零向量. 故由aB與Cd共線，只能得到線段 AB與CD方向相同或相反，它們可能平行也可能共線.若a / b,解析：由于零向量與任一向量平行，故當(dāng)都為非零向量時(shí)L，才則a =能確定b或c乙只能得到線段b / c,則 a /當(dāng)且僅當(dāng)a、b、若I C = | 解析：由 | a | = | 當(dāng)a與b不共線時(shí),時(shí)，向量a、C不一定平行. a / c.或 a = 一 b向量a與b的長度相等，不能確定其方向有何關(guān)系.I =- b都不能成立.單位向量都相等解析：長度等于一個(gè)長度單位的向量叫做單位向量，由于單位

3、向量的方向不一定相同，故單位向量也不一定相等. 若| a | = 0，則a = 0解析：向量和實(shí)數(shù)是兩個(gè)截然不同的概念向量組成的集合與實(shí)數(shù)集合的交集是空集. 故若| a | = 0,則a = 0 ,不能夠說a = 0.平面向量數(shù)量積四大考點(diǎn)解析考點(diǎn)一 考查概念型問題例1.已知a、b、c是三個(gè)非零向量，則下列命題中真命題的個(gè)數(shù)A.1a/b； a,b反向a bB.2C.3D.4評(píng)注：兩向量同向時(shí)，夾角為因此當(dāng)兩向量共線時(shí)，夾角為 考點(diǎn)二、考查求模問題例2.已知向量a2,2 ,b*Fab0（或0° ）；而反向時(shí)，夾角為n0或n,反過來若兩向量的夾角為5,k，若 a（或180° ）

4、;兩向量垂直時(shí)，夾角為0或n,則兩向量共線b不超過5,則k的取值圍是90°評(píng)注：本題是已知模的逆向題，運(yùn)用定義即可求參數(shù)的取值圍。I , ,BF例3. (1)已知a,b均為單位向量，它們的夾角為60° ,那么a 3b =()A. ,7 B. 10 C. 13 D. 4(2)已知向量a cos ,sin ，向量bJ3, 1 ,貝U 2a b的最大值是評(píng)注：模的問題采用平方法能使過程簡(jiǎn)化。考點(diǎn)三、考查求角問題例4.已知向量a +3b垂直于向量7a -5 b，向量a -4 b垂直于向量7a -2 b，求向量a與b的夾角練習(xí)一：數(shù)量積(積)的意義及運(yùn)算1.已知向量|?| 4, e為

5、單位向量，當(dāng)它們之間的夾角為時(shí)，a在e方向上的投影與e在a方向上的投影分別為(3A. 2船，逼2B. 2C.,3D.,2練習(xí)目的：區(qū)別方向上的投影與在 4ae在a方向上的投影，達(dá)到正確理解投影的概念.2 .在邊長為2的等邊ABC 中,).A.2B.-2C. 4 D.練習(xí)目的：結(jié)合圖形1,根據(jù)投影的意義，理解-4的幾何意義.3.已知|a3,|b| 2,a與b的夾角為60 , c=3Jla(2當(dāng)m為何值時(shí),c與d垂直?練習(xí)目的：結(jié)合以前所學(xué)向量垂直的等價(jià)關(guān)系，類比數(shù)量積的運(yùn)算與實(shí)數(shù)多項(xiàng)式的運(yùn)算關(guān)系，達(dá)到鞏固數(shù)量積的運(yùn)算 目的.練習(xí)二：數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算、模及夾角4.直角坐標(biāo)系xOy中，7, j分別是

6、與x, y軸正方向同向的單位向量.在直角三角形 ABC中, 若AB 2, j, AC 3i* k j，則k的可能值個(gè)數(shù)是()A. 1B. 2C. 3D. 4練習(xí)目的：結(jié)合向量垂直的等價(jià)關(guān)系，練習(xí)數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，體會(huì)分類討論的數(shù)學(xué)思想方法.的夾角5.已知向量 |a| 2 , |b| 2J3,寸 b (2jJ,2)求(1) |練習(xí)目的：鞏固平面向量的模以及夾角公式，類比向量的運(yùn)算與實(shí)數(shù)多項(xiàng)式的運(yùn)算的關(guān)系.6設(shè)向量a,b滿足|?|i,a,b的夾角為60，若向量7b與向量tb夾角為鈍角,數(shù)t的取值圍。練習(xí)目的：綜合運(yùn)用向量的數(shù)量積、夾角公式以及向量共線的條件解題，在解題時(shí)要特別注意特殊情況,才能不遺

7、漏地正確解題.練習(xí)三.平面向量的綜合應(yīng)用7. (1)已知 ABC 中，aBb ,£是ABC中的最大角，若4b?Jra0 ,貝U ABC的形狀為練習(xí)目的：體會(huì)應(yīng)用平面向量的夾角公式判斷三角形的形狀.(i)(cos ,sin ) , b 求證：a b與a b(cos ,sin互相垂直；平面向量鞏固檢測(cè))，其中0若ka b與a k b的長度相等，求的值(k為非零的常數(shù))2.已知(I)求證:b是兩個(gè)不共線的向量，且 a = (cos , sin ) , b= (cos a+ b與a b垂直；，sin )()若c( )，且 | a + b | =416，求 sin53.設(shè) a e13e1 2e

8、2，其中 e1e2 且 e1 e1e2 e21.(1)計(jì)算|a b |的值;(2)當(dāng)k為何值時(shí)kb與a 3 b互相垂直?>34. 已知向量a = (cos ?x,sin |x),百=(cos 2, sin |)，其中 x 0n,齊3(1) 求弓百及| "a + £| ; (2)若f(x) =? 2入|弓+號(hào)|的最小值為2，求入的值平面向量數(shù)量積四大考點(diǎn)解析考點(diǎn)一 考查概念型問題例1.已知a、b、c是三個(gè)非零向量，則下列命題中真命題的個(gè)數(shù)（） a b a 冃 a/b； a,b反向 a b a |b|1=»afr-=»I afe -s» I

9、a b a b a b ； a = b a b b dA.1B.2C.3D.4分析：需對(duì)以上四個(gè)命題逐一判斷，依據(jù)有兩條，一仍是向量數(shù)量積的定義；二是向量加法與減法的平行四邊形 法則解： a b = | a b | cos 0由I a b | = | a | b |及a、b為非零向量可得| cos 0| =10 =0或n,. a / b且以上各步均可逆，故命題 （1）是真命題.（2）若a , b反向，則a、b的夾有為n,. a b = | a | b | cos n =- | a | b |且以上各步可逆，故命 題是真命題.（3）當(dāng)a丄b時(shí)，將向量a , b的起點(diǎn)確定在同一點(diǎn)，則以向量a ,

10、b為鄰邊作平行四邊形，則該平行四邊形必為矩形，于是它的兩對(duì)角線長相等，即有|a + b | = | a- b | .反過來，若|a+b | = | a- b | ,則以a , b為鄰邊的四邊形為矩形，所以有 a丄b，因此命題（3）是真命題.（4）當(dāng)| a | = | b |但a與c的夾角和b與c的夾角不等時(shí)，就有| a c |工| b c |,反過來由| a | c |I b c |也推不出| a | = | b | .故是假命題.綜上所述，在四個(gè)命題中，前3個(gè)是真命題，而第 4個(gè)是假命題，應(yīng)選擇（C）.夾角為n0或n,（或180 ° ）;兩向量垂直時(shí)，夾角為90°，因此當(dāng)

11、則兩向量共線.評(píng)注：兩向量同向時(shí)，夾角為 0（或0° ）;而反向時(shí)，兩向量共線時(shí)，夾角為 0或n,反過來若兩向量的夾角為考點(diǎn)二、考查求模問題例2.已知向量a2,2 ,b5,k，若a b不超過5，則k的取值圍是分析:x, y 則 ax2y2，或 a，對(duì)于求模有時(shí)還運(yùn)用平方法。解：由a b 3,2 k ,b 5，由模的定義，得：922 k 25 解得： 6 k 2，故填 6,2 。評(píng)注:例3.（1）已知a,b均為單位向量，它們的夾角為60° ,那么a3b =（）A.7 B. . 10 C.D. 4（2）已知向量a cos ,sin ，向量 b的最大值是解：（1） a3bl2 _

12、 6 a b cos60所以a 3b、13，故選Co本題是已知模的逆向題，運(yùn)用定義即可求參數(shù)的取值圍。（2）由題意，知ja 1,2, a b 2sin 32f 2.-2又2a b4a4abb8 8sin 316則2a b的最大值為4。評(píng)注：模的問題采用平方法能使過程簡(jiǎn)化。 考點(diǎn)三、考查求角問題例4.已知向量a +3b垂直于向量7a -5 b，向量a -4 b垂直于向量7a -2 b，求向量a與b的夾角.分析：要求a與b的夾角，首先要求出a與b的夾角的余弦值，即要求出Ia丨及丨b丨、a b，而本題中很難求出丨a丨、b I 及 a b，但由公式cos 0 =a?b可知，若能把a(bǔ) b ,I a I及

13、I b I中的兩個(gè)用另一個(gè)表示出來,即可求出余弦值，從而可求得a與b的夾角0解：設(shè)a與b的夾角為0/ a +3b垂直于向量7 a -5 b , a -4 b垂直于7 a -2 b ,解之得b 2=2a¥Iba2=2a b a2=b2I aI=I b I cos 0 =a?b丄孑2_ 1= 0 =因此a與b的夾角為ab a?b 233練習(xí)一：數(shù)量積（積）的意義及運(yùn)算1.已知向量|!| 4，e為單位向量，當(dāng)它們之間的夾角為為（B.3c.2時(shí),3,2 3D.e方向上的投影與方向上的投影分別1.答案B ,1解答：a在e方向上的投影| a | cos 4-2321 -e在a方向上的投影|e|c

14、os 1 -32 .2練習(xí)目的：區(qū)別a在e方向上的投影與e在a方向上的投影,達(dá)到正確理解投影的概念.2在邊長為2的等邊 ABC中,的值是（）.B. 2c. 4A.22.答案B 解答：由平面向量數(shù)量積公式得： aB?bC = | AB|?| BC ICOS120 = 2D.-4的值為一2.因此2 (i)a 3b7a5b0-27a16ab一 215b0即,2,2a4b7a2b07a30ab8b 0練習(xí)目的：結(jié)合圖形1,根據(jù)投影的意義，理解3 已知|a3,1 b 12, a與b的夾角為60， c=3的幾何意義.ma 3b.3解答|的值(2)當(dāng)m為何值時(shí),(1)a b | 冷 b垂直?| cos603

15、.| |a|b| 2a32222 3 19| = 19所以|a t由c與 d垂直，得c d0,即(3a3b)03m | a |2 15|b|2 9寸 b 又因?yàn)閨才 所以a b(m3,|b| 2,a與b的夾角為60：| a 11 b | cos60 329代入得m14,.29 H 4因此當(dāng)m 時(shí)，c與d垂直.14練習(xí)目的：結(jié)合以前所學(xué)向量垂直的等價(jià)關(guān)系，類比數(shù)量積的運(yùn)算與實(shí)數(shù)多項(xiàng)式的運(yùn)算關(guān)系，達(dá)到鞏固數(shù)量 積的運(yùn)算目的.練習(xí)二：數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算、模及夾角Ij, AC 3i" k j，貝y k的可能值個(gè)數(shù)是（4 .直角坐標(biāo)系xOy中，i, j分別是與x, y軸正方向同向的單位向量.在直

16、角三角形ABC中，若 aB 2,A. 1B.C.D. 44 答案B提示：由題設(shè) bC 7轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)表示：AB(k 1)j ,(2,1), AC(3,k),bC(1,k 1)ABC是直角三角形可以分為三種情況:(1)(2)(3)AB AC, AB|aC AB BC.ABIBC AC BC, A|bC1k1 (kk(k0得k 61)0 得 k1) 02即k k 30，無解故k的可能有兩個(gè)值16,練習(xí)目的：結(jié)合向量垂直的等價(jià)關(guān)系，練習(xí)數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，體會(huì)分類討論的數(shù)學(xué)思想方法.5.已知向量 | 2 , |b| 23, a b (23,2)求( i)|a b| ；(2)a b與a b 的夾角5 .解

17、答：由題設(shè)|J 2,| b| 2、3171Jla由(2,3 2)得 |6X24b-a22彳b)Hla24fa64Aa22L»rb24b -4b34aJ»Fa2 4(2(4a 于 此因2JI a 62 LBr a2所以cos|a+b |(2 )設(shè)夾角為，又-84jb)Jra2lib2(2練習(xí)目的：鞏固平面向量的模以及夾角公式，類比向量的運(yùn)算與實(shí)數(shù)多項(xiàng)式的運(yùn)算的關(guān)系.6.設(shè)向量a,b滿足|a| 2,|b| i, a,b的夾角為60；，若向量2ta 7b與向量a tb夾角為鈍角，數(shù)t的取值圍。6.解答：由題設(shè)JibJr ab|cos60：2 1-12因?yàn)橄蛄?ta7b與向量a2由

18、 2t |a|2 27t |b|(2ttb夾角為鈍角,解得7t12另一方面，當(dāng)夾角為時(shí)，也有2ta7$ =l72 彳a0，所以由向量2ta( 0)7b與向量a tb同方向得:因此2t,7t解得：t、T4=、一142，S4由于0,所以t0，得t、14 ,時(shí)，2因此，當(dāng)t兩向量的夾角為0不合題意2所以，若向量2ta 7b與向量a tb的夾角為銳角，實(shí)數(shù)t的取值圍是：血1)2 ， 2)練習(xí)目的：綜合運(yùn)用向量的數(shù)量積、夾角公式以及向量共線的條件解題，在解題時(shí)要特別注意特殊情況，才能不遺漏地正確解題.練習(xí)三.平面向量的綜合應(yīng)用7. (1)已知 ABC 中，AB,E是ABC中的最大角，若貝o4b?JraA

19、BC的形狀為7.答案：銳角三角形提示：由COS可得cos0，即 AB與 B的夾角為鈍角，所以,ABC為銳角,因此ABC為銳角三角形.練習(xí)目的：體會(huì)應(yīng)用平面向量的夾角公式判斷三角形的形狀.)，其中02 2sin ) (cossin2)0平面向量鞏固檢測(cè)i已知a(i)求證： 證明：；(b互相垂直；2 2 2 b) a b (cos b與a b互相垂直若ka b與a k b的長度相等，求的值(k為非零的常數(shù))解析：ka b (k cos cos , ksin sin )；a k b (cos k cos ,sin ksin ) k a b Jk1 2k cos()a kb s；k2 1 2k cos

20、( )而.k2 1 2k cos( ),k2 1 2kcos(cos( )0,22 .已知a、b是兩個(gè)不共線的向量，且 a = (cos , sin )b= (cos,sin(I)求證： a+ b與a b垂直；(n)若 (),=，且 |a + b| =4 4416，求 sin5解: (1)v a = (4cos , 3sin), b = (3cos , 4sin )a| = | b| =12- 2-2L 2又( a + b )( a b ) =a b =| a | | b| = 0 '( a + b )丄(a b )2- - 22i 2+-16(2) | a + b|=(a + b)=|a| +| b| +2 a b = 2 + 2 a b=-53又a b = (cos cossin sin )=5二 cos()3- ( 一，一) VV 054 42 sitn ():=4 sinsin(5=sin() coscos()sin4,23、2 ,25252 103.設(shè) a e12e2,b3e12e2，其中e1e2且(1)計(jì)算|a b|的值;當(dāng)k為何值時(shí)k a