1、1、方程M(x,y)dx N(x,y)dy °有只含x的積分因子的充要條件是()。有只含y的積分因子的充要條件是。2、 為黎卡提方程，它有積分因子。3、 為伯努利方程，它有積分因子。4、若Xi(t),X2(t),川,Xn(t)為n階齊線性方程的n個解，則它們線性無關的充要條件是。5、形如勺方程稱為歐拉方程。6、若(t)和(t)都是x' A(t)x的基解矩陣，則 和(t)具有的關系是。7、當方程的特征根為兩個共軛虛根是，則當其實部為 時,(x)零解是穩定的，對應的奇點稱為。(y)2、dy p(x)y2 Q(x)y R(x)3、P(x)y Q(x)ynu(x,y)n (n 1)p

2、(x)dx y e4、WXi(t),X2(t),卅,xn(t)0dn1illany6、(t) (t)C7、零穩定中心1、 形如的方程,稱為變量分離方程，這里.f(x). (y)分別為x.y的連續函數。2、形如的方程，稱為伯努利方程，這里P(x).Q(x I為x的連續函數.n 0.1是常數。引入變量變換，可化為線性方程。3、如果存在常數L 0,使得不等式 對于所有(x,yi),(x,y2) R都成立，L稱為利普希茲常數。函數f (x, y)稱為在 R 上關于y滿足利普希茲條件。4、形如-的方程，稱為歐拉方程，這里a1, a2,是常數。5、設(t)是xAx的基解矩陣，(t)是x A(t)x f (

3、t)的某一解，則它的任一解 (t)可表為-。證 f(x) (y)、/ P(x)y Q(x)ynz=f(x,yj f(x, y2)x4、n亙ydxax1 ddxL yiy2an1X孚 any 0dx5、(t)(t)(t)1、()稱為變量分離方程，它有積分因子()。2、當()時，方程 M(x,y)dx N(x,y)dy 0稱為恰當方程，或稱全微分方程。3、函數f(x,y)稱為在矩形域r上關于 y滿足利普希茲條件，如果4、對畢卡逼近序列，k(x)k1(x)()。5、 解線性方程的常用方法有( )。6、若Xi(t)(i 1,2，, n)為齊線性方程的n個線性無關解，則這一齊線 性方程的所有解可表為()

4、。7、方程組x A(t)x( )。8、若(t)和 都是x A(t)x的基解矩陣，則(t)和(t)具有關系：( )。9、當方程組的特征根為兩個共軛虛根時，則當其實部()時，零解是穩定的，對應的奇點稱為()。10、當方程組的特征方程有兩個相異的特征根時，則當()時，零解是漸近穩定的，對應的奇點稱為()。當()時，零解是不穩定的，對應的奇點稱為()。11、若(t)是x A(t)x的基解矩陣，則x A(t)x f(t)滿足x(t0) 的解()。dy1、形如dxf(x)g(x)的方程1ug(y)MN2、yx3、存在常數L >0,對于所有(xi,yi),(x2,y2)R都有使得不等式k 1k4、f(

5、xi,yj f(X2,y2) Lyi y?成立 k!5、常數變異法、待定系數法、幕級數解法、拉普拉斯變換法nx(t)CiXi(t)6、i 1 ，其中Gd ,Cn是任意常數7、 n個線性無關的解Xi(t),X2(t), Xn(t)稱之為xA(t)x的一個基本解組8、(t)= (t)c (a t b)c為非奇異常數矩陣9、等于零穩定中心dy1 . dx P(X)y Q(X)稱為一階線性方程，它有積分因子e PE，其通解為。2. 函數f(x,y)稱為在矩形域r上關于y滿足利普希茲條件，如果3 . 若(x)為畢卡逼近序列n(x)的極限，則有(X) n (X)Ody 22X y4. 方程dx定義在矩形域

6、R： 2 x 2, 2 y 2上，則經過點(0,0)的解的存在區間是 。5. 函數組的伏朗斯基行列式為 。6. 若Xi(t)(i1,2, , n)為齊線性方程的一個基本解組，x(t)為非齊線性方程的一個特解，則非齊線性方程的所有解可表為 。 .若(t)是x'A(t)x的基解矩陣，貝y向量函數二是x' A(t)x f(t)的滿足初始條件(to) 0的解；向量函數(t)二是x' A(t)x f(t)的滿足初始條件(t。)的解。8若矩陣A具有n個線性無關的特征向量vi，v2，vn，它們對應的特征值分別為1,2， n，那么矩陣 二 是常系數線性方程組x' Ax的一個基解

7、矩陣。9.滿足 的點(X，y )，稱為駐定方程組。1. yP(x) dxP (x)dxe ( Q(x)e dx c).f(x,y)在 R上連續，存在 l 0，使 f(x,y1) f(x,y2)l% y?對于任意(x,yi),(x,y2)RMLnh(n 1)!t et et e2tet2te 2et2te 4ex(t)nGXi(t)x(t)i 1tI。1(s) f (s)ds(t)1(to)t 1(t) t (s)f (s)dsI。e 1t V| ,etntV2, ,e VnX(x, y)0,Y(x,y)0方程，或稱全微分方程。2、 為齊次方程dydx3、求 =f（x,y）滿足（X。）yo的解等

8、價于求積分方程勺連續解。dy 程dx4、若函數f（x,y）在區域G連續，且關于y滿足利普希茲條件，則方f（X，y）的解y= （x，X0,yo）作為x,X0,yo的函數在它的存在圍5、 若xi（t）,x2（t）,.x3（t）為n階齊線性方程的n個解，則它們線性無關的充要條件是。6、 方程組X，A（t）x的 之為Xyxf(y) dx xA（t）x的一個基本解組。7、 若（t）是常系數線性方程組x，Ax的基解矩陣，則expAtc y f (x, y)dx3、y=yo+ xo4、連續的5、 wXl(t), X2(t,),., Xn(t)06、n個線性無關解17、(t)(0)8 X(x,y)=0,Y(x

9、,y)=09、為零穩定中心1. n階線性齊次微分方程基本解組中解的個數恰好是（）個.（A）(B) n-1(C) n+1(D) n+22. 普希茲條件是保證一階微分方程初值問題解惟一的（）條件.（A）充分（B）必要（C）充分必要（D）必要非充分dy3.方程dx1過點（孑1）共有（）個解.(A)（B）無數(C)兩(D)三dy4.方程dx奇解.（A）有一個（B）有兩個(C)無(D)有無數個5.方程慕宀的奇解是（)(A) y X ( B) y 1(C) y（D）y 01. A 2.B 3.B 4.C 5.D1、 稱為一階線性方程，它有積分因，其通解2、函數f（x，y）稱為在矩形域R上關于y滿足利普希茲

10、條件，如果3、若Xi（t）,X2（t）, ,Xn（t）為n階齊線性方程的n個解，則它們線性無關的的方4、形如程稱為歐拉方程。5、若 和 都是x' A（t）x的基解矩陣，則 和 具有的關 系:，則方6、若向量函數g（ty）在域r上dy程組d? g（t；y），（to；to,yo） yo的解存在且惟一。7、當方程組的特征根為兩個共軛虛根時，則當其實，零解是穩定的，對應的奇點稱1、形如 dx P(x)y Q(x)P（x）dx的萬程， e，P (x) dxP(x) dxy e ( Q(x)e dx c)2、存在常數L 0(Xi, yJ,(X2, y2)R ，有3、4、5、6、7、f(x,yj f

11、(x,y2) L yiWXi(t), X2(t),nn d ynX - a1X dxn(t) (t)C連續且關于Xn(t)0n 1i d yn 1dxy2anix字dxany 0（C為非奇異方程）y滿足利普希茲條件等于零，穩定中心dy i x1 .方程dX ySinX e的任一解的最大存在區間必定 是.2.方程y 4y 0的基本解組是.3 .向量函數組丫 1（X），丫 2（x）, ，丫n（X）在區間|上線性相關的件是在區間I上它們的朗斯基行列式W（X）0 .4 .普希茲條件是保證一階微分方程初值問題解惟一的 條件.5. n階線性齊次微分方程的所有解構成一個 維線性空間.6 .向量函數組Y1（X

12、），Y2（X）, ，丫n（x）在其定義區間I上線性相關的 條件是它們的朗斯基行列式 W（x）0 , X I .2 . sin 2x, cos2x3. 必要4. 充分5. n6. 必要1、dx g(X)稱為齊次方程，dx p(x)y 稱為一階線性方程，它有積分因 其通解8若(t)是常系數線性方程組x Ax的基解矩陣，則該方程滿足初始條件 (t0)的解 (t)二9.滿足點(x,y ),稱為方程組的奇點。10 .當方程組的特征根為兩個共軛虛根時，則當其實部 Q(x)y R(x)稱為黎卡提方程。2、 如果f(x,y)在r上連續且關于y滿足利普希茲條件，則方程史 f(x y)dx (，y)存在唯一的解y

13、(X)，定義于區間X X。h上，連續且滿b h min(a, ) M max f (x, y)足初始條件(X。)y。，其中M丿，(x,y) R3、若Xi(t)(i 1, 2,n)是齊線性方程的n個解，w(t)為其伏朗斯基行列式，貝S w(t)滿足一階線性方程w(t) a1(t)w(t) 0。4、對逼卡逼近序列,k(x) k 1 (x)k 1ML ,(xk!kX。)。5、若 和(t)都是x A(t)x的基解矩陣，則 和 具有關系(t) (t)c。6、方程M(x,y)dx N(x,y)dy。有只含x的積分因子的充要條件是(x)。有只含y的積分因子的充要條件是(y)。dy y217、方程dx 2經過

14、(0,0)點的解在存在區間是(，)為。2. 稱為黎卡提方程，若它有一個特解y(x),則經過變換,可化為伯努利方程。3. 若(X)為畢卡逼近序列n(X)的極限，則有(X) n(X)4. 若xe (i=1,2, , n)是齊線形方程的n個解，w(t)為其伏朗 斯基行列式，貝S w(t) 滿足一階線性方 程。5. 若人(i=i,2, , n)是齊線形方程的一個基本解組，x(t)為非 齊線形方程的一個特解，則非齊線形方程的所有解可表 為。6. 如果A(t)是nxn矩陣，f(t)是n維列向量，則它們在a t b上 滿足時，方程組X，= A(t) x+ f(t)滿足初始條件x( t0)=的解在a t b

15、上存在唯一。7. 若(t )和 (t)都是x / = A(t) x的基解矩陣，則 (t )與(t)具有關系： 時，零解是穩定 的，對應的奇點稱為。p(x)dx e1. dx p(x)y Q(x)p(x)dx(Q(x)ep(x)dxdxc)2. P(x)y2 Q(x)y R(x)MLnhn 1y y z 3. (n 1)!4.w q(t)w 05x(t)nCjXj(t)x(t)i 16. A(t) f(t)連續7.(t)(t)c,detc 08。(t) (to)d X(x,y)dtdy Y(x, y)9. dt中 X(x,y)=0,Y(x,y)=O 10. 為 0 穩定中心1. 若y=y

16、1;x）, y=y2（x）是一階線性非齊次方程的兩個不同解，則用這兩個解可把其通解表示為.dy 22x v2 .方程dx滿足解的存在唯一性定理條件的區域是.型 f（xv）3 . fy（x，y）連續是保證方程dx初值唯一的 條件.一條積分曲線.dY4.線性齊次微分方程組dxA(x)Y的一個基本解組的個數不能多于個，其中x R , 丫 Rn.5.二階線性齊次微分方程的兩個解y i(x),y2(x)成為其基本解組的充要條件是.dy6 .方程dxy滿足解的存在唯一性定理條件的區域是.x2ta nV7 .方程dx的所有常數解是.8 .方程xsinydx ycosxdy 0所有常數解是 .9 .線性齊次微

17、分方程組的解組 丫1(x)，丫2(x), ，丫n(x)為基本解組的 條件是它們的朗斯基行列式 W(x) 0 .10 . n階線性齊次微分方程線性無關解的個數最多為 個.7 y k k 0, 1, 2,91. CiVi(x) y2(x) Vi (x)2. xoy平面 3 .充分 48 . y k , k0, 1, 2,；或x 2 k，k 0, 1, 2,9.充分必要10. n性無關6 . xoy平面1、方程M(x,y)dx+N(x,y)dy=0 有只含x的積分因子的充要條件是MNN (x)( y x)，有只含y的積分因子的充要條件是MNM (y)y x)。dy2、求 dx =f(x,y)滿足(X

18、0)y0的解等價于求積分方程xf (x, y)dx(y=y0 +xo) o色 x2 y23、方程dx y定義在矩形域R:-2 x 2, 2 y 2上，則經過點11x (0, 0)的即位存在區間是(44 )。4、若X(t)(l=1,2,n)是齊線性方程的n個解，W(t)為伏朗斯基行列式，則 W(t)滿足一階線性方程(W (t)+a 1 (t)W(t)=0 )。5、 若Xi (t), X 2(t) , Xn(t)為n階齊線性方程的n個解，則它們線性無關的充要條件是(WX (t), X 2(t) , Xn (t)0)。6、 在用皮卡逐步逼近法求方程組X'=A( t)X+f(x),X(t 0)

19、=的近tk(t)(A(s) k i(s) f(s)ds似解時，則t0(史)n 業 y2 x201 微分方程(dx) dx的階數是2 若M(x,y)和N(x,y)在矩形區域R是(x,y)的連續函數，且有連續的一階偏導數，則方程M(x,y)dx N(x,y)dy °有只與y有關的積分因子的 充要條件是3 稱為齊次方程.4 如果f (x, y)則dy f(x y)dx (，y)存在唯一的解y (x),定義于區間x x0 h上，連續且滿足初始條件y0 (X。)，其中h .5對于任意的(x，yJ,(x，y2)r( r為某一矩形區域),若存在常數N(N 0)使,則稱f(x, y)在R上關于y滿足

20、利普希茲條件.dy 22x y6方程dx y定義在矩形區域R：2 x 2, 2 y 2上,則經過點(0,0)的解的存在區間是7若xi(t)(i 1,2,.n)是齊次線性方程的n個解，w(t)為其伏朗斯基行列式，則 w(t) 滿 足一階 線 性 方 程8 若人。1,2,n)為齊次線性方程的一個基本解組，x(t)為非齊次線性方程的一個特解，則非齊次線性方程的所有解可表為9若(X)為畢卡逼近序列n(x)的極限，則有(X)n(x)10稱為黎卡提方程，若它有一個特解y(x)，則經過變換，可化為伯努利方程.111加)(y)dy 形如dxg©的方程在R上連續且關于y滿足利普希茲條件min( a,b

21、)mf(x,yi) f(x, y2)N y1y2a,t)w 0nCiXi xi 1MLh (n 1)!10形如 dx p(x)y2q(x)y r(x)的方程1.辨別題指出下列方程的階數，是否是線性方程:(12%) y2)dxx2業x(2) dxxsin y(3)d4ydx4.32器d2ydx2(4)x xx(5)(dS)31d2rds2(6)x2dy y2dx 02、填空題(8%)裝 xta ny(1) .方程dxy的所有常數解是 .(2) .若y=y1 (x), y=y2(x)是一階線性非齊次方程的兩個不同解,則用這兩個解可把其通解表示為.(3) .若方程Mx, y )dx + N (x,

22、y )dy= 0是全微分方程，同它的通積分是.(4) .設MX。, y o)是可微曲線y= y(x)上的任意一點，過該點的 切線在 x軸和y軸上的截距分別是 .3、單選題(14%)(1) .方程 yln ydx (x In y)dy(A)可分離變量方程(C)全微分方程T. y (0 y )(2) .方程 dx,(A) 一個解(C)無數個解(3) .方程 x(y2- 1)dx+y(x20 是()(B)線性方程(D)貝努利方程過點(0, 0)有().(B)兩個解(D)三個解1)d y=0的所有常數解是()(A) y=± 1, x=± 1,(B)y =± 1(C) x=

23、± 1(D)y =1, x =1(4) .若函數y(x)滿足方程xy2y y lnx 0，且在 x=1 時，y=1,則在x = e時y=().1 1(A) e(B)2(C)2(D) e(5).n階線性齊次方程的所有解構成一個()線性空間.(A) n維(B) n 1 維(C) n 1 維(D) n 2 維(6)dx.方程dxx y 2 ()奇解.(A)有三個(B)無(C)有一個(D)有兩個(7).dx 方程dx23y3y 過點(0,0)().(A)有無數個解(B)只有三個解1 .辨別題(1)一階，非線性線性(2) 一階，非線性(3)四階,(6) 階，(5)二階,非線性(4)三階，非線性

24、非線性2.填空題(1)y k,k 0, 1, 2,(2) . G%(x)y2(x)y (x)xyy。(3) .xoM (x, y) dxy N(x。，y)dyy00x0(4).Jyy0x0 y3.單選題(0只有解y 0(D)只有兩個解(1). B(2) . C (3) . A(4) . B (5) . A (6).B 7. A1. 形如 為變量可分離方程，它有積分因子。2. 當時方程M x,ydx N x,ydy 0稱為恰當方程，或全微分方程。且它只含x的積分因子的充要條件是。有只含y的積分因子的充要條件是3. 稱為伯努利方程，它有積分因子dy4.方程dxa1 x b1x c1x a2Xb2X C2X'當a1b1G di0時，通過,可a1 b|化為奇次方程；當Cl di0時，令u,化為變量分離方程。5.稱為黎卡提方程，若它有一個特解 yx ,則經過變換，可化為伯努利方程。6. 函數f x，y稱為在矩形域r上關于y滿足利普希茲條件，如果存在常數L>0,使 x，yi , x,y2R，使不等式。dy f7. 如果f x, y，則jxx,y存在唯-解yx，定義于區間x &中hh上，連續且滿足初始條件yo翌f x y8. 設y x是方程dx ，y的定義于區間Xo x Xo h