1、【精品文檔】如有侵權，請聯系網站刪除，僅供學習與交流高中數學解三角形最值.精品文檔.三角形中的最值（或范圍）問題 解三角形問題，可以較好地考察三角函數的誘導公式，恒等變換，邊角轉化，正弦余弦定理等知識點，是三角，函數，解析幾何和不等式的知識的交匯點，在高考中容易出綜合題，其中，三角形中的最值問題又是一個重點。其實，這一部分的最值問題解決的方法一般有兩種：一是建立目標函數后，利用三角函數的有界性來解決，二是也可以利用重要不等式來解決。類型一：建立目標函數后，利用三角函數有界性來解決例1在ABC中， 分別是內角的對邊，且2asinA =（2b+c）sinB+（2c+b）sinC.(1) 求角A的大

2、小；（2）求的最大值.變式1：已知向量，且，其中是ABC的內角，分別是角的對邊.(1) 求角的大小；（2）求的最大值.解：由，得a+bc=ab=2abcosC所以cosC=，從而C=60故=sin(60+A)所以當A=30時，的最大值是變式2已知半徑為R的圓O的內接ABC中，若有2R（sinAsinC）=（ab）sinB成立，試求ABC的面積S的最大值。解：根據題意得： 2R()=(ab)*化簡可得 c=a+bab, 由余弦定理可得：C=45, A+B=135 S=absinC=2RsinA*2RsinB*sinC=sinAsin(135A)=(sin(2A+45)+10<A<13

3、5 45<2A+45<315 當2A+4590即A=15時，S取得最大值。類型二：利用重要不等式來解決例2（13年重慶中學）在中，角A,B,C的對邊分別為且.（1）若，且<，求的值（2）求的面積的最大值。解（1）由余弦定理，又<，解方程組得或 (舍)（2）由余弦定理，又即時三角形最大面積為變式3在ABC中，角A,B,C的對邊是a,b,c, ABC的外接圓半徑R=,且（1）求B和b的值； （2）求ABC面積的最大值解：由已知，整理可得：sinBcosC+cosBsinC=2sinAcosB即sin(B+C)= 2sinAcosBA+B+C= sinA =2sinAcosB

4、sinA0 cosB= B=60R=, b=2RsinB=2sin60=3,故角B=60,邊b=3由余弦定理得b=a+c-2accosB即9a+c-2accos 609ac= a+c2ac(當且僅當a=b時取等號)即ac=9(當且僅當a=b=3時取等號)三角形得面積s=acsinB*9*sin60=三角形得面積的最大值是變式4：ABC中，若AB=1,BC=2,則角C的取值范圍是 答案：解法1.由a=2,c=1, a=2c2sinA=4sinC sinC = sinA0<C<A 0<C30解法2.cosC=(b+),故0<C30練習：1、在ABC中，內角A，B，C的對邊分

5、別為a，b，c，C且。（1）判斷ABC的性狀； (2)若|2，求·的取值范圍解：(1)由及正弦定理得sinBsin2C，B2C，且B2C，若B2C，C，B，BC(舍)；B2C，則AC，ABC為等腰三角形(2)|2，a2c22ac·cosB4，cosB(ac)，而cosBcos2C，C，cosB1，1a2，又·accosB2a2，·(，1)2、在ABC中，cos2，(a，b，c分別為角A，B，C的對邊)，則ABC的形狀為（ ） A正三角形 B直角三角形 C等腰三角形或直角三角形 D等腰直角三角形解析：cos2，cosB， a2c2b22a2，即a2b2c2

6、， ABC為直角三角形 答案：B 3、在ABC中，sin(C-A)=1, sinB=。（I）求sinA的值； (II)設AC=，求ABC的面積。 解：（I）由知。又所以即故(II)由（I）得：又由正弦定理，得：所以4. 在中，角，所對應的邊分別為，且（）求角的大小；（）求的最大值5. 在中，分別為內角的對邊，且（）求的大小；（）若，試判斷的形狀. 等腰三角形6（2012陜西）在中，角所對邊長分別為，若，則的最小值為（ C ）A. B. C. D.7.(2014新標1) 已知分別為的三個內角的對邊，=2，且，則面積的最大值為 .【解析】由且 ，即，由及正弦定理得：，故，8.（2012安徽文）設的

7、內角所對的邊為，且有（）求角的大小；學（II） 若，為的中點，求的長。【答案】（）；（II）9.(2014新標2文) 四邊形的內角與互補，. （1）求和； （2）求四邊形的面積.【答案】（I），。 （）10.（2013湖北）在中，角，對應的邊分別是，. 已知.（）求角A的大小；（）若的面積，求的值.【簡解】（）由，得，解得 或（舍去）. 因為，所以. （）由得. 又，知. 由余弦定理得故. 又由正弦定理得. 11(2013江西) 在ABC中，角A、B、C所對的邊分別為a、b、c，已知cos C(cos Asin A)cos B0. (1)求角B的大小； (2)若ac1，求b的取值范圍【簡解】(

8、1)由已知sin Asin Bsin Acos B0，sin Bcos B0，tan B， B.(2) b2a2c22accos B(ac)23ac(ac)232(ac)2，等號可以成立b. 又ac>b，b<1，b<1.12.（2013四川）在ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且2cos2cos Bsin(AB)sin Bcos(AC). (1)求cos A的值； (2)若a4，b5，求向量在方向上的投影【簡解】(1)由2cos2cos Bsin(AB)sin Bcos(AC)，得cos(AB)1cos Bsin(AB)sin Bcos B，即cos(AB)cos

9、 Bsin(AB)sin B.則cos(ABB)，即cos A.(2)由cos A，0<A<，得sin A，由正弦定理，有，所以，sin B.由題知a>b，則A>B，故B，根據余弦定理，有(4)252c22×5c×，解得c1或c7(舍去)故向量在方向上的投影為|cos B13.(2013新標2) ABC中內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知abcos Ccsin B.(1)求B； (2)若b2，求ABC面積的最大值【簡解】(1) sin Asin Bcos Csin Csin Bsin(BC)sin Bcos Ccos Bsin Csin Bcos B.又B(0，)，所以B.(2)ABC的面積Sacsin Bac.由已知及余弦定理得4a2c22accos .又a2c22ac，故ac，當且僅當ac時，等號成立因此ABC面積的最大值為1.14、（2015年新課標2文）ABC中D是BC上的點,AD平分BAC,BD=2DC.（I）求 ； （II）若,求.1、已知中,三個內角A,B,C的對邊分別為a,b,c,若的面積為S,且等于（）ABCD 【答案】C 由得,即,所以,又,所以,即,所以,即,選C 2、若三角形的內角滿足，則的最小值是 【解析】3、在中，為邊上一點， （1）求的大小； （2）當時，求的值解：（1）